Por que a identidade de Euler é considerada a equação mais bonita que existe porque|que|la|identidad|de|Euler|es|considerada|la|ecuación|más|bonita|que|existe dlaczego|że|ta|tożsamość|||jest|uważana|za|równanie|najpiękniejsze||które|istnieje why|that|the|identity|of|Euler|is|considered|the|equation|most|beautiful|that|exists für|dass|die|Identität|von|Euler|ist|angesehen|die|Gleichung|schönste|schön|die|es gibt ¿Por qué la identidad de Euler es considerada la ecuación más hermosa que existe? Why is Euler's identity considered the most beautiful equation that exists? Warum wird die Eulersche Identität als die schönste Gleichung angesehen, die es gibt? Dlaczego tożsamość Eulera jest uważana za najpiękniejsze równanie, jakie istnieje?

Existe uma equação matemática  famosa por sua beleza, existe|una|ecuación|matemática|famosa|por|su|belleza istnieje|jedno|równanie|matematyczne|słynne|za|jej|piękno there is|a|equation|mathematical|famous|for|its|beauty es gibt|eine|Gleichung|mathematische|berühmte|für|ihre|Schönheit Hay una ecuación matemática famosa por su belleza, There is a famous mathematical equation known for its beauty, Es gibt eine berühmte mathematische Gleichung, die für ihre Schönheit bekannt ist, Istnieje słynne równanie matematyczne znane ze swojej piękności,

e que vez ou outra lidera os rankings  de equações mais belas da história y|que|vez|o|otra|lidera|los|rankings|de|ecuaciones|más|bellas|de la|historia i|które|raz|lub|inny|prowadzi|te|rankingi|najpiękniejsze|równania|najpiękniejsze||w|historii and|that|time|or|another|leads|the|rankings|of|equations|most|beautiful|of the|history und|die|Mal|oder|andere|führt|die|Ranglisten|von|Gleichungen|schönsten|schönen|der|Geschichte y que de vez en cuando lidera los rankings de las ecuaciones más bellas de la historia. and from time to time it tops the rankings of the most beautiful equations in history. und die immer wieder die Ranglisten der schönsten Gleichungen der Geschichte anführt. które od czasu do czasu zajmuje czołowe miejsca w rankingach najpiękniejszych równań w historii.

Pois é, você pode não saber,  mas a matemática costuma causar pues|es|tú|puedes|no|saber|pero|la|matemática|suele|causar więc|jest|ty|możesz|nie|wiedzieć|ale|ta|matematyka|zwykle|powodować well|it is|you|can|not|know|but|the|mathematics|tends to|cause denn|ist|du|kannst|nicht|wissen|aber|die|Mathematik|gewöhnt sich|verursachen Así es, puede que no lo sepas, pero las matemáticas suelen causar. Indeed, you may not know it, but mathematics often causes Tatsächlich, Sie wissen es vielleicht nicht, aber die Mathematik hat oft die Fähigkeit, Cóż, możesz nie wiedzieć, ale matematyka ma tendencję do wywoływania

encantamento em quem trabalha com ela. Não é raro escutar de alguns professores encanto|en|quien|trabaja|con|ella|no|es|raro|escuchar|de|algunos|profesores zachwyt|w|kim|pracuje|z|nią|nie|jest|rzadko|słyszeć|od|niektórych|nauczycieli enchantment|in|who|works|with|it|not|is|rare|to hear|from|some|teachers Begeisterung|in|wer|arbeitet|mit|ihr|nicht|ist|selten|hören|von|einigen|Lehrern encantamiento en quien trabaja con ella. No es raro escuchar de algunos profesores enchantment in those who work with it. It is not uncommon to hear from some teachers Begeisterung bei denen, die mit ihr arbeiten. Es ist nicht selten, von einigen Lehrern zu hören zachwyt wśród tych, którzy z nią pracują. Nie jest rzadko słyszeć od niektórych nauczycieli

que determinada solução é elegante ou  que determinado conceito é muito lindo que|determinada|solución|es|elegante|o|que|determinado|concepto|es|muy|lindo że|określona|rozwiązanie|jest|eleganckie|lub|że|określony|koncept|jest|bardzo|piękny that|certain|solution|is|elegant|or|that|certain|concept|is|very|beautiful dass|bestimmte|Lösung|ist|elegant|oder|dass|bestimmtes|Konzept|ist|sehr|schön que determinada solución es elegante o que determinado concepto es muy lindo that a certain solution is elegant or that a certain concept is very beautiful dass eine bestimmte Lösung elegant ist oder dass ein bestimmtes Konzept sehr schön ist że dane rozwiązanie jest eleganckie lub że dany koncept jest bardzo piękny

Essa equação já foi comparada com a Mona Lisa de Leonardo Da Vinci, com o David de Michelângelo esta|ecuación|ya|fue|comparada|con|la|Mona|Lisa|de|Leonardo|de|Vinci|con|el|David|de|Miguel Ángel ta|równanie|już|zostało|porównane|z|Mona||Lisą|od|Leonarda|Da|Vinci|z|||od|Michelangela this|equation|already|was|compared|with|the|Mona|Lisa|by|Leonardo|Da|Vinci|with|the|David|by|Michelangelo diese|Gleichung|schon|wurde|verglichen|mit|der|Mona|Lisa|von|Leonardo|Da|Vinci|mit|dem|David|von|Michelangelo Esta ecuación ya ha sido comparada con la Mona Lisa de Leonardo Da Vinci, con el David de Miguel Ángel This equation has already been compared to the Mona Lisa by Leonardo Da Vinci, to the David by Michelangelo Diese Gleichung wurde bereits mit der Mona Lisa von Leonardo Da Vinci, mit dem David von Michelangelo Ta równanie zostało porównane do Mona Lisy Leonarda da Vinci, do Dawida Michała Anioła

e com um soneto de Shakespeare que “captura a mesmíssima essência do amor” y|con|un|soneto|de|Shakespeare|que|captura|la|misma|esencia|del|amor i|z|||od|Shakespeare'a|który|uchwyca|esencję|tę samą||z|miłości and|with|a|sonnet|by|Shakespeare|that|captures|the|very same|essence|of the|love und|mit|einem|Sonett|von|Shakespeare|das|einfängt|die|selbste|Essenz|der|Liebe y con un soneto de Shakespeare que “captura la mismísima esencia del amor” and to a sonnet by Shakespeare that 'captures the very essence of love' und mit einem Sonett von Shakespeare verglichen, das "die genau gleiche Essenz der Liebe einfängt". i do sonetu Szekspira, który "uchwyca tę samą istotę miłości"

Anos atrás, um estudo analisou a atividade  cerebral de um grupos de matemáticos e descobriu hace|años|un|estudio|analizó|la|actividad|cerebral|de|un|grupo|de|matemáticos|y|descubrió lata|temu|jedno|badanie|analizowało|aktywność||mózgowa|grupy||||matematyków|i|odkryło years|ago|a|study|analyzed|the|activity|brain|of|a|group|of|mathematicians|and|discovered Jahre|zurück|eine|Studie|analysierte|die|Aktivität|Gehirn-|von|einer|Gruppe|von|Mathematikern|und|entdeckte Hace años, un estudio analizó la actividad cerebral de un grupo de matemáticos y descubrió Years ago, a study analyzed the brain activity of a group of mathematicians and found Vor Jahren analysierte eine Studie die Gehirnaktivität einer Gruppe von Mathematikern und stellte fest, Lata temu badanie analizowało aktywność mózgu grupy matematyków i odkryło

que a área do cérebro dedicada às emoções  era ativada quando eles viam essa equação que|la|área|del|cerebro|dedicada|a las|emociones|era|activada|cuando|ellos|veían|esa|ecuación że|obszar|obszar|mózgu|mózgu|poświęcony|emocjom|emocjom|był|aktywowany|kiedy|oni|widzieli|tę|równanie that|the|area|of the|brain|dedicated|to the|emotions|was|activated|when|they|saw|this|equation dass|die|Bereich|des|Gehirns|gewidmet|den|Emotionen|war|aktiviert|als|sie|sahen|diese|Gleichung que el área del cerebro dedicada a las emociones se activaba cuando veían esta ecuación that the area of the brain dedicated to emotions was activated when they saw this equation dass der Bereich des Gehirns, der für Emotionen zuständig ist, aktiviert wurde, als sie diese Gleichung sahen. że obszar mózgu poświęcony emocjom był aktywowany, gdy widzieli ten wzór

Era como se eles estivessem  ouvindo uma boa canção era|como|se|ellos|estuvieran|escuchando|una|buena|canción było|jak|się|oni|byli|słuchając|jedną|dobrą|piosenkę it was|as|if|they|were|listening|a|good|song Es war|wie|wenn|sie|sie waren|hörten|ein|gutes|Lied Era como si estuvieran escuchando una buena canción It was as if they were listening to a good song Es war, als würden sie ein schönes Lied hören. To było tak, jakby słuchali dobrej piosenki

Sou Camilla Veras Mota, da BBC News Brasil, e  neste vídeo vou falar sobre a identidade de Euler soy|Camilla|Veras|Mota|de|BBC|News|Brasil|y|en este|video|voy|hablar|sobre|la|identidad|de|Euler jestem|Camilla|Veras|Mota|z|BBC|News|Brasil|i|w tym|wideo|zamierzam|mówić|o|identidade|tożsamość|| I am|Camilla|Veras|Mota|from the|BBC|News|Brazil|and|in this|video|I will|talk|about|the|identity|of|Euler Ich bin|Camilla|Veras|Mota|von|BBC|Nachrichten|Brasilien|und|in diesem|Video|ich werde|sprechen|über|die|Identität|von|Euler Soy Camilla Veras Mota, de BBC News Brasil, y en este video voy a hablar sobre la identidad de Euler I am Camilla Veras Mota from BBC News Brazil, and in this video, I will talk about Euler's identity Ich bin Camilla Veras Mota von BBC News Brasil, und in diesem Video werde ich über die Identität von Euler sprechen. Jestem Camilla Veras Mota z BBC News Brasil i w tym wideo opowiem o tożsamości Eulera

Vou explicar também porque essa equação é  considerada tão bonita e para quê ela serve voy|explicar|también|porque|esa|ecuación|es|considerada|tan|bonita|y|para|qué|ella|sirve ja zamierzam|wyjaśnić|także|dlaczego|ta|równanie|jest|uważana|tak|piękna|i|do|czego|ona|służy I will|explain|also|why|this|equation|is|considered|so|beautiful|and|for|what|it|serves ich werde|erklären|auch|warum|diese|Gleichung|ist|angesehen|so|schön|und|für|was|sie|nützlich ist Voy a explicar también por qué esta ecuación es considerada tan hermosa y para qué sirve. I will also explain why this equation is considered so beautiful and what it is used for. Ich werde auch erklären, warum diese Gleichung als so schön angesehen wird und wozu sie dient. Wyjaśnię również, dlaczego to równanie jest uważane za tak piękne i do czego służy.

Vou começar falando sobre  seu criador, Leonhard Euler voy|comenzar|hablando|sobre|su|creador|Leonhard|Euler ja zamierzam|zacząć|mówiąc|o|jego|twórca|Leonhard|Euler I will|start|talking|about|its|creator|Leonhard|Euler ich werde|anfangen|sprechend|über|seinen|Schöpfer|Leonhard|Euler Voy a empezar hablando sobre su creador, Leonhard Euler. I will start by talking about its creator, Leonhard Euler. Ich werde damit beginnen, über ihren Schöpfer, Leonhard Euler, zu sprechen. Zacznę od opowiedzenia o jego twórcy, Leonhardzie Eulerze.

Mas antes, imagino que vocês  queiram ver a equação em questão pero|antes|imagino|que|ustedes|quieran|ver|la|ecuación|en|cuestión ale|przedtem|wyobrażam sobie|że|wy|chcecie|zobaczyć|równanie||w|kwestia but|before|I imagine|that|you all|want|to see|the|equation|in|question aber|vorher|ich stelle mir vor|dass|ihr|ihr wollt|sehen|die|Gleichung|in|Frage Pero antes, imagino que ustedes quieran ver la ecuación en cuestión. But first, I imagine you want to see the equation in question. Aber vorher nehme ich an, dass ihr die betreffende Gleichung sehen wollt. Ale najpierw wyobrażam sobie, że chcecie zobaczyć to równanie.

Então, sem mais rodeios,  esta é a identidade de Euler: entonces|sin|más|rodeos|esta|es|la|identidad|de|Euler więc|bez|dalszych|owijania w bawełnę|to|jest|to|tożsamość|| so|without|more|delays|this|is|the|identity|of|Euler also|ohne|weitere|Umschweife|dies|ist|die|Identität|von|Euler Entonces, sin más rodeos, esta es la identidad de Euler: So, without further ado, this is Euler's identity: Also, ohne weitere Umschweife, hier ist die Eulersche Identität: Więc, bez zbędnych ceregieli, oto tożsamość Eulera:

Enquanto os cérebros de alguns de vocês já tenham mientras|los|cerebros|de|algunos|de|ustedes|ya|tengan podczas gdy|niektóre|mózgi|z|niektórych|z|was|już|mają while|the|brains|of|some|of|you|already|they have während|die|Gehirne|von|einigen|von|euch|schon|sie haben Mientras que los cerebros de algunos de ustedes ya hayan While some of your brains may have already triggered emotions, Während die Gehirne einiger von euch bereits Podczas gdy mózgi niektórych z was już wywołały

desencadeado emoções, outros podem estar pensando: O que representa esse “e” elevado desencadenado|emociones|otros|pueden|estar|pensando|qué|que|representa|ese|“e|elevado ||inni|mogą|być|myśląc|co|że|oznacza|to|“e|podniesione ||others|they can|to be|thinking|what|that|represents|this|“e|raised ausgelöste||andere|sie können|sein|denkend|was|dass|es bedeutet|dieses|“e|hoch desencadenado emociones, otros pueden estar pensando: ¿Qué representa ese “e” elevado others might be thinking: What does this “e” raised Emotionen ausgelöst haben, denken andere vielleicht: Was bedeutet dieses erhöhte „e“ emocje, inni mogą się zastanawiać: Co oznacza to „e” podniesione

a “i” multiplicado pela constante “pi”? E por que, depois de somar tudo isso a ||multiplicado|||pi(1)|Y|||||sumar||| ||||||i|||||||| ||||||and|||||||| ||||||und|||||addieren||| a “i” multiplicado por la constante “pi”? ¿Y por qué, después de sumar todo esto a to “i” multiplied by the constant “pi” represent? And why, after adding all of this to multipliziert mit der Konstante „pi“? Und warum ist das Ergebnis „null“, nachdem man all das zu do „i” pomnożone przez stałą „pi”? I dlaczego, po dodaniu tego wszystkiego do

“1”, o resultado é “zero”? E esse é o segredo da beleza: “1”, el resultado es “cero”? Y ese es el secreto de la belleza: “1”, is the result “zero”? And this is the secret of beauty: „1“ addiert hat? Und das ist das Geheimnis der Schönheit: „1”, wynik to „zero”? I to jest sekret piękna:

é uma equação simples e profunda ao mesmo tempo. Vou explicar mais, mas antes vamos es|una|ecuación|simple|y|profunda|al|mismo|tiempo|voy|explicar|más|pero|antes|vamos to jest|równanie|równanie|proste|i|głębokie|w|tym|czasie|zamierzam|wyjaśnić|więcej|ale|przed|idziemy is|a|equation|simple|and|deep|at the|same|time|I will|explain|more|but|before|let's go es ist|eine|Gleichung|einfache|und|tief|gleichzeitig|auch|Zeit|ich werde|erklären|mehr|aber|vorher|wir werden es una ecuación simple y profunda al mismo tiempo. Voy a explicar más, pero antes vamos it is a simple yet profound equation. I will explain more, but first let's Es ist eine einfache und gleichzeitig tiefgründige Gleichung. Ich werde mehr erklären, aber vorher lassen Sie uns to prosta i głęboka równanie jednocześnie. Wyjaśnię więcej, ale najpierw przejdźmy

a Leonhard Euler. O motivo pelo qual a|Leonhard|Euler|El|motivo|por|cual do|Leonharda|Eulera|powód|powód|za|który to|Leonhard|Euler|the|reason|for the|which zu|Leonhard|Euler|||| a Leonhard Euler. La razón por la cual talk about Leonhard Euler. The reason I über Leonhard Euler sprechen. Der Grund, warum do Leonharda Eulera. Powód, dla którego

vou falar dele é porque se trata de um dos  matemáticos mais influentes da história e, voy|hablar|de él|es|porque|se|trata|de|uno|de los|matemáticos|más|influyentes|de la|historia|y |||||||of|||||||| ich werde|sprechen|über ihn|es ist|weil|es|handelt|von|einem|der|Mathematiker|einflussreichsten||der|Geschichte|und voy a hablar de él es porque se trata de uno de los matemáticos más influyentes de la historia y, am going to talk about him is because he is one of the most influential mathematicians in history and, ich über ihn spreche, ist, dass er einer der einflussreichsten Mathematiker der Geschichte ist und, będę o nim mówić, to fakt, że jest jednym z najbardziej wpływowych matematyków w historii i,

mesmo assim, poucas pessoas o conhecem. A admiração que a identidade de Euler desperta aun así, pocas personas lo conocen. La admiración que la identidad de Euler despierta yet, few people know him. The admiration that Euler's identity evokes trotzdem ihn nur wenige Menschen kennen. Die Bewunderung, die Eulers Identität hervorruft, mimo to, niewiele osób go zna. Podziw, jaki budzi tożsamość Eulera

se deve, em grande parte, a seu autor. Nascido na Suíça em 15 de abril de 1707, se|debe|en|gran|parte|a|su|autor|Nacido|en|Suiza|en|de|abril|de to|powinno|w|dużej|części|do|swojemu|autorowi|urodzony|w|Szwajcarii|w|z|kwietnia|z himself|must|in|great|part|to|his|author|born|in the|Switzerland|on|of|April|of es|muss|in|groß|Teil|an|seinen|Autor|Geboren|in der|Schweiz|am|im|April|des se debe, en gran parte, a su autor. Nacido en Suiza el 15 de abril de 1707, it is largely due to its author. Born in Switzerland on April 15, 1707, liegt zum großen Teil an seinem Autor. Geboren in der Schweiz am 15. April 1707, w dużej mierze zawdzięcza się jego autorowi. Urodził się w Szwajcarii 15 kwietnia 1707 roku,

ele é geralmente classificado como “o matemático mais prolífico da história” él|es|generalmente|clasificado|como|el|matemático|más|prolífico|de la|historia on|jest|zazwyczaj|klasyfikowany|jako|najbardziej|matematyk|bardziej|płodny|| he|is|generally|classified|as|the|mathematician|most|prolific|of the|history er|ist|allgemein|klassifiziert|als|der|Mathematiker|meist|produktiv|der|Geschichte él es generalmente clasificado como “el matemático más prolífico de la historia” he is generally classified as "the most prolific mathematician in history" wird er allgemein als "der produktivste Mathematiker der Geschichte" eingestuft. jest zazwyczaj klasyfikowany jako „najbardziej płodny matematyk w historii”

Isso porque Euler escreveu mais de 500  livros e artigos de pesquisa em vida eso|porque|Euler|escribió|más|de|libros|y|artículos|de|investigación|en|vida to|ponieważ|Euler|napisał|więcej|z|książek|i|artykułów|z|badań|w|życiu this|because|Euler|wrote|more|than|books|and|articles|of|research|in|life das|weil|Euler|schrieb|mehr|als|Bücher|und|Artikel|über|Forschung|in|Leben Esto se debe a que Euler escribió más de 500 libros y artículos de investigación en vida This is because Euler wrote more than 500 books and research articles during his lifetime Das liegt daran, dass Euler zu Lebzeiten über 500 Bücher und Forschungsartikel schrieb. To dlatego, że Euler napisał ponad 500 książek i artykułów naukowych za życia

E outros 300 mais foram sendo publicados  após sua morte, em 18 de setembro de 1783 Y|otros|más|fueron|siendo|publicados|después de|su|muerte|en|de|septiembre|de i|inne|więcej|zostały|będąc|publikowane|po|jego|śmierci|w|z|września|z and|other|more|were|being|published|after|his|death|on|of|September|of und|andere|mehr|wurden|veröffentlicht||nach|seinem|Tod|am|im|September|des Y otros 300 más fueron publicados tras su muerte, el 18 de septiembre de 1783 And another 300 more were published after his death, on September 18, 1783 Und weitere 300 wurden nach seinem Tod am 18. September 1783 veröffentlicht. A kolejne 300 zostało opublikowanych po jego śmierci, 18 września 1783 roku.

Euler deixou contribuições decisivas em quase  todas as áreas das matemáticas pura e aplicada, Euler|dejó|contribuciones|decisivas|en|casi|todas|las|áreas|de las|matemáticas|pura|y|aplicada Euler|zostawił|wkłady|decydujące|w|prawie|wszystkie|dziedziny|obszary|matematyki|matematyki|czystej|i|stosowanej Euler|left|contributions|decisive|in|almost|all|the|areas|of the|mathematics|pure|and|applied Euler|er ließ|Beiträge|entscheidende|in|fast|alle|die|Bereiche|der|Mathematik|reine|und|angewandte Euler dejó contribuciones decisivas en casi todas las áreas de las matemáticas puras y aplicadas, Euler made decisive contributions in almost all areas of pure and applied mathematics, Euler leistete entscheidende Beiträge in fast allen Bereichen der reinen und angewandten Mathematik, Euler wniósł decydujące wkłady w prawie wszystkie dziedziny matematyki czystej i stosowanej,

na física (porque sim, ele também era  físico) e ainda em avanços tecnológicos en la|física|porque|sí|él|también|era|físico|y|aún|en|avances|tecnológicos w|fizyce|ponieważ|tak|on|również|był|fizykiem|i|jeszcze|w|postępach|technologicznych in the|physics|because|yes|he|also|was|physicist|and|still|in|advances|technological in der|Physik|weil|ja|er|auch|er war|Physiker|und|auch|in|Fortschritte|technologische en la física (porque sí, también era físico) y aún en avances tecnológicos in physics (because yes, he was also a physicist) and also in technological advances in der Physik (denn ja, er war auch Physiker) und auch in technologischen Fortschritten w fizyce (bo tak, był też fizykiem) oraz w postępy technologiczne

ligados a essas duas ciências. E se não fosse pouco, ele criou ligados|a|estas|dos|ciencias|Y|se|no|fuera|poco|él|creó związanych|z|tymi|dwoma|naukami||||||| linked|to|these|two|sciences||||||| verbunden|mit|diesen|zwei|Wissenschaften||||||| ligados a estas dos ciencias. Y si eso no fuera poco, él creó related to these two sciences. And if that weren't enough, he created im Zusammenhang mit diesen beiden Wissenschaften. Und falls das nicht genug wäre, schuf er związane z tymi dwiema naukami. A jeśli to nie wystarczy, stworzył

grande parte de sua obra depois de ficar cego. Em outro vídeo – vou deixar o link aqui na gran|parte|de|su|obra|después|de|quedar|ciego|En|otro|video|voy|dejar|el|enlace|aquí|en la dużą|część|ze|swojej|dzieła|po|z|stanie się|niewidomym||||||||| great|part|of|his|work|after|of|becoming|blind|In|another|video|I will|leave|the|link|here|in the großen|Teil|seiner|sein|Werk|nachdem|zu|er blind wurde|blind|In|einem anderen|Video|ich werde|ich lasse|den|Link|hier|in der gran parte de su obra después de quedarse ciego. En otro video – dejaré el enlace aquí en much of his work after going blind. In another video – I will leave the link here in the einen Großteil seines Werkes, nachdem er erblindet war. In einem anderen Video – ich werde den Link hier in der większość swojego dzieła po tym, jak stracił wzrok. W innym wideo – zostawię link tutaj w

descrição – eu contei que Euler popularizou  o uso da letra grega para a constante pi descripción|yo|conté|que|Euler|popularizó|el|uso|de la|letra|griega|para|la|constante|pi opis|ja|powiedziałem|że|Euler|spopularyzował|użycie||greckiej|litery|greckiej|dla|stałej|stałej|pi description|I|told|that|Euler|popularized|the|use|of the|letter|Greek|for|the|constant|pi Beschreibung|ich|ich erzählte|dass|Euler|er popularisierte|den|Gebrauch|der|Buchstabe|griechischen|für|die|Konstante|pi descripción – conté que Euler popularizó el uso de la letra griega para la constante pi description - I mentioned that Euler popularized the use of the Greek letter for the constant pi Beschreibung – ich habe erzählt, dass Euler die Verwendung des griechischen Buchstabens für die Konstante pi populär gemacht hat. opis – powiedziałem, że Euler spopularyzował użycie greckiej litery dla stałej pi

Mas bem, também devemos a ele outros  símbolos usados o tempo todo na matemática, pero|bien|también|debemos|a|él|otros|símbolos|usados|el|tiempo|todo|en la|matemática ale|dobrze|także|zawdzięczamy|jemu|on|inne|symbole|używane|czasie|czas|cały|w|matematyce but|well|also|we owe|to|him|other|symbols|used|the|time|all|in the|mathematics aber|gut|auch|wir schulden|ihm|er|andere|Symbole|verwendet|die|Zeit|immer|in der|Mathematik Pero bien, también le debemos otros símbolos que se usan todo el tiempo en matemáticas, But well, we also owe him other symbols used all the time in mathematics, Aber gut, wir verdanken ihm auch andere Symbole, die in der Mathematik ständig verwendet werden, Ale dobrze, zawdzięczamy mu także inne symbole używane na co dzień w matematyce,

como a notação de funções e de somatório,  às quais os estudantes geralmente são como|la|notación|de|funciones|y|de|sumatorio|a las|las cuales|los|estudiantes|generalmente|son jak|notacja|notacja|funkcji|funkcje|i|sum|sum|którym|które|studenci|uczniowie|zazwyczaj|są like|the|notation|of|functions|and|of|summation|to the|which|the|students|usually|are wie|die|Notation|von|Funktionen|und|von|Summation|denen|die|die|Schüler|normalerweise|sie sind como la notación de funciones y de sumatorio, a las que los estudiantes generalmente son such as the notation for functions and summation, which students are usually wie die Notation für Funktionen und Summen, mit denen die Schüler normalerweise jak notacja funkcji i sumy, z którymi studenci zazwyczaj są

apresentados durante o ensino médio. E também foi ele quem batizou esse presentados|durante|el|enseñanza|secundaria|y|también|fue|él|quien|nombró|este przedstawiani|w trakcie|nauczania|nauczanie|||także|był|on|kto|nazwał|ten presented|during|the|education|high school|and|also|was|he|who|named|this vorgestellt|während|der|Unterricht|Oberstufe|und|auch|es war|er|derjenige|er nannte|diesen presentados durante la educación secundaria. Y también fue él quien nombró este introduced to during high school. And he was also the one who named this während der Oberstufe vertraut gemacht werden. Und er war auch derjenige, der diesen zapoznawani podczas nauki w szkole średniej. I to on nadał tej

“e” e esse “i” que aparecem na identidade de  Euler, mas que são símbolos menos famosos y|y|ese|i|que|aparecen|en la|identidad|de|Euler|pero|que|son|símbolos|menos|famosos i|esse||i|które|pojawiają się|w|tożsamości|Eulera||ale|które|są|symbole|mniej|znane and|and|this|i|that|appear|in the|identity|of|Euler|but|that|are|symbols|less|famous und|und|dieses|i|das|erscheinen|in der|Identität|von|Euler|aber|das|sind|Symbole|weniger|berühmt “e” y ese “i” que aparecen en la identidad de Euler, pero que son símbolos menos famosos "e" and this "i" that appear in Euler's identity, but which are less famous symbols. „e“ und dieses „i“, die in der Identität von Euler erscheinen, sind jedoch weniger bekannte Symbole. „e” i to „i”, które pojawiają się w tożsamości Eulera, ale są mniej znanymi symbolami

Agora voltemos então à equação e a  cada um dos elementos que a compõem ahora|volvamos|entonces|a la|ecuación|y|a|cada|uno|de los|elementos|que|la|componen teraz|wróćmy|więc|do|równania|i|do|każdego|z|elementów||które|ono|składają now|let's return|then|to the|equation|and|to|each|one|of the|elements|that|it|compose jetzt|lasst uns zurückkehren|also|zur|Gleichung|und|zu|jedem|der|der|Elemente|die|sie|sie bilden Ahora volvamos entonces a la ecuación y a cada uno de los elementos que la componen Now let's return to the equation and to each of the elements that compose it. Kommen wir also zurück zur Gleichung und zu jedem der Elemente, die sie bilden. Teraz wróćmy do równania i do każdego z jego elementów

Comecemos pelo “e” – comumente  chamado, aliás, de número de Euler empecemos|por el|y|comúnmente|llamado|además|de|número|de|Euler zacznijmy|od|e|powszechnie|nazywany|zresztą|jako|liczba|Eulera| let's start|by the|and|commonly|called|by the way|of|number|of|Euler lasst uns beginnen|mit dem|und|gewöhnlich|genannt|übrigens|als|Zahl|von|Euler Comencemos por el “e” – comúnmente llamado, por cierto, número de Euler Let's start with "e" – commonly referred to, by the way, as Euler's number. Beginnen wir mit dem „e“ – das üblicherweise als Eulersche Zahl bezeichnet wird. Zacznijmy od „e” – powszechnie nazywanego liczbą Eulera

Trata-se de uma constante cujo  valor é aproximadamente 2,718, ||de|una|constante|cuyo|valor|es|aproximadamente ||o|stałą||której|wartość|jest|w przybliżeniu ||of|a|constant|whose|value|is|approximately ||um|eine|Konstante|deren|Wert|ist|ungefähr Se trata de una constante cuyo valor es aproximadamente 2,718, It is a constant whose value is approximately 2.718, Es handelt sich um eine Konstante, deren Wert ungefähr 2,718 beträgt, Jest to stała, której wartość wynosi około 2,718,

e eu digo “aproximadamente” porque os números  depois da vírgula continuam de forma infinita y|yo|digo|“aproximadamente|porque|los|números|después|de la|coma|continúan|de|forma|infinita i|ja|mówię|około|ponieważ|te|liczby|po|przecinku|przecinek|kontynuują|w|sposób|nieskończony and|I|say|approximately|because|the|numbers|after|the|comma|continue|in|way|infinite und|ich|sage|ungefähr|weil|die|Zahlen|nach|dem|Komma|sie fortfahren|auf|Weise|unendlich y yo digo “aproximadamente” porque los números después de la coma continúan de forma infinita and I say "approximately" because the numbers after the comma continue infinitely. und ich sage "ungefähr", weil die Zahlen nach dem Komma unendlich weitergehen i mówię „około”, ponieważ liczby po przecinku są nieskończone

Este número fica no centro  das funções exponenciais, Este|número|queda|en el|centro|de las|funciones|exponenciales ta|liczba|znajduje się|w|centrum|funkcji|funkcje|wykładnicze this|number|stays|in the|center|of the|functions|exponential diese|Zahl|bleibt|im|Zentrum|der|Funktionen|exponentiellen Este número se encuentra en el centro de las funciones exponenciales, This number is at the center of exponential functions, Diese Zahl befindet sich im Zentrum der exponentiellen Funktionen, Ta liczba znajduje się w centrum funkcji wykładniczych,

de qualquer sistema com um crescimento (ou  diminuição) exponencial e contínuo, que pode de|cualquier|sistema|con|un|crecimiento|o|disminución|exponencial|y|continuo|que|puede w|dowolnym|systemie|z|wzrostem|wzrost|lub|spadkiem|wykładniczy|i|ciągły|który|może of|any|system|with|a|growth|or|decrease|exponential|and|continuous|that|can von|jedem|System|mit|einem|Wachstum|oder|Abnahme|exponentiell|und|kontinuierlich|das|es kann de cualquier sistema con un crecimiento (o disminución) exponencial y continuo, que puede of any system with exponential (or decreasing) growth that can von jedem System mit einem exponentiellen (oder kontinuierlichen) Wachstum (oder Rückgang), das sein kann każdego systemu z wykładniczym (lub malejącym) wzrostem, który może

ser desde uma população ou uma taxa de juros. “i”, por sua vez, é a raiz quadrada de -1, ser|desde|una|población|o|una|tasa|de|intereses|“i|por|su|vez|es|la|raíz|cuadrada|de być|od|populacji|populacja|lub|stawką|stawka|z|odsetki|i|z|swoją|kolej|jest|pierwiastek|pierwiastek|kwadratowy|z be|from|a|population|or|a|rate|of|interest|i|for|its|turn|is|the|root|square|of sein|von|einer|Bevölkerung|oder|einem|Zinssatz|von|Zinsen|i|für|seine|Mal|ist|die|Wurzel|quadratische|von ser desde una población o una tasa de interés. “i”, por su parte, es la raíz cuadrada de -1, be anything from a population to an interest rate. "i", in turn, is the square root of -1, von einer Bevölkerung oder einem Zinssatz. "i" ist seinerseits die Quadratwurzel von -1, dotyczyć na przykład populacji lub stopy procentowej. „i” z kolei jest pierwiastkiem kwadratowym z -1,

que faz parte dos chamados números imaginários. Já ouviu falar dele? que|hace|parte|de los|llamados|números|imaginarios|ya|escuchaste|hablar|de él że|robi|część|z|zwanych|liczb|urojonych|już|słyszałeś|mówić|o nim that|makes|part|of the|called|numbers|imaginary|already|heard|to talk|about it dass|er macht|Teil|der|sogenannten|Zahlen|imaginären|schon|du hast gehört|sprechen|über ihn que forma parte de los llamados números imaginarios. ¿Has oído hablar de él? which is part of the so-called imaginary numbers. Have you heard of it? der zu den sogenannten imaginären Zahlen gehört. Hast du schon davon gehört? który jest częścią tzw. liczb urojonych. Słyszałeś o nim?

Entre os números que realmente usamos, os  reais, não existe um número que, multiplicado entre|los|números|que|realmente|usamos|los|reales|no|existe|un|número|que|multiplicado wśród|tych|liczb|które|naprawdę|używamy|te|rzeczywiste|nie|istnieje|liczba||która|pomnożona among|the|numbers|that|really|we use|the|real|not|exists|a|number|that|multiplied unter|den|Zahlen|die|wirklich|wir verwenden|die|reellen|nicht|es gibt|eine|Zahl|die|multipliziert Entre los números que realmente usamos, los reales, no existe un número que, multiplicado Among the numbers we actually use, the real numbers, there is no number that, when multiplied Unter den Zahlen, die wir tatsächlich verwenden, den reellen, gibt es keine Zahl, die, multipliziert Wśród liczb, które naprawdę używamy, liczb rzeczywistych, nie ma liczby, która, pomnożona

por ele mesmo, dê “-1” como resultado. Mas um dia, de forma bem simplificada, |él||||||||||| |on||||||||||| |it||||||||||| |er||||||||||| por sí mismo, dé “-1” como resultado. Pero un día, de forma muy simplificada, by itself, gives “-1” as a result. But one day, in a very simplified way, mit sich selbst, als Ergebnis „-1“ ergibt. Aber eines Tages, ganz vereinfacht, przez samą siebie, da wynik „-1”. Ale pewnego dnia, w bardzo uproszczony sposób,

os matemáticos decidiram fingir  que ele existia e descobriram que los|matemáticos|decidieron|fingir|que|él|existía|y|descubrieron|que ||||że||||| ||||that||||| ||||dass||||| los matemáticos decidieron fingir que existía y descubrieron que mathematicians decided to pretend that it existed and discovered that entschieden die Mathematiker, so zu tun, als ob sie existierte, und entdeckten, dass matematycy postanowili udawać, że ona istnieje i odkryli, że

muitos problemas da vida real poderiam ser  resolvidos graças a essa unidade imaginária muchos|problemas|de la|vida|real|podrían|ser|resueltos|gracias|a|esa|unidad|imaginaria wiele|problemów|z|życia|realnych|mogłyby|być|rozwiązane|dzięki|na|ta|jednostka|urojona many|problems|of the|life|real|could|be|solved|thanks|to|this|unit|imaginary viele|Probleme|der|Leben|real|könnten|sein|gelöst|dank|an|dieser|Einheit|imaginär muchos problemas de la vida real podrían ser resueltos gracias a esta unidad imaginaria many real-life problems could be solved thanks to this imaginary unit Viele Probleme des realen Lebens könnten dank dieser imaginären Einheit gelöst werden. wiele problemów z życia codziennego mogłoby zostać rozwiązanych dzięki tej jednostce urojonej

Agora passemos ao “pi”, a essência da circularidade Ahora|pasemos|a|pi|la|esencia|de la|circularidad teraz|przejdźmy|do|pi|esencja|istota|z|okrągłości now|let's move on|to the|pi|the|essence|of the|circularity jetzt|lasst uns übergehen|zum|Pi|die|Essenz|der|Zirkularität Ahora pasemos al “pi”, la esencia de la circularidad Now let's move on to 'pi', the essence of circularity Kommen wir nun zu "pi", dem Wesen der Zirkularität. Teraz przejdźmy do „pi”, istoty okrągłości

O “pi” é o resultado da divisão da perímetro  de uma circunferência por seu seu diâmetro, El|pi|es|el|resultado|de la|división|de la|perímetro|de|una|circunferencia|por|su||diámetro to|pi|jest|wynikiem|rezultatem|z|dzielenia|z|obwód|przez|okrąg|okrąg|przez|swoją||średnicę the|pi|is|the|result|of the|division|of the|perimeter|of a||circumference|by|its||diameter das|Pi|ist|das|Ergebnis|der|Division|des|Umfang|einer||Kreis|durch|seinen||Durchmesser El “pi” es el resultado de la división del perímetro de una circunferencia por su diámetro, 'pi' is the result of dividing the perimeter of a circle by its diameter, "Pi" ist das Ergebnis der Division des Umfangs eines Kreises durch seinen Durchmesser, „pi” jest wynikiem podziału obwodu okręgu przez jego średnicę,

o que equivale a aproximadamente 3,14159 – porque,  de novo, seus decimais seguem de forma infinita lo|que|equivale|a|aproximadamente|porque|de|nuevo|sus|decimales|siguen|de|forma|infinita co|co|odpowiada|około|około|ponieważ|znowu|znowu|jego|cyfry dziesiętne|idą|w|sposób|nieskończony what|that|equals|to|approximately|because|of|again|its|decimals|follow|in|way|infinite das|was|entspricht|auf|ungefähr|weil|von|erneut|seine|Dezimalstellen|folgen|auf|Weise|unendlich lo que equivale a aproximadamente 3,14159 – porque, de nuevo, sus decimales siguen de forma infinita which is approximately 3.14159 – because, again, its decimals continue infinitely was ungefähr 3,14159 entspricht – denn wieder einmal folgen seine Dezimalstellen unendlich. co odpowiada w przybliżeniu 3,14159 – ponieważ, ponownie, jego cyfry dziesiętne są nieskończone

Por último estão o “1” e o “0”,  que também são números especiais por|último|están|el|y|el|que|también|son|números|especiales ||są|ten|i|ten|który|także|są|liczby|specjalne for|last|are|the|and|the|that|also|are|numbers|special für|zuletzt|sind|die|und|die|die|auch|sind|Zahlen|besondere Por último están el “1” y el “0”, que también son números especiales Lastly, there are the "1" and the "0", which are also special numbers. Zuletzt sind da die „1“ und die „0“, die ebenfalls spezielle Zahlen sind. Na końcu są „1” i „0”, które również są specjalnymi liczbami.

O número “1” é o primeiro dos números  naturais, os “números de contar”, el|número|es|el|primero|de los|números|naturales|los|“números|de|contar ten|liczba|jest|pierwszy||z|liczb|naturalnych|te|liczby|do|liczenia the|number|is|the|first|of the|numbers|natural|the|“numbers|to|count die|Zahl|ist|die|erste|der|Zahlen|natürlichen|die|Zahlen|zum|zählen El número “1” es el primero de los números naturales, los “números de contar”, The number "1" is the first of the natural numbers, the "counting numbers," Die Zahl „1“ ist die erste der natürlichen Zahlen, die „Zählzahlen“, Liczba „1” jest pierwszą z liczb naturalnych, „liczb do liczenia”,

a base de toda a ciência e o comércio. E o “0”, embora tenha travado uma dura batalha la|base|de|toda|la|ciencia|y|el|comercio|Y|el|aunque|tenga|luchado|una|dura|batalla a|podstawa|do|całej|ta|nauka|i|ten|handel|i|ten|chociaż|ma|stoczył|jedną|ciężką|bitwę the|base|of|all|the|science|and|the|commerce|And|the|although|has|fought|a|hard|battle die|Grundlage|für|gesamte|die|Wissenschaft|und|der|Handel|und|die|obwohl|ich habe|gekämpft|einen|harten|Kampf la base de toda la ciencia y el comercio. Y el “0”, aunque ha librado una dura batalla the foundation of all science and commerce. And the "0", although it fought a hard battle die Grundlage aller Wissenschaft und des Handels. Und die „0“, obwohl sie einen harten Kampf podstawą całej nauki i handlu. A „0”, chociaż stoczył ciężką walkę

para ganhar seu lugar nas matemáticas  (também temos um vídeo sobre isso, para|ganar|su|lugar|en las|matemáticas|también|tenemos|un|video|sobre|eso aby|zdobyć|swoje|miejsce|w|matematyce|także|mamy|jeden|film|o tym| to|gain|its|place|in the|mathematics|also|we have|a|video|about|that um|gewinnen|seinen|Platz|in den|Mathematiken|auch|wir haben|ein|Video|über|das para ganar su lugar en las matemáticas (también tenemos un video sobre eso, to earn its place in mathematics (we also have a video about that, geführt hat, um ihren Platz in der Mathematik zu gewinnen (wir haben auch ein Video darüber, o zdobycie swojego miejsca w matematyce (mamy też na ten temat film,

depois confere lá), acabou demonstrando que  representar nada não é o mesmo que ser nada después|verifica|allí|terminó|demostrando|que|representar|nada|no|es|lo|mismo|que|ser|nada potem|sprawdź|tam|w końcu|pokazując|że|reprezentować|nic|nie|jest|to|samo|co|być|nic later|check|there|ended up|demonstrating|that|to represent|nothing|not|is|the|same|that|to be|nothing danach|überprüfe|dort|er hat schließlich|demonstriert|dass|darstellen|nichts|nicht|ist|das|gleiche|dass|sein|nichts después verifica allí), acabó demostrando que representar nada no es lo mismo que ser nada then check there), it ended up demonstrating that representing nothing is not the same as being nothing Dan überprüfe es dort), hat letztendlich gezeigt, dass nichts zu repräsentieren nicht dasselbe ist wie nichts zu sein. potem sprawdź tam), ostatecznie pokazało, że reprezentowanie niczego nie jest tym samym co bycie niczym

Partindo então para razões concretas de sua  beleza, esta equação inclui cinco números Partiendo|entonces|para|razones|concretas|de|su|belleza|esta|ecuación|incluye|cinco|números wychodząc|więc|do|przyczyny|konkretne|z|jej|piękna|ta|równanie|zawiera|pięć|liczb starting|then|for|reasons|concrete|of|its|beauty|this|equation|includes|five|numbers ausgehend|dann|zu|Gründen|konkreten|für|ihre|Schönheit|diese|Gleichung|sie beinhaltet|fünf|Zahlen Partiendo entonces para razones concretas de su belleza, esta ecuación incluye cinco números Starting then with concrete reasons for its beauty, this equation includes five numbers Gehen wir also zu konkreten Gründen für ihre Schönheit über, diese Gleichung umfasst fünf Zahlen. Przechodząc więc do konkretnych powodów jej piękna, ten wzór zawiera pięć liczb

que são usados todo o tempo em campos distintos  das matemáticas, e que surgiram em diferentes que|son|usados|todo|el|tiempo|en|campos|distintos|de las|matemáticas|y|que|surgieron|en|diferentes które|są|używane|cały|ten|czas|w|dziedzinach|odmiennych|z|matematyki|i|które|pojawiły się|w|różnych that|are|used|all|the|time|in|fields|distinct|of the|mathematics|and|that|emerged|in|different die|sie sind|verwendet|die ganze|die|Zeit|in|Bereichen|verschiedenen|der|Mathematik|und|die|sie entstanden|in|verschiedenen que se utilizan todo el tiempo en campos distintos de las matemáticas, y que surgieron en diferentes that are used all the time in different fields of mathematics, and that emerged at different die ständig in verschiedenen Bereichen der Mathematik verwendet werden und die zu unterschiedlichen które są używane cały czas w różnych dziedzinach matematyki i które pojawiły się w różnych

momentos e com diferentes fins. Além disso, tem três operações básicas: momentos|y|con|diferentes|fines|además|de eso|tiene|tres|operaciones|básicas momentach|i|z|różnymi|celami|oprócz|tego|ma|trzy|operacje|podstawowe moments|and|with|different|purposes|besides|that|has|three|operations|basic Momenten|und|mit|verschiedenen|Zwecken|außerdem|davon|sie hat|drei|Operationen|grundlegenden momentos y con diferentes fines. Además, tiene tres operaciones básicas: moments and with different purposes. Furthermore, it has three basic operations: Zeitpunkten und mit unterschiedlichen Zielen entstanden sind. Darüber hinaus hat sie drei grundlegende Operationen: momentach i z różnymi celami. Ponadto ma trzy podstawowe operacje:

a soma, a multiplicação e a potencialização,  e introduz a noção de igualdade la|suma|la|multiplicación|y|la|potenciación|y|introduce|la|noción|de|igualdad suma|dodawanie|||i||||||pojęcie|o|równości the|sum|the||and|the|||||notion|of|equality die|Summe|die||und|die|||||Begriff|von|Gleichheit la suma, la multiplicación y la potenciación, e introduce la noción de igualdad the addition, multiplication, and exponentiation, and introduces the notion of equality die Addition, die Multiplikation und die Potenzierung und führt das Konzept der Gleichheit ein. suma, mnożenie i potęgowanie, oraz wprowadza pojęcie równości

E, no que talvez seja o mais surpreendente,  todos estes elementos convivem em uma só Y|en|lo|quizás|sea|lo|más|sorprendente|todos|estos|elementos|conviven|en|una|sola i|w|co|może|jest||najbardziej|zaskakujące|wszyscy|te|elementy|współistnieją|w|jedną|tylko and|in|what|perhaps|is|the|most|surprising|all|these|elements|coexist|in|a|single und|was|dass|vielleicht|es ist|das|am|überraschend|alle|diese|Elemente|sie leben zusammen|in|einer|einzigen Y, en lo que quizás sea lo más sorprendente, todos estos elementos conviven en una sola And, in what may be the most surprising, all these elements coexist in a single Und was vielleicht am überraschendsten ist, ist, dass all diese Elemente in einer einzigen A co może być najbardziej zaskakujące, wszystkie te elementy współistnieją w jednej

equação que é curta e fácil de lembrar. Mas seu mérito não é meramente estético ecuación|que|es|corta|y|fácil|de|recordar|pero|su|mérito|no|es|meramente|estético równanie|które|jest|krótkie|i|łatwe|do|zapamiętania|ale|jej|zasługa|nie|jest|jedynie|estetyczny equation|that|is|short|and|easy|to|remember|but|its|merit|not|is|merely|aesthetic Gleichung|die|sie ist|kurz|und|einfach|zu|||ihr|Verdienst|nicht|es ist|bloß|ästhetisch ecuación que es corta y fácil de recordar. Pero su mérito no es meramente estético equation that is short and easy to remember. But its merit is not merely aesthetic Gleichung zusammenkommen, die kurz und leicht zu merken ist. Aber ihr Verdienst ist nicht nur ästhetisch. równaniu, które jest krótkie i łatwe do zapamiętania. Ale jego zasługa nie jest jedynie estetyczna

A identidade de Euler tem aplicações práticas  em áreas como a física e a engenharia, La|identidad|de|Euler|tiene|aplicaciones|prácticas|en|áreas|como|la|física|y|la|ingeniería to|tożsamość|||ma|zastosowania|praktyczne|w|dziedzinach|takich jak|fizyka||i|inżynieria| the|identity|of|Euler|has|applications|practical|in|areas|such as|the|physics|and|the|engineering die|Identität|von|Euler|sie hat|Anwendungen|praktische|in|Bereichen|wie|die|Physik|und|die|Ingenieurwesen La identidad de Euler tiene aplicaciones prácticas en áreas como la física y la ingeniería, Euler's identity has practical applications in areas such as physics and engineering, Die Eulersche Identität hat praktische Anwendungen in Bereichen wie der Physik und dem Ingenieurwesen, Tożsamość Eulera ma praktyczne zastosowania w dziedzinach takich jak fizyka i inżynieria,

mais especificamente na física quântica  e no processamento de sinais e imagens más|específicamente|en la|física|cuántica|y|en el|procesamiento|de|señales|y|imágenes bardziej|konkretnie|w|fizyka|kwantowa|i|w|przetwarzanie|sygnałów||i|obrazów more|specifically|in the|physics|quantum|and|in the|processing|of|signals|and|images mehr|spezifischer|in der|Physik|Quanten-|und|in der|Verarbeitung|von|Signalen|und|Bildern más específicamente en la física cuántica y en el procesamiento de señales e imágenes more specifically in quantum physics and in signal and image processing insbesondere in der Quantenphysik und der Signal- und Bildverarbeitung bardziej szczegółowo w fizyce kwantowej oraz w przetwarzaniu sygnałów i obrazów

Um exemplo: existe uma versão mais  completa ou geral da equação que un|ejemplo|existe|una|versión|más|completa|o|general|de la|ecuación|que jeden|przykład|istnieje|wersja||bardziej|kompletna|lub|ogólna|z|równanie|które a|example|there is|a|version|more|complete|or|general|of the|equation|that ein|Beispiel|es gibt|eine|Version|mehr|vollständige|oder|allgemeine|der|Gleichung|die Un ejemplo: existe una versión más completa o general de la ecuación que An example: there is a more complete or general version of the equation that Ein Beispiel: Es gibt eine umfassendere oder allgemeinere Version der Gleichung, die Przykład: istnieje bardziej kompleksowa lub ogólna wersja równania, które

é usada para modelar a corrente alternada,  chave para desenvolver praticamente todos es|usada|para|modelar|la|corriente|alterna|clave|para|desarrollar|prácticamente|todos jest|używane|do|modelowania|prąd||zmienny|klucz|do|rozwijania|praktycznie|wszystkie is|used|to|model|the|current|alternating|key|to|develop|practically|all ist|verwendet|um|Modellieren|die|Strom|Wechselstrom|Schlüssel|um|Entwickeln|praktisch|alle se utiliza para modelar la corriente alterna, clave para desarrollar prácticamente todos is used to model alternating current, key to developing practically all verwendet wird, um den Wechselstrom zu modellieren, der entscheidend ist, um praktisch alle jest używane do modelowania prądu zmiennego, kluczowego do rozwoju praktycznie wszystkich

os dispositivos eletrônicos a nosso redor. Tá vendo como a matemática é bonita? |||la|||||||matemática|es|bonita urządzenia||elektroniczne|w|naszym|otoczeniu|to|widzisz|jak|ta|matematyka|jest|piękna |||the|||||||math|is|beautiful |||die|||||||Mathematik|ist|schön los dispositivos electrónicos a nuestro alrededor. ¿Ves cómo es hermosa la matemática? the electronic devices around us. See how beautiful mathematics is? elektronischen Geräte um uns herum zu entwickeln. Siehst du, wie schön die Mathematik ist? urządzeń elektronicznych wokół nas. Widzisz, jak piękna jest matematyka?

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que nós ficamos de olho. Muito obrigada e até a próxima! que|nosotros|nos quedamos|de|ojo|muy|gracias|y|hasta|la|próxima że|my|zostajemy|na|oku|bardzo|dziękuję|i|do|na|następna that|we|stay|of|eye|very|thank you|and|until|the|next dass|wir|bleiben|auf|Auge|sehr|danke|und|bis|zur|nächsten que nosotros estaremos atentos. ¡Muchas gracias y hasta la próxima! and we will keep an eye on them. Thank you very much and see you next time! wir halten ein Auge darauf. Vielen Dank und bis zum nächsten Mal! które będziemy mieć na uwadze. Bardzo dziękuję i do zobaczenia następnym razem!