La SERIE ARMÓNICA y el PROBLEMA del elástico INFINITO

Hola amigos hoy os quiero plantear un desafío matemático y para ello os voy a presentar a uno de los protagonistas del acertijo

El pequeño Gus

y el segundo protagonista del desafío es nuestra mata de albahaca

una planta aromática muy apreciada

yo la uso para casi todo pero sobre todo me gusta hacer pesto

el problema es que esta planta también es la debilidad del pequeño Gus

Fijaros como Gus va merendándose las hojas de nuestra albahaca

tendremos que pensar un remedio y no podemos utilizar pesticidas

porque entre otras cosas nos las queremos comer

haremos lo siguiente vamos a anclar a la pared un elástico de un metro de longitud

infinitamente extensible

este objeto solo existe en el mundo de las matemáticas claro. Y en el extremo libre situaremos nuestra planta de albahaca

si Gus quiere comerse la albahaca tendrá que recorrer el metro completo

pero Gus es muy lento pues avanza un centímetro cada hora

y para ponérselo más difícil aún al final de cada hora estiraremos el elástico un metro más

Gus seguirá avanzando un centímetro cada hora. Y al final de cada hora estiraremos el elástico un metro más

el desafío matemático consiste en decir sin Gus llegará a comerse la planta de albahaca.

La pregunta puede parecer o ridícula pero tened en cuenta que cada vez que estiramos el elástico

arrastramos a Gus con él. Dadle pausa, tomaros unos minutos, horas o días

y veremos la solución

volvamos a analizar hora por hora la odisea por la que tiene que pasar Gus para comerse el albahaca

para ello Gus tiene que recorrer el 100% del elástico

al cabo de una hora justo antes de que estiremos el elástico Gus habrá recorrido un centímetro de 100 que tiene el elástico

esto es una fracción de uno partido por cien aunque estiremos el elástico esta fracción no cambia pues el elástico

arrastra agus consigo

todavía le quedan 99 cienavos a Gus por recorrer pero sigamos analizando su viaje

el elástico tiene ahora doscientos centímetros

guste ya ha recorrido un 1/100 de su camino y en la segunda hora recorre otro centímetro, que en este caso

equivale a la fracción 1 partido por 200 por tanto lleva recorrido un 1/100 más 1/ 200

aunque volvamos a estirar el elástico otro metro esta fracción no cambia

ya llevamos 1 partido por 100 más 1 partido por 200 y la tercera hora

dado que el elástico tiene 300 centímetros y gus sigue avanzando un centímetro por hora

añadiremos a esta fracción 1 partido por 300

esto es

llevar a recorrido en la tercera hora un 1/100 + 1/200 + 1/300

en definitiva al cabo de n horas Gus habrá recorrido una fracción del elástico

equivalente a 1 partido por 100 más 1 partido por 200 más 1 partido por 300 más puntos suspensivos

1 partido por n por 100

sacando factor común 1 partido por 100 de esta expresión

tenemos que este número es 1 partido por 100 x

1 más un medio más un tercio más puntos suspensivos 1 partido por n

la suma que aparece en el paréntesis se conoce como serie armónica y la cuestión se reduce a saber si para algún valor de n

esta serie llega a sumar 100 con lo que gusta habría recorrido la fracción unidad esto es el 100% del elástico

en el próximo vídeo desvelaremos el misterio de la serie armónica

llegará a sumar 100 o más para algún valor de n dejad vuestras respuestas en los comentarios y si os ha gustado suscribiros

hasta luego

Ah

Ah