Μαθηματικά | Διαιρέτες φυσικού αριθμού & Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης | ΣΤ' Δημοτικού Επ. 15 Mathematics|Divisors|natural|number|Greatest|Common|Divisor|6th|Primary School|Episode Mathématiques | Diviseurs des nombres naturels et Diviseur commun maximal | 6ème année Ep. 15 Mathematics | Divisors of a natural number & Greatest Common Divisor | 6th Grade Episode 15

Γεια σας, παιδιά! hello|to you|children Hello, kids!

Θα κάνουμε σήμερα Μαθηματικά της Στ' τάξης. will|we will do|today|Mathematics|of the|6th|grade Today we will do 6th grade Mathematics.

Αφορά το κεφάλαιο 1.12, όπως το βλέπετε ήδη στην οθόνη σας, It concerns|the|chapter|as|it|you see|already|on the|screen|your It concerns chapter 1.12, as you can already see on your screen,

και στη συνέχεια θα πούμε για κάποιες άλλες ενότητες... and|in the|continuation|will|we will say|about|some|other|sections and then we will talk about some other sections...

έτσι ώστε να έχουμε μια ολοκληρωμένη άποψη so|that|to|we have|a|comprehensive|view so that we have a complete view

για το μέγιστο κοινό διαιρέτη, για τους διαιρέτες... about|the|greatest|common|divisor|for|the|divisors of the greatest common divisor, for the divisors...

και τα κριτήρια διαιρετότητας για τα οποία θα πούμε στη συνέχεια. and|the|criteria|divisibility|for|the|which|will|we will say|in the|continuation and the divisibility criteria that we will discuss next.

Θα ξεκινήσουμε λοιπόν σήμερα με τους διαιρέτες ενός αριθμού... we will|start|therefore|today|with|the|divisors|of a|number So we will start today with the divisors of a number...

και με το τι είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης. and|with|the|what|is|the|greatest|common|divisor and with what the greatest common divisor is.

Αντιλαμβάνεστε από τη λέξη και μόνο, you understand|from|the|word|and|only You can understand from the word alone,

τις λέξεις που χρησιμοποιώ, ότι έχουμε να κάνουμε με διαίρεση. the|words|that|I use|that|we have|to|do|with|division the words I am using, that we are dealing with division.

Πάμε λοιπόν να δούμε ένα πρώτο πρόβλημα, let's go|therefore|to|see|a|first|problem So let's go and look at a first problem,

και να δούμε πώς προσεγγίζουμε τη διαίρεση σε σχέση... and|to|see|how|we approach|the|division|in|relation and see how we approach division in relation...

με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη και το τι είναι αυτό. with||||||||| to the greatest common divisor and what that is.

Μας λέει λοιπόν ότι σε ένα ζαχαροπλαστείο ετοιμάζουν συσκευασίες με διάφορα γλυκά. It tells us that in a pastry shop they prepare packages with various sweets.

Έχουν 40 τρουφάκια, 48 εκλέρ και 32 καριόκες. they have|truffles|eclairs|and|karyokes They have 40 truffles, 48 éclairs, and 32 karjokes.

Μοιράζουν τα γλυκά με τέτοιο τρόπο -προσέξτε όμως-, they distribute|the|sweets|in|such|way|pay attention|but They distribute the sweets in such a way - but pay attention -

ώστε όλα τα κουτιά να είναι ίδια μεταξύ τους. so that|all|the|boxes|to|are|same|among|them that all the boxes are the same as each other.

Να είναι όσο το δυνατόν περισσότερα... to|are|as|the|possible|more To be as many as possible...

και να μην περισσεύει κανένα γλυκό. and|to|not|remains|any|sweet and not to have any sweets left over.

Πρέπει λοιπόν να βρούμε εμείς έναν τρόπο... must|therefore|to|we find|we|a|way So we must find a way...

με τον οποίο θα μοιράσουμε τα γλυκά αυτά, with|the|which|will|we distribute|the|sweets|these to distribute these sweets,

ώστε κανείς να μην μείνει παραπονεμένος... so that|no one|to|not|remains|disappointed so that no one is left disappointed...

και σε κάθε κουτί να υπάρχουν ακριβώς ίδιες ποσότητες. and|in|every|box|to|there are|exactly|same|quantities and in each box to have exactly the same quantities.

Πάω λοιπόν να γράψω... I go|therefore|to|I write So I'm going to write...

τα νούμερα τα οποία σας είπα. the|numbers|the|which|to you|I said the numbers I told you.

Και είναι: 40 τρουφάκια. and|they are|truffles And they are: 40 truffles.

Τα σημειώνω. them|I note I note them down.

40 τρουφάκια. truffles 40 truffles.

48 εκλέρ. eclairs 48 eclairs.

32 καριόκες. kariokas 32 kariokas.

Τι θέλουμε να κάνουμε εμείς; what|we want|to|we do|we What do we want to do?

Θέλουμε να μοιράσουμε αυτά τα γλυκά σε συσκευασίες, we want|to|we distribute|these|the|sweets|in|packages We want to distribute these sweets in packages,

που η κάθε συσκευασία θα έχει ακριβώς την ίδια ποσότητα από το κάθε είδος. that|the|each|package|will|has|exactly|the|same|quantity|of|the|each|type where each package will have exactly the same amount of each type.

Προσέξτε λοιπόν πώς πρέπει να ξεκινήσουμε. pay attention|therefore|how|must|to|we start So pay attention to how we should start.

Έχουμε τρεις αριθμούς. Τρεις ακεραίους αριθμούς. we have|three|numbers|three|integer|numbers We have three numbers. Three whole numbers.

Το 40, το 48 και το 32. the|the|and|the The 40, the 48, and the 32.

Πάμε να βρούμε λοιπόν τους διαιρέτες του καθενός. let's go|to|find|therefore|the|divisors|of the|each So let's find the divisors of each.

Τι σημαίνει διαιρέτης; what|means|divisor What does divisor mean?

Διαιρέτης είναι ο αριθμός που διαιρεί ακριβώς τον καθέναν από αυτούς. divisor|is|the|number|that|divides|exactly|the|each|of|them A divisor is the number that divides exactly each of these.

Γράφουμε το γράμμα Δ, που σημαίνει διαιρέτης, we write|the|letter|D|that|means|divisor We write the letter D, which means divisor,

και πάμε να βρούμε τους διαιρέτες του 40. and|we go|to|find|the|divisors|of and let's find the divisors of 40.

Προσέξτε! Ο πιο εύκολος τρόπος για να μην ξεχάσουμε κάποιον, είναι ο εξής: pay attention|the|most|easy|way|to|to|not|forget|someone|is|the|following Be careful! The easiest way to not forget someone is as follows:

Ξεκινάμε πάντα και λέμε ότι οι διαιρέτες ενός αριθμού είναι πάντα ο ίδιος και το 1. we start|always|and|we say|that|the|divisors|of a|number|are||the|same|and|the We always start by saying that the divisors of a number are always itself and 1.

Άρα, τι κάνω εγώ όταν διδάσκω στα παιδιά της τάξης μου; so|what|I do|I|when|I teach|to the|children|of the|class|my So, what do I do when I teach the children in my class?

Γράφω το πρώτο ζευγάρι. Τον αριθμό 1 και μακριά το 40. I write|the|first|pair|the|number|and|far|the I write the first pair. The number 1 and far away the 40.

Γιατί; Γιατί είναι οι δύο οι οποίοι σίγουρα διαιρούν το 40. why||they are|the|two|who|who|surely|they divide|the Why? Because they are the two that definitely divide 40.

Πάμε να δούμε μετά το 1, ο αριθμός 2 διαιρεί το 40; let's go|to|see|after|the|the|number|divides|the Let's see after 1, does the number 2 divide 40?

Ακριβώς! Βεβαίως το διαιρεί. exactly|of course|it|divides Exactly! Of course it divides.

Με ποιο; Το 2 χωράει στο 40 πόσες; with|which|the|fits|into|how many How many times does 2 fit into 40?

20 φορές. Άρα πάω και γράφω και το ζευγαράκι του. times|so|I go|and|I write|and|the|pair|of it 20 times. So I go and write its pair.

Έχουμε λοιπόν το 2 και το 20. we have|therefore|the|and|the So we have 2 and 20.

Προχωράμε. Το 3 στο 40; Όχι. we proceed|the|to the|No Let's move on. 3 at 40? No.

Το 4; Βεβαίως. Γιατί; the|of course|why 4? Of course. Why?

Γιατί από την προπαίδεια εσείς ξέρετε, because|from|the|multiplication table|you|you know Because from the multiplication table you know,

ότι 4 Χ 10 = 40. that|times that 4 X 10 = 40.

Άρα το επόμενο ζευγάρι είναι το 4 και το 10. so|the|next|pair|is|the|and|the So the next pair is 4 and 10.

Προχωράμε. Υπάρχει άλλος διαιρέτης; we proceed|is there|another|divisor Let's move on. Is there another divisor?

Βεβαίως υπάρχει. Ποιος είναι; of course|there is|who|is Of course there is. Who is it?

Το 5. the The 5.

Με ποιο είναι το 5 που αν πολλαπλασιαστεί ακριβώς μου δίνει το 40 από την προπαίδεια; with|which|is|the|that|if|multiplied|exactly|to me|gives|the|from|the|multiplication table Which is the 5 that when multiplied gives me exactly 40 from the multiplication table?

Το 8. the The 8.

Άρα συγκέντρωσα όλους τους διαιρέτες του 40. so|I gathered|all|the|divisors|of the So I gathered all the divisors of 40.

Προχωράμε, παιδιά, με τον ίδιο τρόπο στους διαιρέτες του 48. we proceed|kids|with|the|same|way|to the|divisors|of the Let's move on, kids, in the same way with the divisors of 48.

Τι είπαμε λοιπόν; Ξεκινάμε με το 1 και τον ίδιο τον αριθμό σε απόσταση, το ζευγάρι. what|we said|then|we start|with|the|and|the|same|the|number|at|distance|the|pair So what did we say? We start with 1 and the number itself at a distance, the pair.

Ο επόμενος αριθμός που διαιρεί; Το 2. the|next|number|that|divides|the The next number that divides? 2.

2 φορές πόσο που κάνει 48; times|how much|that|makes 2 times how much makes 48?

2 Χ 24 = 48. times 2 X 24 = 48.

Προχωράμε με το 3. we proceed|with|the Let's move on to 3.

Το 3 στο 48 χωράει; the|into|does it fit Does 3 fit into 48?

Βεβαίως χωράει. Πόσες; of course|it fits|how many Of course it fits. How many?

16 φορές. times 16 times.

Πάμε στο 4. let's go|to the Let's go to 4.

Το 4 χωράει στο 48; the|fits|in the Does 4 fit into 48?

Βεβαίως. Πόσες; 12. of course|how many Of course. How many? 12.

Πάμε να δούμε, με το 5 έχουμε; let's go|to|see|with|the|we have Let's see, do we have it with 5?

Όχι. Με το 6; no|with|the No. With 6?

Βεβαίως έχουμε με το 6. Γιατί; of course|we have|with|the|why Of course we have it with 6. Why?

Γιατί από την προπαίδεια γνωρίζουμε ότι 6 Χ 8 = 48. because|from|the|multiplication table|we know|that|times Because from the multiplication table we know that 6 x 8 = 48.

Πάμε λοιπόν να δούμε και το 32. let's go|then|to|see|and|the So let's go and see 32.

Τους διαιρέτες του 32. the|divisors|of the The divisors of 32.

Επαναλαμβάνω ότι ξεκινάμε με το 1 και τον ίδιο τον αριθμό το 32. I repeat|that|we start|with|the|and|the|same|the|number|the I repeat that we start with 1 and the number itself, 32.

Με το 2 βεβαίως. Γιατί; with|the|of course|why Of course with 2. Why?

Γιατί 2 Χ 16 = 32. because|times Because 2 X 16 = 32.

Πάμε με το 3. Όχι. let's go|with|the|No Let's go with 3. No.

Με το 4; Βεβαίως. Γιατί; with|the|Of course|why With 4? Of course. Why?

4 Χ 8 = 32. times 4 X 8 = 32.

Με το 5; with|the With the 5?

Όχι. Με το 6; no|with|the No. With the 6?

Όχι. Με το 7; no|with|the No. With the 7?

Όχι. Με το 8; no|with|the No. With the 8?

Το έχουμε ήδη γραμμένο. it|we have|already|written We already have it written.

Άρα έχουμε συγκεντρώσει και τους διαιρέτες του 32. so|we have|gathered|and|the|divisors|of the So we have also gathered the divisors of 32.

Προσέξτε τώρα τι κάνουμε! pay attention|now|what|we do Now pay attention to what we are doing!

Έχουμε τους διαιρέτες όλων των αριθμών που ζητήσαμε. we have|the|divisors|of all|the|numbers|that|we requested We have the divisors of all the numbers we requested.

Του 40, του 49 και του 32. of the|of the|and|of the Of 40, 49, and 32.

Πάμε λοιπόν και βλέπουμε ποιοι είναι οι κοινοί. let's go|therefore|and|we see|who|are|the|common So let's go and see who the common ones are.

Τι σημαίνει κοινοί; Κοινοί, παιδιά, σημαίνει ίδιοι. what|means|common|common|kids|means|same What does common mean? Common, kids, means the same.

Ποιοι είναι οι ίδιοι διαιρέτες; who|are|the|same|divisors Who are the same divisors?

Είναι λοιπόν το 1. it is|therefore|the So it is 1.

Είναι το 2. it is|the It is 2.

Είναι το 4. it is|the It is 4.

Το 5 βλέπουμε ότι δεν είναι σε όλους τους αριθμούς. the|we see|that|not|it is|in|all|the|numbers We see that 5 is not in all the numbers.

Το ίδιο και το 6. the|same|and|the The same goes for 6.

Ο αμέσως επόμενος που υπάρχει είναι το 8. the|immediately|next|who|exists|is|the The next one that exists is 8.

Και από εκεί και πέρα έχουμε: and|from|there|and|beyond|we have And from there we have:

το 10, το 12, το 20 κλπ δεν είναι. Σταματάμε λοιπόν στο 8. the|the|the|etc|not|are|we stop|therefore|at the 10, 12, 20 etc. are not. So we stop at 8.

Προσέξτε! Έχουμε λοιπόν τους ίδιους, τους κοινούς, τους έχουμε υπογραμμίσει. pay attention|we have|therefore|the|same|the|common|the|we have|underlined Watch out! So we have the same ones, the common ones, we have highlighted them.

Θέλω από αυτούς τους κοινούς, τους ίδιους, I want|from|these|the|common|the|same I want to find out who is the greatest among these common ones, the same ones.

να βρω ποιος είναι ο μεγαλύτερος. to|find|who|is|the|biggest Here is the greatest.

Νάτος ο μεγαλύτερος. here he is|the|biggest Here he is, the greatest.

Άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ) των αριθμών: therefore|the|greatest|common|divisor|GCD|of the|numbers So the greatest common divisor (GCD) of the numbers:

40, 48, 32 είναι ο 8. 40, 48, 32 is 8.

Τι σημαίνει όμως αυτό σε σχέση με τα ερωτήματα που θέσαμε στο πρόβλημα που ξεκινήσαμε; ||||||||||we posed|||| But what does this mean in relation to the questions we posed in the problem we started with?

Ότι εμείς μπορούμε να φτιάξουμε 8 συσκευασίες. That we can create 8 packages.

8 συσκευασίες γιατί; packages|why 8 packages, why?

Γιατί ο μεγαλύτερος ίδιος, κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών είναι το 8. because|the|greatest|same|common|divisor|of these|the|numbers|is|the Because the greatest common divisor of these numbers is 8.

Ναι, αλλά στη κάθε συσκευασία τι θα βάλουμε μέσα; yes|but|in the|each|package|what|will|we will put|inside Yes, but what will we put inside each package?

Πάμε λοιπόν να απαντήσουμε στο κάθε ένα κουτί... let's go|therefore|to|we answer|to the|each|one|box So let's go ahead and answer for each box...

που θα φτιάξουμε, πόσα είδη θα βάλουμε μέσα. that|will|we will make|how many|types|will|we will put|inside what we will make, how many types we will put inside.

Τι θα πούμε λοιπόν, παιδιά; what|will|we will say|then|kids So what will we say, kids?

Πάμε να δούμε. Είπαμε ότι ο ΜΚΔ είναι το 8. let's go|to|see|we said|that|the|GCD|is|the Let's go see. We said that the GCD is 8.

Δηλαδή, θα φτιάξω 8 συσκευασίες. that is|will|I will make|packages That is, I will make 8 packages.

Άρα από τα 40 τρουφάκια, αν εγώ τα διαιρέσω με το 8, so|from|the|truffles|if|I|them|divide|by|the So from the 40 truffles, if I divide them by 8,

στο κάθε κουτί τι θα βάλω μέσα; in the|each|box|what|will|I put|inside what will I put inside each box?

5 τρουφάκια. truffles 5 truffles.

Από τα 48 εκλέρ, αν διαιρέσω δια 8, from|the|éclairs|if|I divide|by From the 48 éclairs, if I divide by 8,

θα βάλω πόσα; 6. I will|put|how many How many should I put? 6.

Και από τις 32 καριόκες θα πρέπει να βάλω πόσες; and|from|the|karyokes|I will|must|to|put|how many And how many of the 32 karikoyes should I put?

32 : 8 = 4 καριόκες. karyokes 32 : 8 = 4 karikoyes.

Αυτή είναι μία πρώτη προσέγγιση. this|is|a|first|approach This is a first approach.

Πάμε να δούμε άλλο ένα πρόβλημα, let's go|to|see|another|one|problem Let's go see another problem,

έτσι ώστε να έχουμε μια πιο ολοκληρωμένη άποψη. so|that|to|we have|a|more|comprehensive|view so that we have a more complete view.

Και το διαβάζουμε μαζί. and|it|we read|together And we read it together.

Έχουμε έναν βιβλιοπώλη ο οποίος θέλει να φτιάξει όσο το δυνατό περισσότερα... we have|a|bookseller|who|who|wants|to|make|as|the|possible|more We have a bookseller who wants to create as many as possible...

όμοια πακέτα με χρωματιστές πλαστελίνες. same|packages|with|colored|playdoughs similar packages with colored playdough.

Έχει 48 κόκκινες και 36 κόκκινες πλαστελίνες. he has|red|and|red|playdoughs He has 48 red and 36 blue playdoughs.

Πόσα πακέτα θα φτιάξει χωρίς να του περισσέψει καμία πλαστελίνη; how many|packages|will|he will make|without|to|to him|remain|any|playdough How many packages will he make without any playdough left over?

Θα δουλέψουμε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο. will|we will work|exactly|with|the|same|way We will work exactly the same way.

Δηλαδή τι θα κάνουμε; that is|what|will|we will do So what are we going to do?

Θα πάμε να βρούμε από τις πλαστελίνες μας... will|we will go|to|we will find|from|the|playdough|our We will go to find from our playdough...

τον ακέραιο αριθμό, τους διαιρέτες του καθενός. the|integer|number|the|divisors|of the|each the whole number, the divisors of each.

Έχουμε λοιπόν πλαστελίνες οι οποίες είναι: we have|therefore|playdough|which|that|are So we have playdoughs which are:

48 πράσινες και 36 κόκκινες. green|and|red 48 green and 36 red.

Πάμε με τον ίδιο τρόπο που είπαμε πριν να βρούμε τους διαιρέτες των αριθμών. let's go|with|the|same|way|that|we said|before|to|we find|the|divisors|of the|numbers Let's go the same way we said before to find the divisors of the numbers.

Έχουμε τους διαιρέτες του 48. we have|the|divisors|of the We have the divisors of 48.

Ξεκινάμε είπαμε το 1 και τον εαυτό του. we start|we said|the|and|the|itself|of it We start with 1 and itself.

Με το 2. Στο 48 πόσες; 24. with|the|in the|how many With 2. How many at 48? 24.

Με το 3. Πόσες; 16. with|the|how many With 3. How many? 16.

Με το 4. with|the With 4.

Πόσες; 12. how many How many? 12.

Έχουμε και το 6 και το 8. we have|and|the|and|the We have both 6 and 8.

Λίγο το κόλλησα εκεί, δεν πειράζει, το βλέπετε. a little|it|I stuck|there|not|it doesn't matter|it|you see I stuck it there a bit, it doesn't matter, you can see it.

Οι διαιρέτες λοιπόν του 48 είναι αυτοί. the|divisors|therefore|of the|are|these So the divisors of 48 are these.

Πάμε να δούμε του 36. let's go|to|see|of the Let's go see those of 36.

Οι διαιρέτες του 36 είναι το 1 και το 36. the|divisors|of the|are|the|and|the The divisors of 36 are 1 and 36.

Είναι το 2 και το 18. They are|the|and|the They are 2 and 18.

Είναι το 3 και το 12. They are|the|and|the They are 3 and 12.

Και επειδή υπάρχει κι άλλος ένας αριθμός... And|because|there is|also|another|one|number And because there is one more number...

ο οποίος, αν τον πολλαπλασιάσω με τον εαυτό του μου δίνει 36, the|who|if|him|I multiply|with|the|self|his|to me|it gives which, if I multiply it by itself gives me 36,

είναι και το 6. it is|and|the is also 6.

Τι θα κάνουμε λοιπόν; what|will|we do|then So what will we do?

Θα πρέπει να βρούμε τους κοινούς διαιρέτες. will|must|to|we find|the|common|divisors We will need to find the common divisors.

Τι είπαμε ότι είναι οι κοινοί διαιρέτες; Οι ίδιοι. what|we said|that|they are|the|common|divisors|the|same What did we say common divisors are? The same.

Για να τους υπογραμμίσουμε! in order to|to|them|we underline To highlight them!

Είναι το 1, είναι το 2, είναι το 3. they are|the|they are|the|they are|the It's 1, it's 2, it's 3.

Το 4 δεν είναι κοινό. Είναι το 6. the|not|it is|common|it is|the 4 is not common. It's 6.

Το 8 δεν είναι κοινό. Και το 12. the|not|is|common|and|the The 8 is not common. And the 12.

Μετά έχουμε 16, 24, 48, 18, 36. then|we have Then we have 16, 24, 48, 18, 36.

Τι πρέπει να κρατήσουμε, παιδιά, εμείς από αυτό; what|must|to|we keep|children|we|from|this What should we keep, kids, from this?

Πρέπει να κρατήσουμε το μεγαλύτερο. must|to|we keep|the|largest We should keep the largest.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος; Είναι το 12. who|is|the|largest|It is|the Who is the greatest? It is 12.

Άρα τι θα πρέπει να γράψω; so|what|will|must|to|I write So what should I write?

Ότι ο ΜΚΔ των αριθμών 48 και 36 είναι το 12. that|the|LCM|of the|numbers|and|is|the That the GCD of the numbers 48 and 36 is 12.

Τι σημαίνει αυτό; what|means|this What does that mean?

Σημαίνει ότι ο βιβλιοπώλης θα πρέπει να φτιάξει 12 συσκευασίες. it means|that|the|bookseller|will|must|to|make|packages This means that the bookseller will need to make 12 packages.

Οι οποίες μέσα τώρα πρέπει να δούμε τι θα έχουν. the|which|inside|now|must|to|see|what|will|they will have Now we need to see what will be inside them.

Πώς θα το κάνουμε αυτό; how|will|it|we do|this How will we do this?

Θέλουμε να βρούμε πόσες πράσινες πλαστελίνες θα βάλει. we want|to|find|how many|green|playdough|will|he will put We want to find out how many green playdoughs he will put in.

Και πόσες κόκκινες. and|how many|red (plural) And how many reds.

Πόσα πακέτα θα φτιάξει; how many|packages|will|he/she will make How many packages will he make?

12\\. Άρα το 12 στο 48 χωράει 4 φορές. therefore|the|in|fits|times 12\. So 12 fits into 48 four times. Άρα θα βάλει 4 πράσινες πλαστελίνες. therefore|will|he/she will put|green (plural)|playdoughs So he will put in 4 green playdoughs.

Και το 12 στο 36 χωράει 3 φορές. and|the|in|fits|times And 12 goes into 36 three times.

Θα βάλει λοιπόν πόσες κόκκινες; Τρεις. will|put|therefore|how many|red|three So how many red ones will he put? Three.

Καταλαβαίνετε λοιπόν ότι ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βρίσκουμε εμείς... you understand|therefore|that|the|way|with|the|which|we can|to|find|we So you understand that the way we can find...

τους διαιρέτες και τον ΜΚΔ είναι πάρα πάρα πολύ απλός. the|divisors|and|the|GCD|is|very|very|very|simple the divisors and the GCD is very, very simple.

Πάμε να δούμε στα Μαθηματικά τι σημαίνει διαιρέτης και τι ΜΚΔ. let's go|to|see|in the|Mathematics|what|means|divisor|and|what|GCD Let's go see in Mathematics what a divisor means and what GCD is.

(Η δασκάλα διαβάζει την πρώτη παράγραφο) the|teacher|reads|the|first|paragraph (The teacher reads the first paragraph)

(Η δασκάλα διαβάζει τη δεύτερη παράγραφο) the|teacher|reads|the|second|paragraph (The teacher reads the second paragraph)

Θα μου πείτε, "εγώ όταν θα πρέπει να βρω τον ΜΚΔ, θα πρέπει να κάνω όλο αυτό;". will|to me|you will say|I|when|will|must|to|find|the|GCD|will|must|to|do|all|this You might ask me, "Do I have to do all this when I need to find the GCD?".

Προσέξτε, παιδιά. pay attention|children Pay attention, kids.

Υπάρχουν βασικά τρεις τρόποι για να βρούμε τον ΜΚΔ. there are|basically|three|ways|to|to|find|the|GCD There are basically three ways to find the GCD.

Εμείς σήμερα θα πούμε τους δύο τρόπους. we|today|will|say|the|two|ways Today we will discuss the two methods.

Και τον τρίτο τρόπο θα τον πούμε όταν θα κάνουμε τα κριτήρια διαιρετότητας... and|the|third|way|will|it|say|when|will|do|the|criteria|divisibility And we will talk about the third method when we cover the divisibility criteria...

και θα μπορούμε να κάνουμε ανάλυση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. and|will|we can|to|we do|analysis|of a|number|into|prime|factors and we will be able to perform the factorization of a number into prime factors.

Σήμερα λοιπόν, προχωράμε, θα πούμε πώς μπορούμε να βρούμε τον ΜΚΔ των αριθμών. today|therefore|we proceed|will|we say|how|we can|to|we find|the|GCD|of the|numbers So today, we will proceed, and we will discuss how we can find the GCD of numbers.

Ο ένας τρόπος είναι αυτός ο οποίος σας έδειξα στα προβλήματα που μόλις λύσαμε. the|one|way|is|this|the|which|to you|I showed|in the|problems|that|just|we solved One way is the one I showed you in the problems we just solved.

Πάμε λοιπόν να δούμε άλλο ένα μικρό παράδειγμα. let's go|therefore|to|we see|another|a|small|example So let's take a look at another small example.

Και να δούμε και έναν καινούργιο τρόπο εκτός από τους διαιρέτες, and|to|we see|and|a|new|way|apart|from|the|divisors And let's see a new method besides the divisors,

ο οποίος είναι και πολύ - πολύ πιο εύκολος και πολύ - πολύ πιο σύντομος. who|which|is|and|very|very|more|easier|and|very|very|more|shorter which is also much - much easier and much - much shorter.

Μας δίνει, το βλέπετε ήδη, να βρούμε τους διαιρέτες των αριθμών: to us|it gives|the|you see|already|to|we find|the|divisors|of the|numbers It gives us, as you can already see, to find the divisors of the numbers:

24, 36 και 96. and 24, 36, and 96.

Θέλω λοιπόν να βρω τους διαιρέτες του 24, I want|therefore|to|find|the|divisors|of So I want to find the divisors of 24,

τους διαιρέτες του 36 και τους διαιρέτες του 96. the|divisors|of|and|the|divisors|of the divisors of 36, and the divisors of 96.

Πάμε λοιπόν να βρούμε τους διαιρέτες με τον ίδιο τρόπο που είπαμε πριν. let's go|therefore|to|find|the|divisors|with|the|same|way|that|we said|before Let's go ahead and find the divisors in the same way we mentioned before.

Και μετά θα πούμε και τον δεύτερο τρόπο. and|then|will|say|and|the|second|way And then we will also discuss the second method.

Οπότε θα γράψουμε εδώ: πρώτος τρόπος. so|will|we will write|here|first|method So we will write here: first method.

Μετά θα λύσουμε δίπλα και με τον δεύτερο τρόπο. Για να δούμε. then|will|we will solve|next to|and|with|the|second|method|for|to|we see Then we will solve next to it with the second method. Let's see.

Πάμε να δούμε τους διαιρέτες του 24. let's go|to|we see|the|divisors|of Let's look at the divisors of 24.

Είναι το 1 και ο εαυτός του. they are|the|and|the|self|of They are 1 and itself.

Είναι το 2 και το 12. it is|the|and|the It is 2 and 12.

Είναι το 3 και το 8. it is|the|and|the It is 3 and 8.

Είναι το 4 και το 6. it is|the|and|the It is 4 and 6.

Πάμε να δούμε τους διαιρέτες του 36. let's go|to|see|the|divisors|of the Let's go see the divisors of 36.

Έχουμε το 1 και το 36. we have|the|and|the We have 1 and 36.

Έχουμε το 2 και το 18. we have|the|and|the We have 2 and 18.

Έχουμε το 3 και το 12. we have|the|and|the We have 3 and 12.

Ο επόμενος διαιρέτης του 36 είναι το 4. the|next|divisor|of the|is|the The next divisor of 36 is 4.

Γιατί; Γιατί 4 Χ 9 = 36. why|because|times Why? Because 4 x 9 = 36.

Και έχω κι άλλον ένα διαιρέτη, ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί... and|I have|another|another|one|divisor|who|which|if|multiplied And I have another divisor, which when multiplied...

με τον εαυτό του μου δίνει 36 και είναι το 6. with|the||of the||||| by itself gives me 36 and it is 6.

Με τον ίδιο τρόπο πάμε να βρούμε τους διαιρέτες του 96. In the same way, let's find the divisors of 96.

Έχουμε λοιπόν τον 1 και το 96. we have|therefore|the|and|the So we have 1 and 96.

Το 2 και το 48. the|and|the 2 and 48.

Το 3 και το 32. the|and|the 3 and 32.

Το 4 και το 24. the|and|the 4 and 24.

Το 5 όχι. Το 6 ναι. the|not|the|yes The 5 no. The 6 yes.

Με το 16. with|the With the 16.

Το 7 όχι και έχω και το 8 με το 12. the|not|and|I have|and|the|with|the The 7 no and I also have the 8 with the 12.

Τι θα κάνω λοιπόν τώρα; Θα βρω ποιοι είναι οι ίδιοι. Θα τους υπογραμμίσω. what|will|I do|therefore|now|will|I find|who|they are|the|same|will|them|I underline So what will I do now? I will find out who they are. I will underline them.

Έχουμε λοιπόν το 1, we have|therefore|the So we have 1,

το 2, the 2,

το 3, the 3,

το 4, the 4,

το 6... the the 6...

Το 8 δεν θα το υπογραμμίσω γιατί δεν υπάρχει σε όλους τους αριθμούς... the|not|will|it|underline|because|not|exists|in|all|the|numbers I will not underline the 8 because it is not present in all the numbers...

και το 12. and|the and the 12.

Τι θα πούμε λοιπόν; Ότι ο ΜΚΔ των αριθμών... what|will|say|therefore|that|the|GCD|of the|numbers So what shall we say? That the GCD of the numbers...

24, 36 και 96 είναι το 12. and|is|the 24, 36, and 96 is 12.

Αυτός είναι ο πρώτος τρόπος για να υπολογίζουμε τον ΜΚΔ. this|is|the|first|way|to|to|we calculate|the|GCD This is the first way to calculate the GCD.

Πάμε να δούμε και τον δεύτερο τρόπο! let's go|to|see|and|the|second|way Let's take a look at the second way!

Ο δεύτερος τρόπος είναι πολύ πιο εύκολος. the|second|way|is|very|more|easy The second way is much easier.

Τι κάνουμε; what|we do What are we doing?

Γράφουμε τους τρεις αριθμούς στη σειρά. we write|the|three|numbers|in|order We write the three numbers in order.

Θέλουμε να βρούμε τον ΜΚΔ του 24, του 36 και του 96. we want|to|find|the|GCD|of|of|and|of We want to find the GCD of 24, 36, and 96.

Προσέξτε τι κάνουμε, παιδιά! pay attention|what|we do|kids Pay attention to what we are doing, kids!

Κοιτάζουμε τους αριθμούς. Ποιος είναι ο μικρότερος; we look at|the|numbers|who|is|the|smallest We look at the numbers. Who is the smallest?

Το 24. the The 24.

Τον γράφω ξανά στη δεύτερη γραμμή. it|I write|again|in the|second|line I write it again in the second line.

Και τι λέω; and|what|I say And what do I say?

Το 24 στο 36 πόσες φορές χωράει; the|in|how many|times|fits How many times does 24 fit into 36?

Χωράει 1 φορά. it fits|time It fits 1 time.

Πόσο περισσεύει; Ποιο είναι το υπόλοιπό μου; how much|is left|what|is|the|remainder|my How much is left? What is my remainder?

Το 12. the 12.

1 Χ 24 = 24 και 12 το υπόλοιπο, το γράφω κάτω από το 36. times|and|the|remainder|the|I write|down|under|the 1 X 24 = 24 and 12 is the remainder, I write it below 36.

Προσέξτε, πάω να βρω τώρα το 24 πόσες φορές χωράει στο 96. pay attention|I go|to|I find|now|the|how many|times|it fits|in Notice, I am now going to find out how many times 24 fits into 96.

Το 24 στο 96 χωράει 4 φορές. the|in|it fits|times 24 fits into 96 4 times.

4 Χ 24 = 96. times 4 X 24 = 96.

Άρα δεν αφήνει κανένα υπόλοιπο. Οπότε τι γράφω, παιδιά; 0. so|not|leaves|any|remainder|so|what|I write|kids So it leaves no remainder. So what do I write, guys? 0.

Βλέπω ότι στη δεύτερη γραμμή έχω τώρα τρεις νέους αριθμούς. I see|that|in the|second|line|I have|now|three|new|numbers I see that in the second line I now have three new numbers.

Το 0 που δεν το πειράζω καθόλου, το 12 και το 24. the|that|not|it|I touch|at all|the|and|the The 0 that I don't touch at all, the 12 and the 24.

Ποιος είναι ο μικρότερος; Το 12. which|is|the|smallest|the Which one is the smallest? The 12.

Το ξανακατεβάζω κάτω. the|I download again|down I will download it again.

Τι θα πω λοιπόν τώρα; what|will|I say|therefore|now So what will I say now?

Το 0 όπως είναι. the|as|it is The 0 as it is.

Το 12 στο 24 χωράει 2 φορές. the|in the|fits|times 12 fits into 24 two times.

2 Χ 12 = 24. times 2 X 12 = 24.

Άρα δεν έχω κανένα υπόλοιπο. therefore|not|I have|any|remainder So I have no remainder.

Τι μου μένει; 0. what|to me|remains What do I have left? 0.

Βλέπω λοιπόν ότι έχω έναν αριθμό και τα δύο μηδενικά. I see|therefore|that|I have|a|number|and|the|two|zeros I see therefore that I have a number and the two zeros.

Αυτό σημαίνει ότι ο ΜΚΔ... this|means|that|the|GCD This means that the GCD...

των αριθμών 24, 36 και 96 είναι το 12. of the|numbers|and|is|the of the numbers 24, 36, and 96 is 12.

Νομίζω ότι είναι πολύ - πολύ πιο εύκολος τρόπος ο συγκεκριμένος. I think|that|is|very|very|more|easy|way|the|specific I think this is a much - much easier way.

Πότε έχω τελειώσει; when|I have|finished When have I finished?

Όταν έχω μόνο έναν αριθμό στην τελευταία γραμμή και οι υπόλοιποι είναι 0. when|I have|only|one|number|in the|last|line|and|the|others|are When I have only one number in the last line and the others are 0.

Πάμε λοιπόν να δούμε δύο τελευταία προβλήματα τα οποία θα τα διαβάσουμε. let's go|therefore|to|see|two|last|problems|them|which|will|them|read So let's go and look at the last two problems which we will read.

Αν θέλετε μπορείτε να τα σημειώσετε γιατί ο χρόνος λίγο πιέζει... if|you want|you can|to|them|note|because|the|time|a little|is pressing If you want, you can note them down because time is a bit tight...

και να προσπαθήσετε να τα λύσετε μόνοι σας. and|to|you try|to|them|solve|alone|your and try to solve them on your own.

Με όποιον τρόπο αρέσει σε εσάς. Να τα δούμε! with|whichever|way|pleases|to|you|let's|them|see In whatever way you like. Let's see them!

(Η δασκάλα διαβάζει το πρώτο πρόβλημα) the|teacher|reads|the|first|problem (The teacher reads the first problem)

Νομίζω ότι μπορώ να σας κάνω το πρώτο πρόβλημα με τον εύκολο τρόπο, I think|that|I can|to|to you|I do|the|first|problem|with|the|easy|way I think I can solve the first problem for you in an easy way,

για να σταματήσουμε εδώ και το δεύτερο θα το λύσετε μόνοι σας. in order to|to|we stop|here|and|the|second|will|it|you solve|alone|yourselves so we can stop here and you will solve the second one by yourselves.

Για να το δούμε λοιπόν, παιδιά. for|to|it|we see|then|kids So let's see it, kids.

Θέλουμε να φτιάξουμε ανθοδέσμες. we want|to|we make|bouquets We want to make bouquets.

Ανθοδέσμες από διαφορετικά χρώματα στα τριαντάφυλλα τα οποία έχει ο ανθοπώλης. bouquets|from|different|colors|on the|roses|which|that|has|the|florist Bouquets of different colors of the roses that the florist has.

Μας λέει λοιπόν ότι έχει 192 κόκκινα. to us|he says|then|that|he has|red He tells us that he has 192 red ones.

Έχει 120 λευκά. he has|white ones It has 120 white.

Και έχει και 72 κίτρινα. and|he has|also|yellow ones And it also has 72 yellow.

Πάμε να δούμε με τον δεύτερο τρόπο πώς μπορούμε να βρούμε τον ΜΚΔ. let's go|to|see|with|the|second|way|how|we can|to|find|the|GCD Let's see in the second way how we can find the GCD.

Τι είπαμε ότι κάνουμε: γράφουμε τους αριθμούς τον έναν δίπλα στον άλλο σε μια γραμμή. what|we said|that|we do|we write|the|numbers|the|one|next|to the|other|in|a|line What did we say we do: we write the numbers one next to the other in a line.

Γράφω το 192, το 120 και το 72. I write|the|the|and|the I write 192, 120, and 72.

Κοιτάζω λοιπόν τους αριθμούς μου. I look at|therefore|the|numbers|my So I look at my numbers.

Βλέπω ποιος είναι ο μικρότερος. I see|who|is|the|smallest I see which one is the smallest.

Ποιος είναι ο μικρότερος; Το 72. who|is|the|smallest|the Which one is the smallest? The 72.

Το κατεβάζω το 72 ακριβώς από κάτω. the|I am lowering|the|exactly|from|below I am writing down 72 exactly below.

Και πάω να δω τώρα πόσες φορές χωράει το 72 στο 192 και στο 120. and|I am going|to|I see|now|how many|times|it fits|the|into the|and|into the And now I am going to see how many times 72 fits into 192 and 120.

Γιατί το υπόλοιπο θα το γράψω ακριβώς κάτω απ' τους αντίστοιχους αριθμούς. because|the|remainder|will|it|I will write|exactly|below|under|the|corresponding|numbers Because I will write the remainder exactly below the corresponding numbers.

Το 72 λοιπόν στο 192 χωράει 2 φορές. the|therefore|into the|it fits|times So, 72 fits into 192 two times.

Το υπόλοιπο που μου αφήνει είναι 48. the|remainder|that|to me|leaves|is The remainder it leaves me is 48.

Το 72 στο 120 χωράει 1 φορά. the|in|fits|time 72 goes into 120 1 time.

Το υπόλοιπο που μου αφήνει είναι 48. the|remainder|that|to me|leaves|is The remainder it leaves me is 48.

Βλέπω ότι στη δεύτερη γραμμή έχω δύο φορές το 48 και το 72. I see|that|in the|second|line|I have|two|times|the|and|the I see that in the second line I have two times 48 and 72.

Αυτό το αντιμετωπίζω ως ένα. this|it|I face|as|one I consider this as one.

Τι κάνω λοιπόν; Ξανακατεβάζω το μικρότερο, το 48, what|I do|then|I download again|the|smaller|the So what do I do? I download the smaller one, the 48,

στην άλλη γραμμή. Και τι θέλω να βρω τώρα; |||and|what|I want|to|I find|now in the other line. And what do I want to find now?

Πόσες φορές το 48 χωράει στο 72. how many|times|the|it fits|in the How many times does 48 fit into 72.

Χωράει 1 φορά. it fits|time It fits 1 time.

Και μου περισσεύουν πόσα, παιδιά; Περισσεύουν 24. and|to me|they are left over|how many|kids|they are left over And how many do I have left, kids? I have 24 left.

Έχω την τρίτη γραμμή, στην οποία έχω 48, 48 και 24. I have|the|third|line|in the|which|I have|and I have the third line, where I have 48, 48, and 24.

Ποιο είναι το μικρότερο; Το 24. which|is|the|smallest|it Which is the smallest? The 24.

Άρα τι κάνω; Κατεβάζω το μικρότερο και βλέπω πόσες φορές χωράει στα δύο. so|what|I do|I take down|the|smaller|and|I see|how many|times|it fits|in the|two So what do I do? I take the smaller one and see how many times it fits into the two.

Άρα το 24 στο 48 χωράει 2 φορές και δεν μου αφήνει κανένα υπόλοιπο. so|the|in the|it fits|times|and|not|to me|it leaves|any|remainder So 24 fits into 48 2 times and leaves me no remainder.

0\\. Το ίδιο και εδώ. the|same|and|here 0\. The same goes here. Άρα τι βρήκα; Βρήκα 24 και για τους άλλους δύο έχω μηδενικό υπόλοιπο. so|what|I found|I found|and|for|the|other|two|I have|zero|remainder So what did I find? I found 24 and for the other two I have a zero remainder.

Τι σημαίνει αυτό; what|means|this What does this mean?

Ότι ο ΜΚΔ του 192, του 120 και του 72 είναι το 24. that|the|GCD|of the|of the|and|of the|is|the That the GCD of 192, 120, and 72 is 24.

Νομίζω ότι είναι πιο εύκολο από το να βρίσκαμε όλους τους διαιρέτες αυτών των αριθμών. I think|that|is|more|easy|than|to|to|we would find|all|the|divisors|of these|the|numbers I think it's easier than finding all the divisors of these numbers.

Πάμε λοιπόν να σας διαβάσω το τελευταίο πρόβλημα για να τελειώσουμε σήμερα. let's go|then|to|to you|I read|the|last|problem|to|to|we finish|today So let's read the last problem to finish today.

Και αν έχετε την καλοσύνη, γράψτε σε ένα χαρτί... and|if|you have|the|kindness|write|on|a|paper And if you would be so kind, write down on a piece of paper...

τα νούμερα τα οποία σας λέω, για να το λύσετε μόνοι σας. the|numbers|that|which|to you|I say|in order to|to|it|you solve|alone|your the numbers that I am telling you, so you can solve it on your own.

(Η δασκάλα διαβάζει το δεύτερο πρόβλημα) the|teacher|reads|the|second|problem (The teacher reads the second problem)

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μπορείτε είτε να δουλέψετε... with|the|same|exactly|way|you can|either|to|you work In exactly the same way, you can either work...

γράφοντας σε μία γραμμή τα τέσσερα διαφορετικά νούμερα... writing|in|one|line|the|four|different|numbers writing the four different numbers in one line...

είτε αν δεν θέλετε με τον δεύτερο τρόπο, either|if|not|you want|with|the|second|way or if you don't want to use the second method,

μπορείτε να γράψετε τους διαιρέτες του κάθε αριθμού, you can|to|write|the|divisors|of the|each|number you can write the divisors of each number,

να τους βρείτε, να υπογραμμίσετε τους ίδιους... to|them|find|to|underline|the|same find them, underline the same ones...

και ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι ο ΜΚΔ. and|the|biggest|from|these|is|the|MKD and the largest of them is the MKD.

Σας ευχαριστώ πολύ που ήμασταν μαζί. Θα τα ξαναπούμε σύντομα. you|I thank|very|that|we were|together|will|them|we will talk again|soon Thank you very much for being with us. We will talk again soon.

Καλή συνέχεια! good|continuation Have a good continuation!