11岁 的 爱因斯坦 如何 证明 勾股定理 ？跟 中国 古人 比 谁 的 方法 好？ How did the 11-year-old Einstein prove the Pythagorean theorem? Who's method is better than the ancient Chinese?

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 最近 有个 小朋友 跟 我 说 他 听说 爱因斯坦 在 十一岁 的 时候 就 证明 了 勾股定理 他 想 问 我 爱因斯坦 是 怎么 证明 的 呢 那 今天 就 给 大家 来 介绍 一下 爱因斯坦 的 证明 方法 不过 我们 首先 还是 再 从 勾股定理 复习 复习 一下 勾股定理 大家 都 知道 应该 说 平面几何 中 最 重要 的 一个 定理 了 对 吧 有 一个 直角三角形 这个 直角三角形 短边 叫 a 长 直角 边 叫 b 斜边 叫 是 c 所以 这样一来 我们 就 有 a²+b²=c² 我们 中国 管它 叫 勾股定理 因为 这个 短 的 直角 边 我们 就 叫 它 勾 长 的 直角 边 叫做 股 而 斜边 我们 叫 它 弦 所以 我们 就 说 勾 的 平方 加股 的 平方 等于 弦 的 平方 或者说 勾 3 股 4 弦 5 意思 是 如果 这个 边 是 3 这个 边 是 4 那 这个 边 就 一定 是 5 对 吧 它 正好 满足 上面 这个 方程 好 这 就是 勾股定理 了 上 过 初中 的 同学 都 知道 这个 定理 但是 你 知道 它 怎么 证明 吗 勾股定理 至少 有 400 种 证明 方法 那 咱们 至少 得 知道 一种 吧 最早 证明 勾股定理 的 人 是 谁 呢 我们 简单 地说 一下 首先 最早 在 中国 我们 说 中国 发现 勾股定理 比较 早 在 中国 什么 时候 发现 的 呢 有 一个 书 名字 叫做 《 周 髀 算经 》 There is a book called "Zhou Tu Suan Jing" 在 这个 《 周 髀 算经 》 这本 数学 书 里边 记载 说 中国 在 公元前 1000 年 左右 就 发现 了 勾股定理 了 那 时候 有 两个 人 一个 人 叫 周公 一个 人 叫 商高 他们 两个 人 讨论 数学 问题 然后 讨论 的 时候 就 说 到 了 说 有 一个 直角三角形 这个 边 是 3 这个 边 是 4 这个 边 是 5 然后 《 周 髀 算经 》 还 说 如果 直角三角形 a 方加 b 方 就 等于 c 方 所以 我们 说 我们 中国 人 发现 这个 发现 的 比较 早 但是 《 周 髀 算经 》 里 并 没有 证明 就是 它 虽然 说 了 这个 定理 但 它 没有 证 那么 证明 这个 定理 的 人 是 谁 呢 是 三国 时期 三国 时期 当时 打仗 打得 很 厉害 但是 这个 吴国 还有 一个 数学家 名字 叫 赵爽 这个 赵爽 他 写 了 一 本书 叫 《 周 髀 算 经注 》 就是说 他 把 这个 《 周 髀 算经 》 里边 有 一些 说 得 不 清楚 的 问题 他 给 你 写 清楚 了 叫 《 周 髀 算 经注 》 在 这个 《 周 髀 算 经注 》 里面 赵爽 就 提出 了 一种 非常 简洁 的 证明 方法 那么 这种 证明 方法 咱们 一会 说 一下 除了 中国 以外 这个 古希腊 古希腊 也 有 一波 数学家 研究 这个 定理 比如说 我们 都 知道 了 毕达哥拉斯 毕达哥拉斯 他 提出 了 这个 定理 所以 在 西方 这个 定理 大多数 是 叫 毕达哥拉斯 定理 毕达哥拉斯 另外 一个 著名 的 故事 就是 因为 他 徒弟 发现 了 根号 2 而 把 他 徒弟 扔 到 了 爱琴海 里边 去 虽然 毕达哥拉斯 提出 了 这个 定理 但是 他 的 证明 其实 也 失传 了 那么 真正 把 这个 定理 证出来 的 人 是 谁 呢 是 欧几里得 欧几里得 的 证明 是 流传 下来 的 在 他 那本 著作 叫 什么 啊 叫 《 几何 原本 》 对 不 对 It's called "Geometry Yuanyuan", right? 《 几何 原本 》 《 几何 原本 》 这 本书 几千年 来 一直 是 我们 的 这个 经典 的 几何学 教材 我们 现在 初中 几何 基本上 也 是 《 几何 原本 》 的 内容 只不过 换 了 个 形式 换 了 个 作者 最后 内容 其实 都 是 差不多 的 但是 欧几里得 这种 证明 方法 是 比较复杂 的 下面 我们 就 来 具体来说 一下 证明 我们 首先 来看 一看 中国 的 这个 赵爽 的 这种 证明 为什么 用 他 的 这个 证明 呢 因为 他 的 这个 证明 非常 简洁 大家 都 能 看得懂 他 的 证明 叫做 勾股 圆方图 他用 了 一个 图来 证明 了 这个 勾股定理 他 在 这个 《 周 髀 算 经注 》 里面 写 了 这样 一句 话 叫做 勾股 ... 勾股 就是 那 两个 边 勾股 各自 乘 自乘 是 什么 意思 What does self-multiplying mean 就是 平方 勾股 各自 乘 然后 并 之 然后 为弦实 为弦实 然后 开方 除 之 And then divide it 开方 除之为 弦 说 这个 什么 意思 咱们 用 这个 图来 翻译 一下 其实 他 的 这个 说法 非常简单 就是说 你 要 证明 一个 直角三角形 a²+b²=c² 你 首先 把 这个 直角三角形 你 把 它 给 拼 起来 拼成 一个 这样 的 图形 这个 短边 是 a 是 吧 长边 是 b 然后 你 跟 它 一模一样 的 你 再 拼 四个 一样 的 拼 起来 短边 长边 就 这么 拼 拼 起来 拼 起来 了 之后 你 看 它 就 形成 了 这样 的 一个 图形 了 而且 这个 图形 很 显然 它 整个 大 的 它 是 个 正方形 为什么 呢 因为 直角三角形 这 两个 角 α 和 β 它加 起来 应该 是 90° 是不是 所以 这 两个 角加 起来 它 应该 是 90° 应该 是 个 直角 四个 角 都 是 直角 而且 斜边 都 是 c 斜边 都 是 c 是不是 所以 它 一定 是 一个 正方形 这个 正方形 里边 围出 一个 小 正方形 来 Enclose a small square inside this square 咱们 看看 这个 小 正方形 我们 知道 长 的 直角 边 叫 b 是 在 底下 三角形 中 它 是 b 对 不 对 短 的 直角 边 在 这个 直角三角形 中 它 是 a 所以 你 知道 这个 长度 是 多少 吗 这个 长度 是不是 就是 b-a 对 吧 而且 我们 还 可以 进行 证明 我们 看 中间 这个 小方块 叫 S 小方块 Let’s see the small square in the middle is called S small square 它 的 面积 加上 有 四个 直角三角形 对 吧 四个 S 三角形 的 面积 加 起来 等于 什么 呢 等于 整个 大 方块 的 面积 S 大 方块 是不是 我们 在 这个 图形 上 就 能 看 出来 是 吧 小方块 面积 加 四个 三角形 加 起来 等于 大 方块 然后 我们 把 它 展开 小方块 面积 是 什么 刚才 说 了 小方块 面积 边长 是 b-a 所以 就是 (b-a)² 三角形 面积 是 (1/2) 底 × 高 对 吧 (1/2)ab 等于 大 方块 大 方块 边长 是 c c² (b-a)² 会 展开 吗 b²-2ab+a² 对 不 对 所以 结论 就是 b²-2ab+a²+2ab=c² 我们 把 这个 -2ab 和 +2ab 去掉 最后 结果 是 a²+b²=c² 这个 就是 赵爽 的 这个 证明 方法 大家 可以 看 出来 这个 方法 是不是 非常 奇妙 就是说 我们 知道 勾股定理 之后 你 至少 得 掌握 一种 证明 方法 那 我 觉得 赵爽 这个 方法 就是 最好 的 那 它 是 非常 简洁 比较 好 证明 的 好 那么 除了 赵爽 这个 方法 我们 说 回到 今天 的 主题 说 这个 爱因斯坦 他 是 怎么 证明 的 爱因斯坦 他 在 十一岁 的 时候 是 如何 证明 勾股定理 的 我 看 有人 写 了 一篇 文章 是 这样 说 的 他 说 这个 爱因斯坦 在 1949 年 的 时候 回忆起 自己 小 的 时候 的 一些 经历 说 我 为什么 成为 伟大 的 科学家 因为 我 小 的 时候 受到 了 父母 的 启发 说 我 爸爸 在 四五岁 的 时候 送 我 一个 这个 指南针 我 就 觉得 这个 万物 的 规律 背后 都 有 一种 神秘 的 力量 我要 揭露 它 对 吧 后来 他 在 十一岁 的 时候 别人 又 送 他 一本 几何 书 他 觉得 特别 好看 他 叔叔 教他 勾股定理 的 时候 他 就 觉得 勾股定理 证明 这么 复杂 我 自己 搞 一个 好不好 于是 他 就 搞 出来 一个 方法 是 吧 这个 方法 其实 也 并 不是 很难 他 说 你 看 这 是 有 一个 直角三角形 这个 直角三角形 短边 叫 a 长边 叫 b 斜边 叫 c 对 吧 我要 证明 a²+b²=c² 我 怎么 证 呢 我 从 这个 直角 这 我往 这个 斜边 作 垂线 做 完 了 垂线 之后 把 它 分割 成 两个 小 三角形 一个 ① 一个 ② 然后 原来 这个 三角形 我们 就 管 它 叫 ③ 所以 我们 应该 知道 这个 从 面积 上 来讲 S① 一号 小 三角形 的 面积 加上 二号 小 三角形 的 面积 它 应该 等于 整个 大 三角形 的 面积 对 吧 大 三角形 面积 我 就 叫 它 S③ 好 了 等于 大 三角形 的 面积 现在 我们 做 这样 的 一个 工作 我们 把 这个 三角形 我们 把 它 依次 排开 ① 号 小 三角形 我 把 它 排开 ① 号 小 三角形 是 这样 它 比较 小 对 吧 这是 ① 号 小 三角形 ① 号 小 三角形 的 斜边 是 a 对 不 对 斜边 是 a ② 号 三角形 也 是 一个 直角三角形 但 它 比 ① 号 三角形 要 稍微 大 一些 ② 号 三角形 ③ 号 三角形 就是 整个 这个 三角形 ③ 号 三角形 是 最大 的 是 最大 的 这是 ③ 号 三角形 ② 号 三角形 的 斜边 应该 是 b ③ 号 三角形 的 斜边 是 c 好 我们 把 这 三个 三角形 一部分 一部分 和 整体 我 把 它 一字排开 排成一列 之后 咱们 再 去 思考 这 三个 三角形 是不是 长得 一模一样 所谓 长得 一模一样 在 数学 上 叫做 什么 叫做 相似 相似 的 意思 就是 对应 角是 相等 的 对应 边 是 成 比例 的 你 看 直角 都 相等 吧 这 三个 角 都 相等 吧 这些 角 都 相等 吧 对应 边 这个 这个 这个 的 比例 和 这个 这个 这个 的 比例 是 一样 的 对 不 对 这 叫 对应 角 都 相等 对应 边成 比例 在 数学 上 叫 相似 相似 就 有 很多 特点 了 比如说 我们 知道 相似 的 图形 面积 之 比 等于 边长 的 平方 比 但是 十一岁 的 爱因斯坦 他 可能 还 不 知道 这个 规律 不过 没有 关系 他 又 想 了 一个 办法 他 说 你 这么着 你 把 这个 斜边 我 做 一个 方块 这 三个 斜边 我 都 做 方块 这 三个 斜边 我 都 做 方块 做 完 了 方块 之后 我 问 你 你 说 这个 方块 的 面积 是 多少 很 显然 这 方块 的 面积 是 a² 吧 这 方块 的 面积 是 b² 吧 这 方块 的 面积 是 c² 对 不 对 我们 就 知道 了 而且 因为 这 三个 图形 它 是 相似 的 所以 咱们 看 每 一个 图形 中 三角形 和 方块 的 面积 之 比 是不是 应该 是 固定 的 我 再说 一遍 这句 话 就是 三个 图形 是 相似 的 所以 每 一个 图形 中 三角形 的 面积 比上 方块 的 面积 等于 另外 一个 图形 中 三角形 的 面积 比 方块 的 面积 等于 这个 图形 中 三角形 的 面积 比 方块 的 面积 对 吗 面积 比例 是 一样 的 因为 它们 是 相似 的 那么 既然 这样 上面 这个 方块 是 面积 a² 那 我 底下 三角形 我 是不是 可以 设成 ma² 对 吗 这个 面积 是 b² 我 底下 三角形 是不是 可以 设成 mb² 上面 是 c² 我 是不是 底下 三角形 可以 设成 mc² 对 不 对 就是 因为 你 这 三个 图形 它 是 相似 的 所以 说 它 面积 比例 固定 你 这个 是 a² 我 就是 ma² 你 这 是 b² 我 mb² 你 这 是 c² 我 mc² 这 m 是 一个 常数 这 三个 图形 中 它 是 完全 一样 的 好 了 有 了 这个 规律 之后 我们 回过头来 再 去 看 ① 号 三角形 面积 +② 号 三角形 面积 等于 ③ 号 三角形 面积 所以 就 有 什么 所以 就 有 ma²+mb²=mc² m 是 一个 常数 都 相等 的 我们 把 m 约 掉 We cancel m 那 不 就是 a²+b²=c² 吗 你 看 就 证明 完毕 了 对 吧 所以 爱因斯坦 的 这种 证明 方法 也 是 一个 非常 巧妙 的 他 利用 这种 证明 方法 主要 用 的 什么 特点 主要 用 的 相似 对 吧 数学 中 的 相似 但 实际上 他 也 用到 了 维度 你 看 在 相似 的 二维 图形 中 它 的 面积 是 长度 的 平方 比 所以 说 你 这个 相似 的 两个 图形 你 面积 比 就是 带个 平方 的 Your area ratio is just a square 所以 就是 a²+b²=c² 后来 爱因斯坦 又 提出 了 相对论 在 相对论 里面 有 一个 方程 叫质 能 方程 质能 方程 就 写法 叫 E=mc² E=mc² 就是 能量 等于 质量 乘以 光速 的 平方 你 看 长得 跟 它 一样 但是 含义 不 一样 这里 边 的 m 是 个 系数 而 c 只是 一个 边长 它 跟 这里 边 的 质量 和 光速 完全 不是 一 回事 是 吧 不过 话说回来 在 后来 爱因斯坦 提出 相对论 的 时候 的确 反复 用到 了 一些 数学 思想 比如说 像 对称性 比如说 像 维度 这些 思想 他 都 是 用到 了 所以 说 爱因斯坦 的 数学 其实 是 很 强 的 不过 爱因斯坦 上 大学 的 时候 也 经常 逃课 上课 睡觉 所以 被 他 的 老师 闵可 夫斯基 斥责 为 一条 懒狗 我们 经常 看到 E=mc² 这个 式子 叫质 能 方程 对 吧 那么 它 的 含义 是 什么 呢 它 又 是 如何 推导 出来 的 呢 那下 一回 想 跟 大家 介绍 一下 关于 质能 方程 的 知识 大家 如果 喜欢 我 的 视频 可以 在 YouTube 账号 李永乐 老师 订阅 我 点击 小 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息