Pourquoi vous perdez au casino : rencontre avec la loi des grands nombres

Voici mon chat, Albert

Albert est un chat avec de nombreux amis.

Je vous présente ses 3 favoris : Oscar, Max et Émilie.

L'autre jour, Oscar a proposé un jeu.

Il s'agit de lancer une pièce de monnaie en l'air jusqu'à obtenir face, avec un maximum de 3 lancers.

En cas de bon résultat, Oscar promet de donner une partie de ses jetons.

Dans le cas contraire, celui qui a lancé la pièce de monnaie doit lui céder des jetons.

Les règles du jeu sont les suivantes.

Si le chat qui lance la pièce de monnaie obtient face dès le premier lancer,

le jeu s'arrête et il reçoit deux jetons d'Oscar.

S'il obtient pile et ensuite face, Oscar lui donne un jeton.

Mais s'il obtient deux fois piles et ensuite face, alors c'est lui qui doit donner un jeton à Oscar !

Pire, si le joueur obtient pile trois fois d'affilée,

alors il doit pas moins de 10 jetons à Oscar.

Albert ne veut pas perdre ses jetons.

Il se demande quelles sont les chances d'être dans les deux derniers cas de figure présentés.

La probabilité d'obtenir pile sur un lancer étant de 1/2,

il calcule avec Max et Émilie que la probabilité d'obtenir trois fois pile vaut 1/2 au cube, soit 1/8.

En utilisant le même raisonnement, Albert conclut que les probabilités d'obtenir deux fois pile et ensuite face sont aussi d'1/8.

Au total, les chances de perdre au jeu proposé par Oscar sont donc de 1/8 plus 1/8, soit 1 chance sur 4 seulement.

Ouf, voilà Albert rassuré !

Il décide de commencer.

Il obtient pile puis face.

Oscar lui donne comme promis un de ses jetons.

Max obtient quant à lui face dès le premier lancer.

Il reçoit donc deux jetons de la pile d'Oscar.

Finalement, c'est au tour d'Émilie,

elle obtient le même résultat qu'Albert et gagne donc 1 jeton.

Albert, Max et Émilie ont à présent tous les 3 un peu pitié pour Oscar. Comme prévu, il n'a fait que perdre.

Pourtant, à leur grande surprise, Oscar propose un second tour. Oscar a-t-il donc perdu la tête ?

Vous souhaitez gagner de l'argent par les jeux de hasard ?

N'allez pas au casino, ouvrez-en un !

Mais quel est le secret de ce genre d'établissement ?

Albert, Max et Émilie semblent convaincus que tout est question d'équilibre entre probabilité de gagner

et probabilité de perdre.

Mais Oscar a de l'avance sur eux.

Il sait que les choses ne sont pas si simples.

Quelle est alors la bonne façon d'approcher le problème ?

Comment savoir si un jeu de hasard est intéressant pour le joueur ?

Avant d'aller plus loin, nous devons introduire un concept important de la statistique :

celui de *l'espérance mathématique*.

L'espérance mathématique, parfois plus sobrement appelée moyenne, se calcule pour une variable aléatoire.

Te souviens-tu de la variable aléatoire du grenier, Albert ?

J'en ai finalement retrouvé les plans !

Le domaine de cette variable était en réalité composé de 4 éléments : -4, 0, 1 et 2.

Les poids liés étaient 0,005 ; 0,535 ; 0,14 et 0,32.

Calculons l'espérance.

Il suffit de multiplier chaque valeur du domaine par son poids et d'additionner tous les résultats,

nous arrivons de cette manière à 0,76.

A quoi cela nous avance te demandes-tu ? Patience Albert, j'y arrive !

Rappelons comment fonctionne une variable aléatoire.

Une variable aléatoire, c'est comme une boîte qui a pour particularité qu'à chaque ouverture, une valeur du domaine en sort.

Les statisticiens disent alors qu'une observation de la variable a été réalisée.

Problème, il est impossible de mettre le doigt à l'avance sur la valeur qui va sortir.

On sait que ce sera une valeur du domaine, mais on ne sait jamais laquelle.

Pendant longtemps, les statisticiens ont pensé qu'il n'y avait donc rien à ajouter sur le sujet.

Et puis, Jacob Bernoulli a fait une découverte extraordinaire.

Bien que chaque observation d'une variable est imprévisible,

l'aggrégation d'observations successives est, elle, parfaitement prévisible,

et d'autant plus qu'on aggrège beaucoup d'observations.

Tu veux un exemple, Albert ?

Voici les 100 observations de la boîte du grenier, rassemblées par tes propres soins il y a quelques mois.

Bien que cette série d'observations est parfaitement aléatoire,

il y a quelque chose qu'on peut prédire : la somme de tous ces résultats devrait être proche de 76.

Et en effet, en faisant la somme, on obtient... 80 !

On frôle 76 de seulement 4 unités.

Pourquoi 76 ? Car l'espérance de la variable vaut 0,76.

Cette valeur de 0,76, c'est en fait la valeur qui, conceptuellement, sort à chaque fois que la boite est ouverte.

Si on l'ouvre 100 fois, c'est comme si on se retrouvait au bout du trajet avec 100 fois 0,76, donc avec 76.

Poussons un peu plus loin à présent : que peut-on dire si on ouvre la boîte 1000 fois ?

La somme des 1000 observations réalisées devrait être proche de 760.

Mieux encore, parce qu'on travaille maintenant avec 1000 observations,

on peut dire que la somme de ces 1000 observations a toutes les chances d'être encore plus proche de 760

que 80 ne l'était de 76 précedemment.

Jacob Bernoulli a donc découvert que,

même si les valeurs successives d'une variables sont imprévisibles,

la somme de ces valeurs est tout à fait prévisible,

et est liée à l'espérance mathématique de la variable.

Encore aujourd'hui, cela est considéré comme l'une des plus grandes découvertes statistiques jamais réalisée.

Le nom donné à ce phénomène, c'est toutefois à monsieur Poisson que nous le devons :

la loi des grands nombres

C'est grâce à la loi des grands nombres que nous pouvons, notamment, percer le secret de n'importe quel jeu de hasard.

Revenons au jeu d'Oscar. Quelle est l'espérance mathématique de ce jeu ?

Le jeu d'Oscar correspond à une variable aléatoire dont le domaine est, en jetons, 2, 1, -1 et -10.

Les poids liés sont 1/2, 1/4, 1/8 et 1/8.

Calculons l'espérance :

on multiplie chaque valeur du domaine par son poids et on additionne tout.

Le résultat est alors -0,125 jeton, c'est à dire moins un 8ème.

L'espérance du jeu d'Oscar est négative !

Les choses sont claires, chaque fois qu'un chat joue au jeu d'Oscar,

c'est conceptuellement comme s'il perdait le 8ème d'un jeton.

Si Oscar réussit à faire jouer ses amis un grand nombre de fois à son jeu,

la loi des grands nombres lui garantit donc la victoire !

Après 80 parties à son jeu, il peut espérer se retrouver avec 10 jetons supplémentaires.

Et s'il fait jouer ses amis 800 fois, on passe à 100 jetons !

Mmmmh. Albert a bien réflèchi.

Il ne veut pas de second tour au jeu d'Oscar.

Mais il a une autre proposition.

Un autre jeu, cette fois basé sur le lancer de dés.

Le joueur lance deux dés et si la somme des valeurs qui apparaissent est un nombre pair,

il s'agit du nombre de jetons remportés.

Par exemple, si un deux et un 4 sortent, le joueur gagne 6 jetons.

Si un 3 et un 5 sortent, le joueur gagne 8 jetons.

Au maximum, le joueur gagne 12 jetons, lorsqu'il réalise un double 6.

Mais dans le cas où la somme des valeurs est un nombre impair, le joueur doit céder 7 de ses jetons.

Voilà les règles du jeu qu'Albert propose en alternative à celui d'Oscar.

Qu'en pensez-vous cher internaute ?

Accepteriez-vous de jouer au jeu d'Albert ?

Laissez-nous votre réponse dans la section commentaire de cette vidéo, sur Twitter ou sur Facebook.

Vous souhaitez voir Albert dans d'autres aventures ?

Jetez un oeil à ses autres vidéos ! Et n'oubliez pas de vous abonner à sa chaîne YouTube.