×

우리는 LingQ를 개선하기 위해서 쿠키를 사용합니다. 사이트를 방문함으로써 당신은 동의합니다 쿠키 정책.


image

Μαθαίνουμε στο Σπίτι, Μαθηματικά - Δεκαδικοί αριθμοί - Γ' Δημοτικού Επ. 29

Μαθηματικά - Δεκαδικοί αριθμοί - Γ' Δημοτικού Επ. 29

Γεια σας. Είμαι η Δήμητρα Τσάλα...

...και θα μιλήσουμε για τους δεκαδικούς αριθμούς.

Τι είναι αυτοί οι δεκαδικοί αριθμοί;

Γιατί τόσα πολλά καινούργια πράγματα μαθαίνουμε;

Καλά, χρησιμοποιούμε τους ακεραίους.

Άντε, μάθαμε και τους κλασματικούς αριθμούς.

Τώρα τι τους θέλουμε τους δεκαδικούς; Έχετε δίκιο.

Η αλήθεια είναι ότι οι κλασματικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται...

...εδώ και πάρα πάρα πολλά χρόνια...

...ήδη από τη δεύτερη χιλιετηρίδα προ Χριστού από τους Αιγυπτίους. Μχμ.

Ενώ οι δεκαδικοί αριθμοί είναι πιο καινούργιοι.

Άρχισε να τους χρησιμοποιεί και να τους γράφει...

...σαν κάτι καινούργιο δηλαδή, ένας Φλαμανδός μαθηματικός...

...τον 16ο αιώνα μ.Χ.

Εντάξει, το ξέρω, δεν είναι και πολύ κοντά στην εποχή μας.

Κι αυτό μακριά είναι, αλλά δεν συγκρίνεται με το άλλο.

Γιατί, λοιπόν, παρουσιάστηκε αυτή η ανάγκη να έχουμε τους δεκαδικούς αριθμούς;

Να χρησιμοποιήσουμε τους δεκαδικούς αριθμούς; Για κοιτάξτε ένα παράδειγμα.

Η μαμά μας μας βάζει θερμόμετρο. Και ο μπαμπάς καμιά φορά.

Και βλέπουμε αυτό.

Οπ. Δεν είναι ακριβώς 37. Έχει και κάτι ακόμα.

Ή όταν πηγαίνουμε στο βενζινάδικο να βάλουμε βενζίνη με το αυτοκίνητο.

Βλέπουμε στις τιμές αυτό.

Σπάνια τόσο χαμηλή τιμή, αλλά τη βλέπουμε.

Δεν είναι ακριβώς ολόκληρο, έχει και κάτι ακόμα.

Ή όταν μας μετράει ο παιδίατρος το ύψος μας.

Δεν είναι ακριβώς το ολόκληρο, έχει και κάτι ακόμα.

Αυτή, λοιπόν, η ανάγκη παρουσιάστηκε.

Όταν θέλαμε να εκφράσουμε μια ποσότητα...

...η οποία δεν ήταν ακριβώς ολόκληρη η ποσότητα, είχε και κάτι άλλα ψιλά ακόμα.

Αυτή λοιπόν την ακρίβεια που θέλαμε να την εκφράσουμε δεν μπορούσαμε να την εκφράσουμε με τους ακεραίους.

Και με τα κλάσματα είχαμε μεγάλη δυσκολία.

Γι' αυτό, λοιπόν, χρησιμοποιούμε τους δεκαδικούς αριθμούς.

Για να δούμε τώρα, λοιπόν, αυτούς τους δεκαδικούς αριθμούς.

Πώς τους καταλαβαίνουμε ότι είναι δεκαδικοί αριθμοί;

Πολύ εύκολο.

Αν δούμε κάτι τέτοιο και δούμε και αυτό το σημαδάκι εδώ...

...που στη γλώσσα ξέρουμε ότι λέγεται κόμμα...

...λέμε "Οπ! Αυτός είναι δεκαδικός αριθμός". Το ίδιο κι αυτός, και αυτός ο αριθμός.

Τι είναι λοιπόν, όταν βλέπουμε έναν αριθμό...

...τι είναι εκείνο που μας κάνει να καταλάβουμε ότι είναι δεκαδικός αριθμός;

Αυτό εδώ το μικρούλι μικρούλι σημαδάκι.

Που λέγεται... Θα σας πω σε λίγο πώς λέγεται.

Αυτοί, λοιπόν, οι δεκαδικοί αριθμοί έχουνε δύο κομμάτια.

Το βλέπετε κι εσείς. Ένα κομμάτι μπροστά από την... απ' το σημαδάκι...

...και ένα κομμάτι μετά το σημαδάκι.

Για να φτιάξουμε, λοιπόν, έναν καινούργιο δεκαδικό αριθμό.

Παράδειγμα, ας πάρουμε αυτόν.

Αυτός, λοιπόν, ο δεκαδικός αριθμός...

Τον αναγνωρίζω ότι είναι δεκαδικός γιατί έχει αυτό εδώ.

Αποτελείται από δύο κομμάτια. Το πρώτο κομμάτι, αυτό εδώ...

...που είναι το ακέραιο μέρος.

Είναι, δηλαδή, τα γνωστά μας ολόκληρα.

Ε... ακέραιο μέρος είναι τα ολόκληρα. Πολύ ωραία.

Το άλλο μέρος πώς να λέγεται, άραγε;

Δεκαδικός αριθμός...

Σωστά. Δεκαδικό μέρος.

Εδώ δεν έχουμε ολόκληρα. Εδώ έχουμε πολύ, πολύ, πολύ μικρά...

...τα οπόια προσπαθούνε να γίνουν ολόκληρα, αλλά δεν τα έχουν καταφέρει...

...γιατί αν είχαν καταφέρει να γίνουν ολόκληρα...

...θα είχε μεγαλώσει αυτό και από 273 θα έλεγε 274.

Και αυτή εδώ, αυτό το σημαδάκι...

...που στα μαθηματικά δεν το λέμε κόμμα, όπως στη γλώσσα...

...αλλά το λέμε υποδιαστολή.

Είναι αυτό που χωρίζει τα δύο κομμάτια, το ακέραιο μέρος από το δεκαδικό μέρος.

Δεν νομίζω ότι είναι δύσκολο, το καταλαβαίνουμε. Πολύ ωραία.

Πώς δημιουργείται, τώρα, ένας δεκαδικός αριθμός.

Ας πάρουμε για παράδειγμα... Να καθαρίσουμε λίγο.

Ας πάρουμε για παράδειγμα τον δεκαδικό αριθμό...

Πώς δημιουργείται αυτός ο δεκαδικός αριθμός;

Με την επανάληψη της δεκαδικής μονάδας.

Στους ακεραίους θα λέγαμε "της μονάδας" σκέτο.

Εδώ πέρα μιλάμε για τη δεκαδική μονάδα, γιατί έχουμε δεκαδικό αριθμό.

Άρα, λοιπόν, έχουμε 0,1...

Ουψ! Είπα "μηδέν κόμμα ένα".

Το λέω απλά γιατί ακόμα δεν σας έχω πει πώς το λέμε σωστά.

Και 0,1 και 0,1 και 0,1.

Μία, δύο, τρεις, τέσσερις φορές πήραμε το 0,1...

...για να φτιάξουμε το 0,4.

Είναι ίσο, λοιπόν, αυτό, με 0,4.

Με παρόμοιο τρόπο φτιάχνουμε τους δεκαδικούς αριθμούς...

...οποιοσδήποτε κι αν είναι αυτός.

Ξέρουμε από τους ακεραίους ότι κάθε αριθμός...

...ανάλογα με τη θέση στην οποία βρίσκεται το ψηφίο του...

...έχει και διαφορετική αξία.

Είναι πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε την αξία των αριθμών...

...γιατί αυτό, άλλωστε, τους διαφοροποιεί και μεταξύ τους.

Η θέση στην οποία βρίσκονται.

Βρίσκονται λοιπόν, ανάλογα με τη θέση τους...

...έχουν διαφορετική αξία. Πολύ ωραία.

Αυτές οι ομάδες τάξεων, όπως ονομάζονται...

...δεν ισχύουν μόνο για τους ακεραίους, ισχύουν και για τους δεκαδικούς αριθμούς.

Για να θυμηθούμε λίγο αυτές τις ομάδες τάξεων στους ακεραίους.

Ας πάρουμε έναν ακέραιο.

Πολύ ωραία.

Θυμόμαστε, ο τελευταίος είναι μονάδες...

...ο προηγούμενος είναι δεκάδες και ο πρώτος είναι εκατοντάδες.

Μπορούμε να προχωρήσουμε και να βάλουμε κι άλλους, να έχουμε χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδων...

...αλλά δεν χρειάζεται τώρα, χρειάζεται μόνο να το κατανοήσουμε.

Εδώ απλά το θυμίζουμε.

Θυμάστε πώς δημιουργείται ο κάθε ένας αριθμός εδώ...

...ανάλογα τη θέση στην οποία βρίσκεται;

Για να το κάνουμε.

Δύο φορές το ένα, γιατί είναι μονάδες.

Πέντε φορές το δέκα, γιατί είναι δεκάδες.

Έξι φορές το εκατό, γιατί έχουμε εκατοντάδες.

Πολύ, πολύ ωραία.

Κάτι αντίστοιχο γίνεται και με το δεκαδικό μέρος...

...του δεκαδικού αριθμού.

Για δείτε αυτό. Κάτι αντίστοιχο γίνεται κι εκεί.

Να το φτιάξω, λοιπόν, τώρα εγώ αυτό, να του προσθέσω ένα κομμάτι...

...και να τον κάνω δεκαδικό.

Πολύ ωραία.

Πιστεύετε ότι εδώ έχουμε τις ίδιες ονομασίες...

...ανάλογα τη θέση στην οποία βρίσκεται κάθε αριθμός;

Όχι, βέβαια. Σαφώς δεν έχουμε τις ίδιες.

Για να δούμε, λοιπόν, πώς λέγεται η πρώτη θέση μετά από αυτό το σημαδάκι...

...που το είπαμε πώς;

Πολύ σωστά, υποδιαστολή.

Η πρώτη, λοιπόν, θέση, πώς λέγεται;

Λέγεται "δέκατα". Επειδή αρχίζει κι αυτό από "δ", όπως οι δεκάδες...

...για να μην τα μπερδεύουμε, το γράφουμε με μικρό.

Δέκατα.

Να το γράψω όλο, γιατί είναι καινούργιο.

Όχι τα καλύτερα γράμματα, βέβαια.

Αυτός ο αριθμός, ο 3, βρίσκεται στη δεύτερη θέση μετά την υποδιαστολή.

Εδώ έχουμε τα εκατοστά.

Έψιλον, για να μην το μπερδέψουμε με τις εκατοντάδες, με μικρό.

Και στην τρίτη θέση έχουμε, χμ... Τα χιλιοστά.

Με μικρό "χ". Αν είχαμε μπροστά εδώ κι άλλον αριθμό, θα ήταν χιλιάδες...

...που θα είχαν το μεγάλο "χ", το κεφαλαίο.

Γι' αυτό, λοιπόν, συνεχίζουμε με μικρά γράμματα.

Για να μην τα μπερδεύουμε.

Πολύ ωραία.

Άρα, λοιπόν, στην πρώτη θέση μετά την υποδιαστολή έχουμε τα δέκατα...

...στη δεύτερη τα εκατοστά και στην τρίτη τα χιλιοστά.

Θέλω να τη θυμάστε αυτή τη σειρά, είναι πάρα πολύ σημαντική...

...για να μπορέσουμε να δουλέψουμε και παρακάτω.

Κι έτσι κι αλλιώς, για να μπορούμε να δουλεύουμε με τους δεκαδικούς αριθμούς.

Πώς θα διαβάσουμε, τώρα, έναν δεκαδικό αριθμό; Για να δούμε.

Έχουμε φτιάξει αυτόν τον δεκαδικό αριθμό, 652 υποδιαστολή 132.

Έτσι θα τον διαβάζουμε;

Ή υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος που είναι πιο όμορφος;

Ναι, υπάρχει ένας άλλος τρόπος.

Διαβάζουμε το πρώτο κομμάτι όπως είναι...

...γιατί είναι το ακέραιο κομμάτι, το ολόκληρο, 652...

...την υποδιαστολή δεν τη διαβάζουμε "υποδιαστολή", τη διαβάζουμε "και"...

...και το υπόλοιπο κομμάτι, που είναι το δεκαδικό μέρος, κι αυτό το διαβάζουμε ολόκληρο.

Προσέξτε. Εκατόν τριάντα δύο, δεν βάζω, όμως, τελεία.

Πρέπει να πω και κάτι ακόμα.

Σε ποια θέση τελειώνει το δεκαδικό μέρος; Στην πρώτη; Όχι.

Στη δεύτερη; Μ-μ.

Στην τρίτη. Αα, στην τρίτη θέση τι είπαμε ότι έχουμε; Τα χιλιοστά.

Άρα, λοιπόν, 132 χιλιοστά.

Το ξαναλέμε όλο μαζί.

Εξακόσια πενήντα δύο και εκατόν τριάντα δύο χιλιοστά.

Για να σβήσω εγώ τα χιλιοστά.

Πώς θα διαβάζαμε τώρα τον αριθμό μας;

Για κάντε μια προσπάθεια.

Εξακόσια πενήντα δύο και... δεκατρία... εκατοστά!

Πολύ ωραία.

Και αν σβήσω και το 3...

...πώς θα διαβαστεί τώρα ο καινούργιος δεκαδικός;

Εξακόσια πενήντα δύο και... ένα... δέκατο.

Πάρα πολύ ωραία.

Είναι πολύ σημαντικό, λοιπόν, να θυμόμαστε τη σειρά...

...μετά την υποδιαστολή.

Πρώτα είναι τα δέκατα, μετά τα εκατοστά...

...και τελευταία, στην τρίτη θέση, είναι τα χιλιοστά.

Να το θυμάστε, είναι πάρα πολύ σημαντικό.

Έτσι, λοιπόν, τα διαβάζουμε. Πολύ ωραία.

Πώς τα γράφουμε, τώρα.

Φυσικά, για να τα γράψουμε, κάτι ακούμε, κάποιος μας τα λέει.

Μας τη δίνει την πληροφορία.

Αν λοιπόν μας τη δώσει σωστά την πληροφορία, σύμφωνα με αυτά που είπαμε...

...θα το γράψουμε κι εμείς σωστά.

Για να δούμε μερικές τέτοιες πληροφορίες.

Θυμόμαστε. Μπροστά έχουμε τον ακέραιο.

Το "και" είναι η υποδιαστολή μας.

Το επόμενο είναι το δεκαδικό μέρος, το οποίο μου λέει...

"Δέκατα", άρα σε ποια θέση πρέπει να τελειώνει το δεκαδικό μέρος;

Θυμόμαστε; Μετά την υποδιαστολή, δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά.

Στην πρώτη θέση.

Φτιάχνουμε, λοιπόν, τον αριθμό μας.

Δύο και τρία δέκατα.

Έτοιμος ο δεκαδικός αριθμός.

Άλλο παράδειγμα.

Είκοσι ένα και εβδομήντα τρία εκατοστά.

Είκοσι ένα, ο ακέραιος.

"Και", η υποδιαστολή μας.

Εβδομήντα τρία εκατοστά.

Άρα, λοιπόν, πόσες θέσεις έχουμε καλύψει μετά την υποδιαστολή;

Δύο θέσεις.

Εβδομήντα τρία.

Έτοιμο.

Για να βάλω τώρα ένα λίγο πιο δύσκολο, ένα λίγο πιο πονηρό.

Έξι και... δύο... χιλιοστά.

Δεν αγχωνόμαστε. Σιγά σιγά, το παίρνουμε με τη σειρά του.

Πρώτα γράφουμε τον ακέραιο. Έξι.

"Και". Υποδιαστολή.

Δύο χιλιοστά. Μμ...

Τα χιλιοστά σε ποια θέση είπαμε ότι βρίσκονται;

Δέκατα, πρώτη θέση. Εκατοστά, δεύτερη θέση.

Χιλιοστά, τρίτη θέση.

Άρα, λοιπόν, το δύο πρέπει να βρίσκεται στην τρίτη θέση.

Στην τρίτη θέση; Και τι θα κάνω εγώ με τις άλλες δύο μπροστά που έχει;

Τίποτα. Θα βάλω απλά ένα μηδενικό.

Έφτιαξα, λοιπόν, αυτό που μου είπανε.

Έξι και δύο χιλιοστά.

Δεν ήταν, τελικά, πολύ δύσκολο.

Ωραία. Μάθαμε να τους λέμε, μάθαμε να τους γράφουμε...

Και εδώ μπορούμε να πούμε και κάτι άλλο.

Σ' έναν δεκαδικό αριθμό μπορώ, έχω το δικαίωμα...

...χωρίς να κάνω καμία ζημιά στον αριθμό...

...να προσθέσω στο τέλος του όσα μηδενικά εγώ θέλω.

Στο τέλος, όμως.

Στο δεύτερο κομμάτι, που είναι το δεκαδικό κομμάτι...

...και στο τέλος του.

Εδώ, παράδειγμα, όσα μηδενικά θέλω.

Δεν πειράζω καθόλου την αξία του αριθμού μ' αυτό τον τρόπο, καθόλου.

Θα μου πείτε, τώρα γιατί να το κάνω αυτό; Γιατί να καθίσω να βάζω μηδενικά στο τέλος;

Θα δείτε ότι θα σας είναι πάρα πολύ χρήσιμο αυτό...

...στην αρχή, τουλάχιστον, όταν κάνετε πράξεις κάθετα.

Ίσως όχι τόσο πολύ στην πρόσθεση, που κι εκεί μπορεί να χρειαστεί...

...όσο στην αφαίρεση. Οι κάθετες πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς...

...έχουν μια μικρή, στην αρχή, δυσκολία, όχι πολύ μεγάλη...

...και μπορεί να σας χρειαστεί να βάλετε στο τέλος ένα μηδενικό.

Θα ξέρετε ότι έχετε το δικαίωμα να το κάνετε, γιατί δεν χαλάει η αξία του αριθμού.

Επίσης, μια που μιλάμε για το μηδενικό στο τέλος.

Μπορεί να σκεφτεί κάποιος πώς μπορώ να φτιάξω έναν δεκαδικό...

...έχοντας έναν ακέραιο;

Πώς μπορώ να μετατρέψω, καλύτερα, έναν ακέραιο σε δεκαδικό;

Χωρίς να χαλάσω, όμως, την αξία του.

Νομίζω, αν έχω, παράδειγμα...

...αυτόν εδώ τον ακέραιο...

...δεν μπορώ να του βάλω στο τέλος μηδενικά, θα αλλάξει ο αριθμός.

Αν του βάλω ένα μηδενικό, θα γίνει ο 70. Άλλος αριθμός.

Αν του βάλω δύο μηδενικά, θα γίνει ο 700. Άλλος αριθμός.

Πώς θα τον μετατρέψω σε δεκαδικό; Τι είπαμε ότι έχει ο δεκαδικός;

Υποδιαστολή, πολύ ωραία.

Και πώς θα μπορούσα να του βάλω υποδιαστολή...

...και να τον πειράξω, αλλά χωρίς να του χαλάσω την αξία;

Μχμ, πολύ σωστά.

Βάζω υποδιαστολή εδώ και μετά όσα μηδενικά θέλω.

Φτάνει, και πολλά έβαλα.

Τώρα μετατράπηκε σε δεκαδικό αριθμό.

Και πάλι, όμως, διαβάζεται "εφτά".

Δεν θα διαβαστεί "εφτά και μηδέν"... Ας βάλω ένα λιγότερο.

"Μηδέν χιλιοστά". Όχι. Θα διαβαστεί πάλι "εφτά".

Πολύ ωραία.

Είπαμε στην αρχή...

...ότι έχουμε τους ακεραίους, έχουμε τα κλάσματα...

...και ξαφνικά, κάποια στιγμή, εμφανίστηκαν και οι δεκαδικοί αριθμοί. Ωραία.

Πώς περάσαμε από τα κλάσματα στους δεκαδικούς αριθμούς;

Για να δούμε, τι σύνδεση υπάρχει μεταξύ τους;

Ας θυμηθούμε λίγο στα κλάσματα τα δεκαδικά κλάσματα.

Δεκαδικά κλάσματα, δεκαδικοί αριθμοί.

Μμμ. Ήδη υποψιάζομαι ότι υπάρχει κάποια σύνδεση.

Με τη λέξη και μόνο.

Για να θυμηθούμε λίγο τα δεκαδικά κλάσματα.

Δεκαδικά είναι τα κλάσματα...

...που έχουνε για παρονομαστή το 10 ή το 100 ή το 1.000.

Γενικά, τη μονάδα και μετά όσα μηδενικά θέλουμε.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Αυτό είναι ένα δεκαδικό κλάσμα.

Αριθμητής δεν μας ενδιαφέρει ποιος είναι.

Παρονομαστής είναι το ένα και δίπλα έχει μηδενικό. Μόνο.

Δεν μπορούμε να βάλουμε κάποιο άλλο ψηφίο μετά το 1. Μόνο μηδενικό.

Αυτός, λοιπόν, τώρα... Αυτό το δεκαδικό κλάσμα...

...θέλουμε να το μετατρέψουμε σε δεκαδικό αριθμό.

Μμ... για να δούμε. Δεν είναι δύσκολο.

Κατεβάζω εγώ το 3, τον αριθμητή μου, δηλαδή...

...ολόκληρο, όσο μεγάλος κι αν ήταν, τον κατεβάζω κάτω.

Και αμέσως... Προσέξτε.

Κοιτάζω τον παρονομαστή.

Πόσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής; Ένα.

Ωραία.

Αυτό αμέσως μου λέει ότι ο δεκαδικός αριθμός που θα φτιάξω...

...πρέπει, μετά την υποδιαστολή, μετά την υποδιαστολή, όχι μπροστά...

...να έχει μόνο ένα ψηφίο.

Πώς θα το φτιάξω, λοιπόν, εγώ αυτό;

Πάω εδώ...

...γράφω ανάποδα, δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά...

...για να χωρίσω μόνο ένα ψηφίο.

Αυτό έχω, μόνο αυτό χωρίζω και του βάζω υποδιαστολή.

Μπροστά δεν υπάρχει κάτι άλλο, αναγκαστικά, λοιπόν, θα βάλω το 0.

Και έφτιαξα τον δεκαδικό αριθμό. Θα κάνουμε κι άλλο παράδειγμα.

Πριν πάμε στο επόμενο παράδειγμα, να κάνουμε το εξής.

Διαβάστε μου λίγο αυτό το δεκαδικό κλάσμα.

Τρία δέκατα.

Διαβάστε μου τώρα και τον δεκαδικό αριθμό.

Τρία δέκατα.

Γιατί καλύπτει το τελευταίο ψηφίο την πρώτη θέση μετά την υποδιαστολή.

Ακούγονται το ίδιο, είναι το ίδιο, κάνουμε μια χαρά τη δουλειά μας.

Πάμε σ' ένα δεύτερο παράδειγμα.

Έχουμε το δεκαδικό κλάσμα.

Είναι δεκαδικό γιατί έχει παρονομαστή το ένα και μηδενικά...

...και θέλω αυτό να το μετατρέψω, να το αλλάξω, να το κάνω δεκαδικό αριθμό.

Το γράφω ολόκληρο...

Μπερδεύτηκα και με τους μαρκαδόρους...

Λοιπόν, τον γράφω ολόκληρο και κοιτάζω αμέσως τον παρονομαστή μου.

Πόσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή; Τρία.

Τι μου λέει αυτό; Ότι πρέπει, στον δεκαδικό αριθμό που θα φτιάξω...

...μετά την υποδιαστολή να έχω τρία ψηφία.

Όχι λιγότερα, ούτε περισσότερα.

Άρα, λοιπόν, πάω εδώ, μετράω από δεξιά προς τα αριστερά τρία ψηφία...

...ένα, δύο...

Οπ! Τι κάνω εδώ, που δεν υπάρχει τίποτα;

Βάζω το μηδέν. Τρία, υποδιαστολή.

Και μπροστά, πάλι, που δεν υπάρχει τίποτα, βάζω πάλι το μηδέν.

Έφτιαξα, λοιπόν, τον δεκαδικό αριθμό που διαβάζεται...

..."εξήντα εφτά", γιατί δεν υπάρχει ακέραιος για να τον διαβάσω...

..."εξήντα εφτά χιλιοστά". Για να δω και το δεκαδικό μου κλάσμα.

Εξήντα εφτά χιλιοστά. Είμαστε μια χαρά.

Αυτή, λοιπόν, η σύνδεση υπάρχει ανάμεσά τους.

Πάρα πολύ ωραία.

Νομίζω δεν χρειάζεστε εδώ περισσότερα.

Μπορούμε να περάσουμε σε απλές πράξεις μεταξύ δεκαδικών αριθμών...

...όπως είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση.

Κατ' αρχήν, πριν ξεκινήσουμε να κάνουμε την πράξη...

...την ώρα που τοποθετούμε τους αριθμούς, τι πρέπει να προσέξουμε.

Ξέρετε στους ακεραίους, όταν βάζουμε τον έναν ακέραιο κάτω απ' τον άλλον...

...τον έναν ακέραιο κάτω απ' τον άλλον, ανάποδα...

...πρέπει να προσέχουμε οι μονάδες να είναι κάτω απ' τις μονάδες...

...οι δεκάδες κάτω απ' τις δεκάδες...

...οι εκατοντάδες κάτω απ' τις εκατοντάδες, και τα λοιπά.

Το ίδιο κάνουμε κι εδώ.

Οι μονάδες κάτω απ' τις μονάδες στο ακέραιο κομμάτι...

...οι δεκάδες κάτω απ' τις δεκάδες, και για το δεκαδικό κομμάτι...

...τα δέκατα, θυμίζω, κάτω απ' τα δέκατα...

...τα εκατοστά κάτω απ' τα εκατοστά.

Εδώ δεν έχουμε χιλιοστά, δεν μιλάμε γι' αυτά.

Και φυσικά η υποδιαστολή... κάτω από την υποδιαστολή.

Πάρα πολύ σημαντική η στοίχιση, η σωστή στοίχιση των αριθμών...

...για να μπορέσουμε να κάνουμε σωστά την πράξη μας.

Πάμε, λοιπόν. Εύκολο για εσάς.

Δεν έχει κρατούμενα, είναι εύκολο για εσάς. Πάμε.

Δύο και ένα, τρία. Τρία και δύο, πέντε.

Την υποδιαστολή αμέσως μόλις τη συναντήσω.

Δεν την ξεχνάω, αμέσως τη βάζω.

Εφτά και δύο, εννιά. Έξι και ένα, εφτά.

Βρήκαμε το αποτέλεσμα. Δεν είναι δύσκολο.

Το μόνο που πρέπει να προσέξουμε, είπαμε...

...να βάλουμε ακριβώς τον έναν αριθμό κάτω απ' τον άλλον.

Η υποδιαστολή κάτω απ' την υποδιαστολή και αμέσως όλα ισιώνουν.

Όλα στοιχίζονται σωστά.

Και δεν την ξεχνάω, φυσικά, και στο τέλος.

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να κάνουμε άλλο παράδειγμα πρόσθεσης.

Θεωρώ ότι είναι, η πρόσθεση, εύκολη πράξη για εσάς.

Με ή χωρίς κρατούμενα, το ίδιο πράγμα είναι.

Η σωστή στοίχιση μετράει.

Πάμε στην αφαίρεση, που εκεί μπορεί να υπάρξει κάποια μικρή, μμ, δυσκολία.

Κάτι που θα πρέπει να το προσέξουμε περισσότερο.

Παράδειγμα.

Αφαίρεση.

Λοιπόν, κατ' αρχήν, θέλω να μου πείτε αν έβαλα σωστά τους αριθμούς.

Ξέρουμε ότι στην αφαίρεση επάνω βάζουμε τον μεγαλύτερο αριθμό...

...και από κάτω θα βάλουμε τον μικρότερο.

Δεν μπορούμε να κάνουμε διαφορετικά την αφαίρεση. Τουλάχιστον ακόμα.

Ε... Τριάντα δύο και εφτά δέκατα.

Έντεκα και εξήντα έξι εκατοστά.

Είναι σωστά; Είναι ο μεγαλύτερος από πάνω;

Ναι, γιατί ο ακέραιος που είναι 32...

...είναι πιο μεγάλος από τον ακέραιο που είναι 11.

Δεν χρειάζεται άλλη σύγκριση.

Αφού είναι οι ακέραιοι σωστά, δεν υπάρχει κανένα άλλο θέμα.

Ωραία.

Άλλη μία ερώτηση έχω να σας κάνω.

Εδώ έχουμε εκατοστά, εδώ έχουμε δέκατα.

Όταν θα χρειαστεί να κάνω αφαίρεση, το 6 από τι θα το αφαιρέσω;

Εδώ δυσκολεύομαι.

Για να πάμε λίγο πίσω και να θυμηθούμε, τι είπαμε νωρίτερα;

Ότι σε έναν δεκαδικό αριθμό μπορώ στο τέλος του...

...στο δεκαδικό κομμάτι, στο τέλος του, όμως...

...να βάλω όσα μηδενικά θέλω, χωρίς να χαλάσει η αξία του.

Να τώρα που ήρθε η ώρα να το χρησιμοποιήσω αυτό.

Αυτή την πληροφορία, εδώ τη χρειάζομαι.

Βάζω, λοιπόν, δίπλα από το 7 ένα μηδενικό.

Δεν χαλάει η αξία του δεκαδικού αριθμού.

Και από εφτά δέκατα έγινε εβδομήντα εκατοστά, είναι ακριβώς το ίδιο.

Και μπορώ πιο εύκολα να κάνω την αφαίρεση.

Στην αρχή θα το κάνετε έτσι.

Στη συνέχεια, με τη μεγαλύτερη εξάσκηση...

...δεν θα χρειάζεται να το εμφανίζετε το μηδενικό.

Θα μπορείτε να το κάνετε και χωρίς να το βλέπετε.

Για να κάνουμε τώρα την αφαίρεση. Βέβαια, για την αφαίρεση να πω ότι...

...υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι. Τους μαθαίνετε όλους στο σχολείο.

Ο καθένας σας, όμως, πρέπει να χρησιμοποιεί τον τρόπο που τον εξυπηρετεί.

Δεν είμαστε υποχρεωμένοι να δουλεύουμε με όλους τους τρόπους.

Χρησιμοποιούμε αυτόν τον τρόπο που βολεύει εμένα.

Έτσι όπως το καταλαβαίνω εγώ καλύτερα. Αρκεί να είναι σωστός ο τρόπος αυτός.

Πάμε, λοιπόν.

Μηδέν, βγάζω έξι... Δεν γίνεται.

Παίρνω από δω πέρα, να γίνει έξι. Δέκα, βγάζω έξι.

Τη δανείζω δίπλα τη δεκάδα και θα γίνει 10. Δέκα, βγάζω έξι;

Τέσσερα.

Έξι, βγάζω έξι, μηδέν.

Οπ, αμέσως βάζω την υποδιαστολή.

Δεν την ξεχνάω.

Συνεχίζω.

Δύο, βγάζω ένα, ένα. Τρία, βγάζω ένα, δύο.

Τελειώσαμε. Η αφαίρεση δεν είναι καθόλου δύσκολη...

...άμα βάλω σωστά τους αριθμούς, όπως το κάνω και στην πρόσθεση...

...και σωστά την υποδιαστολή μου.

Πιστεύω ότι τα καταφέρατε.

Και πιστεύω ότι τα καταλάβατε, γι' αυτό τα καταφέρατε.

Θα συνεχίσουμε, λοιπόν, άλλη φορά, στις επόμενες πράξεις.

Γεια σας.


Μαθηματικά - Δεκαδικοί αριθμοί - Γ' Δημοτικού Επ. 29

Γεια σας. Είμαι η Δήμητρα Τσάλα...

...και θα μιλήσουμε για τους δεκαδικούς αριθμούς.

Τι είναι αυτοί οι δεκαδικοί αριθμοί;

Γιατί τόσα πολλά καινούργια πράγματα μαθαίνουμε;

Καλά, χρησιμοποιούμε τους ακεραίους.

Άντε, μάθαμε και τους κλασματικούς αριθμούς.

Τώρα τι τους θέλουμε τους δεκαδικούς; Έχετε δίκιο.

Η αλήθεια είναι ότι οι κλασματικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται...

...εδώ και πάρα πάρα πολλά χρόνια...

...ήδη από τη δεύτερη χιλιετηρίδα προ Χριστού από τους Αιγυπτίους. Μχμ.

Ενώ οι δεκαδικοί αριθμοί είναι πιο καινούργιοι.

Άρχισε να τους χρησιμοποιεί και να τους γράφει...

...σαν κάτι καινούργιο δηλαδή, ένας Φλαμανδός μαθηματικός...

...τον 16ο αιώνα μ.Χ.

Εντάξει, το ξέρω, δεν είναι και πολύ κοντά στην εποχή μας.

Κι αυτό μακριά είναι, αλλά δεν συγκρίνεται με το άλλο.

Γιατί, λοιπόν, παρουσιάστηκε αυτή η ανάγκη να έχουμε τους δεκαδικούς αριθμούς;

Να χρησιμοποιήσουμε τους δεκαδικούς αριθμούς; Για κοιτάξτε ένα παράδειγμα.

Η μαμά μας μας βάζει θερμόμετρο. Και ο μπαμπάς καμιά φορά.

Και βλέπουμε αυτό.

Οπ. Δεν είναι ακριβώς 37. Έχει και κάτι ακόμα.

Ή όταν πηγαίνουμε στο βενζινάδικο να βάλουμε βενζίνη με το αυτοκίνητο.

Βλέπουμε στις τιμές αυτό.

Σπάνια τόσο χαμηλή τιμή, αλλά τη βλέπουμε.

Δεν είναι ακριβώς ολόκληρο, έχει και κάτι ακόμα.

Ή όταν μας μετράει ο παιδίατρος το ύψος μας.

Δεν είναι ακριβώς το ολόκληρο, έχει και κάτι ακόμα.

Αυτή, λοιπόν, η ανάγκη παρουσιάστηκε.

Όταν θέλαμε να εκφράσουμε μια ποσότητα...

...η οποία δεν ήταν ακριβώς ολόκληρη η ποσότητα, είχε και κάτι άλλα ψιλά ακόμα.

Αυτή λοιπόν την ακρίβεια που θέλαμε να την εκφράσουμε δεν μπορούσαμε να την εκφράσουμε με τους ακεραίους.

Και με τα κλάσματα είχαμε μεγάλη δυσκολία.

Γι' αυτό, λοιπόν, χρησιμοποιούμε τους δεκαδικούς αριθμούς.

Για να δούμε τώρα, λοιπόν, αυτούς τους δεκαδικούς αριθμούς.

Πώς τους καταλαβαίνουμε ότι είναι δεκαδικοί αριθμοί;

Πολύ εύκολο.

Αν δούμε κάτι τέτοιο και δούμε και αυτό το σημαδάκι εδώ...

...που στη γλώσσα ξέρουμε ότι λέγεται κόμμα...

...λέμε "Οπ! Αυτός είναι δεκαδικός αριθμός". Το ίδιο κι αυτός, και αυτός ο αριθμός.

Τι είναι λοιπόν, όταν βλέπουμε έναν αριθμό...

...τι είναι εκείνο που μας κάνει να καταλάβουμε ότι είναι δεκαδικός αριθμός;

Αυτό εδώ το μικρούλι μικρούλι σημαδάκι.

Που λέγεται... Θα σας πω σε λίγο πώς λέγεται.

Αυτοί, λοιπόν, οι δεκαδικοί αριθμοί έχουνε δύο κομμάτια.

Το βλέπετε κι εσείς. Ένα κομμάτι μπροστά από την... απ' το σημαδάκι...

...και ένα κομμάτι μετά το σημαδάκι.

Για να φτιάξουμε, λοιπόν, έναν καινούργιο δεκαδικό αριθμό.

Παράδειγμα, ας πάρουμε αυτόν.

Αυτός, λοιπόν, ο δεκαδικός αριθμός...

Τον αναγνωρίζω ότι είναι δεκαδικός γιατί έχει αυτό εδώ.

Αποτελείται από δύο κομμάτια. Το πρώτο κομμάτι, αυτό εδώ...

...που είναι το ακέραιο μέρος.

Είναι, δηλαδή, τα γνωστά μας ολόκληρα.

Ε... ακέραιο μέρος είναι τα ολόκληρα. Πολύ ωραία.

Το άλλο μέρος πώς να λέγεται, άραγε;

Δεκαδικός αριθμός...

Σωστά. Δεκαδικό μέρος.

Εδώ δεν έχουμε ολόκληρα. Εδώ έχουμε πολύ, πολύ, πολύ μικρά...

...τα οπόια προσπαθούνε να γίνουν ολόκληρα, αλλά δεν τα έχουν καταφέρει...

...γιατί αν είχαν καταφέρει να γίνουν ολόκληρα...

...θα είχε μεγαλώσει αυτό και από 273 θα έλεγε 274.

Και αυτή εδώ, αυτό το σημαδάκι...

...που στα μαθηματικά δεν το λέμε κόμμα, όπως στη γλώσσα...

...αλλά το λέμε υποδιαστολή.

Είναι αυτό που χωρίζει τα δύο κομμάτια, το ακέραιο μέρος από το δεκαδικό μέρος.

Δεν νομίζω ότι είναι δύσκολο, το καταλαβαίνουμε. Πολύ ωραία.

Πώς δημιουργείται, τώρα, ένας δεκαδικός αριθμός.

Ας πάρουμε για παράδειγμα... Να καθαρίσουμε λίγο.

Ας πάρουμε για παράδειγμα τον δεκαδικό αριθμό...

Πώς δημιουργείται αυτός ο δεκαδικός αριθμός;

Με την επανάληψη της δεκαδικής μονάδας.

Στους ακεραίους θα λέγαμε "της μονάδας" σκέτο.

Εδώ πέρα μιλάμε για τη δεκαδική μονάδα, γιατί έχουμε δεκαδικό αριθμό.

Άρα, λοιπόν, έχουμε 0,1...

Ουψ! Είπα "μηδέν κόμμα ένα".

Το λέω απλά γιατί ακόμα δεν σας έχω πει πώς το λέμε σωστά.

Και 0,1 και 0,1 και 0,1.

Μία, δύο, τρεις, τέσσερις φορές πήραμε το 0,1...

...για να φτιάξουμε το 0,4.

Είναι ίσο, λοιπόν, αυτό, με 0,4.

Με παρόμοιο τρόπο φτιάχνουμε τους δεκαδικούς αριθμούς...

...οποιοσδήποτε κι αν είναι αυτός.

Ξέρουμε από τους ακεραίους ότι κάθε αριθμός...

...ανάλογα με τη θέση στην οποία βρίσκεται το ψηφίο του...

...έχει και διαφορετική αξία.

Είναι πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε την αξία των αριθμών...

...γιατί αυτό, άλλωστε, τους διαφοροποιεί και μεταξύ τους.

Η θέση στην οποία βρίσκονται.

Βρίσκονται λοιπόν, ανάλογα με τη θέση τους...

...έχουν διαφορετική αξία. Πολύ ωραία.

Αυτές οι ομάδες τάξεων, όπως ονομάζονται...

...δεν ισχύουν μόνο για τους ακεραίους, ισχύουν και για τους δεκαδικούς αριθμούς.

Για να θυμηθούμε λίγο αυτές τις ομάδες τάξεων στους ακεραίους.

Ας πάρουμε έναν ακέραιο.

Πολύ ωραία.

Θυμόμαστε, ο τελευταίος είναι μονάδες...

...ο προηγούμενος είναι δεκάδες και ο πρώτος είναι εκατοντάδες.

Μπορούμε να προχωρήσουμε και να βάλουμε κι άλλους, να έχουμε χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδων...

...αλλά δεν χρειάζεται τώρα, χρειάζεται μόνο να το κατανοήσουμε.

Εδώ απλά το θυμίζουμε.

Θυμάστε πώς δημιουργείται ο κάθε ένας αριθμός εδώ...

...ανάλογα τη θέση στην οποία βρίσκεται;

Για να το κάνουμε.

Δύο φορές το ένα, γιατί είναι μονάδες.

Πέντε φορές το δέκα, γιατί είναι δεκάδες.

Έξι φορές το εκατό, γιατί έχουμε εκατοντάδες.

Πολύ, πολύ ωραία.

Κάτι αντίστοιχο γίνεται και με το δεκαδικό μέρος...

...του δεκαδικού αριθμού.

Για δείτε αυτό. Κάτι αντίστοιχο γίνεται κι εκεί.

Να το φτιάξω, λοιπόν, τώρα εγώ αυτό, να του προσθέσω ένα κομμάτι...

...και να τον κάνω δεκαδικό.

Πολύ ωραία.

Πιστεύετε ότι εδώ έχουμε τις ίδιες ονομασίες...

...ανάλογα τη θέση στην οποία βρίσκεται κάθε αριθμός;

Όχι, βέβαια. Σαφώς δεν έχουμε τις ίδιες.

Για να δούμε, λοιπόν, πώς λέγεται η πρώτη θέση μετά από αυτό το σημαδάκι...

...που το είπαμε πώς;

Πολύ σωστά, υποδιαστολή.

Η πρώτη, λοιπόν, θέση, πώς λέγεται;

Λέγεται "δέκατα". Επειδή αρχίζει κι αυτό από "δ", όπως οι δεκάδες...

...για να μην τα μπερδεύουμε, το γράφουμε με μικρό.

Δέκατα.

Να το γράψω όλο, γιατί είναι καινούργιο.

Όχι τα καλύτερα γράμματα, βέβαια.

Αυτός ο αριθμός, ο 3, βρίσκεται στη δεύτερη θέση μετά την υποδιαστολή.

Εδώ έχουμε τα εκατοστά.

Έψιλον, για να μην το μπερδέψουμε με τις εκατοντάδες, με μικρό.

Και στην τρίτη θέση έχουμε, χμ... Τα χιλιοστά.

Με μικρό "χ". Αν είχαμε μπροστά εδώ κι άλλον αριθμό, θα ήταν χιλιάδες...

...που θα είχαν το μεγάλο "χ", το κεφαλαίο.

Γι' αυτό, λοιπόν, συνεχίζουμε με μικρά γράμματα.

Για να μην τα μπερδεύουμε.

Πολύ ωραία.

Άρα, λοιπόν, στην πρώτη θέση μετά την υποδιαστολή έχουμε τα δέκατα...

...στη δεύτερη τα εκατοστά και στην τρίτη τα χιλιοστά.

Θέλω να τη θυμάστε αυτή τη σειρά, είναι πάρα πολύ σημαντική...

...για να μπορέσουμε να δουλέψουμε και παρακάτω.

Κι έτσι κι αλλιώς, για να μπορούμε να δουλεύουμε με τους δεκαδικούς αριθμούς.

Πώς θα διαβάσουμε, τώρα, έναν δεκαδικό αριθμό; Για να δούμε.

Έχουμε φτιάξει αυτόν τον δεκαδικό αριθμό, 652 υποδιαστολή 132.

Έτσι θα τον διαβάζουμε;

Ή υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος που είναι πιο όμορφος;

Ναι, υπάρχει ένας άλλος τρόπος.

Διαβάζουμε το πρώτο κομμάτι όπως είναι...

...γιατί είναι το ακέραιο κομμάτι, το ολόκληρο, 652...

...την υποδιαστολή δεν τη διαβάζουμε "υποδιαστολή", τη διαβάζουμε "και"...

...και το υπόλοιπο κομμάτι, που είναι το δεκαδικό μέρος, κι αυτό το διαβάζουμε ολόκληρο.

Προσέξτε. Εκατόν τριάντα δύο, δεν βάζω, όμως, τελεία.

Πρέπει να πω και κάτι ακόμα.

Σε ποια θέση τελειώνει το δεκαδικό μέρος; Στην πρώτη; Όχι.

Στη δεύτερη; Μ-μ.

Στην τρίτη. Αα, στην τρίτη θέση τι είπαμε ότι έχουμε; Τα χιλιοστά.

Άρα, λοιπόν, 132 χιλιοστά.

Το ξαναλέμε όλο μαζί.

Εξακόσια πενήντα δύο και εκατόν τριάντα δύο χιλιοστά.

Για να σβήσω εγώ τα χιλιοστά.

Πώς θα διαβάζαμε τώρα τον αριθμό μας;

Για κάντε μια προσπάθεια.

Εξακόσια πενήντα δύο και... δεκατρία... εκατοστά!

Πολύ ωραία.

Και αν σβήσω και το 3...

...πώς θα διαβαστεί τώρα ο καινούργιος δεκαδικός;

Εξακόσια πενήντα δύο και... ένα... δέκατο.

Πάρα πολύ ωραία.

Είναι πολύ σημαντικό, λοιπόν, να θυμόμαστε τη σειρά...

...μετά την υποδιαστολή.

Πρώτα είναι τα δέκατα, μετά τα εκατοστά...

...και τελευταία, στην τρίτη θέση, είναι τα χιλιοστά.

Να το θυμάστε, είναι πάρα πολύ σημαντικό.

Έτσι, λοιπόν, τα διαβάζουμε. Πολύ ωραία.

Πώς τα γράφουμε, τώρα.

Φυσικά, για να τα γράψουμε, κάτι ακούμε, κάποιος μας τα λέει.

Μας τη δίνει την πληροφορία.

Αν λοιπόν μας τη δώσει σωστά την πληροφορία, σύμφωνα με αυτά που είπαμε...

...θα το γράψουμε κι εμείς σωστά.

Για να δούμε μερικές τέτοιες πληροφορίες.

Θυμόμαστε. Μπροστά έχουμε τον ακέραιο.

Το "και" είναι η υποδιαστολή μας.

Το επόμενο είναι το δεκαδικό μέρος, το οποίο μου λέει...

"Δέκατα", άρα σε ποια θέση πρέπει να τελειώνει το δεκαδικό μέρος;

Θυμόμαστε; Μετά την υποδιαστολή, δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά.

Στην πρώτη θέση.

Φτιάχνουμε, λοιπόν, τον αριθμό μας.

Δύο και τρία δέκατα.

Έτοιμος ο δεκαδικός αριθμός.

Άλλο παράδειγμα.

Είκοσι ένα και εβδομήντα τρία εκατοστά.

Είκοσι ένα, ο ακέραιος.

"Και", η υποδιαστολή μας.

Εβδομήντα τρία εκατοστά.

Άρα, λοιπόν, πόσες θέσεις έχουμε καλύψει μετά την υποδιαστολή;

Δύο θέσεις.

Εβδομήντα τρία.

Έτοιμο.

Για να βάλω τώρα ένα λίγο πιο δύσκολο, ένα λίγο πιο πονηρό.

Έξι και... δύο... χιλιοστά.

Δεν αγχωνόμαστε. Σιγά σιγά, το παίρνουμε με τη σειρά του.

Πρώτα γράφουμε τον ακέραιο. Έξι.

"Και". Υποδιαστολή.

Δύο χιλιοστά. Μμ...

Τα χιλιοστά σε ποια θέση είπαμε ότι βρίσκονται;

Δέκατα, πρώτη θέση. Εκατοστά, δεύτερη θέση.

Χιλιοστά, τρίτη θέση.

Άρα, λοιπόν, το δύο πρέπει να βρίσκεται στην τρίτη θέση.

Στην τρίτη θέση; Και τι θα κάνω εγώ με τις άλλες δύο μπροστά που έχει;

Τίποτα. Θα βάλω απλά ένα μηδενικό.

Έφτιαξα, λοιπόν, αυτό που μου είπανε.

Έξι και δύο χιλιοστά.

Δεν ήταν, τελικά, πολύ δύσκολο.

Ωραία. Μάθαμε να τους λέμε, μάθαμε να τους γράφουμε...

Και εδώ μπορούμε να πούμε και κάτι άλλο.

Σ' έναν δεκαδικό αριθμό μπορώ, έχω το δικαίωμα...

...χωρίς να κάνω καμία ζημιά στον αριθμό...

...να προσθέσω στο τέλος του όσα μηδενικά εγώ θέλω.

Στο τέλος, όμως.

Στο δεύτερο κομμάτι, που είναι το δεκαδικό κομμάτι...

...και στο τέλος του.

Εδώ, παράδειγμα, όσα μηδενικά θέλω.

Δεν πειράζω καθόλου την αξία του αριθμού μ' αυτό τον τρόπο, καθόλου.

Θα μου πείτε, τώρα γιατί να το κάνω αυτό; Γιατί να καθίσω να βάζω μηδενικά στο τέλος;

Θα δείτε ότι θα σας είναι πάρα πολύ χρήσιμο αυτό...

...στην αρχή, τουλάχιστον, όταν κάνετε πράξεις κάθετα.

Ίσως όχι τόσο πολύ στην πρόσθεση, που κι εκεί μπορεί να χρειαστεί...

...όσο στην αφαίρεση. Οι κάθετες πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς...

...έχουν μια μικρή, στην αρχή, δυσκολία, όχι πολύ μεγάλη...

...και μπορεί να σας χρειαστεί να βάλετε στο τέλος ένα μηδενικό.

Θα ξέρετε ότι έχετε το δικαίωμα να το κάνετε, γιατί δεν χαλάει η αξία του αριθμού.

Επίσης, μια που μιλάμε για το μηδενικό στο τέλος.

Μπορεί να σκεφτεί κάποιος πώς μπορώ να φτιάξω έναν δεκαδικό...

...έχοντας έναν ακέραιο;

Πώς μπορώ να μετατρέψω, καλύτερα, έναν ακέραιο σε δεκαδικό;

Χωρίς να χαλάσω, όμως, την αξία του.

Νομίζω, αν έχω, παράδειγμα...

...αυτόν εδώ τον ακέραιο...

...δεν μπορώ να του βάλω στο τέλος μηδενικά, θα αλλάξει ο αριθμός.

Αν του βάλω ένα μηδενικό, θα γίνει ο 70. Άλλος αριθμός.

Αν του βάλω δύο μηδενικά, θα γίνει ο 700. Άλλος αριθμός.

Πώς θα τον μετατρέψω σε δεκαδικό; Τι είπαμε ότι έχει ο δεκαδικός;

Υποδιαστολή, πολύ ωραία.

Και πώς θα μπορούσα να του βάλω υποδιαστολή...

...και να τον πειράξω, αλλά χωρίς να του χαλάσω την αξία;

Μχμ, πολύ σωστά.

Βάζω υποδιαστολή εδώ και μετά όσα μηδενικά θέλω.

Φτάνει, και πολλά έβαλα.

Τώρα μετατράπηκε σε δεκαδικό αριθμό.

Και πάλι, όμως, διαβάζεται "εφτά".

Δεν θα διαβαστεί "εφτά και μηδέν"... Ας βάλω ένα λιγότερο.

"Μηδέν χιλιοστά". Όχι. Θα διαβαστεί πάλι "εφτά".

Πολύ ωραία.

Είπαμε στην αρχή...

...ότι έχουμε τους ακεραίους, έχουμε τα κλάσματα...

...και ξαφνικά, κάποια στιγμή, εμφανίστηκαν και οι δεκαδικοί αριθμοί. Ωραία.

Πώς περάσαμε από τα κλάσματα στους δεκαδικούς αριθμούς;

Για να δούμε, τι σύνδεση υπάρχει μεταξύ τους;

Ας θυμηθούμε λίγο στα κλάσματα τα δεκαδικά κλάσματα.

Δεκαδικά κλάσματα, δεκαδικοί αριθμοί.

Μμμ. Ήδη υποψιάζομαι ότι υπάρχει κάποια σύνδεση.

Με τη λέξη και μόνο.

Για να θυμηθούμε λίγο τα δεκαδικά κλάσματα.

Δεκαδικά είναι τα κλάσματα...

...που έχουνε για παρονομαστή το 10 ή το 100 ή το 1.000.

Γενικά, τη μονάδα και μετά όσα μηδενικά θέλουμε.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Αυτό είναι ένα δεκαδικό κλάσμα.

Αριθμητής δεν μας ενδιαφέρει ποιος είναι.

Παρονομαστής είναι το ένα και δίπλα έχει μηδενικό. Μόνο.

Δεν μπορούμε να βάλουμε κάποιο άλλο ψηφίο μετά το 1. Μόνο μηδενικό.

Αυτός, λοιπόν, τώρα... Αυτό το δεκαδικό κλάσμα...

...θέλουμε να το μετατρέψουμε σε δεκαδικό αριθμό.

Μμ... για να δούμε. Δεν είναι δύσκολο.

Κατεβάζω εγώ το 3, τον αριθμητή μου, δηλαδή...

...ολόκληρο, όσο μεγάλος κι αν ήταν, τον κατεβάζω κάτω.

Και αμέσως... Προσέξτε.

Κοιτάζω τον παρονομαστή.

Πόσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής; Ένα.

Ωραία.

Αυτό αμέσως μου λέει ότι ο δεκαδικός αριθμός που θα φτιάξω...

...πρέπει, μετά την υποδιαστολή, μετά την υποδιαστολή, όχι μπροστά...

...να έχει μόνο ένα ψηφίο.

Πώς θα το φτιάξω, λοιπόν, εγώ αυτό;

Πάω εδώ...

...γράφω ανάποδα, δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά...

...για να χωρίσω μόνο ένα ψηφίο.

Αυτό έχω, μόνο αυτό χωρίζω και του βάζω υποδιαστολή.

Μπροστά δεν υπάρχει κάτι άλλο, αναγκαστικά, λοιπόν, θα βάλω το 0.

Και έφτιαξα τον δεκαδικό αριθμό. Θα κάνουμε κι άλλο παράδειγμα.

Πριν πάμε στο επόμενο παράδειγμα, να κάνουμε το εξής.

Διαβάστε μου λίγο αυτό το δεκαδικό κλάσμα.

Τρία δέκατα.

Διαβάστε μου τώρα και τον δεκαδικό αριθμό.

Τρία δέκατα.

Γιατί καλύπτει το τελευταίο ψηφίο την πρώτη θέση μετά την υποδιαστολή.

Ακούγονται το ίδιο, είναι το ίδιο, κάνουμε μια χαρά τη δουλειά μας.

Πάμε σ' ένα δεύτερο παράδειγμα.

Έχουμε το δεκαδικό κλάσμα.

Είναι δεκαδικό γιατί έχει παρονομαστή το ένα και μηδενικά...

...και θέλω αυτό να το μετατρέψω, να το αλλάξω, να το κάνω δεκαδικό αριθμό.

Το γράφω ολόκληρο...

Μπερδεύτηκα και με τους μαρκαδόρους...

Λοιπόν, τον γράφω ολόκληρο και κοιτάζω αμέσως τον παρονομαστή μου.

Πόσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή; Τρία.

Τι μου λέει αυτό; Ότι πρέπει, στον δεκαδικό αριθμό που θα φτιάξω...

...μετά την υποδιαστολή να έχω τρία ψηφία.

Όχι λιγότερα, ούτε περισσότερα.

Άρα, λοιπόν, πάω εδώ, μετράω από δεξιά προς τα αριστερά τρία ψηφία...

...ένα, δύο...

Οπ! Τι κάνω εδώ, που δεν υπάρχει τίποτα;

Βάζω το μηδέν. Τρία, υποδιαστολή.

Και μπροστά, πάλι, που δεν υπάρχει τίποτα, βάζω πάλι το μηδέν.

Έφτιαξα, λοιπόν, τον δεκαδικό αριθμό που διαβάζεται...

..."εξήντα εφτά", γιατί δεν υπάρχει ακέραιος για να τον διαβάσω...

..."εξήντα εφτά χιλιοστά". Για να δω και το δεκαδικό μου κλάσμα.

Εξήντα εφτά χιλιοστά. Είμαστε μια χαρά.

Αυτή, λοιπόν, η σύνδεση υπάρχει ανάμεσά τους.

Πάρα πολύ ωραία.

Νομίζω δεν χρειάζεστε εδώ περισσότερα.

Μπορούμε να περάσουμε σε απλές πράξεις μεταξύ δεκαδικών αριθμών...

...όπως είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση.

Κατ' αρχήν, πριν ξεκινήσουμε να κάνουμε την πράξη...

...την ώρα που τοποθετούμε τους αριθμούς, τι πρέπει να προσέξουμε.

Ξέρετε στους ακεραίους, όταν βάζουμε τον έναν ακέραιο κάτω απ' τον άλλον...

...τον έναν ακέραιο κάτω απ' τον άλλον, ανάποδα...

...πρέπει να προσέχουμε οι μονάδες να είναι κάτω απ' τις μονάδες...

...οι δεκάδες κάτω απ' τις δεκάδες...

...οι εκατοντάδες κάτω απ' τις εκατοντάδες, και τα λοιπά.

Το ίδιο κάνουμε κι εδώ.

Οι μονάδες κάτω απ' τις μονάδες στο ακέραιο κομμάτι...

...οι δεκάδες κάτω απ' τις δεκάδες, και για το δεκαδικό κομμάτι...

...τα δέκατα, θυμίζω, κάτω απ' τα δέκατα...

...τα εκατοστά κάτω απ' τα εκατοστά.

Εδώ δεν έχουμε χιλιοστά, δεν μιλάμε γι' αυτά.

Και φυσικά η υποδιαστολή... κάτω από την υποδιαστολή.

Πάρα πολύ σημαντική η στοίχιση, η σωστή στοίχιση των αριθμών...

...για να μπορέσουμε να κάνουμε σωστά την πράξη μας.

Πάμε, λοιπόν. Εύκολο για εσάς.

Δεν έχει κρατούμενα, είναι εύκολο για εσάς. Πάμε.

Δύο και ένα, τρία. Τρία και δύο, πέντε.

Την υποδιαστολή αμέσως μόλις τη συναντήσω.

Δεν την ξεχνάω, αμέσως τη βάζω.

Εφτά και δύο, εννιά. Έξι και ένα, εφτά.

Βρήκαμε το αποτέλεσμα. Δεν είναι δύσκολο.

Το μόνο που πρέπει να προσέξουμε, είπαμε...

...να βάλουμε ακριβώς τον έναν αριθμό κάτω απ' τον άλλον.

Η υποδιαστολή κάτω απ' την υποδιαστολή και αμέσως όλα ισιώνουν.

Όλα στοιχίζονται σωστά.

Και δεν την ξεχνάω, φυσικά, και στο τέλος.

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να κάνουμε άλλο παράδειγμα πρόσθεσης.

Θεωρώ ότι είναι, η πρόσθεση, εύκολη πράξη για εσάς.

Με ή χωρίς κρατούμενα, το ίδιο πράγμα είναι.

Η σωστή στοίχιση μετράει.

Πάμε στην αφαίρεση, που εκεί μπορεί να υπάρξει κάποια μικρή, μμ, δυσκολία.

Κάτι που θα πρέπει να το προσέξουμε περισσότερο.

Παράδειγμα.

Αφαίρεση.

Λοιπόν, κατ' αρχήν, θέλω να μου πείτε αν έβαλα σωστά τους αριθμούς.

Ξέρουμε ότι στην αφαίρεση επάνω βάζουμε τον μεγαλύτερο αριθμό...

...και από κάτω θα βάλουμε τον μικρότερο.

Δεν μπορούμε να κάνουμε διαφορετικά την αφαίρεση. Τουλάχιστον ακόμα.

Ε... Τριάντα δύο και εφτά δέκατα.

Έντεκα και εξήντα έξι εκατοστά.

Είναι σωστά; Είναι ο μεγαλύτερος από πάνω;

Ναι, γιατί ο ακέραιος που είναι 32...

...είναι πιο μεγάλος από τον ακέραιο που είναι 11.

Δεν χρειάζεται άλλη σύγκριση.

Αφού είναι οι ακέραιοι σωστά, δεν υπάρχει κανένα άλλο θέμα.

Ωραία.

Άλλη μία ερώτηση έχω να σας κάνω.

Εδώ έχουμε εκατοστά, εδώ έχουμε δέκατα.

Όταν θα χρειαστεί να κάνω αφαίρεση, το 6 από τι θα το αφαιρέσω;

Εδώ δυσκολεύομαι.

Για να πάμε λίγο πίσω και να θυμηθούμε, τι είπαμε νωρίτερα;

Ότι σε έναν δεκαδικό αριθμό μπορώ στο τέλος του...

...στο δεκαδικό κομμάτι, στο τέλος του, όμως...

...να βάλω όσα μηδενικά θέλω, χωρίς να χαλάσει η αξία του.

Να τώρα που ήρθε η ώρα να το χρησιμοποιήσω αυτό.

Αυτή την πληροφορία, εδώ τη χρειάζομαι.

Βάζω, λοιπόν, δίπλα από το 7 ένα μηδενικό.

Δεν χαλάει η αξία του δεκαδικού αριθμού.

Και από εφτά δέκατα έγινε εβδομήντα εκατοστά, είναι ακριβώς το ίδιο.

Και μπορώ πιο εύκολα να κάνω την αφαίρεση.

Στην αρχή θα το κάνετε έτσι.

Στη συνέχεια, με τη μεγαλύτερη εξάσκηση...

...δεν θα χρειάζεται να το εμφανίζετε το μηδενικό.

Θα μπορείτε να το κάνετε και χωρίς να το βλέπετε.

Για να κάνουμε τώρα την αφαίρεση. Βέβαια, για την αφαίρεση να πω ότι...

...υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι. Τους μαθαίνετε όλους στο σχολείο.

Ο καθένας σας, όμως, πρέπει να χρησιμοποιεί τον τρόπο που τον εξυπηρετεί.

Δεν είμαστε υποχρεωμένοι να δουλεύουμε με όλους τους τρόπους.

Χρησιμοποιούμε αυτόν τον τρόπο που βολεύει εμένα.

Έτσι όπως το καταλαβαίνω εγώ καλύτερα. Αρκεί να είναι σωστός ο τρόπος αυτός.

Πάμε, λοιπόν.

Μηδέν, βγάζω έξι... Δεν γίνεται.

Παίρνω από δω πέρα, να γίνει έξι. Δέκα, βγάζω έξι.

Τη δανείζω δίπλα τη δεκάδα και θα γίνει 10. Δέκα, βγάζω έξι;

Τέσσερα.

Έξι, βγάζω έξι, μηδέν.

Οπ, αμέσως βάζω την υποδιαστολή.

Δεν την ξεχνάω.

Συνεχίζω.

Δύο, βγάζω ένα, ένα. Τρία, βγάζω ένα, δύο.

Τελειώσαμε. Η αφαίρεση δεν είναι καθόλου δύσκολη...

...άμα βάλω σωστά τους αριθμούς, όπως το κάνω και στην πρόσθεση...

...και σωστά την υποδιαστολή μου.

Πιστεύω ότι τα καταφέρατε.

Και πιστεύω ότι τα καταλάβατε, γι' αυτό τα καταφέρατε.

Θα συνεχίσουμε, λοιπόν, άλλη φορά, στις επόμενες πράξεις.

Γεια σας.