馃搹 Ecuaciones de la Recta - PARTE #1
隆Hola amigos! Este v铆deo es el primero de
una mini-serie dedicada a las ecuaciones
de la recta.
Para ello comencemos fijando unos ejes
de coordenadas cartesianas como ya
hicimos cuando estudiamos vectores en el
plano.
Para determinar completamente una recta
es necesario dar dos elementos de la
recta. Por ejemplo, si nos dicen un P por
el que pasa la recta y un vector
director v que nos indique la
direcci贸n de dicha recta, podremos
deducir las ecuaciones vectorial,
las ecuaciones param茅tricas y la ecuaci贸n
continua de la recta. En este v铆deo
deduciremos estas tres ecuaciones de
forma razonada y aplicaremos el m茅todo
para obtener las ecuaciones en un ejemplo concreto.
Recordad que al final del v铆deo
os dejo un enlace para descargar los apuntes.
隆Empezamos!
El punto P est谩 determinado por sus
coordenadas cartesianas, esto es,
los valores que se obtienen al proyectar
perpendicularmente el punto en los ejes
de coordenadas. Las coordenadas de este
punto tambi茅n son las coordenadas del
vector cuyo origen es el origen de
coordenadas y cuyo extremo es el punto P.
A este vector OP se le llama el vector
de posici贸n del punto P. Por otra parte,
el vector v viene determinado por sus
coordenadas (a , b) que no son m谩s que
las coordenadas del extremo de dicho
vector si lo desplazamos paralelamente
de forma que su origen coincida con el
origen de coordenadas.
Estos dos vectores, el vector de posici贸n
del punto P, y el vector director de la
recta, son los datos de los que partimos.
Y queremos describir por medio de una
ecuaci贸n las coordenadas (x , y) de
cualquier X que pertenezca a nuestra
recta.
Vamos a hacer lo siguiente: las
coordenadas del punto X tambi茅n son las
coordenadas de su vector de posici贸n,
esto es, del vector con origen en el
punto (0,0) y extremo en el punto X.
De este modo, nos preguntamos c贸mo podemos
obtener las coordenadas del vector OX
a partir de los vectores conocidos OP y v,
utilizando las operaciones con vectores
que ya conocemos.
Fijaros que el vector v podemos
desplazarlo paralelamente sobre la recta
de forma que su origen est茅 en el punto
P y estirarlo o encogerlo hasta que su
extremo se sit煤e sobre el punto X.
Para ello basta con multiplicar el vector v
por un determinado n煤mero real lambda.
Tenemos entonces al vector OP con su
extremo situado en el origen del vector
lambda por v. Como vimos en nuestro
anterior v铆deo sobre vectores, la suma de
OP y lambda por v es un vector de origen
el origen de OP y extremo el extremo
de lambda por v, esto es, la suma de estos
dos vectores no es otra cosa que
隆 el vector de posici贸n OX !
Esto es, el vector OX se escribe como
OP m谩s lambda por el vector v y esta
ecuaci贸n vectorial determina todos los
puntos de la recta a medida que movemos
el n煤mero lambda entre todos los n煤meros
reales. En efecto, si por ejemplo tomamos
el 0 como el n煤mero real, 0 por v es el
vector nulo y tenemos que X coincide con
el punto P. Tambi茅n podemos multiplicar
el vector director v por un n煤mero
negativo obteniendo los puntos de la
recta situados al otro lado del punto P.
En definitiva, esta ecuaci贸n determina
todos los puntos de la recta y recibe el
nombre de ECUACI脫N VECTORIAL DE LA RECTA.
El nombre de esta ecuaci贸n, "ecuaci贸n
vectorial" se debe l贸gicamente a que
relacionamos vectores: el vector de
posici贸n del punto X como suma del
vector de posici贸n del punto P y el
vector director v multiplicado por un
cierto escalar lambda, es decir, un n煤mero
real al que tambi茅n nos referiremos como
par谩metro. Fijaros que los vectores OP y v est谩n
fijos. Eran los datos que determinaban la
recta y a medida que movemos el
par谩metro lambda se mueve el punto X de
la recta. Hay tantos puntos en una recta
como n煤meros reales.
Si observamos esta ecuaci贸n entre
vectores en t茅rminos de coordenadas nos
damos cuenta de que podemos operar el
miembro derecho. En efecto, podemos
multiplicar lambda por el vector
multiplicando lambda por cada coordenada,
y podemos sumar los dos vectores
resultantes sumando sus coordenadas.
Obtenemos una igualdad entre dos
vectores y eso significa que sus dos
coordenadas son iguales, obteniendo dos
ecuaciones. Estas dos ecuaciones que
tambi茅n dependen del par谩metro lambda
se llaman ECUACIONES PARAM脡TRICAS DE LA RECTA.
Este par谩metro podemos, de hecho,
eliminarlo del siguiente modo: En la
primera ecuaci贸n despejamos el par谩metro
obteniendo que lambda es igual a un
cierto cociente x - x sub cero / a.
Esto tambi茅n podemos hacerlo con la
segunda ecuaci贸n obteniendo que lambda
tambi茅n es igual al cociente y menos y
sub cero dividido entre b.
De este modo obtenemos que ambos
cocientes son iguales lo que da lugar a
una nueva ecuaci贸n. Los puntos de
coordenadas x , y min煤scula que satisfacen
esta ecuaci贸n son precisamente todos los
puntos de la recta.
Esta ecuaci贸n recibe el nombre de
ECUACI脫N CONTINUA DE LA RECTA.
Esto que hemos hecho de forma totalmente general
para una recta que pasa por un punto P
de coordenadas x_0 , y_0 y tenga como
vector director al vector v de
coordenadas (a , b)
podemos verlo en particular en un
ejemplo.
Consideremos la recta que pasa por el
punto P de coordenadas (1, 2) y tiene la
direcci贸n del vector v de coordenadas (3, 1)
El vector de posici贸n de cualquier punto
X de la recta puede escribirse por tanto
como el vector (1, 2) + lambda por el vector
(3, 1). Si esta ecuaci贸n vectorial la
desarrollamos multiplicando el vector
(3 , 1) por el numero lambda y sumando los
vectores (1,2) y el vector lambda por 3
, lambda por 1, tenemos una igualdad de
vectores que da lugar a dos ecuaciones
igualando componente a componente.
Esto lo podemos arreglar un poco ya que
multiplicar por 1 es como no hacer nada
y en vez de lambda por 3 escribimos 3
por lambda y omitimos el punto de la
multiplicaci贸n. Llegamos as铆 a las
ecuaciones param茅tricas de la recta.
Finalmente, podemos eliminar el par谩metro
lambda del siguiente modo: despejamos el
par谩metro de la primera ecuaci贸n lo que
nos da la ecuaci贸n lambda igual a x menos
1 dividido entre 3. Tambi茅n podemos
despejar lambda de la segunda ecuaci贸n
obteniendo lambda igual a y menos 2.
De este modo, podemos eliminar el
par谩metro y llegar a una ecuaci贸n que
deben verificar todos los puntos (x, y)
de la recta: y - 2 = (x -1 )/3
Esta es la ecuaci贸n continua de la recta.
En nuestro pr贸ximo v铆deo veremos m谩s
ecuaciones de la recta que se obtienen
comenzando con elementos diferentes que
caracterizan una recta como por ejemplo,
la pendiente de la recta o simplemente
dando dos puntos de una recta.
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隆Hasta luego!
