What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Prevodilac: Marija Kojić Lektor: Jelena Kovačević

Ovo je Zenon od Eleje,

antički Grčki filozof

poznat po tome što je izumeo veliki broj paradoksa,

argumenata koji se čine logičnim,

ali čiji zaključak je apsurdan

ili kontradiktoran.

Više od 2000 godina,

Zenonove zbunjujuće zagonetke

inspirišu matematičare i filozofe

da bolje razumeju prirodu beskonačnosti.

Jedan od najpoznatijih Zenonovih problema

zove se paradoks dihotomije,

što znači „paradoks deljenja na dva" na antičkom Grčkom.

Paradoks se može objasniti ovako:

Posle dugog dana sedenja

i razmišljenja

Zenon odluči da prošeta od svoje kuće do parka. Svež vazduh ga osvežava

i pomaže mu da bolje misli.

Da bi došao do parka,

on prvo mora da prođe polovinu puta do parka. Ovaj deo putovanja

traje konačan period vremena.

Kada pređe pola puta,

on mora da pređe drugu polovinu puta.

Ponovo, ovo traje konačan period vremena. Kada stigne tamo, još uvek mora da pređe

polovinu puta koji mu preostaje,

što traje još jedan konačan period vremena. Ovo se ponavlja iznova i iznova i iznova.

Možete da vidite da ovako možemo zauvek,

deleći preostali deo puta

na manje i manje delove,

od kojih svaki traje ograničen period vremena da se pređe. Dakle, koliko Zenonu treba vremena da dođe do parka?

Pa, da biste saznali, morate da saberete vremena koja su potrebna za svaki deo putovanja.

Problem je u tome da postoji

beskonačno mnogo ovih vremenski ograničenih delova. Dakle, zar ukupno vreme ne bi bilo beskonačno? Ovaj argument je, inače, sasvim opšti.

On tvrdi da putovanje sa jednog mesta na drugo treba da traje beskonačno mnogo vremena.

Drugim rečima, on tvrdi da je svako kretanje nemoguće.

Ovaj zaključak je očigledno apsurdan,

ali gde je greška u logici?

Da rešimo paradoks,

pomaže da pretvorimo priču u matematički problem. Pretpostavimo da je Zenonova kuća od parka udaljena 1,6 kilometara

i da Zenon prelazi 1,6 kilometara na sat.

Zdrav razum nam govori da vreme putovanja

treba da bude 1 sat.

Ipak, hajde da sagledamo stvari iz Zenonovog ugla i podelimo putovanje u delove.

Prva polovina putovanja traje pola sata,

sledeća traje četvrt sata,

sledeća osminu sata,

i tako dalje.

Kada saberemo sva ova vremena,

dobijamo niz koji izgleda ovako.

„Sada,” Zenon bi mogao da kaže,

budući da postoji beskonačan broj izraza sa desne strane jednačine,

i da je svaki pojedinačan izraz konačan,

zbir bi trebao da bude jednak beskonačnom, tako?" U tome je problem sa Zenonovim argumentom.

Kao što su matematičari od tada shvatili,

moguće je zbrajati beskonačan niz mnogih konačnih izraza i opet dobiti rezultat koji je konačan.

„Kako?”, pitate se vi.

Razmišljajmo o tome ovako.

Počnimo sa kvadratom koji zauzima površinu od jednog metra. Sada, hajde da presečemo kvadrat na pola,

i onda da presečemo preostalu polovinu na pola, i tako dalje.

Dok ovo radimo,

hajde da beležimo površinu ovih delova.

Prvi rez pravi dva dela,

svaki sa površinom jedne polovine.

Sledeći rez deli ove polovine na pola,

i tako dalje.

Ipak, koliko god puta mi da presečemo kvadrat, celokupna površina je još uvek zbir površina svih delova. Sada uviđate zašto smo izabrali baš ovaj način

da presecamo kvadrat.

Dobili smo isti beskonačan niz

koji smo imali za vreme Zenonovog putovanja. Kako mi kombinujemo sve više i više plavih delova, da kažemo to matematički,

kako mi za limit uzimamo „n” koji teži beskonačnom, ceo kvadrat postaje prekriven plavim.

Ipak, površina kvadrata je samo jedna jedinica, stoga beskonačan zbir mora biti jednak jedinici. U Zenonovom putovanju,

vidimo kako se paradoks može rešiti.

Ne samo da je zbir beskonačnog niza

konačan odgovor,

nego je i konačan odgovor isti onaj

za koji nam zdrav razum govori da je tačan.

Zenonovo putovanje traje jedan sat.