无限 旅馆 悖论 -JeffDekofsky

在 1920年 ，

德国 数学家 David Hilbert

设计 了 一个 著名 的 思维 实验

向 我们 展示 了

深入 思考 无限 的 理念 到底 有 多 难 。

想象 一个 酒店 有 无限 数量 的 房间

和 一个 认真 工作 的 夜班 经理 。

一天 晚上 ，无限 酒店 满房 了 ，

被 无限 数量 的 客人 全部 预定 了 。

一个 男士 走进 了 酒店

并且 要求 一个 房间 。

夜班 经理 并 没有 拒绝 他 ，

而是 决定 给 他 一个 房间 。

怎么 可能 ？

很 简单 ，他 让 1号 客房 的 客人

搬到 了 2号 客房 ，

2 号 客房 的 客人 搬 到 3 号 客房 ，

以此类推 。

每个 客人 从 “n”号 房间

搬入 “n+1”号 房间 。

因为 那里 有 一个 无限个 房间 ，

总有 一个 新 房间 给 每一个 已有 的 客人

这样 1号 房间 就 留给 了 新 的 客人 。

这个 过程 可以 被 重复

给 任何 有限 数量 的新 客人 们 。

假设 一个 观光 大巴

40人 下车 要 找 房间 ，

那么 每个 已 在 的 客人 只要

从 “n"号房间

搬到 “n+40"号 房间 ，

因此 ，就 能 打开 新 的 40个 房间 。

但是 现在 有 一个 无限大 的 巴士

拉 了 可数 的 无限 多 的 乘客

来 租 房间 。

可数 的 无限 是 关键 。

现在 ，极大 的 巴士 的 无限 的 乘客

一 开始 为难 了 夜店 经理 ，

但是 他 意识到 有 一个 方法

来 安置 每 一个 新人 。

他 让 1号 房间 的 客人

搬到 了 2号 房间 。

他 然后 让 2号 房间 的 客人

搬到 了 4号 房间 ，

3号 房间 的 客人

搬到 6号 房间 ，

以此类推 。

每一个 当前 的 客人 从 ”n"号房间

搬到 了 “2n“号房间，

填补 了 只有 无限 的 偶数号 房间 。

通过 这个 ，他 现在 清空 了

所有 的 无限 的 奇数 号 房间 ，

无限大 的 巴士 的 乘客 们

将 占用 这些 奇数 房间 。

每个 人 的 开心 和 酒店 的 生意

达到 了 从未 有过 的 兴荣 。

好吧 ，事实上 ，它 只是 和 以前 一样

一直 在 兴荣 ，

在 一夜之间 把 无数 的 美元 存入 银行 。

关于 这家 惊人 的 酒店 的 消息 传开 了 。

人们 从 世界 各地 蜂拥而来 。

一天 晚上 ，意外 发生 了 。

夜班 经理 看 了 外面

并且 看到 了 由 无限 大巴 们

组成 的 一个 无限 的 排列 ，

每个 大巴 都 有 一个 可数 的 无限 多 的 客人 。

他 能干 些 什么 ？

如果 他 不能 给 他们 找到 房间 ，

这个 酒店 可能 会

失去 一大笔 无数 的 钱 ，

并且 他 肯定 会 失去 他 的 工作 。

幸运 的 是 ，他 记得

在 公元 300 年 前 ，

Euclid 证明 了 质数 的

一个 无穷 量 。

所以 ，为了 完成 这个 看上去 不 可能 的 任务

找到 无数 的 床

给 无数 的 大巴 上 的

无数 的 疲倦 的 旅客 们 ，

夜店 经理 安排 给 每个 当前 的 客人

第一个 质数 ，2 ，

幂指数 为 他们 当前 的 房间 号 。

因此 ，当前 所 居住 房间 号 为 7

那么 就要 住 到 房间 号 为 2的 7次方 的 房间 里 ，

也 就是 128号 房 。

夜班 经理 然后 带领

在 第一个 超级 大巴 们 上 的 人们

并且 安排 了 房间 号 给 他们

下一个 质数 ，3 ，

幂指数 为 他们 在 大巴 的 座位号 。

因此 ，座位号 为 7 的 第一辆 大巴 上 的 人

到 房间 号 为 3 的 七次方

即 2187号 房间 去 。

这个 过程 持续 给 第一辆 大巴 上 的 所有人 。

第二辆 大巴 上 的 乘客 们

被 安排 到 了 下一个 质数 ，5的 幂 .

接下 的 大巴 ，7 的 幂 。

每辆 大巴 如下 ：

11 的 幂 ，

13 的 幂 ，

17 的 幂 ，等等 。

因为 这些 数字 每一个

都 只有 1 和 它们 的 幂 本身

作为 因数 ，

因此 就 没有 重叠 数字 号 的 房间 。

所有 大巴 乘客 们 呈 扇形 散开 到 各自 房间 去

利用 独特 的 房间 安置 计划

基于 独特 的 质数 们 。

这样 一来 ，夜班 经理 能够 安排

每辆 大巴 的 每位 乘客 入住 。

尽管 ，还有 许多 房间 是 空的 ，

像是 6号房

因为 6 不是 任何 质数 的 幂 。

幸运 的 是 ，他 的 老板 数学 不是 很 棒 ，

所以 他 的 工作 是 安全 的 。

夜班 经理 策略 的 实现 是 可能 的

仅仅 因为 infinite 酒店

一定 是 难办 之 事 ，

它 只能 处理 最低水平 的 无穷 数 ，

主要 是 可数 的

无限 自然数

1 ，2 ，3 ，4 .等等 。

GeorgeCantor 称 这个 水平 为 无穷大 阿列夫零 .

我们 使用 自然数 为 房间 号

同时 也 是 大巴 的 座位号 。

如果 我们 处理 更 高级 顺序 的 无穷 数 ，

比如 实数 ，

这些 结构 策略

便是 不 可能 的

因为 我们 没有 办法

系统地 包含 每 一个 数字 。

实数 Infinite 酒店

有 负数 号 的 房间 在 地下室 ，

分数 号 的 房间 ，

因此 房间 号 为 二分之一 的 人 总 怀疑

他 的 房间 小于 1号房 的 人 。

平方根 的 房间 ，像 房间 号 为 根号 2 的 房间

和 房间 号 为 圆周率 的 房间 ，

这些 乘客 期待 免费 的 点心 。

而 什么样 的 自重 的 夜班 经理

会 想要 在 那 工作

甚至 是 为了 无穷的 薪水 ？

但是 再 看看 Hilbert 的 Infinite 酒店 ，

永远 都 不会 有 空缺

并且 总是 有 房间 给 更多的 人 ，

永远 的 勤劳 还有 可能 太 热情好客 的 夜班 经理

面临 着 这样 的 场景

是 在 提醒 我们

我们 这样 相对 有 穷 的 思维

想 掌握 一个 像 无穷 数 一样 大 的 概念 。

是 有 多么 困难

可能 你 在 好好 睡 了 一晚 后

能 解决 这些 问题

但是 老实 说 ，我们 可能 需要 你

在 凌晨 2点 换 房间 。