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La statistique expliquée à mon chat, (#1) Pokémon, intégrales et petits pois - YouTube

(#1) Pokémon, intégrales et petits pois - YouTube

Pour mon chat Albert, la statistique c'est avant tout une histoire de mathématiques.

Mais ce qu'Albert ne sait pas, c'est que la palette d'outils mathématiques

que le statisticien utilise au quotidien est en fait très limitée.

Dans cette palette, on retrouve principalement le calcul matriciel, l'intégration, et le calcul différentiel.

Aujourd'hui, c'est de ces deux derniers que je vais parler à mon chat.

Ne t'inquiète pas Albert, si la vidéo du jour va nécessiter ta pleine attention,

elle n'en demeure pas moins à la portée de tous les félins.

<3 Sous-titres réalisés avec amour par Robert Vanden Eynde et Mathéo, merci à eux <3

Les fonctions mathématiques, comme le carré de x ou le logarithme népérien de x,

sont un peu comme les Pokémon.

Il y en a beaucoup, certaines sont plus communes que d'autres, et on peut les faire évoluer.

Par exemple, l'évolution ou intégrale du carré de x est le cube de x divisé par 3 et on note les choses comme à l'écran. Le cube de x divisé par 3 peut à son tour être intégré, le résultat est alors x exposant 4 divisé par 12,

une autre fonction que l'on peut encore intégrer si on le désire.

Tout comme le Pokémon Evoli, certaines fonctions ont le choix entre plusieurs évolutions.

Prenons ainsi la nouvelle fonction affichée à l'écran.

La particularité de cette fonction est qu'elle possède trois arguments : non seulement x, mais aussi y et z,

les lettres utilisées étant arbitraires, j'aurais très bien pu écrire la même fonction

avec comme arguments u, v et w à la place de x, y et z.

Ce qui est important de comprendre, c'est qu'on intègre toujours par rapport à un argument précis.

Notre nouvelle fonction en comportant trois, il y a trois évolutions possibles qui sont les suivantes.

De façon générale, Albert, si tu as besoin d'intégrer une fonction,

tu devras consulter des tables d'intégrales, présentes dans tout bon livre de maths.

Via ces tables, on peut ainsi apprendre que l'évolution ou intégrale de x exposant a donne toujours une fraction.

Le numérateur est x exposant a + 1 et le dénominateur est juste a + 1.

Ceci fonctionne avec n'importe quelle valeur de a, à l'exception de -1.

Dans ce cas de figure,

l'intégrale de x exposant a vaut le logarithme népérien de x, ce qui est noté log(x) par les statisticiens.

D'autres résultats classiques sont par exemple que l'intégrale du cosinus de x

vaut le sinus de x, ou que si la fonction f(x) est simplement une valeur b multipliant x,

l'intégrale de cette fonction est b fois l'intégrale de x, ce qui fait b fois la moitié du carré de x.

Consulter des tables d'intégrales est toutefois indigne d'un petit chat vivant au 21ème siècle.

Pour intégrer une fonction, le plus efficace aujourd'hui est de faire appel à des calculateurs en ligne.

Mon préféré, c'est SymPy Gamma ; mais il m'arrive aussi d'utiliser Wolfram Alpha.

Par exemple, pour faire évoluer x exposant 4 divisé par 12 dans Wolfram Alpha,

il faut y entrer le texte suivant ; l'accent circonflexe permettant de mettre le chiffre 4 en exposant de x.

Le résultat de cette intégrale est, selon Wolfram Alpha, x exposant 5 divisé par 60.

Dans SymPy Gamma, un projet open source, il faut noter les choses légèrement différemment, comme à l'écran.

Le résultat est toutefois bien sûr le même que dans Wolfram Alpha.

Intégrer des fonctions mathématiques, cela ne représente toutefois que la moitié de l'histoire.

Car s'il est possible de faire évoluer la plupart d'entre elles,

il est aussi possible d'aller dans le sens inverse et de faire régresser ces fonctions.

Cela s'appelle *le calcul différentiel*.

Si je désire faire régresser la fonction x exposant 5 divisé par 60

par rapport à x, je dois entrer dans SymPy Gamma le texte suivant.

On récupère alors bien la fonction originale, avant son évolution par rapport à x.

Et de la même manière que l'on peut faire évoluer certaines fonctions dans plusieurs directions,

on peut faire régresser ces dernières selon plusieurs directions aussi.

Voici les résultats pour notre fonction à trois arguments.

Remarque au passage Albert comment les choses sont notées, les symboles étranges à l'écran étant des d incurvés.

Il est également possible de dériver la fonction plusieurs fois d'affilée,

et pas forcément par rapport au même argument.

Ainsi, la dérivée par rapport à z et ensuite par rapport à x donne le résultat suivant.

De nombreuses fonctions ne peuvent toutefois pas régresser indéfiniment.

Si je parcours de haut en bas les arbres évolutifs des Pokémon Salamèche, Evoli et Bulbizarre,

on constate qu'il existe une racine commune, représentée par un œuf,

en dessous de laquelle on ne peut pas descendre.

Le même phénomène existe pour de nombreuses fonctions mathématiques.

Si on les dérive suffisamment de fois, elles finissent par se réduire à la valeur 0.

Voici par exemple le résultat si on dérive trois fois d'affilée la fonction t exposant deux

par rapport à son argument t.

La dérivée de 0 étant encore 0, il n'est pas possible d'aller plus loin que 0.

Pour notre fonction aux trois arguments x y et z, la réduction à zéro est facile à obtenir en dérivant deux fois par rapport à son argument x.

Il existe toutefois beaucoup de fonctions qui ne peuvent être réduites à l'état d'œuf.

Pour ne donner qu'un exemple, prenons la fonction sinus de x.

Si on dérive successivement cette fonction, un cycle sans fin se crée

et on constate qu'il n'est pas possible de régresser à l'état d'œuf.

À ce stade, Albert, tu te demandes sans doute à quoi l'intégration et le calcul différentiel peuvent bien servir.

L'intégration, pour faire court, c'est le principal outil du statisticien pour calculer des probabilités.

Nous en reparlerons toutefois dans le futur, le sujet méritant sa propre vidéo.

De son côté, le calcul différentiel est l'un des outils mathématiques

les plus puissants que je connaisse,

capable de changer le monde.

Par jour, plus d'un demi milliard de canettes à base d'aluminium sont consommées,

ce qui signifie que des milliers de tonnes de ce métal sont quotidiennement nécessaires pour nous abreuver.

La forme en cylindre des canettes est une évidence ; l'objet est ainsi agréable à tenir en main

en plus de pouvoir être facilement posé sur une surface plane.

Mais les dimensions que le cylindre doit avoir afin de minimiser la quantité d'aluminium

nécessaire à sa fabrication sont beaucoup moins évidentes.

Voici, Albert, trois canettes ayant toutes un volume identique de 250 millilitres

et des hauteurs différentes.

Si le volume de ces canettes est le même, la surface d'aluminium nécessaire à leur fabrication n'est pas la même.

Facile à trouver sur Internet, la fonction permettant de calculer la surface d'un cylindre

selon sa hauteur et son volume est celle-ci.

Via cette fonction, on trouve les surfaces de métal suivantes

et on constate que la première canette, plus élancée, nécessite davantage de métal

pour sa fabrication que les deux autres.

Aucune de ces canettes n'est toutefois la canette de 250 millilitres idéale.

La canette idéale, c'est celle dont la hauteur h donne la surface de métal

la plus petite possible.

En langage de mathématicien, on dira qu'il faut minimiser la fonction

permettant de calculer la surface de métal selon son argument h.

Il existe de nombreuses façons de minimiser une fonction par rapport à un

ou plusieurs de ses arguments ; mais la plus commune est celle que je vais maintenant appliquer et qui repose de façon critique sur le calcul différentiel.

Je dérive d'abord la fonction selon h avec l'aide de SymPy Gamma ;

et je cherche ensuite la valeur de h telle que la fonction dérivée devienne 0.

La réponse est la racine cubique suivante, obtenue en isolant h,

et pour un volume de 250 millilitres, on trouve une hauteur de 6,8 cm.

Avec cette hauteur, la surface de la canette sera de 220 centimètres carrés.

Le calcul différentiel nous garantit qu'il n'existe aucune autre canette

de 250 millilitres avec une surface plus petite encore.

Ceci dit, Albert, tu as sans doute remarqué que les canettes de 250 millilitres

que je ramène du supermarché sont presque deux fois plus hautes que cette hauteur idéale.

Ces canettes sont plus chères à fabriquer mais néanmoins produites à grande échelle

car le consommateur apprécie leur forme allongée et semble prêt

à payer le surcoût de fabrication.

Ce surcoût de fabrication, on peut d'ailleurs facilement le calculer.

Il suffit de comparer la surface de métal que le fabricant a utilisé

avec la surface minimale nécessaire.

Voici les résultats sur base de quelques produits que j'avais dans mon armoire au moment de faire cette vidéo, depuis la canette de RedBull jusqu'à la crème de tomate de marque Knorr.

Je ne voudrais toutefois pas que ce tableau paraisse trop mystérieux à mon chat.

Nous allons donc vérifier ensemble la ligne correspondant à la crème de tomate.

Comme indiqué, la conserve fait 515 millilitres pour une hauteur de 13,2 cm.

La surface fabricant est calculée via la formule à l'écran ; ce qui fait bien 370 cm².

La hauteur idéale pour cette conserve est quant à elle calculée via la racine cubique suivante,

ce qui donne 8,7 centimètres.

La surface de métal liée est 356 cm².

Pour finir, la différence entre les deux surfaces est de 14 cm, soit un surcoût de 3,9%.

Vous avez probablement cher internaute quelques conserves dans vos armoires aussi.

Avez-vous payé un surcoût de fabrication ?

Calculez ce dernier, partagez vos résultats avec Albert dans la section commentaires de cette vidéo,

et n'oubliez pas que la racine cubique d'un nombre, c'est simplement ce nombre exposant 1/3.

Comme la plupart de nos vidéos, cette nouvelle vidéo a nécessité une quantité colossale de travail de la part de Laura, Gwenaël et moi-même.

Si vous aimez ce que nous faisons, et souhaitez nous encourager à poursuivre nos activités,

considérez rejoindre les nombreux fans qui nous soutiennent déjà

sur tipeee.com/amisdalbert.

Merci à tous pour votre attention, et à très bientôt pour de nouvelles aventures avec Albert.

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Pour mon chat Albert, la statistique c'est avant tout une histoire de mathématiques. for|my|cat|Albert|the|statistics|it's|before|all|a|story|of|mathematics Für meinen Kater Albert ist Statistik vor allem eine Geschichte der Mathematik. For my cat Albert, statistics is above all a story of mathematics.

Aujourd'hui, c'est de ces deux derniers que je vais parler à mon chat. today|it's|of|these|two|last|that|I|I am going to|to talk|to|my|cat Heute werde ich über diese letzten beiden mit meiner Katze sprechen. Hoy voy a hablar con mi gato de los dos últimos. Today, it is about these last two that I will talk to my cat.

elle n'en demeure pas moins à la portée de tous les félins. she|not in it|she remains|not|less|at|the|reach|of|all|the|felines it is still within the reach of all felines.

<3 Sous-titres réalisés avec amour par Robert Vanden Eynde et Mathéo, merci à eux <3 ||made|with|love|by|Robert|Vanden|Eynde|and|Mathéo|thank you|to|them <3 Subtitles lovingly created by Robert Vanden Eynde and Mathéo, thanks to them <3

Les fonctions mathématiques, comme le carré de x ou le logarithme népérien de x, the|functions|mathematical|like|the|square|of|x|or|the|logarithm|natural|of|x Mathematische Funktionen wie das Quadrat von x oder der natürliche Logarithmus von x, Mathematical functions, like the square of x or the natural logarithm of x,

Par exemple, l'évolution ou intégrale du carré de x est le cube de x divisé par 3 et on note les choses comme à l'écran. for|example|the evolution|or|integral|of|square|of|x|is|the|cube|of|x|divided|by|and|we|we note|the|things|as|on|the screen Zum Beispiel ist die Entwicklung oder das Integral des Quadrats von x die Kubikzahl von x geteilt durch 3, und wir notieren die Dinge wie auf dem Bildschirm. For example, the integral of the square of x is the cube of x divided by 3 and we write things as on the screen. Le cube de x divisé par 3 peut à son tour être intégré, le résultat est alors x exposant 4 divisé par 12, the|cube|of|x|divided|by|it can|to|its|turn|to be|integrated|the|result|is|then|x|exponent|divided|by Die Kubik von x dividiert durch 3 kann wiederum integriert werden, das Ergebnis ist dann x Exponent 4 dividiert durch 12, The cube of x divided by 3 can in turn be integrated, the result is then x to the power of 4 divided by 12,

une autre fonction que l'on peut encore intégrer si on le désire. a|other|function|that|we|can|still|to integrate|if|we|it|we desire eine weitere Funktion, die auf Wunsch noch integriert werden kann. another function that can still be integrated if desired.

Prenons ainsi la nouvelle fonction affichée à l'écran. |||||angezeigt|| let's take|thus|the|new|function|displayed|at|the screen Let's take the new function displayed on the screen.

avec comme arguments u, v et w à la place de x, y et z. with|as|arguments|u|v|and|w|at|the|place|of|x|y|and|z with arguments u, v, and w instead of x, y, and z.

Ce qui est important de comprendre, c'est qu'on intègre toujours par rapport à un argument précis. that|who|is|important|to|understand|it's|that we|we integrate|always|by|relation|to|a|argument|precise What is important to understand is that we always integrate with respect to a specific argument.

Le numérateur est x exposant a + 1 et le dénominateur est juste a + 1. the|numerator|is|x|exponent|a|and|the|denominator|is|just|a The numerator is x raised to the power of a + 1 and the denominator is just a + 1.

Dans ce cas de figure, in|this|case|of|figure In this case,

l'intégrale de x exposant a vaut le logarithme népérien de x, ce qui est noté log(x) par les statisticiens. the integral|of|x|exponent|a|is equal to|the|logarithm|natural|of|x|this|which|is|noted|||by|the|statisticians the integral of x raised to the power of a equals the natural logarithm of x, which is denoted log(x) by statisticians.

vaut le sinus de x, ou que si la fonction f(x) est simplement une valeur b multipliant x, is worth|the|sine|of|x|or|that|if|the|function||x||||||| is worth the sine of x, or that if the function f(x) is simply a value b multiplying x,

l'intégrale de cette fonction est b fois l'intégrale de x, ce qui fait b fois la moitié du carré de x. the integral|of|this|function|is|b|times|the integral|of|x|this|which|it makes|b|times|the|half|of|square|of|x the integral of this function is b times the integral of x, which is b times half the square of x.

Consulter des tables d'intégrales est toutefois indigne d'un petit chat vivant au 21ème siècle. ||||||unwürdig||||||| to consult|some|tables|of integrals|is|however|unworthy|of a|small|cat|living|in|21st|century However, consulting integral tables is unworthy of a little cat living in the 21st century.

Cela s'appelle *le calcul différentiel*. it|it is called|the|calculation|differential This is called *differential calculus*.

Ainsi, la dérivée par rapport à z et ensuite par rapport à x donne le résultat suivant. thus|the|derivative|by|relation|to|z|and|then|by|relation|to|x|gives|the|result|following Thus, the derivative with respect to z and then with respect to x gives the following result.

on constate qu'il existe une racine commune, représentée par un œuf, |stellt fest||||||||| we|we observe|that there|there is|a|root|common|represented|by|an| we can see that there is a common root, represented by an egg,

en dessous de laquelle on ne peut pas descendre. in|below|of|which|we|not|can|not|to go down below which we cannot go down.

Pour notre fonction aux trois arguments x y et z, la réduction à zéro est facile à obtenir en dérivant deux fois par rapport à son argument x. for|our|function|with|three|arguments|x|y|and|z|the|reduction|to|zero|is|easy|to|obtain|by|deriving|two|times|by|with respect to|to|its|argument|x For our function with three arguments x, y, and z, reducing to zero is easy to achieve by differentiating twice with respect to its argument x.

À ce stade, Albert, tu te demandes sans doute à quoi l'intégration et le calcul différentiel peuvent bien servir. ||Stadium|||||||||||||||| at|this|stage|Albert|you|you|you ask|without|doubt|at|what|integration|and|the|calculation|differential|they can|well|to serve At this point, Albert, you are probably wondering what integration and differential calculus are really good for.

capable de changer le monde. capable|of|to change|the|world capable of changing the world.

Par jour, plus d'un demi milliard de canettes à base d'aluminium sont consommées, |||||||Dosen||||| per|day|more|than a|half|billion|of|cans|made of|base|of aluminum|they are|consumed Per day, more than half a billion aluminum cans are consumed,

ce qui signifie que des milliers de tonnes de ce métal sont quotidiennement nécessaires pour nous abreuver. ||||||||||||||||tränken that|which|it means|that|some|thousands|of|tonnes|of|this|metal|they are|daily|necessary|to|us|to water which means that thousands of tons of this metal are needed daily to quench our thirst.

La forme en cylindre des canettes est une évidence ; l'objet est ainsi agréable à tenir en main ||||||||Evidenz|||||||| the|shape|in|cylinder|of|cans|is|a|evidence|the object|is|thus|pleasant|to|to hold|in|hand The cylindrical shape of cans is obvious; the object is thus pleasant to hold in hand.

et des hauteurs différentes. and|some|heights|different and different heights.

Facile à trouver sur Internet, la fonction permettant de calculer la surface d'un cylindre easy|to|to find|on|Internet|the|function|allowing|to|to calculate|the|surface|of a|cylinder Easily found on the Internet, the function to calculate the surface area of a cylinder

selon sa hauteur et son volume est celle-ci. according to|its|height|and|its|volume|is|| based on its height and volume is as follows.

Via cette fonction, on trouve les surfaces de métal suivantes ||||||Flächen||| via|this|function|we|we find|the|surfaces|of|metal|following Through this function, we find the following metal surfaces.

et on constate que la première canette, plus élancée, nécessite davantage de métal ||||||||schlanker|||| and|we|we notice|that|the|first|can|more|elongated|it requires|more|of|metal And we note that the first can, being taller, requires more metal.

pour sa fabrication que les deux autres. for|its|manufacturing|than|the|two|others for its production than the other two.

La canette idéale, c'est celle dont la hauteur h donne la surface de métal the|can|ideal|it's|that one|whose|the|height|h|gives|the|surface|of|metal The ideal can is the one whose height h gives the metal surface.

la plus petite possible. the|more|small|possible the smallest possible.

ou plusieurs de ses arguments ; mais la plus commune est celle que je vais maintenant appliquer or|several|of|his|arguments|but|the|more|common|is|that|that|I|I will|now|apply or several of its arguments; but the most common is the one I will now apply. et qui repose de façon critique sur le calcul différentiel. and|who|it rests|in|way|critical|on|the|calculation|differential and which critically relies on differential calculus.

et pour un volume de 250 millilitres, on trouve une hauteur de 6,8 cm. and|for|a|volume|of|millilitres|we|we find|a|height|of|cm and for a volume of 250 milliliters, we find a height of 6.8 cm.

Avec cette hauteur, la surface de la canette sera de 220 centimètres carrés. with|this|height|the|surface|of|the|can|will be|of|centimeters|squared With this height, the surface area of the can will be 220 square centimeters.

avec la surface minimale nécessaire. with|the|surface|minimal|necessary with the minimum necessary surface.

Comme indiqué, la conserve fait 515 millilitres pour une hauteur de 13,2 cm. as|indicated|the|can|it is|millilitres|for|a|height|of|cm As indicated, the can has a volume of 515 milliliters with a height of 13.2 cm.

La hauteur idéale pour cette conserve est quant à elle calculée via la racine cubique suivante, the|height|ideal|for|this|can|is|as|to|it|calculated|via|the|root|cubic|following The ideal height for this can is calculated using the following cube root,

ce qui donne 8,7 centimètres. that|which|it gives|centimeters which gives 8.7 centimeters.

Pour finir, la différence entre les deux surfaces est de 14 cm, soit un surcoût de 3,9%. to|finish|the|difference|between|the|two|surfaces|is|of|cm|that is|a|surcharge|of Finally, the difference between the two surfaces is 14 cm, which represents an additional cost of 3.9%.

Vous avez probablement cher internaute quelques conserves dans vos armoires aussi. you|you have|probably|dear||some|canned goods|in|your|cabinets| You have probably stored some canned goods in your cupboards as well, dear internet user.

Avez-vous payé un surcoût de fabrication ? ||paid|a|surcharge|of|manufacturing Did you pay an additional manufacturing cost?

Comme la plupart de nos vidéos, cette nouvelle vidéo a nécessité une quantité colossale de travail de la part de Laura, Gwenaël et moi-même. as|the|most|of|our|videos|this|new|video|has|required|a|quantity|colossal|of|work|from|the|part|of|Laura|Gwenaël|and|| Like most of our videos, this new video required a colossal amount of work from Laura, Gwenaël, and myself.

sur tipeee.com/amisdalbert. on|||amisdalbert on tipeee.com/amisdalbert.

Merci à tous pour votre attention, et à très bientôt pour de nouvelles aventures avec Albert. thank you|to|all|for|your|attention|and|to|very|soon|for|of|new|adventures|with|Albert Thank you all for your attention, and see you very soon for new adventures with Albert.

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