Le théorème du carreleur - Feat. Lê - ZdS#8 Der|Satz|des|Fliesenleger|feat|Lê|ZdS#8 the|theorem|of the|tiler|Feat|Lê|ZdS#8 Le théorème du carreleur - Feat. Lê - ZdS#8 De theorie van de schrijver - Feat. Lê - ZdS#8 O teorema do carreirista - Feat. Lê - ZdS#8 Le théorème du carreleur - Feat. Lê - ZdS#8 蒂勒定理 - 壯舉。 Lê - ZdS#8 Der Fliesenleger-Satz - Feat. Lê - ZdS#8 The Tiler's Theorem - Feat. Lê - ZdS#8

Bonjour à tous et à toutes ! Je viens de refaire le carrelage de ma salle de bain Guten Tag|an|alle|und|an|alle|Ich|komme|von|neu machen|den|Fliesen|von|mein|Raum|von|Bad hello|to|all|and|to|all|I|I come|from|to redo|the|tiling|of|my|room|of|bath Hallo zusammen! Ich habe gerade die Fliesen in meinem Badezimmer neu verlegt Hello everyone! I just redid the tiling in my bathroom

avec des carreaux pentagonaux. Oui, car j'adore les pentagones, sauf que... mit|(unbestimmter Pluralartikel)|Fliesen|pentagonalen|Ja|denn|ich liebe|die|Fünfecke|außer|dass with|some|tiles|pentagonal|Yes|because|I love|the|pentagons|except|that mit fünfeckigen Fliesen. Ja, denn ich liebe Fünfecke, nur dass... with pentagonal tiles. Yes, because I love pentagons, except that...

En fait ça fait un carrelage avec des trous In|macht|das|macht|ein|Fliesen|mit|(Pluralartikel)|Löchern in|it makes|||a|tiling|with|some|holes Eigentlich ergibt das ein Fliesenmuster mit Löchern Actually, it creates a tiling with holes.

(Ah tiens fais voir) Voilà... Ah|schau mal|mach|sehen|Sieh mal Ah|here|make|to see|Here it is (Ah schau mal) Hier... (Oh look, let me see) Here it is...

Tu aurais peut-être dû utiliser d'autres formes de pentagones. Du|hättest|||solltest|verwenden|andere|Formen|von|Pentagonen you|you would have|||had to|to use|other|forms|of|pentagons Du hättest vielleicht andere Formen von Fünfecken verwenden sollen. You might have should have used other shapes of pentagons.

D'ailleurs le problème de carreler sa salle de bain avec des pentagones, Übrigens|der|Problem|zu|fliesen|sein|Badezimmer|mit|Bad|mit|(Pluralartikel)|Fünfecken by the way|the|problem|of|to tile|his/her|room|of|bath|with|some|pentagons Übrigens ist das Problem, sein Badezimmer mit Fünfecken zu fliesen, By the way, the problem of tiling your bathroom with pentagons,

c'est un sacré problème mathématique. es|ein|heilig|Problem|Mathematik it is|a|sacred|problem|mathematical ein ganz schön mathematisches Problem. is quite a mathematical problem.

Et justement Michael Rao, un informaticien théorique, Und|gerade|Michael|Rao|ein|Informatiker|theoretisch and|precisely|Michael|Rao|a|computer scientist|theoretical Und genau Michael Rao, ein theoretischer Informatiker, And indeed Michael Rao, a theoretical computer scientist,

vient de mettre un terme à un siècle de recherches mathématiques kommt|von|setzen|ein|Ende|an|ein|Jahrhundert|der|Forschungen|Mathematik he/she/it comes|of|to put|a|term|to|a|century|of|research|mathematical hat gerade ein Jahrhundert mathematischer Forschung beendet has just put an end to a century of mathematical research

sur la classification des pavages mono-carreau par pentagones convexes. über|die|Klassifikation|der|Pflasterungen|||durch|Fünfecke|konvex on|the|classification|of|pavings|||by|pentagons|convex zur Klassifikation von einflächigen Mosaiken durch konvexe Fünfecke. on the classification of mono-tile tilings by convex pentagons.

Alors avant le théorème de Rao, Also|vor|der|Satz|von|Rao so|before|the|theorem|of|Rao Also vor dem Rao-Satz, So before Rao's theorem,

on connaissait déjà pas mal de carrelage par pentagones convexes man|kannte|schon|nicht|viel|von|Fliesen|durch|Fünfecke|konvex we|knew|already|not|much|of|tiling|by|pentagons|convex Man kannte bereits eine ganze Menge an Fliesen aus konvexen Fünfecken. we already knew quite a bit about convex pentagonal tiling

En 1918, le mathématicien Karl Reinhardt liste les cinq premières familles de pentagones qui pavent le plan. Im|der|Mathematiker|Karl|Reinhardt|listet|die|fünf|ersten|Familien|von|Pentagonen|die|pflastern|den|Plan in|the|mathematician|Karl|Reinhardt|lists|the|five|first|families|of|pentagons|that|they pave|the|plane Im Jahr 1918 listete der Mathematiker Karl Reinhardt die fünf ersten Familien von Fünfecken auf, die die Ebene fliesen. In 1918, the mathematician Karl Reinhardt listed the first five families of pentagons that tile the plane.

Cinq, c'est déjà bien. Fünf|es|schon|gut five|it's|already|good Fünf ist schon gut. Five is already good.

Sauf qu'en 1968, le mathématicien Richard Kershner ajoute trois nouvelles familles à cette liste. Außer|dass im|der|Mathematiker|Richard|Kershner|fügt|drei|neue|Familien|zu|dieser|Liste except|that in|the|mathematician|Richard|Kershner|adds|three|new|families|to|this|list Es sei denn, im Jahr 1968 fügte der Mathematiker Richard Kershner dieser Liste drei neue Familien hinzu. Except that in 1968, the mathematician Richard Kershner added three new families to this list.

Et il affirme avoir le stock complet. Und|er|behauptet|haben|den|Bestand|vollständig and|he|he claims|to have|the|stock|complete Und er behauptet, das vollständige Sortiment zu haben. And he claims to have the complete stock.

(Y en a plus !) Es|noch|gibt|mehr there is/are|in it|there is|more (Es gibt keine mehr!) (There are no more!)

Mais en 1975, Aber|im but|in Aber 1975, But in 1975,

l'informaticien Richard James découvrit une neuvième famille de pentagones. der Informatiker|Richard|James|entdeckte|eine|neunte|Familie|von|Pentagonen the computer scientist|Richard|James|he discovered|a|ninth|family|of|pentagons entdeckte der Informatiker Richard James eine neunte Familie von Pentagonen. the computer scientist Richard James discovered a ninth family of pentagons.

Et ce n'est pas fini ! Und|das|ist nicht|nicht|vorbei and|it|it is not|not|finished Und das ist noch nicht alles! And it's not over!

En 1977, Marjorie Rice, une femme au foyer sans formation mathématique, Im|Marjorie|Rice|eine|Frau|im|Haushalt|ohne|Ausbildung|mathematische in|Marjorie|Rice|a|woman|at|home|without|training|mathematical 1977 entdeckte Marjorie Rice, eine Hausfrau ohne mathematische Ausbildung, In 1977, Marjorie Rice, a housewife with no mathematical training,

humilie Kershner en découvrant quatre nouvelles familles. erniedrigt|Kershner|beim|Entdecken|vier|neue|Familien humiliate|Kershner|by|discovering|four|new|families vier neue Familien und stellte Kershner in den Schatten. humiliates Kershner by discovering four new families.

Et bing ! Und|bing and|bang Und zack! And bam!

Et enfin en 2015, une quinzième famille de pentagones est découverte par le mathématicien Casey Mann Und||im|eine|fünfzehnte|Familie|von|Fünfecken|ist|entdeckt|von|dem|Mathematiker|Casey|Mann and||in|a|fifteenth|family|of|pentagons|is|discovered|by|the|mathematician|Casey|Mann Und schließlich wurde 2015 eine fünfzehnte Familie von Fünf-Ecken vom Mathematiker Casey Mann entdeckt. And finally in 2015, a fifteenth family of pentagons is discovered by the mathematician Casey Mann.

et ses collaborateurs. und|seine|Mitarbeiter and|his/her/their|collaborators und seinen Mitarbeitern. and his collaborators.

Bon, y en a combien ? On va continuer longtemps comme ça ? Gut|es|davon|gibt|wie viel|Wir|werden|fortfahren|lange|so|das good|there|there|there is|how many|we|we are going|to continue|a long time|like|that Wie viele gibt es denn? Geht das jetzt lange so weiter? Well, how many are there? Are we going to keep going like this for a long time?

Oui, c'est vrai que trouver de nouvelles familles de pentagones, c'est cool, Ja|es|wahr|dass|finden|von|neue|Familien|von|Pentagonen|es|cool yes|it's|true|that|to find|of|new|families|of|pentagons|it's|cool Ja, es stimmt, neue Familien von Fünf-Ecken zu finden, ist cool, Yes, it's true that finding new families of pentagons is cool,

mais ce qui est vraiment ambitieux, difficile et satisfaisant, aber|das|was|ist|wirklich|ehrgeizig|schwierig|und|befriedigend but|that|which|is|really|ambitious|difficult|and|satisfying aber was wirklich ehrgeizig, schwierig und befriedigend ist, but what is truly ambitious, difficult, and satisfying,

c'est de toutes les trouver et de prouver qu'on les a toutes. es|von|allen|die|finden|und|von|beweisen|dass man|sie|hat|alle it is|to|all|them|to find|and|to|to prove|that we|them|we have|all ist, alle zu finden und zu beweisen, dass man sie alle hat. is to find them all and prove that we have found them all.

Et c'est justement ce qu'a fait Michael Rao en mai 2017. Und|es|genau|das|was hat|gemacht|Michael|Rao|im|Mai and|it's|exactly|that|that he has|done|Michael|Rao|in|May Und genau das hat Michael Rao im Mai 2017 getan. And that is exactly what Michael Rao did in May 2017.

Le génie de Rao, c'est de ramener un problème qui paraît infini Der|Genius|von|Rao|es|zu|bringen|ein|Problem|der|scheint|unendlich the|genius|of|Rao|it's|to|bring|a|problem|that|seems|infinite Das Genie von Rao besteht darin, ein Problem zurückzubringen, das unendlich erscheint Rao's genius is in bringing back a problem that seems infinite

à un problème fini qui peut être résolu par un ordinateur. an|ein|Problem|endlich|der|kann|sein|gelöst|durch|einen|Computer to|a|problem|finite|which|can|be|solved|by|a|computer ein endliches Problem, das von einem Computer gelöst werden kann. to a finite problem that can be solved by a computer.

Et c'est très surprenant quand vous y réfléchissez... Und|es|sehr|überraschend|wenn|Sie|daran|denken and|it's|very|surprising|when|you|there|you think Und es ist sehr überraschend, wenn man darüber nachdenkt... And it's very surprising when you think about it...

Le nombre de familles de pentagones a priori c'est infini. Der|Anzahl|der|Familien|von|Fünfecken|a|a priori|es ist|unendlich the|number|of|families|of|pentagons|a|a priori|it is|infinite Die Anzahl der Familien von Fünfecken ist zunächst unendlich. The number of families of pentagons, a priori, is infinite.

Et le nombre de façons de les arranger pour paver le plan, ça aussi a priori c'est infini. Und|der|Anzahl|von|Möglichkeiten|zu|sie|anzuordnen|um|zu pflastern|den|Plan|das|auch|||es ist|unendlich and|the|number|of|ways|to|them|to arrange|to|to pave|the|plane|that|also|has|a priori|it is|infinite Und die Anzahl der Möglichkeiten, sie anzuordnen, um die Ebene zu pflastern, ist ebenfalls zunächst unendlich. And the number of ways to arrange them to tile the plane, that too a priori is infinite.

Mais grâce à un premier logiciel, Rao a su identifier un ensemble fini de 371 familles candidates. Aber|dank|an|eine|erste|Software|Rao|hat|konnte|identifizieren|eine|Menge|endliche|von|Familien|Kandidaten but|thanks to|to|a|first|software|Rao|has|been able to|to identify|a|set|finite|of|families|candidates Aber dank einer ersten Software konnte Rao eine endliche Menge von 371 Kandidatenfamilien identifizieren. But thanks to an initial software, Rao was able to identify a finite set of 371 candidate families.

Il a démontré que pour tout pentagone n'appartenant pas à ces familles, Er|hat|bewiesen|dass|für|jedes|Pentagon|der nicht gehört|nicht|zu|diesen|Familien he|has|demonstrated|that|for|every|pentagon|not belonging|not|to|these|families Er hat bewiesen, dass es für jedes Pentagon, das nicht zu diesen Familien gehört, He demonstrated that for any pentagon not belonging to these families,

il est impossible de paver un plan. er|ist|unmöglich|zu|pflastern|einen|Plan it|is|impossible|to|pave|a|plan unmöglich ist, eine Fläche zu verlegen. it is impossible to tile a plane.

Attention, ça ne veut pas dire que ces 371 familles conviennent pour un pavage. Achtung|das|nicht|will|nicht|bedeuten|dass|diese|Familien|geeignet sind|für|eine|Pflasterung Attention|it|not|it means|not|to say|that|these|families|they are suitable|for|a|paving Achtung, das bedeutet nicht, dass diese 371 Familien für eine Verlegung geeignet sind. Note that this does not mean that these 371 families are suitable for tiling.

Juste que si un pentagone peut paver le plan, Nur|dass|ob|ein|Pentagon|kann|flächendeckend|den|Plan just|that|if|a|pentagon|can|to pave|the|plane Nur dass, wenn ein Pentagon die Ebene fliesen kann, Just that if a pentagon can tile the plane,

alors il fait forcément partie de l'une d'elles. dann|er|macht|zwangsläufig|Teil|von|einer|von ihnen so|he|he is|necessarily|part|of|one|of them es zwangsläufig Teil von einer dieser ist. then it must necessarily be part of one of them.

Rao a ensuite développé un second logiciel Rao|hat|dann|entwickelt|eine|zweite|Software Rao|has|then|developed|a|second|software Rao entwickelte dann eine zweite Software, Rao then developed a second software

qui détermine lesquelles de ces 371 familles de pentagones pouvaient réellement paver le plan. die|bestimmt|welche|von|diesen|Familien|von|Pentagonen|konnten|tatsächlich|pflastern|den|Plan who|determines|which|of|these|families|of|pentagons|they could|really|to pave|the|plane die bestimmt, welche dieser 371 Familien von Pentagonen tatsächlich die Ebene fliesen konnten. that determines which of these 371 families of pentagons could actually tile the plane.

Bon, la mauvaise nouvelle, c'est que l'ordinateur n'a pas trouvé d'autres familles de pentagones, Gut|die|schlechte|Nachricht|es|dass|der Computer|hat nicht|nicht|gefunden|andere|Familien|von|Pentagonen well|the|bad|news|it's|that|the computer|has not|not|found|other|families|of|pentagons Nun, die schlechte Nachricht ist, dass der Computer keine weiteren Familien von Fünf-Ecken gefunden hat, Well, the bad news is that the computer did not find any other families of pentagons,

autre que celles qu'on connaissait déjà. andere|als|die|die man|kannte|bereits other|than|those|that we|we knew|already außer denjenigen, die wir bereits kannten. other than the ones we already knew.

Mais la bonne nouvelle, c'est que ceci prouve qu'il n'existe pas de nouvelles familles de pentagones. Aber|die|gute|Nachricht|es ist|dass|dies|beweist|dass er|nicht existiert|nicht|von|neue|Familien|von|Pentagonen but|the|good|news|it's|that|this|it proves|that there|there are no|not|of|new|families|of|pentagons Aber die gute Nachricht ist, dass dies beweist, dass es keine neuen Familien von Fünf-Ecken gibt. But the good news is that this proves that there are no new families of pentagons.

D'où le théorème de Rao : Woher|der|Satz|von|Rao from where|the|theorem|of|Rao Daher der Rao-Satz: Hence Rao's theorem:

Un pentagone convexe pave le plan, si et seulement s'il appartient à l'une de ces quinze familles. Ein|Pentagon|konvex|pflastert|der|Ebene|wenn|und|nur|wenn er|gehört|zu|einer|der|dieser|fünfzehn|Familien a|pentagon|convex|paves|the|plane|if|and|only|if it|it belongs|to|one|of|these|fifteen|families Ein konvexes Fünfeck pflastert die Ebene, wenn und nur wenn es zu einer dieser fünfzehn Familien gehört. A convex pentagon paves the plane if and only if it belongs to one of these fifteen families.

Bon, j'ai décidé d'utiliser des carreaux de formes différentes, voilà ... Gut|ich habe|entschieden|zu verwenden|(unbestimmter Artikel Plural)|Fliesen|(Präposition)|Formen|unterschiedlich|hier well|I have|decided|to use|some|tiles|of|shapes|different|here it is Gut, ich habe beschlossen, Fliesen in verschiedenen Formen zu verwenden, hier ... Well, I decided to use tiles of different shapes, here you go ...

Mais le pavage multiforme, c'est beaucoup trop complexe. J'peux plus t'aider. Aber|das|Pflasterung|mehrformig|es ist|viel|zu|komplex|Ich kann|nicht mehr|dir helfen but|the|paving|multiform|it's|much|too|complex|I can|no more|help you Aber das mehrfache Pflastern ist viel zu komplex. Ich kann dir nicht mehr helfen. But multi-shaped paving is way too complex. I can't help you anymore.

Ben non ! Mais t'es vache, tu me laisses sur le carreau, là. naja|nein|aber|du bist|gemein|du|mich|lässt|auf|den|Bürgersteig|hier well|no|but|you're|cow|you|me|you leave|on|the|pavement|there Na ja, das ist nicht fair! Du lässt mich hier im Stich. Well no! But you're mean, you're leaving me in the lurch here.

(Non je suis pas vache "pas vache"... "pavage") Nein|ich|bin|nicht|Kuh|||Pflasterung no|I|I am|not|cow|not|cow|paving (Nein, ich bin nicht gemein "nicht gemein"... "Pflaster") (No, I'm not a cow "not a cow"... "paving")

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