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李永乐老师 Youtube, 一个公式理解相对论:从伽利略变换到洛伦兹变换
一个 公式 理解 相对论 :从 伽利略 变换 到 洛伦兹 变换
各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师
最近 燕山大学 的 一位 老师
发表文章 反对 相对论 引起 了 轩然大波
很多 小朋友 让 我 说 点 什么
无论 你 是 支持 相对论 还是 反对 相对论
最起码 你 得 知道 相对论 到底 讲 了 些 啥 吧
其实 狭义 相对论 一点 也 不 复杂
你 只要 听 20 分钟 掌握 我 所 讲 的 一个 公式
就 可以 看清 狭义 相对论 的 全貌 了
今天 我们 就 来讲 一讲 这个 问题
我们 首先 从 伽利略 变换 说起
我们 知道 伽利略 被 称为 近代 科学 之 父
提出 了 很多 很 重要 的 物理 规律
比如说 他 有 一次 在 他 的 名著
《 关于 两种 世界 体系 的 对话 》 里
讲 了 这样 一段话
他 说 假如 你 在 一个 匀速 行驶 的 轮船 上
你 会 发现 所有 的 物理 规律 跟 在 地面 上 是 一样 的
你 往前 跳 或者 往后 跳
绝对 不会 比 地面 上 跳 得 更 远 或者 更近
如果 桅杆 上 一滴水 掉下来 的话
也 一定 会 落到 桅杆 的 正下方
而 不会 往前 或者 往后
虽然 在 这 段时间 内船 已经 往前 运行 了 很多 距离
这个 实际上 就 已经 具有 了 朴素 的 相对性 原理
那么 后人 根据 伽利略 的 观点
总结 成 了 伽利略 变换
它 的 意思 是 在 不同 参考系 下
观察 同 一件 事 它 的 坐标 有 什么样 的 变化
我们 举个 例子
比如说 地面 上 我 可以 建立 一个 坐标
有 一个 原点 然后 向 右边 是 x 轴
然后 在 地面 上 有 一辆 汽车
这辆 汽车 最 开始 是从 原点 出发 的
往前走 走 了 一段时间 就 走 到 这 了
所以 我们 可以 说
如果 我们 说 假设 你 的 时间 是 t' 车 的 速度 是 v
那 你 应该 走到 vt' 是不是
就 到 了 这个 位置
然后 我 以车 为 原点 再 建立 一个 坐标系
这个 坐标系 就 叫 x'
好 那么 在 车 开到 这个 位置 的 时候
突然 之间 发生 了 一件 事
这件 事 可以 是 各种各样 的 事件 举个 例子
比如 我 假设 这个 事 就是
天空 中有 一个 猴子 落下来 了 是 吧
天空 掉 了 一个 猴 出来 了
好 那么 我 就 想 问
这个 猴子 在 地面 参考系 下 看 它 有 一个 坐标
地面 参考系 一下 看
这个 猴子 的 位置 是 x 时间 是 t
而 在 这个 车厢 参考系 下 看
这个 猴子 它 的 位置 叫 x' 时间 叫 t'
请问 x t 和 x' t' 之间 有 什么 关系 呢
咱们 仔细 看 一下
首先 我们 假设 这个 猴子 比 这个 车厢
还要 靠前 一些
靠前 多少 呢
靠前 x' 是 吧
这个 猴子 落下来 的 时候
这个 车厢 的 时间 是 过 了 t'
而 在 地面 上 看
猴子 的 位置 应该 是 x 应该 是 这么 长 对 不 对
因为 地面 的 原点 在 这 车厢 的 原点 在 这
它 原点 不 一样
所以 显而易见 我们 可以 得出结论
地面 上 的 猴子 位置
等于 在 车厢 看来 猴子 的 位置
加上 这 段时间 内 车厢 往前走 的 距离 对 不 对
好 这 就是 第一个 变换 公式
那么 第二个 变换 公式 就是
在 地面 参考系 下 看来 猴子 落下 的 时间
和 车厢 参考系 下 看 猴子 落下 的 时间 什么 关系 呢
时间 跟 参考系 没有 关系 对 吧
你 在 哪个 参考系 下 看 猴子 落下 都 是 同样 的 时间
所以 t 等于 t'
好 那么 这 两个 公式 合 起来
其实 就 称之为 伽利略 变换
就是 你 在 车厢 参考系 下 看 猴子 落下来 这件 事
它 的 位置 是 x' 时间 是 t'
在 地面 上 看 是 x 和 t
它们 之间 的 满足 这样 一种 变换 关系
伽利略 变换 它 是 符合 生活 逻辑 的
比如说 一辆车 在 地面 上
以 100 米 每秒 的 速度 运动
你 在 车上 往前 以 50 米 每秒 的 速度 奔跑
那么 你 相对 于 地面 就是 150 米 每秒 是 吧
这是 非常 符合 逻辑 的
所以 伽利略 变换 在 很多年 以来
被 人们 认为 是 无需 证明 显而易见 的
而且 伽利略 变换 还有 一个 很 好 的 地方
就是 力学 规律 在 伽利略 变换 下 是 保持 不变 的
力学 规律 在 伽利略 变换 下
在 伽利略 变换 下 是 保持 不变 的
保持 不变
我们 也 可以 管它 叫 协变
就是 协变 的
说 力学 规律 在 伽利略 变换 下 保持 不变
是 什么 意思
我们 举个 例子
比如 最 重要 的 力学 规律 那 就是 牛顿定律 了
牛顿定律
牛顿定律 里边 基础性 的 叫做 F=ma
牛顿 第二 定律
一个 物体 的 受力
等于 它 的 质量 再 乘以 它 的 加速度 对 不 对
好 咱们 思考 一下
这个 猴子 假如 受到 了 一个 力 的 作用
而 向前 加速 的话
你 在 地面 上 看
它 有 一个 力
它 有 个 质量
它 有 个 加速度
你 在 车厢 上 看
力 首先 是 不变 的 对 不 对
你 不管 在 什么 参考系 下 看
受力 都 是 一样 的
质量 也 是 不变 的 吧
加速度 呢
因为 这个 车厢 是 匀速 往前走 的
速度 是 v
所以 车厢 没有 加速度
因此 在 车厢 上 看 还是 在 地面 上 看
猴子 的 加速度 也 是 不变 的
因此 你 在 两个 参考系 下 看
F=ma 都 是 保持 不变 的
这 就 叫 协变 是 吧
就 牛顿定律 保持 不变
这个 保持 不变 的 性质 就 叫做 协变
就是 你 换 了 参考系 之后
这 公式 它 还是 成立 的
好 虽然 力学 规律 在 伽利略 变换 下 保持 不变
但是 后来 人们 发现 了 一个 问题
这个 问题
就是 当 麦克斯韦 提出 了 麦克斯韦 方程组 之后
人们 发现
说 这个 电磁学 规律 电磁学 规律
在 这个 伽利略 变换 下
就 和 力学 规律 不 一样 了
电磁学 规律 在 伽利略 变换 下
它 不是 保持 不变 的
或者说 叫 不 协变
力学 规律 是 协变 的
所以 你 在 这个 轮船 上面
如果 轮船 匀速运动 的话
你 没有 办法 通过 力学 实验 来 判定
这个 船 到底 是 静止 的 还是 运动 的
因为 这个 力学 规律 是 协变 的
但是 如果 你 去 做 电磁学 实验 的话
理论 上 来讲
你 好像 是 能够 确定 这个 轮船 的 速度
为什么 呢
因为 人们 发现
通过 这个 麦克斯韦 方程组
麦氏 方程组
可以 推导 出光 的 速度
可以 推导 出 光速 来
这个 光速 经过 推导
就是 3×10⁸m/s
这时候 就 会 有 问题 了
你 这个 3×10⁸m/s 是 确定 无误 的
好 那么 假如 我换 一个 参考系 的话
比如说 我 在 车厢 上 发一 道光
速度 是 3×10⁸m/s
那 我 在 地面 上 看
这个 光 的 速度 就 应该 快 一点 对 不 对
因为 你 车 还 在 往前 跑 着
但 实际上 麦克斯韦 方程组 却 告诉 我们
好像 地面 上 也 是 这个 数
这 不 就 矛盾 了 吗
那么 面对 这个 矛盾
人们 有 这么 三种 解决方案
第一种 解决方案 就是
认为 麦克斯韦 方程组 不太 对劲儿
它 是 一个 不 完备 的 方程
你 如果 再 把 它 补充 完备 了
麦克斯韦 方程组 就 会 像 牛顿定律 一样 协变 了
但是 这种 想法 没有 得到 很多 科学家 的 支持
大部分 人 都 认为
麦克斯韦 方式 组是 非常 完美 的 是 吧
那 既然 麦克斯韦 方程组 没 问题
什么 有 问题 呢
有人 可能 会 觉得 协 变性 有 问题
所谓 协 变性 有 问题 的 意思 就是
我们 不 需要 在 所有 参考系 下 物理 规律 都 相同
也就是说 应该 有 一种 特殊 的 参考系
这个 特殊 的 参考系 下
光速 是 3×10⁸m/s
你 换 了 个 参考系 之后
这 光速 就 不是 这个 数 了
这个 意思 其实 就 代表 了 光有 一种 坐标系
那 就是 以太
于是 人们 就 开始 去 寻找 光 的 参考系 以太
找 了 好长 好长时间 也 没有 找到 以太
所以 第二个 思路 又 断 了
那么 最后 只能 把 这个 矛盾 指向 伽利略 变换 了
是不是 在 不同 参考系 下
这 物体 的 坐标 和 时间 不是 满足 伽利略 变换 的 呢
在 这个 时候
最早 作出贡献 的 人 叫做 洛伦兹
所以 我们 管 这种 变换 叫做 洛伦兹 变换
洛伦兹 变换
最早 的 时候
洛伦兹 是 为了 解释
为什么 我们 找 不到 光 的 参考系
找 不到 以太
而 所 提出 的 一种 理论
他 说 因为 在 物体 运动 的 时候 它 长度 会 收缩
相对 于 以太 运动 的 时候 长度 会 收缩
所以 你 才 没 找 着
实际上 以太 是 存在 的
后来 洛伦兹 又 把 它 进行 了 细化 一点儿
就 做出 了 一种 变换
这种 变换 下
麦克斯韦 方程组 就 协变 了
就 你 换个 参考系
麦克斯韦 方程组 还是 成立 的
这 叫 协变 是 吧
但是 洛伦兹 的 理解 是 错误 的
洛伦兹 认为 以太 是 存在 的
我 只是 通过 这种 变换 来 解决 一些 矛盾 点
所以 洛伦兹 虽然 正确 地 提出 了 变换
但 他 的 理解 是 错误 的
爱因斯坦 后来 提出 了 狭义 相对论
爱因斯坦 提出 狭义 相对论 的 时候
他 的 想法 跟 洛伦兹 完全 不 一样
爱因斯坦 认为 以太 根本 就 不 存在 是 吧
所有 的 参考系 都 是 平权 的
那么 他 也 可以 得出 同样 的 结论
洛伦兹 一看 我 靠
你 怎么 跟 我 的 结论 是 一样 呢
你 跟 我 的 这个 理解 又 不 一样
所以 洛伦兹 说
你 不要 管 你 的 变换 叫 洛伦兹 变换
你 管 你 的 变换 叫 相对论 对 吧
这个 相对论 这 三个 字 是 洛伦兹 给 爱因斯坦 起 的
爱因斯坦 一看
这 三个 字 还行
于是 就 一直 用 下来 了 是 吧
其实 这个 变换 最早 是 洛伦兹 提出 的
但是 洛伦兹 没有 进行 正确 的 解释
所以 我们 认为
相对论 的确 还是 爱因斯坦 提出 来 的
那么 爱因斯坦 到底 提出 哪些 说法 呢
爱因斯坦 提出 了 两个 基本 假设
相对论 的
相对论 的 基本 假设
爱因斯坦 提出 的 这 两个 基本 假设 是 什么 呢
第一条 就 叫 相对性 原理
他 说 任何 惯性 参考系 下
所有 的 物理 规律 都 是 协变 的
就是 麦克斯韦 方程组
你 在 地面 上 你 成立
你 换成 车厢 你 也 应该 成立 对 吧
你 在 地面 上算出 光速 是 3×10⁸
你 在 车厢 运动 的 时候
你算出 光速 还是 这个 值
所有 的 物理 规律 在 不同 的 惯性 参考系 下
都 是 协变 的
这 是 他 提出 的 第一条 假设
第二条 假设 就是 什么
光速 在 真空 中是 保持 不变 的
光速 在 真空 中是 保持 不变 的
这 就 叫 光速 不变 原理
就是说 假如 有 一辆车 发出 的 一 道光
你 相对 于 车厢 去 看
这 道光 的 速度 是 3×10⁸
你 相对 于 地面 来看 它 还是 是 吧
为什么 这样 做 呢
因为 它 必须 要 满足 相对性 原理
你 满足 相对性 原理 的话
麦克斯韦 方程组 在 不同 参考系 下 都 成立
你算出 的 光速 只能 是 相同 的 对 不 对
所以 第二条 假设 跟 第一条 假设 它 是 融洽 的
它 不是 互相矛盾 的
有 了 这 两条 基本 假设
我们 就 可以 研究 一下 如何 去 理解 相对论 了
我们 来看
从 这 两条 基本 假设 出发 推导 洛伦兹 变换
大家 注意
这是 爱因斯坦 提出 的 方法
不是 洛伦兹 的 方法
因为 洛伦兹 的 理解 是 错 的
好 咱们 来看 这样 一件 事儿
我们 已经 知道 了 一个 事件
x t 和 x' t'
我们 想求 它们 之间 的 关系
那么 上面 这个 变换 关系 它 是 不 正确 的
但是 我们 认为
这 两个 参考系 之间 进行 变换 的 时候
一定 是 线性变换 的
所以 我们 假设 x=k'(x'+vt')
什么 意思 呢
就是 原来 你 的 这个 伽利略 变换
不是 直接 x'+vt' 吗 对 吧
我 现在 进行 一下 伸缩
乘 一个 系数 k'
为什么 乘 一个 系数
因为 我 认为 它 还是 线性 的 对 吧
好 反过来说
那 x' 等于 什么 呢
在 车厢 看来
x' 应该 等于 k(x-vt)
大家 注意 这个 左右两个 式子 的 区别
第一个 区别 就是 加号 变 减号 了
原因 是 什么 呢
因为 车厢 相对 于 地面 以 速度 v 向 右 跑
所以 地面 相对 于 车厢 以 速度 v 向 左 跑
所以 它 方向 不 一样
因此 会 有 个 负号
其次 就是 第一个 式子 的 右侧 全都 是 带 ' 的
表示 这些 数都 是 在 车厢 参考 下 看算 出来 的
第二个 式子
它 右边 都 是 不带 ' 的
就 表示 这些 数都 是 在 地面 参考系 下 看 对 吧
得 出来 的 结果
好 我们 再 想
根据 相对性 原理
它 是 没有 一个 参考系
它 是 特殊 的
那 既然如此 的话
我们 应该 得出 这样 的 结论 k 等于 k'
这 俩 系数 不 应该 有 什么 区别
你 就是 换 了 个 参考系 它 不 应该 有 什么 区别
这是 第一个
第二个 就是 根据 光速 不变 原理
咱们 想一想 假如 在 最 开始 的 时候
在 这个 车厢 和 原点 重合 的 时候
我 就 发射 了 一 道光 发射 了 一 道光
等 这 道光 打 到 猴子 的 时候 猴子 刚好 出现
我 再 重说 一遍
就是 在 车厢 位于 原点 时 在 这个 位置 发出 一 道光
然后 这 道光 经过 一段时间 刚好 打中 了 猴子
咱们 思考 这个 事
这个 事 如果 在 车厢 看来 是 什么 样子 的
在 车厢 看来
这个 光 的 速度 是 c 经过 的 时间 是 t'
然后 打到 了 猴子 对 不 对
所以 在 车厢 看来
这个 猴子 的 坐标 x' 就 应该 等于 ct'
在 车厢 看来 就是 这样 对 吧
你 在 车厢 这儿 发了 一 道光
经过 了 时间 t' 这个 打中 了 一个 猴子
所以 猴子 的 位置 就 应该 是 c 乘以 t'
你 在 地面 上 看来 也 是 一样 的
你 在 地面 上 看来 的 时候 你 也 是 发 了 一 道光
你 这 道光 经过 一段时间 t 打中 了 猴子
所以 x 也 等于 ct
这 就是 利用 光速 不变 原理 得 出来 的 结论
现在 我们 把 这 几个 式子 结合 一下
你 看一看 会 得出 什么
神奇 的 事 马上 就 发生 了
我们 让 这 两个 式子 相乘
左边 乘 左边 右边 乘 右边
xx'=kk'(x'+vt')(x'-vt')
然后 我们 做 一件 事
把 这个 x 和 x' 换成 ct' 和 ct
c²tt'=kk'(c+v)(c-v)tt'
你 看 是不是 这个 道理 对 吧
然后 你 再 把 这 左右 两边 的 这个 t 和 t'
你 把 它 约 了 t 和 t' 约 了
那么 你 就 会 发现
原来 kk' 是 可以 得出 一个 结论 的 对 不 对
所以 从 这个 我们 就 写 到 右侧
你 就 可以 得 出来
kk' 它 其实 是 等于 c²/(c²-v²)
好 你 不要 忘 了 这个 k 是 等于 k' 对 不 对
所以 我们 就 说 k=k'=1/(1-(v/c)²)
好 这样一来 我们 就 得出 了 这个 系数
系数 有 了 我们 再代 回去
就 得到 了 洛伦兹 变换 的 表达式
x=(x'+vt')/√(1-(v/c)²)
反过来 x'=(x-vt)/√(1-(v/c)²)
这个 就 叫做 洛伦兹 变换
也 就是 你 告诉 了 我 x' 和 t' 我 怎么 求出 x
你 告诉 我 x 和 t 我 怎么 求出 x'
而且 你 会 发现 这 里面 有 四个 变量
x x' t 和 t'
你 既然 可以 用 t 和 t' 表示 出 x x'
你 也 可以 反过来 解 对 不 对
反解 你 就 可以 反解出 两个 式子 来
就是 t=(t'+vx'/c²)/√(1-(v/c)²)
以及 t'=(t-vx/c²)/√(1-(v/c)²)
就 会 得出 这么 四个 式子 来
有 同学 可能 会 觉得 这 四个 式子 非常复杂
实际上 它 就 只有 一个
你 只要 得出 第一个
剩下 的 不是 通过 对称性 得到 的
就是 通过 反解 得到 的
而 这个 式子 表示 什么 含义 呢
这个 式子 的 含义 就是说
你 在 车厢 参考系 下 看 看到 一件 事
这 事 比如 猴子 掉下来 了
这个 事 它 的 坐标 是 x'
时间 是 t'
你 换 到 地面 参考系 下 看 它 的 坐标 变成 这个 样子
同样 道理 它 的 时间 呢
它 的 时间 变成 这个 样子 是不是
所以 我们 就 可以 从 一个 参考系 下 发生 的 事件
换 到 另外 一个 参考系 下 看
本质 上 来讲
它 和 这种 伽利略 变换 的 意思 是 差不多 的
只不过 它 比 伽利略 变换 多 了 一个 系数
看到 了 吗
多 了 底下 这个 系数
多 了 一个 叫做 洛伦兹 因子 的 东西
好 那么 现在 这个 变换 我们 已经 知道 了
有 了 这个 变换 狭义 相对论 你 基本上 就 了解 了
为什么 这么 说 呢
我们 可以 说
狭义 相对论 有 很多 很 神奇 的 这个 结论
但是 这些 结论 其实 你 都 是 可以 看作 是
通过 洛伦兹 变换 得 出来 的
比如说 第一个 叫做 同时 的 相对性
同时 的 相对性
也就是说 你 在 一个 参考系 下 看 同时 发生 的 事
你 换 一个 参考系 下 看 它 不 同时
这个 怎么 理解 呢
很 简单
比如说 我 在 地面 上 看 同时 发生 的 事
地面 上 看 同时 发生
那 就是 t 不变 对 不 对
t 是 相同 的
比如说 我令 t=0
这 就 表示 的 是 地面 是 同时 发生 的
那么 你 在 车厢 看来 t' 等于 什么 呢
你 看 这 公式 在 这 吗
t' 等于 如果 地面 上 t=0 的话
t'=-vx/c²×1/√(1-(v/c)²)
是 这么 一个 表达式
这 告诉 我们 什么
这 告诉 我们 在 不同 的 位置
它 的 时间 是 不 一样 的 是不是
你 越 往前 你 这个 时间 就 越早
就是 你 在 地面 上 看来 这 一趟 都 是 钟表
这些 钟表 都 是 同样 时刻 的
但是 你 在 车厢 看来
这些 钟表 不是 同样 时刻 的
越 往前 那个 钟 它 的 时刻 应该 越小
它 走 得 应该 越慢 才 对
这 就 叫 同时 的 相对性
一个 参考系 下 看来 同时 发生 的 事
另外 一个 参考系 下 看来 不是 同时 发生 的
好 咱们 再 比如说 还有 一个
我们 常说 的 叫做 什么 呢
叫做 尺缩 效应 尺缩 效应
什么 叫 尺缩 效应 呢
就是 一个 尺子
如果 它 不动 的话
它 是 L₀ 这么 长
如果 它 一动 起来 长度 就 变短 了
这是 为什么 呢
其实 也 很 简单
你 看 假如 这里 有 一把 尺子
这 把 尺子 正在 以 速度 v 运动
那么 我 在 地面 上 我 需要 进行 测量
我 需要 进行 测量
测量 的 时候 我 在 同一个 时刻
比如说 地面 上 的 时刻
t₁ 和 t₂ 是 相等 的
我 必须 在 同一个 时刻 测
所以 我 在 地面 上 看
这个 时间 t₁ 和 t₂ 是 完全 一样 的
然后 我要 测量 此时 的
地面 上 看 它 坐标 x₁ 和 x₂
我们 用 x₂ 和 x₁ 做差
就是 我 地面 上测 出来 的 这个 尺子 的 长度 叫 L
所以 我们 就 说 地面 上测 出来 的
这个 长度 叫 L=x₂-x₁ 是不是
当然 我们 在 尺子 本身 来看
这个 尺子 本身 来看 它 是 往前 运动 的
所以 它 自身 有 一个 长度
这个 自己 感觉 的 长度 叫做 本征 长度 L₀
它 为什么 叫 本征 长度 呢
因为 它 就是 自己 本身
在 相对 于 自己 静止 的 参考系 下 看 你 的 长度
地面 上 看 这个 尺子 在 运动
所以 地面 上测 的 叫 非本征 长度
尺子 自己 看 尺子 不 动
所以 尺子 测量 的 叫 本征 长度
那 尺子 测量 的 本征 长度 怎么 测 呢
很 简单
本征 长度 就 等于 你 在 尺子 参考系 下 看
头有 一个 坐标 尾有 一个 坐标
你 用 x₂'-x₁'
这 不 就行了 吗 对 不 对
那么 x₂'-x₁' 是 什么 呢
咱们 看 x'=(x-vt)/√(1-(v/c)²)
所以 你 把 这个 代入 到 这里 边去
你 就 会 发现 L₀ 它 其实 等于
(x₂-x₁)/√(1-(v/c)²)
x₂-x₁ 就是 L 吧
所以 它 就 等于
L/√(1-(v/c)²)
把 这个 公式 倒 过来 写
L 就 等于 L₀×√(1-(v/c)²)
这 说明 你 原本 的 本征 长度 或者说 L₀
这个 叫 本征 长度
你 的 本征 长度 是 L₀ 的话
那么 你 在 运动 起来 之后
地面 上 看起来 你 的 长度 会 缩短
这 不 就是 尺缩 效应 吗
它 就是 因为 这个 洛伦兹 变换 得 出来 的
那么 洛伦兹 变换 又 是因为 有 两条 基本 假设
它 之所以 要 讲 这 两条 基本 假设
它 是 为了 解释 为什么 麦克斯韦 方程组
它 不是 协变 的
为了 解释 这个 问题 是不是
所以 它 整个 是 非常 连贯 非常 自洽 的
咱们 继续 看 还有 一个 很 有意思 的 现象
叫做 慢钟 效应 慢钟 效应
慢钟 效应 是 什么 意思 呢
就是 在 地面 上
比如说 有 一个 人 他 拿 着 一个 钟 拿 着 个 钟
此刻 这个 钟有 一个 示数
然后 这个 人 往前 奔跑 速度 是 v
过 了 一会 这个 人 看 这个 钟 它 又 有 一个 示数
好 那么 现在 我们 在 这个 人 本身 来看
这个 人 本身 拿 着 这个 钟
所以 这个 人 看来 的 示数 变化 就 叫 本征 时间
这个 人 是 跟 这个 钟 一起 跑 的
相当于 钟 静止 的 对 不 对
那么 此时 你 会 发现 这个 钟 的 示数 原来 叫 t₁'
后来 叫 t₂'
因此 我们 说 相对 于 这个 钟 而言
就 相当于 人 而言
这个 本征 时间 t₀ 应该 等于 t₂'-t₁'
这个 时间 是 本征 时间
为什么 叫 本征 时间
就是 我 这个 参考系 相对 于钟 是 静止 的
但是 地面 上 看来 可不是 这个 样子 的
地面 上 看来 它 这个 时钟 t 应该 等于 t₂-t₁
t₁ 和 t₁ 分别 是 什么 呢
分别 是 在 地面 上 看来 这钟 的 两个 示数 对 吧
那么 请问 t₂-t₁
和 t₂'-t₁' 之间 有 什么样 的 关系 呢
你 就要 注意 了
因为 这个 钟 一直 拿 在 人 的 手里
所以 有 两个 数是 相等 的
那 就是 x₁' 和 x₂'
这个 钟 在 人 的 手里 位置 没有 发生变化
所以 实际上 x₁' 是 等于 x₂' 的
好 那 现在 我们 来看 一下 应该 代入 哪个 公式
在 x₁' 相等 的 情况 下
我们 找 一个 公式 想算 t₂-t₁
t₂-t₁ 用 这个 公式
x' 是 相等 的
所以 t₂-t₁ 在 做 差 的 时候
这 一项 就 没 了 对 不 对
所以 它 就 直接 等于 什么 呢
它 就 直接 等于
(t₂'-t₁')/√(1-(v/c)²)
是 这个 结果 吧 咱们 来看
这个 时间 叫做 t
这个 叫做 本征 时间 t₀
所以 我们 改写 一下
没 地方 写 了 换个 地方
我 改写 一下
那 就 变成 了 t=t₀/√(1-(v/c)²)
这 就 说明 这个 t₀ 的 时间 是 本征 时间
这个 本征 时间 比较 短
一旦 你 运动 起来 的话
你 就 会 变成 非本征 时间
在 地面 上 看 是非 本征 时间
这个 非本征 时间 它 就 比较 长
那 不 就是 什么
所谓 的 慢钟 效应 对 不 对
所以 你 会 发现
其实 相对论 的 逻辑 是 非常 非常 自洽 的
如果 你 了解 一点 相对论 的话
你 就 会 发现 它 只 需要 从 两条 基本 假设 出发
就 可以 重塑 我们 整个 的 时空观
这 就 好像 是 欧几里得 从 几个 基本 假设 出发
构建 了 整个 的 欧几里得 几何学 一样 完美
当然 你 如果 认为
狭义 相对论 只是 一种 数学 游戏 的话
那么 爱因斯坦 还 在 1915 年 的 时候
提出 了 广义 相对论
并且 爱因斯坦 还 自己 提出 了
三种 可以 验证 广义 相对论 的 实验
最终 都 证明 爱因斯坦 是 正确 的
到 目前为止 还 没有 任何 一个 理论
能够 代替 相对论 去 解释 如此 复杂 的 宇宙 现象
那么 关于 广义 相对论 的 实验 证实
我们 会 在 下 一节课 再 给 大家 介绍
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一个 公式 理解 相对论 :从 伽利略 变换 到 洛伦兹 变换
One formula to understand relativity: from Galilean to Lorentzian transformations
各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师
最近 燕山大学 的 一位 老师
发表文章 反对 相对论 引起 了 轩然大波
很多 小朋友 让 我 说 点 什么
无论 你 是 支持 相对论 还是 反对 相对论
最起码 你 得 知道 相对论 到底 讲 了 些 啥 吧
其实 狭义 相对论 一点 也 不 复杂
你 只要 听 20 分钟 掌握 我 所 讲 的 一个 公式
就 可以 看清 狭义 相对论 的 全貌 了
今天 我们 就 来讲 一讲 这个 问题
我们 首先 从 伽利略 变换 说起
Let’s start with the Galileo transformation
我们 知道 伽利略 被 称为 近代 科学 之 父
提出 了 很多 很 重要 的 物理 规律
比如说 他 有 一次 在 他 的 名著
《 关于 两种 世界 体系 的 对话 》 里
In "A Dialogue About Two World Systems"
讲 了 这样 一段话
他 说 假如 你 在 一个 匀速 行驶 的 轮船 上
你 会 发现 所有 的 物理 规律 跟 在 地面 上 是 一样 的
你 往前 跳 或者 往后 跳
绝对 不会 比 地面 上 跳 得 更 远 或者 更近
Never jump farther or closer than on the ground
如果 桅杆 上 一滴水 掉下来 的话
也 一定 会 落到 桅杆 的 正下方
而 不会 往前 或者 往后
虽然 在 这 段时间 内船 已经 往前 运行 了 很多 距离
Although the ship has traveled a lot during this time
这个 实际上 就 已经 具有 了 朴素 的 相对性 原理
那么 后人 根据 伽利略 的 观点
总结 成 了 伽利略 变换
它 的 意思 是 在 不同 参考系 下
观察 同 一件 事 它 的 坐标 有 什么样 的 变化
我们 举个 例子
比如说 地面 上 我 可以 建立 一个 坐标
有 一个 原点 然后 向 右边 是 x 轴
然后 在 地面 上 有 一辆 汽车
这辆 汽车 最 开始 是从 原点 出发 的
往前走 走 了 一段时间 就 走 到 这 了
所以 我们 可以 说
如果 我们 说 假设 你 的 时间 是 t' 车 的 速度 是 v
那 你 应该 走到 vt' 是不是
就 到 了 这个 位置
然后 我 以车 为 原点 再 建立 一个 坐标系
这个 坐标系 就 叫 x'
好 那么 在 车 开到 这个 位置 的 时候
突然 之间 发生 了 一件 事
这件 事 可以 是 各种各样 的 事件 举个 例子
比如 我 假设 这个 事 就是
天空 中有 一个 猴子 落下来 了 是 吧
天空 掉 了 一个 猴 出来 了
好 那么 我 就 想 问
这个 猴子 在 地面 参考系 下 看 它 有 一个 坐标
地面 参考系 一下 看
这个 猴子 的 位置 是 x 时间 是 t
而 在 这个 车厢 参考系 下 看
这个 猴子 它 的 位置 叫 x' 时间 叫 t'
请问 x t 和 x' t' 之间 有 什么 关系 呢
咱们 仔细 看 一下
首先 我们 假设 这个 猴子 比 这个 车厢
还要 靠前 一些
靠前 多少 呢
靠前 x' 是 吧
这个 猴子 落下来 的 时候
这个 车厢 的 时间 是 过 了 t'
而 在 地面 上 看
猴子 的 位置 应该 是 x 应该 是 这么 长 对 不 对
因为 地面 的 原点 在 这 车厢 的 原点 在 这
它 原点 不 一样
所以 显而易见 我们 可以 得出结论
地面 上 的 猴子 位置
等于 在 车厢 看来 猴子 的 位置
加上 这 段时间 内 车厢 往前走 的 距离 对 不 对
好 这 就是 第一个 变换 公式
那么 第二个 变换 公式 就是
在 地面 参考系 下 看来 猴子 落下 的 时间
和 车厢 参考系 下 看 猴子 落下 的 时间 什么 关系 呢
时间 跟 参考系 没有 关系 对 吧
你 在 哪个 参考系 下 看 猴子 落下 都 是 同样 的 时间
所以 t 等于 t'
好 那么 这 两个 公式 合 起来
其实 就 称之为 伽利略 变换
就是 你 在 车厢 参考系 下 看 猴子 落下来 这件 事
它 的 位置 是 x' 时间 是 t'
在 地面 上 看 是 x 和 t
它们 之间 的 满足 这样 一种 变换 关系
伽利略 变换 它 是 符合 生活 逻辑 的
比如说 一辆车 在 地面 上
以 100 米 每秒 的 速度 运动
你 在 车上 往前 以 50 米 每秒 的 速度 奔跑
那么 你 相对 于 地面 就是 150 米 每秒 是 吧
这是 非常 符合 逻辑 的
所以 伽利略 变换 在 很多年 以来
被 人们 认为 是 无需 证明 显而易见 的
而且 伽利略 变换 还有 一个 很 好 的 地方
就是 力学 规律 在 伽利略 变换 下 是 保持 不变 的
力学 规律 在 伽利略 变换 下
在 伽利略 变换 下 是 保持 不变 的
保持 不变
我们 也 可以 管它 叫 协变
We can also call it covariance
就是 协变 的
说 力学 规律 在 伽利略 变换 下 保持 不变
是 什么 意思
我们 举个 例子
比如 最 重要 的 力学 规律 那 就是 牛顿定律 了
牛顿定律
牛顿定律 里边 基础性 的 叫做 F=ma
牛顿 第二 定律
一个 物体 的 受力
等于 它 的 质量 再 乘以 它 的 加速度 对 不 对
好 咱们 思考 一下
这个 猴子 假如 受到 了 一个 力 的 作用
而 向前 加速 的话
你 在 地面 上 看
它 有 一个 力
它 有 个 质量
它 有 个 加速度
你 在 车厢 上 看
力 首先 是 不变 的 对 不 对
你 不管 在 什么 参考系 下 看
受力 都 是 一样 的
质量 也 是 不变 的 吧
加速度 呢
因为 这个 车厢 是 匀速 往前走 的
速度 是 v
所以 车厢 没有 加速度
因此 在 车厢 上 看 还是 在 地面 上 看
猴子 的 加速度 也 是 不变 的
因此 你 在 两个 参考系 下 看
F=ma 都 是 保持 不变 的
这 就 叫 协变 是 吧
就 牛顿定律 保持 不变
这个 保持 不变 的 性质 就 叫做 协变
就是 你 换 了 参考系 之后
这 公式 它 还是 成立 的
好 虽然 力学 规律 在 伽利略 变换 下 保持 不变
但是 后来 人们 发现 了 一个 问题
这个 问题
就是 当 麦克斯韦 提出 了 麦克斯韦 方程组 之后
人们 发现
说 这个 电磁学 规律 电磁学 规律
在 这个 伽利略 变换 下
就 和 力学 规律 不 一样 了
电磁学 规律 在 伽利略 变换 下
它 不是 保持 不变 的
或者说 叫 不 协变
力学 规律 是 协变 的
所以 你 在 这个 轮船 上面
如果 轮船 匀速运动 的话
你 没有 办法 通过 力学 实验 来 判定
这个 船 到底 是 静止 的 还是 运动 的
因为 这个 力学 规律 是 协变 的
但是 如果 你 去 做 电磁学 实验 的话
理论 上 来讲
你 好像 是 能够 确定 这个 轮船 的 速度
为什么 呢
因为 人们 发现
通过 这个 麦克斯韦 方程组
麦氏 方程组
可以 推导 出光 的 速度
可以 推导 出 光速 来
这个 光速 经过 推导
就是 3×10⁸m/s
这时候 就 会 有 问题 了
你 这个 3×10⁸m/s 是 确定 无误 的
好 那么 假如 我换 一个 参考系 的话
比如说 我 在 车厢 上 发一 道光
速度 是 3×10⁸m/s
那 我 在 地面 上 看
这个 光 的 速度 就 应该 快 一点 对 不 对
因为 你 车 还 在 往前 跑 着
但 实际上 麦克斯韦 方程组 却 告诉 我们
好像 地面 上 也 是 这个 数
这 不 就 矛盾 了 吗
那么 面对 这个 矛盾
人们 有 这么 三种 解决方案
第一种 解决方案 就是
认为 麦克斯韦 方程组 不太 对劲儿
它 是 一个 不 完备 的 方程
你 如果 再 把 它 补充 完备 了
麦克斯韦 方程组 就 会 像 牛顿定律 一样 协变 了
但是 这种 想法 没有 得到 很多 科学家 的 支持
大部分 人 都 认为
麦克斯韦 方式 组是 非常 完美 的 是 吧
那 既然 麦克斯韦 方程组 没 问题
什么 有 问题 呢
有人 可能 会 觉得 协 变性 有 问题
所谓 协 变性 有 问题 的 意思 就是
我们 不 需要 在 所有 参考系 下 物理 规律 都 相同
也就是说 应该 有 一种 特殊 的 参考系
这个 特殊 的 参考系 下
光速 是 3×10⁸m/s
你 换 了 个 参考系 之后
这 光速 就 不是 这个 数 了
这个 意思 其实 就 代表 了 光有 一种 坐标系
那 就是 以太
That is ether
于是 人们 就 开始 去 寻找 光 的 参考系 以太
So people began to look for the ether, the reference frame of light
找 了 好长 好长时间 也 没有 找到 以太
所以 第二个 思路 又 断 了
那么 最后 只能 把 这个 矛盾 指向 伽利略 变换 了
是不是 在 不同 参考系 下
这 物体 的 坐标 和 时间 不是 满足 伽利略 变换 的 呢
在 这个 时候
最早 作出贡献 的 人 叫做 洛伦兹
所以 我们 管 这种 变换 叫做 洛伦兹 变换
洛伦兹 变换
最早 的 时候
洛伦兹 是 为了 解释
为什么 我们 找 不到 光 的 参考系
找 不到 以太
而 所 提出 的 一种 理论
他 说 因为 在 物体 运动 的 时候 它 长度 会 收缩
相对 于 以太 运动 的 时候 长度 会 收缩
所以 你 才 没 找 着
实际上 以太 是 存在 的
后来 洛伦兹 又 把 它 进行 了 细化 一点儿
就 做出 了 一种 变换
这种 变换 下
麦克斯韦 方程组 就 协变 了
就 你 换个 参考系
麦克斯韦 方程组 还是 成立 的
这 叫 协变 是 吧
但是 洛伦兹 的 理解 是 错误 的
洛伦兹 认为 以太 是 存在 的
我 只是 通过 这种 变换 来 解决 一些 矛盾 点
所以 洛伦兹 虽然 正确 地 提出 了 变换
但 他 的 理解 是 错误 的
爱因斯坦 后来 提出 了 狭义 相对论
爱因斯坦 提出 狭义 相对论 的 时候
他 的 想法 跟 洛伦兹 完全 不 一样
爱因斯坦 认为 以太 根本 就 不 存在 是 吧
所有 的 参考系 都 是 平权 的
那么 他 也 可以 得出 同样 的 结论
洛伦兹 一看 我 靠
你 怎么 跟 我 的 结论 是 一样 呢
你 跟 我 的 这个 理解 又 不 一样
所以 洛伦兹 说
你 不要 管 你 的 变换 叫 洛伦兹 变换
你 管 你 的 变换 叫 相对论 对 吧
这个 相对论 这 三个 字 是 洛伦兹 给 爱因斯坦 起 的
爱因斯坦 一看
这 三个 字 还行
于是 就 一直 用 下来 了 是 吧
其实 这个 变换 最早 是 洛伦兹 提出 的
但是 洛伦兹 没有 进行 正确 的 解释
所以 我们 认为
相对论 的确 还是 爱因斯坦 提出 来 的
那么 爱因斯坦 到底 提出 哪些 说法 呢
爱因斯坦 提出 了 两个 基本 假设
相对论 的
相对论 的 基本 假设
The basic assumptions of relativity
爱因斯坦 提出 的 这 两个 基本 假设 是 什么 呢
第一条 就 叫 相对性 原理
他 说 任何 惯性 参考系 下
所有 的 物理 规律 都 是 协变 的
就是 麦克斯韦 方程组
你 在 地面 上 你 成立
你 换成 车厢 你 也 应该 成立 对 吧
你 在 地面 上算出 光速 是 3×10⁸
你 在 车厢 运动 的 时候
你算出 光速 还是 这个 值
所有 的 物理 规律 在 不同 的 惯性 参考系 下
都 是 协变 的
这 是 他 提出 的 第一条 假设
第二条 假设 就是 什么
光速 在 真空 中是 保持 不变 的
光速 在 真空 中是 保持 不变 的
这 就 叫 光速 不变 原理
就是说 假如 有 一辆车 发出 的 一 道光
你 相对 于 车厢 去 看
这 道光 的 速度 是 3×10⁸
你 相对 于 地面 来看 它 还是 是 吧
为什么 这样 做 呢
因为 它 必须 要 满足 相对性 原理
你 满足 相对性 原理 的话
麦克斯韦 方程组 在 不同 参考系 下 都 成立
你算出 的 光速 只能 是 相同 的 对 不 对
所以 第二条 假设 跟 第一条 假设 它 是 融洽 的
它 不是 互相矛盾 的
有 了 这 两条 基本 假设
我们 就 可以 研究 一下 如何 去 理解 相对论 了
我们 来看
从 这 两条 基本 假设 出发 推导 洛伦兹 变换
大家 注意
这是 爱因斯坦 提出 的 方法
不是 洛伦兹 的 方法
因为 洛伦兹 的 理解 是 错 的
好 咱们 来看 这样 一件 事儿
我们 已经 知道 了 一个 事件
x t 和 x' t'
我们 想求 它们 之间 的 关系
那么 上面 这个 变换 关系 它 是 不 正确 的
但是 我们 认为
这 两个 参考系 之间 进行 变换 的 时候
一定 是 线性变换 的
所以 我们 假设 x=k'(x'+vt')
什么 意思 呢
就是 原来 你 的 这个 伽利略 变换
不是 直接 x'+vt' 吗 对 吧
我 现在 进行 一下 伸缩
乘 一个 系数 k'
为什么 乘 一个 系数
因为 我 认为 它 还是 线性 的 对 吧
好 反过来说
那 x' 等于 什么 呢
在 车厢 看来
x' 应该 等于 k(x-vt)
大家 注意 这个 左右两个 式子 的 区别
第一个 区别 就是 加号 变 减号 了
原因 是 什么 呢
因为 车厢 相对 于 地面 以 速度 v 向 右 跑
所以 地面 相对 于 车厢 以 速度 v 向 左 跑
所以 它 方向 不 一样
因此 会 有 个 负号
其次 就是 第一个 式子 的 右侧 全都 是 带 ' 的
表示 这些 数都 是 在 车厢 参考 下 看算 出来 的
第二个 式子
它 右边 都 是 不带 ' 的
就 表示 这些 数都 是 在 地面 参考系 下 看 对 吧
得 出来 的 结果
好 我们 再 想
根据 相对性 原理
它 是 没有 一个 参考系
它 是 特殊 的
那 既然如此 的话
我们 应该 得出 这样 的 结论 k 等于 k'
这 俩 系数 不 应该 有 什么 区别
你 就是 换 了 个 参考系 它 不 应该 有 什么 区别
这是 第一个
第二个 就是 根据 光速 不变 原理
咱们 想一想 假如 在 最 开始 的 时候
在 这个 车厢 和 原点 重合 的 时候
我 就 发射 了 一 道光 发射 了 一 道光
等 这 道光 打 到 猴子 的 时候 猴子 刚好 出现
我 再 重说 一遍
就是 在 车厢 位于 原点 时 在 这个 位置 发出 一 道光
然后 这 道光 经过 一段时间 刚好 打中 了 猴子
咱们 思考 这个 事
这个 事 如果 在 车厢 看来 是 什么 样子 的
在 车厢 看来
这个 光 的 速度 是 c 经过 的 时间 是 t'
然后 打到 了 猴子 对 不 对
所以 在 车厢 看来
这个 猴子 的 坐标 x' 就 应该 等于 ct'
在 车厢 看来 就是 这样 对 吧
你 在 车厢 这儿 发了 一 道光
经过 了 时间 t' 这个 打中 了 一个 猴子
所以 猴子 的 位置 就 应该 是 c 乘以 t'
你 在 地面 上 看来 也 是 一样 的
你 在 地面 上 看来 的 时候 你 也 是 发 了 一 道光
你 这 道光 经过 一段时间 t 打中 了 猴子
所以 x 也 等于 ct
这 就是 利用 光速 不变 原理 得 出来 的 结论
现在 我们 把 这 几个 式子 结合 一下
你 看一看 会 得出 什么
神奇 的 事 马上 就 发生 了
我们 让 这 两个 式子 相乘
左边 乘 左边 右边 乘 右边
xx'=kk'(x'+vt')(x'-vt')
然后 我们 做 一件 事
把 这个 x 和 x' 换成 ct' 和 ct
c²tt'=kk'(c+v)(c-v)tt'
你 看 是不是 这个 道理 对 吧
然后 你 再 把 这 左右 两边 的 这个 t 和 t'
你 把 它 约 了 t 和 t' 约 了
那么 你 就 会 发现
原来 kk' 是 可以 得出 一个 结论 的 对 不 对
所以 从 这个 我们 就 写 到 右侧
你 就 可以 得 出来
kk' 它 其实 是 等于 c²/(c²-v²)
好 你 不要 忘 了 这个 k 是 等于 k' 对 不 对
所以 我们 就 说 k=k'=1/(1-(v/c)²)
好 这样一来 我们 就 得出 了 这个 系数
系数 有 了 我们 再代 回去
就 得到 了 洛伦兹 变换 的 表达式
x=(x'+vt')/√(1-(v/c)²)
反过来 x'=(x-vt)/√(1-(v/c)²)
这个 就 叫做 洛伦兹 变换
也 就是 你 告诉 了 我 x' 和 t' 我 怎么 求出 x
你 告诉 我 x 和 t 我 怎么 求出 x'
而且 你 会 发现 这 里面 有 四个 变量
x x' t 和 t'
你 既然 可以 用 t 和 t' 表示 出 x x'
你 也 可以 反过来 解 对 不 对
反解 你 就 可以 反解出 两个 式子 来
就是 t=(t'+vx'/c²)/√(1-(v/c)²)
以及 t'=(t-vx/c²)/√(1-(v/c)²)
就 会 得出 这么 四个 式子 来
有 同学 可能 会 觉得 这 四个 式子 非常复杂
实际上 它 就 只有 一个
你 只要 得出 第一个
剩下 的 不是 通过 对称性 得到 的
就是 通过 反解 得到 的
而 这个 式子 表示 什么 含义 呢
这个 式子 的 含义 就是说
你 在 车厢 参考系 下 看 看到 一件 事
这 事 比如 猴子 掉下来 了
这个 事 它 的 坐标 是 x'
时间 是 t'
你 换 到 地面 参考系 下 看 它 的 坐标 变成 这个 样子
同样 道理 它 的 时间 呢
它 的 时间 变成 这个 样子 是不是
所以 我们 就 可以 从 一个 参考系 下 发生 的 事件
换 到 另外 一个 参考系 下 看
本质 上 来讲
它 和 这种 伽利略 变换 的 意思 是 差不多 的
只不过 它 比 伽利略 变换 多 了 一个 系数
看到 了 吗
多 了 底下 这个 系数
多 了 一个 叫做 洛伦兹 因子 的 东西
好 那么 现在 这个 变换 我们 已经 知道 了
有 了 这个 变换 狭义 相对论 你 基本上 就 了解 了
为什么 这么 说 呢
我们 可以 说
狭义 相对论 有 很多 很 神奇 的 这个 结论
但是 这些 结论 其实 你 都 是 可以 看作 是
通过 洛伦兹 变换 得 出来 的
比如说 第一个 叫做 同时 的 相对性
同时 的 相对性
Simultaneous relativity
也就是说 你 在 一个 参考系 下 看 同时 发生 的 事
你 换 一个 参考系 下 看 它 不 同时
这个 怎么 理解 呢
很 简单
比如说 我 在 地面 上 看 同时 发生 的 事
地面 上 看 同时 发生
那 就是 t 不变 对 不 对
t 是 相同 的
比如说 我令 t=0
这 就 表示 的 是 地面 是 同时 发生 的
那么 你 在 车厢 看来 t' 等于 什么 呢
你 看 这 公式 在 这 吗
t' 等于 如果 地面 上 t=0 的话
t'=-vx/c²×1/√(1-(v/c)²)
是 这么 一个 表达式
这 告诉 我们 什么
这 告诉 我们 在 不同 的 位置
它 的 时间 是 不 一样 的 是不是
你 越 往前 你 这个 时间 就 越早
就是 你 在 地面 上 看来 这 一趟 都 是 钟表
这些 钟表 都 是 同样 时刻 的
但是 你 在 车厢 看来
这些 钟表 不是 同样 时刻 的
越 往前 那个 钟 它 的 时刻 应该 越小
它 走 得 应该 越慢 才 对
这 就 叫 同时 的 相对性
一个 参考系 下 看来 同时 发生 的 事
另外 一个 参考系 下 看来 不是 同时 发生 的
好 咱们 再 比如说 还有 一个
我们 常说 的 叫做 什么 呢
叫做 尺缩 效应 尺缩 效应
什么 叫 尺缩 效应 呢
就是 一个 尺子
如果 它 不动 的话
它 是 L₀ 这么 长
如果 它 一动 起来 长度 就 变短 了
这是 为什么 呢
其实 也 很 简单
你 看 假如 这里 有 一把 尺子
这 把 尺子 正在 以 速度 v 运动
那么 我 在 地面 上 我 需要 进行 测量
我 需要 进行 测量
测量 的 时候 我 在 同一个 时刻
比如说 地面 上 的 时刻
t₁ 和 t₂ 是 相等 的
我 必须 在 同一个 时刻 测
所以 我 在 地面 上 看
这个 时间 t₁ 和 t₂ 是 完全 一样 的
然后 我要 测量 此时 的
地面 上 看 它 坐标 x₁ 和 x₂
我们 用 x₂ 和 x₁ 做差
We use x₂ and x₁ to make the difference
就是 我 地面 上测 出来 的 这个 尺子 的 长度 叫 L
所以 我们 就 说 地面 上测 出来 的
这个 长度 叫 L=x₂-x₁ 是不是
当然 我们 在 尺子 本身 来看
这个 尺子 本身 来看 它 是 往前 运动 的
所以 它 自身 有 一个 长度
这个 自己 感觉 的 长度 叫做 本征 长度 L₀
它 为什么 叫 本征 长度 呢
因为 它 就是 自己 本身
在 相对 于 自己 静止 的 参考系 下 看 你 的 长度
地面 上 看 这个 尺子 在 运动
所以 地面 上测 的 叫 非本征 长度
尺子 自己 看 尺子 不 动
所以 尺子 测量 的 叫 本征 长度
那 尺子 测量 的 本征 长度 怎么 测 呢
很 简单
本征 长度 就 等于 你 在 尺子 参考系 下 看
头有 一个 坐标 尾有 一个 坐标
你 用 x₂'-x₁'
这 不 就行了 吗 对 不 对
那么 x₂'-x₁' 是 什么 呢
咱们 看 x'=(x-vt)/√(1-(v/c)²)
所以 你 把 这个 代入 到 这里 边去
你 就 会 发现 L₀ 它 其实 等于
(x₂-x₁)/√(1-(v/c)²)
x₂-x₁ 就是 L 吧
所以 它 就 等于
L/√(1-(v/c)²)
把 这个 公式 倒 过来 写
L 就 等于 L₀×√(1-(v/c)²)
这 说明 你 原本 的 本征 长度 或者说 L₀
这个 叫 本征 长度
你 的 本征 长度 是 L₀ 的话
那么 你 在 运动 起来 之后
地面 上 看起来 你 的 长度 会 缩短
这 不 就是 尺缩 效应 吗
它 就是 因为 这个 洛伦兹 变换 得 出来 的
那么 洛伦兹 变换 又 是因为 有 两条 基本 假设
它 之所以 要 讲 这 两条 基本 假设
它 是 为了 解释 为什么 麦克斯韦 方程组
它 不是 协变 的
为了 解释 这个 问题 是不是
所以 它 整个 是 非常 连贯 非常 自洽 的
咱们 继续 看 还有 一个 很 有意思 的 现象
叫做 慢钟 效应 慢钟 效应
慢钟 效应 是 什么 意思 呢
就是 在 地面 上
比如说 有 一个 人 他 拿 着 一个 钟 拿 着 个 钟
此刻 这个 钟有 一个 示数
然后 这个 人 往前 奔跑 速度 是 v
过 了 一会 这个 人 看 这个 钟 它 又 有 一个 示数
好 那么 现在 我们 在 这个 人 本身 来看
这个 人 本身 拿 着 这个 钟
所以 这个 人 看来 的 示数 变化 就 叫 本征 时间
这个 人 是 跟 这个 钟 一起 跑 的
相当于 钟 静止 的 对 不 对
那么 此时 你 会 发现 这个 钟 的 示数 原来 叫 t₁'
后来 叫 t₂'
因此 我们 说 相对 于 这个 钟 而言
就 相当于 人 而言
这个 本征 时间 t₀ 应该 等于 t₂'-t₁'
这个 时间 是 本征 时间
为什么 叫 本征 时间
就是 我 这个 参考系 相对 于钟 是 静止 的
但是 地面 上 看来 可不是 这个 样子 的
地面 上 看来 它 这个 时钟 t 应该 等于 t₂-t₁
t₁ 和 t₁ 分别 是 什么 呢
分别 是 在 地面 上 看来 这钟 的 两个 示数 对 吧
那么 请问 t₂-t₁
和 t₂'-t₁' 之间 有 什么样 的 关系 呢
你 就要 注意 了
因为 这个 钟 一直 拿 在 人 的 手里
所以 有 两个 数是 相等 的
那 就是 x₁' 和 x₂'
这个 钟 在 人 的 手里 位置 没有 发生变化
所以 实际上 x₁' 是 等于 x₂' 的
好 那 现在 我们 来看 一下 应该 代入 哪个 公式
在 x₁' 相等 的 情况 下
我们 找 一个 公式 想算 t₂-t₁
t₂-t₁ 用 这个 公式
x' 是 相等 的
所以 t₂-t₁ 在 做 差 的 时候
这 一项 就 没 了 对 不 对
所以 它 就 直接 等于 什么 呢
它 就 直接 等于
(t₂'-t₁')/√(1-(v/c)²)
是 这个 结果 吧 咱们 来看
这个 时间 叫做 t
这个 叫做 本征 时间 t₀
所以 我们 改写 一下
没 地方 写 了 换个 地方
我 改写 一下
那 就 变成 了 t=t₀/√(1-(v/c)²)
这 就 说明 这个 t₀ 的 时间 是 本征 时间
这个 本征 时间 比较 短
一旦 你 运动 起来 的话
你 就 会 变成 非本征 时间
在 地面 上 看 是非 本征 时间
这个 非本征 时间 它 就 比较 长
那 不 就是 什么
所谓 的 慢钟 效应 对 不 对
所以 你 会 发现
其实 相对论 的 逻辑 是 非常 非常 自洽 的
如果 你 了解 一点 相对论 的话
你 就 会 发现 它 只 需要 从 两条 基本 假设 出发
就 可以 重塑 我们 整个 的 时空观
这 就 好像 是 欧几里得 从 几个 基本 假设 出发
构建 了 整个 的 欧几里得 几何学 一样 完美
当然 你 如果 认为
狭义 相对论 只是 一种 数学 游戏 的话
那么 爱因斯坦 还 在 1915 年 的 时候
提出 了 广义 相对论
并且 爱因斯坦 还 自己 提出 了
三种 可以 验证 广义 相对论 的 实验
最终 都 证明 爱因斯坦 是 正确 的
到 目前为止 还 没有 任何 一个 理论
能够 代替 相对论 去 解释 如此 复杂 的 宇宙 现象
那么 关于 广义 相对论 的 实验 证实
我们 会 在 下 一节课 再 给 大家 介绍
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