image

Μαθαίνουμε στο Σπίτι, Μαθηματικά - Εξισώσεις 2: Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση - Ε' Δημοτικού Επ. 43

Μαθηματικά - Εξισώσεις 2: Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση - Ε' Δημοτικού Επ. 43

Γεια σας παιδιά!

Είμαστε πάλι εδώ σήμερα

για να συνεχίσουμε το δεύτερο μέρος των εξισώσεων το οποίο είχαμε κάνει την προηγούμενη φορά.

Σήμερα λοιπόν θα κάνουμε εξισώσεις οι οποίες

αφορούν γινόμενα και διαιρέσεις.

Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις.

Θα ξεκινήσουμε με τις εξισώσεις οι οποίες είναι εξισώσεις πολλαπλασιασμού.

Και όταν λέμε εξισώσεις πολλαπλασιασμού, σημαίνει τι;

Ότι θα ψάχνουμε να βρούμε τον άγνωστο x

ο οποίος θα είναι παράγοντας ενός γινομένου.

Π.χ. πριν ξεκινήσουμε να δούμε ό,τιδήποτε..

..κάτι πολύ απλό.

2*x=10

Δεν χρειάζεται να το σκεφτούμε πολύ. Καταλαβαίνετε ότι το x

είναι ποιος αριθμός;

Το 5.

Τι σημαίνει αυτό; Το βρίσκετε από την προπαίδεια.

2 επί κάτι που δεν ξέρω, μου κάνει 10.

Άρα το x είναι 5.

Πάμε όμως τώρα να το πούμε λίγο πιο σοβαρά, λίγο καλύτερα.

Όταν έχω, παιδιά, εξίσωση που ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου..

..τι σημαίνει;

Παράγοντας γινομένου; ..τι σημαίνει;

Παράγοντας γινομένου;

Σημαίνει ότι έχω δύο αριθμούς από τους οποίους τον έναν δεν τον γνωρίζω.

Έχω λοιπόν έναν αριθμό

όπως έχετε δει και στη διαφάνεια η οποία υπάρχει.

x που δεν ξέρω ποιος είναι, ο ένας παράγοντας,

επί 5

μου κάνει 20.

Τι κάνω λοιπόν εδώ;

Όταν έχω εξίσωση που ο ένας από τους δύο παράγοντες είναι άγνωστος

τότε κάνω την αντίστροφη πράξη.

Θυμηθείτε ότι όταν είχα εξισώσεις πρόσθεσης

έκανα την αντίστροφη πράξη, βρίσκοντας το x, και έκανα αφαίρεση.

Όταν είχα εξίσωση με αφαίρεση, έκανα την αντίστροφη πράξη,

που σημαίνει πρόσθεση.

Εδώ λοιπόν, όταν έχω εξίσωση η οποία είναι..

..ο άγνωστος μου είναι παράγοντας γινομένου...

Τότε τι κάνω παιδιά;

Την αντίστροφη πράξη για να βρω το x. Δηλαδή;

Δηλαδή κάνω διαίρεση.

Τι σημαίνει αυτό;

Κρατάω το x

στο πρώτο μέλος της ισότητας

και λέω x ίσον 20 δια 5

x=4

To 4 επαληθεύει την εξίσωσή μου. Γιατί; Γιατί 4*5=20.

Πριν προχωρήσουμε να πούμε και άλλα παραδείγματα θέλω να θυμάστε ότι:

Όπως όταν λέμε την προπαίδεια, δεν παίζει κανένα απολύτως ρόλο αν θα πούμε 2*3=6

ή αν θα πούμε 3*2

το ίδιο πράγμα συμβαίνει και στις εξισώσεις με πολλαπλασιασμό.

Συνηθίζουμε λοιπόν, να μην βάζουμε πρώτα το x

αλλά να βάζουμε τον αριθμό πρώτα.

5*x=20.

Όπως είχα εδώ x*5, εδώ έχω 5*x.

Είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα και το λύνω ακριβώς με τον ίδιο τρόπο. Δηλαδή τι κάνω;

x= 20

δια 5, x=4.

Παίζει κανένα ρόλο η σειρά; Απολύτως κανένα.

Συνηθίζουμε όμως να βάζουμε τον άγνωστο ως δεύτερο παράγοντα του γινομένου.

Για να δούμε και ένα άλλο παράδειγμα.

Αν π.χ. έχω 10..

..ωραίο 10 έγραψα. Να το γράψουμε πιο ωραία!

10*x=50.

Πάμε να το λύσουμε.

Ψάχνουμε να βρούμε το x.

Έχουμε εξίσωση πολλαπλασιασμού. Άρα τι κάνω;

Θα κρατήσω το x και θα κάνω την αντίστροφη πράξη.

Ποια είναι η αντίστροφη πράξη; Η διαίρεση.

x=50

δια 10

x λοιπόν ίσον 5.

Το ίδιο πράγμα είναι άμα πω x*10.

Δεν παίζει κανένα ρόλο η σειρά των παραγόντων στην εξίσωση.

Κανέναν απολύτως ρόλο.

Είτε πω 10*x είτε πω x*10 είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα.

Πάμε λοιπόν να προχωρήσουμε στις εξισώσεις οι οποίες έχουν να κάνουν με άγνωστο διαιρετέο.

Πριν πούμε οτιδήποτε, να θυμίσω

ότι όταν έχουμε μία διαίρεση έχουμε:

διαιρετέο, διαιρέτη

και αυτό που βρίσκουμε το λέμε πηλίκο.

Άρα έχουμε Δ:δ=π.

Για να δούμε λοιπόν ένα παράδειγμα.

Αν έχουμε x

δια

μου κάνει 8.

Για να δούμε λοιπόν τι κάνουμε.

Πάλι θα κάνουμε την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή...

... έχω εξίσωση με διαίρεση.

Τι θα κάνω; Η αντίστροφη πράξη είναι ο πολλαπλασιασμός.

Άρα θα κρατήσω το x

στο πρώτο μέλος της εξίσωσης

και θα πω: x ίσον...

Και αντί για διαίρεση θα κάνω πολλαπλασιασμό.

8*5

Άρα το x=40.

Αν πάρω λοιπόν εδώ το 40, που βρήκα ότι είναι το x, η λύση της εξίσωσης

και το βάλω στη θέση του x, τότε τι θα έχω;

40:5 βεβαίως και μου κάνει 8.

Άρα όταν έχω εξίσωση...

...κρατήστε το αυτό γιατί στο επόμενο βήμα θα το πάμε αντίστροφα, θα ψάχνουμε να βρούμε το διαιρετέο.

Για να δούμε λοιπόν.

Το ξαναλέω μία φορά.

Όταν έχουμε εξίσωση στην οποία ψάχνουμε να βρούμε τον άγνωστο διαιρετέο..

αντί για διαίρεση θα κάνω την αντίστροφη πράξη.

Θα κάνω πολλαπλασιασμό.

Πάμε να δούμε και άλλο ένα παράδειγμα.

Αν έχουμε

x:20=5.

Τι θα κάνουμε παιδιά;

Έχουμε διαίρεση, εξίσωση διαίρεσης.

Άρα θα κάνω την αντίστροφη πράξη.

Κρατάω λοιπόν το x στο πρώτο μέλος και λέω

x ίσον 5

Αντί για διαίρεση, πολλαπλασιασμό: άρα x=5*20.

Άρα x=100.

Επαληθεύεται; Βεβαίως.

Αν πάρω τη λύση της εξίσωσης η οποία είναι x=100

και τη βάλω στη θέση του x...

Τι θα έχω; 100 δια 20

Μου κάνει πόσο;

Μου κάνει 5.

Αυτό είναι το εύκολο κομμάτι.

Και πάμε να δούμε! Αν θυμηθείτε πώς κάναμε στην αφαίρεση, που είχαμε μία υποκατηγορία,

που όταν είχαμε εξισώσεις αφαίρεσης ξανακάναμε αφαίρεση...

...το ίδιο πράγμα υπάρχει και στη διαίρεση.

Πότε; Για να δούμε λοιπόν την επόμενη.

Πως λύνεται μία εξίσωση όταν έχουμε άγνωστο διαιρετέο.

Όταν ο άγνωστος λοιπόν είναι διαιρέτης, για να λύσουμε την εξίσωση

διαιρούμε τον διαιρετέο με το πηλίκο.

Για να δούμε τι εννοούμε.

Πάμε παιδιά.

Για να το δούμε, να κάνουμε μία απλή εξίσωση στην αρχή.

Για να το δούμε.

Αν πούμε λοιπόν

55:x=11

Για να δούμε.

Έχουμε εδώ... ότι πρέπει να βρούμε το δια x.

Όταν έχουμε δια x, ξανακάνω διαίρεση.

Κρατάω το x στο πρώτο μέλος, και τι κάνω;

Πηγαίνω τον διαιρέτη πίσω.

55:11

Άρα το x=5.

Είναι υποκατηγορία στις εξισώσεις, με τη διαίρεση, που θέλει μία ιδιαίτερη προσοχή...

Είναι το ίδιο πράγμα που κάναμε στην αφαίρεση όταν είχαμε πλην x, που ξανακάναμε αφαίρεση.

Εδώ λοιπόν, το ξαναλέω και θα κάνουμε και άλλο παράδειγμα,

όταν έχουμε δια x δεν κάνω πολλαπλασιασμό αλλά κάνω ξανά διαίρεση.

Για να το δούμε, λοιπόν, πάλι. Σε άλλο παράδειγμα.

Αν π.χ. πούμε 100:x=5

Τι θα πρέπει να κάνω; Βλέπω ότι έχω δια x. Άρα θα κρατήσω το x στο πρώτο μέλος

και τι θα ξανακάνω παιδιά;

Πάλι διαίρεση. Δηλαδή 100

δια 5

x ίσον πόσο; 20.

Την επαληθεύει; Βεβαίως. Γιατί 100...

Αν βάλω το x στη θέση εδώ...

100:20=5.

Πάμε να προχωρήσουμε λοιπόν λίγο,

να κάνουμε περισσότερες ασκησούλες.

Πάμε λοιπόν στο πρώτο πρώτο πρόβλημα το οποίο...

Προσέξτε, εσείς βλέπετε ότι έχω εδώ τρία προβληματα.

Αυτά τα τρία προβλήματα μπορεί να τα λύσουμε και με πρακτική αριθμητική.

Στη συγκεκριμένη όμως περίπτωση δεν θα τα λύσουμε με πρακτική αριθμητική,

με τις απλές πράξεις,

αλλά θα προσπαθήσουμε να φτιάξουμε εξισώσεις.

Θα λύσουμε δηλαδή τα προβλήματα με εξισώσεις.

Για να δούμε λοιπόν, όσο εσείς διαβάζετε, θα σας διαβάζω κι εγώ

το πρώτο πρόβλημα

και θα πάμε να φτιάξουμε εξίσωση.

Τρεις φορές το 11 και τρεις φορές το 12 και τρεις φορές το 15 και άλλος ένας αριθμός μας κάνουν 120. Ποιος είναι ο άλλος αριθμός;

Για να πάμε να τον βρούμε.

Tρεις φορές το 11: το γράφουμε.

τρεις φορές το 11, και τρεις φορές ποιο; Το 12. Και τρεις φορές ποιο; Το 15. Και άλλος ένας αριθμός...

Τον ξέρω τον άλλον αριθμό;

Όχι! Άρα ποιος είναι; Ο x, ένας x.

Mας κάνει πόσο;

Δεν το θυμάμαι παιδιά απέξω... Μας κάνει 120!

Εδώ δεν έχω πρόβλημα το οποίο είναι πολλαπλασιασμού.

Θα πάμε στα επόμενα πολλαπλασιασμού.

Θέλω απλώς να δείτε ότι έχω γινόμενα αλλά η εξίσωσή μου δεν είναι εξίσωση πολλαπλασιασμού. Γιατί;

Γιατί έχω συν x. Θέλω απλώς να δείτε ότι έχω γινόμενα αλλά η εξίσωσή μου δεν είναι εξίσωση πολλαπλασιασμού. Γιατί;

Γιατί έχω συν x.

Για πάμε λοιπόν να το λύσουμε.

Τρεις φορές το 11 μας κάνει πόσο παιδιά; Μας κάνει 33.

Και τρεις φορές το 12, μας κάνει 36.

Και τρεις φορές το 15, μας κάνει 45.

Συν το x, μας κάνει 120.

Για πάμε λοιπόν να δούμε τι έχουμε.

33+36+45+x=120.

Τι εξίσωση έχω εδώ παιδιά;

Μην παρασύρεστε απ'ό,τι έχω!

Σήμερα μιλάμε για εξισώσεις πολλαπλασιασμού και διαιρέσεων.

Εδώ έχω συν x, άρα έχω εξίσωση πρόσθεσης.

Τι πρέπει να κάνω, λοιπόν;

Είτε θα προσθέσω αυτά που έχω στο πρώτο μέλος,

είτε θα τα πάω όλα πίσω κάνοντας αφαίρεση.

Ο πιο εύκολος τρόπος είναι να τα προσθέσω...

...συν x, και να πω 120.

Πάμε λοιπόν να δούμε.

5 και 6, 11 και 3, 14.

4... Ένα το κρατούμενο, και 4; 5. Και 3; 8. Και 3, 11.

Άρα 114+x=120.

Που κατέληξα; Κατέληξα να έχω μία απλή εξίσωση πρόσθεσης.

Άρα x είναι ίσον...

Τι έχουμε πει όταν έχουμε εξίσωση πρόσθεσης; Τι κάνουμε;

Κάνουμε την αντίστροφη πράξη. Άρα αφαίρεση.

120-114.

Άρα x=6.

Σημειώστε το και πάμε παρακάτω. Πάμε να λύσουμε το επόμενο πρόβλημα,

και θα δούμε τι έχουμε να κάνουμε σε αυτό.

Λοιπόν...

Λέει, ο κύριος Γιώργος είχε 2 χαρτονομίσματα των 20 ευρώ, 4 χαρτονομίσματα των 5 ευρώ και 4, προσέξτε, ίδια κέρματα. Αν τα χρήματά του ήταν συνολικά 68 ευρώ, τι είδους κέρματα είχε;

Το βασικό σε αυτό το πρόβλημα είναι ποιο;

Το ότι δεν ξέρουμε τι είδους κέρματα έχει.

Ξέρουμε ότι έχει 4 ίδια κέρματα αλλά δεν ξέρουμε τι είναι.

Είναι του ενός ευρώ, των δύο ευρώ των πενήντα λεπτών; Δεν ξέρουμε τι είναι.

Πάμε λοιπόν να καταστρώσουμε το πρόβλημα.

2 χαρτονομίσματα των 20 ευρώ. Άρα 2*20.

Τι άλλο είχε; Σας λέει ότι είχε:

4 χαρτονομίσματα των 5 ευρώ.

Άρα συν 4*5.

Προσέξτε τώρα.

Μας λέει ότι είχε και 4 κέρματα ίδια.

Τι δεν ξέρουμε παιδιά;

Δεν ξέρουμε πόσα.

Άρα συν 4 επί τι; Επί x.

Γιατί; Γιατί δεν ξέρω τι είδους κέρματα είναι.

Αυτά λοιπόν τα χρήματα τα οποία είχε... Όλα μαζί είναι 68.

€68 συνολικά έχει ο κύριος Γιώργος.

Για να δούμε λοιπόν τι πρέπει να κάνουμε.

Έχουμε γινόμενα.

Πάμε λοιπόν να δούμε πόσο κάνει το καθένα. Να ξεκινήσουμε να λύσουμε την εξίσωση.

2*20=40.

Συν

4*x. Δεν μπορώ να κάνω τίποτα ακόμα. Το αφήνω όπως είναι: 4*x.

Πόσο μου κάνει όλο αυτό; 68.

Προχωράμε.

40+20 μου κάνει πόσο παιδιά; 60.

Συν 4*x.

Όλο μαζί πόσο μου κάνει; 68.

Για να δούμε εδώ τι έχουμε.

Έχουμε μία εξίσωση η οποία...

Εδώ έχουμε ένα γινόμενο με τον άγνωστο,

και εδώ έχουμε μία πρόσθεση.

Άρα, εγώ τι πρέπει να κάνω;

Θα πρέπει το 60, τον έναν προσθετέο να τον πάω πίσω

για να κρατήσω μόνο του το x, το 4*x στο πρώτο μέλος.

Για να το πάω όμως πίσω, τι πρέπει να κάνω παιδιά;

Την αντίστροφη πράξη.

Δηλαδή 4*x που θα το κρατήσω μόνο του...

ίσον...

θα γράψω το 68 που έχω

και το 60 αφού του αλλάζω πλευρά και το πάω από την άλλη πλευρά της ισότητας

αντί για πρόσθεση που είναι εκεί, τι θα κάνω; Αφαίρεση.

Και θα είναι μείον 60.

Για να δούμε λοιπόν.

4*x, μου κάνει πόσο;

68-60=8.

Τι έχω εδώ παιδιά;

Έχω μία εξίσωση πολλαπλασιασμού.

Τι κάνω όταν έχω εξίσωση πολλαπλασιασμού;

Την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή, διαίρεση.

Άρα κρατάω το x στο πρώτο μέλος..

Και έχω τι;

Ίσον με 8:4.

Άρα το x=2.

Τι είναι αυτό το 2 που βρήκα;

Είναι ότι ο κύριος Γιώργος είχε τι, παιδιά;

Είχε 4 κέρματα των 2 ευρώ.

Η απάντηση λοιπόν που εμείς έχουμε να δώσουμε στο πρόβλημα είναι ποια;

Ότι είχε 4 κέρματα...

Τι;

... Των 2 ευρώ.

Αυτή είναι η απάντησή μας στο πρόβλημα.

Δείτε το ξανά γιατί αυτό το οποίο θα πρέπει να προσέξουμε είναι ότι

ενώ ξεκινάμε και έχουμε πράξεις κανονικά, καταλήγουμε

στο να έχουμε μία εξίσωση πολλαπλασιασμού.

Και στην εξίσωση πολλαπλασιασμού θα πρέπει να κάνω την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή, διαίρεση.

Όση ώρα εγώ σβήνω τον πίνακα,

εσείς κοιτάξτε με προσοχή το τρίτο πρόβλημα και το διαβάζουμε μαζί.

Για να δούμε λοιπόν τι λέει το τρίτο πρόβλημα.

Το τρίτο πρόβλημα μας λέει για έναν

κύριο που γίνεται μπαμπάς απότομα.

Για να δούμε γιατί γίνεται μπαμπάς απότομα.

Μας λέει λοιπόν ότι ένας δημόσιος υπάλληλος παίρνει 1280 ευρώ μισθό.

Η γυναίκα του γέννησε τρίδυμα.

Πολύ δύσκολο.

Έγινε πολύ γρήγορα μπαμπάς με πολλά παιδάκια.

Το κράτος λοιπόν δίνει πάντα στους γονείς ένα χρηματικό βοήθημα το οποίο λέγεται επίδομα.

Στον επόμενο μισθό o υπάλληλος πήρε 1440 ευρώ μισθό.

Πόσο επίδομα πήρε για το κάθε παιδί;

Για να δούμε λοιπόν τι έχουμε εδώ.

Ένας δημόσιος υπάλληλος, ένας κύριος, παίρνει κάθε μήνα...

Βλέπει στον τραπεζικό του λογαριασμό από τον μισθό του 1280 ευρώ.

Πολύ ωραία. Γίνεται ένα ευχάριστο γεγονός στη ζωή τους

και η γυναίκα του γεννάει τρία παιδάκια. Τρίδυμα.

Τον επόμενο λοιπόν μισθό τον οποίο παίρνει ο κύριος..

Έχει αυξηθεί ο μισθός του.

Και από 1280 ο μισθός του γίνεται 1440.

Αυτό όμως δεν γίνεται έτσι.

Γίνεται γιατί;

Γιατί παίρνει ένα επίδομα το οποίο...

Επίδομα είναι για το κάθε παιδάκι.

Ναι αλλά, είπαμε, αυτός...

Η γυναίκα του γέννησε τρία παιδάκια.

Άρα, σε αυτά τα 1280 ευρώ

προστέθηκε ένα επίδομα

το οποίο δεν είναι για το ένα παιδάκι μόνο.

Τι, το ένα παιδάκι θα πάρει και τα άλλα δεν θα πάρουνε;

Παίρνει λοιπόν και για τα τρία παιδιά.

Άρα... ξέρουμε πόσα λεφτά παίρνει για το κάθε παιδί; Όχι.

Αυτό ψάχνουμε να βρούμε.

Άρα αφού είναι τρία τα παιδάκια τα οποία γεννήθηκαν...

Το επίδομα το οποίο παίρνει ο μπαμπάς για το καθένα δεν ξέρουμε πόσο είναι.

Άρα είναι x.

Τι έχουμε λοιπόν εδώ;

1280 που ήταν ο μισθός του αρχικά,

συν το επίδομα το οποίο παίρνει και για τα τρία μωρά τα οποία γεννήθηκαν.

Στον επόμενο μισθό του βλέπει κάποια χρήματα παραπάνω.

Ο μισθός του από 1280 ευρώ έχει γίνει 1440 ευρώ.

Για να δούμε λοιπόν, ποιο είναι το επίδομα το οποίο πήρε;

Αρχικά βλέπουμε ότι έχουμε μία πρόσθεση και

ένα γινόμενο το οποίο γινόμενο έχει και το x μέσα.

Εμείς λοιπόν το πρώτο πράγμα που έχουμε να κάνουμε είναι ποιο;

Να κρατήσουμε το γινόμενο με το x,

το 3*x στο πρώτο μέλος

και τον αριθμό, εδώ που έχουμε την πρόσθεση, να τον πάμε πίσω

κάνοντας τι, παιδιά; Κάνοντας αφαίρεση.

Την αντίστροφη πράξη.

Άρα 3*x είναι ίσον με 1440...

Αφού το 1280 θα το πάω από την άλλη πλευρά αντί για πρόσθεση, τι θα κάνω; Αφαίρεση.

Μείον τα 1280.

Άρα, για να δούμε....

3 λοιπόν επί x ίσον...

Για πάμε να κάνουμε την πράξη!

0-0=0.

14-8=6.

1+2=3. 4-3=1.

1-1=0.

Είμαστε εντάξει;

Πάμε λοιπόν να δούμε.

Έχουμε λοιπόν, 3*x=160.

Για να δούμε.

Τι έχουμε να κάνουμε;

Έχουμε να κάνουμε με μία διαίρεση.

Γιατί; Γιατί έχουμε πολλαπλασιασμό. Έχουμε εξίσωση πολλαπλασιασμού.

Τι πρέπει να κάνω, παιδιά;

Πρέπει να κρατήσω το x μόνο του.

Άρα είναι 160

δια 3.

Τα 160 ευρώ θα πρέπει να τα διαιρέσω με το 3.

Ίσον...

Αν κάνουμε τη διαίρεση κανονικά θα μας βγει ένα 53,3333 και θα συνεχίζεται

Αυτό λοιπόν...

Προσέξτε, είναι κάτι καινούριο το οποίο μαθαίνετε!

Βγαίνει ένας αριθμός που όσο και αν την προχωράω τη διαίρεση θα μου βγαίνει ατελής.

Και ατελής πως;

Επαναλαμβάνοντας το 3.

Αυτή τη διαίρεση... Αυτός ο αριθμός ο οποίος προκύπτει...

Για να μην το λέω συνέχεια, είτε το στρογγυλοποιώ, όπως έχετε μάθει...

Και λέω ότι το x είναι περίπου...

Πόσο; Με 53,34 ευρώ για το κάθε παιδάκι.

Προχωράμε.

Πάμε να δούμε λοιπόν

και ακόμα λίγα προβληματάκια.

Δύο για την ακρίβεια.

Και τις δύο από κάτω,

που βλέπετε στη διαφάνειά σας,

τις δύο από κάτω ασκησούλες

θα τις λύσετε εσείς για την επόμενη φορά

και στο επόμενο μάθημα θα ξεκινήσουμε από εκεί.

Πάμε να δούμε λοιπόν

τα δύο επόμενα προβλήματα και να σταματήσουμε το μάθημά μας για σήμερα.

Διαβάστε το πρώτο πρόβλημα όσο εγώ σβήνω τον πίνακα.

Όσο τον σβήνω, ξεκινήστε και διαβάστε.

Είναι πολύ πολύ εύκολο!

Για να το δούμε.

Αγοράσαμε, λέει, φακελάκια για παρασκευή κρέμας στιγμής που κοστίζουν 3,15€.

3 ευρώ και 15 λεπτά.

Το ένα στοιχίζει 0,45€.

Πόσα τέτοια φακελάκια αγόρασα;

Σας στέλνει η μαμά σας στο σούπερ μάρκετ, να αγοράσετε φακελάκια για να φτιάξετε κρέμες.

Εσείς λοιπόν βλέπετε ότι στον πάγκο που είναι τα φακελάκια με τις κρέμες στιγμής

το κάθε ένα φακελάκι κοστίζει 0,45€.

Αγοράζετε.

Παίρνετε κάποια στο καλάθι σας.

Εγώ και οι υπόλοιποι δεν ξέρουμε πόσα έχετε πάρει.

Άρα πόσα είναι παιδιά; x, αυτά τα οποία παίρνετε εσείς.

Πάτε λοιπόν στο ταμείο.

Περνάει η ταμίας τα φακελάκια σας, που εγώ δεν ξέρω πόσα είναι,

και σας ζητάει να πληρώσετε, πόσα; 3,15€.

Άρα έχουμε μία εξίσωση πολλαπλασιασμού

την οποία εμείς πρέπει να λύσουμε πώς;

Με την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή κάνοντας διαίρεση.

Για να βρούμε πόσα φακελάκια αγοράσαμε!

Για να δούμε λοιπόν τι πρέπει να κάνουμε;

x ίσον...

Αντίστροφη πράξη, διαίρεση. Άρα...

3,15 δια πόσο, παιδιά;

Δια 0,45.

x ίσον... Θυμόμαστε να κάνουμε διαιρέσεις με δεκαδικούς αριθμούς;

Για να δούμε.

Έχουμε 3,15:0,45.

Δύο δεκαδικά ψηφία ο ένας, δύο δεκαδικά ψηφία ο άλλος.

Άρα πολλαπλασιάζουμε και τους δύο αριθμούς επί 100 και γίνεται 315

δια 45.

Για να προχωρήσουμε.

Το 45 στο 31 χωράει; Όχι.

Το 45 στο 315 χωράει πόσες φορές;

Χωράει 8; 4*8=32. Όχι.

Χωράει 7.

Για να δούμε.

5*7=35.

3.

4*7=28.

28+3=31.

0.

Τι βρήκαμε λοιπόν;

Ότι το x=7.

Άρα ποια είναι η απάντηση στο πρόβλημά μας.

Ότι το παιδάκι αγόρασε 7 σακουλάκια που το καθένα περιέχει

κρέμα στιγμής

και που το καθένα κοστίζει 0,45€.

Πάμε παρακάτω

και στο τελευταίο μας πρόβλημα.

Για να το δούμε.

Αγόρασα 6 φακελάκια πάλι για παρασκευή κρέμας στιγμής και πλήρωσα 3,90€.

Ποια είναι η αναγραφόμενη τιμή στο ράφι του καταστήματος για το ένα φακελάκι;

Είναι ανάποδο το πρόβλημα.

Είναι λίγο αντίστροφο με αυτό που λύσαμε πριν.

Για να σημειώσουμε τι ξέρουμε!

Αγοράσαμε τώρα 6 φακελάκια - μας λέει πόσα.

Αγοράζουμε 6 φακελάκια.

Μας λέει επίσης ότι στο ράφι,

όταν πάει το αγοράκι να αγοράσει την κρέμα

δεν βλέπει την τιμή

αλλά ξέρει ότι πληρώνει στο τέλος 3,90€.

Πληρώνει 3,90€.

Αγόρασε 6 φακελάκια.

Τι δεν ξέρουμε, παιδιά;

Δεν ξέρουμε πόσο κάνει το ένα.

Για να δούμε λοιπόν.

Τι θα πούμε;

Έχουμε 6 φακελάκια που αγοράζει...

Τι δεν ξέρουμε εδώ; Δεν ξέρουμε την τιμή.

Επί πόσο; Επί x.

Δεν ξέρουμε πόσο κάνει το καθένα.

Τι πληρώνουμε στο ταμείο; Πληρώνουμε 3,90€.

Άρα έχω πάλι μία εξίσωση πολλαπλασιασμού;

Βεβαίως.

Τι πρέπει να κάνω; Την αντίστροφη πράξη.

Άρα x=3,90.

Ποια είναι η αντίστροφη πράξη; Η διαίρεση.

Δια πόσο παιδιά; Δια 6.

Για λοιπόν να κάνουμε...

Εδώ έχουμε να κάνουμε μία διαίρεση.

Τι διαίρεση παιδιά έχουμε να κάνουμε;

Δεκαδικού με ακέραιο.

Άρα έχω 3,9.

Το ίδιο πράγμα είναι, 3,90.

Δια πόσο; Δια 6.

Το θυμόμαστε πώς κάνουμε διαιρέσεις δεκαδικού με ακέραιο;

Το 6 στο 3 δεν χωράει.

Αφού τονίζω και το ψηφίο, βάζω 0 στο πηλίκο και υποδιαστολή - το 6 στο 39 χωράει πόσες;

6 φορές.

6*6=36.

9-6=3.

3-3=0.

Κατεβάζω και το άλλο.

Το 6 στο 30 πόσο χωράει; 5.

5*6=30.

30-30=0.

Άρα τι βρήκα;

Ότι x= 0,65€.

Κλείνοντας να υπενθυμίσουμε...

Να υπένθυμήσουμε, παιδιά, ότι...

Ανακεφαλαιώνοντας τα δύο μέρη που έχουμε κάνει μέχρι τώρα των εξισώσεων,

έχουμε εξισώσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης.

Τα πράγματα είναι πάρα πάρα πολύ εύκολα στην πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Γιατί;

Στην πρόσθεση κάνουμε την αντίστροφη πράξη, δηλαδή όταν έχω άγνωστο προσθετέο κάνω αφαίρεση.

Το ίδιο και στον πολλαπλασιασμό.

Όταν έχω τον έναν παράγοντα άγνωστο, αντί για πολλαπλασιασμό κάνω διαίρεση.

Πού πρέπει να προσέχουμε πάρα πολύ;

Πρέπει να προσέχουμε στις εξισώσεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης.

Γιατί; Γιατί έχουμε δύο υποκατηγορίες για την καθεμία,

που όταν έχουμε άγνωστο τον μειωτέο, στην αφαίρεση κάνω κανονικά την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή πρόσθεση.

Όταν όμως έχουμε άγνωστο τον αφαιρετέο ξανακάνω τι; Ξανακάνω αφαίρεση.

Το ίδιο πρέπει και να προσέχω στη διαίρεση.

Θέλω να θυμάστε πολύ καλά ότι όταν έχουμε δια x, δεν κάνω πολλαπλασιαμό αλλά κάνω ξανά διαίρεση.

Στη διαφάνεια την οποία βλέπετε, υπάρχουν δύο ασκησούλες πολύ πολύ απλές.

Αν θέλετε μπορείτε να τις σημειώσετε

και στο επόμενο μάθημα που θα κάνουμε

θα λύσουμε πολλές ασκήσεις

και από τα τέσσερα είδη των εξισώσεων και με αριθμητικές παραστάσεις

και με πολλά πολλά προβλήματα.

Καλή συνέχεια, καλή δύναμη

και ραντεβού για το επόμενο μάθημα.

Γεια σας.



Want to learn a language?


Learn from this text and thousands like it on LingQ.

  • A vast library of audio lessons, all with matching text
  • Revolutionary learning tools
  • A global, interactive learning community.

LingQ에서 온라인 언어학습

Μαθηματικά - Εξισώσεις 2: Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση - Ε' Δημοτικού Επ. 43

Γεια σας παιδιά!

Είμαστε πάλι εδώ σήμερα

για να συνεχίσουμε το δεύτερο μέρος των εξισώσεων το οποίο είχαμε κάνει την προηγούμενη φορά.

Σήμερα λοιπόν θα κάνουμε εξισώσεις οι οποίες

αφορούν γινόμενα και διαιρέσεις.

Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις.

Θα ξεκινήσουμε με τις εξισώσεις οι οποίες είναι εξισώσεις πολλαπλασιασμού.

Και όταν λέμε εξισώσεις πολλαπλασιασμού, σημαίνει τι;

Ότι θα ψάχνουμε να βρούμε τον άγνωστο x

ο οποίος θα είναι παράγοντας ενός γινομένου.

Π.χ. πριν ξεκινήσουμε να δούμε ό,τιδήποτε..

..κάτι πολύ απλό.

2*x=10

Δεν χρειάζεται να το σκεφτούμε πολύ. Καταλαβαίνετε ότι το x

είναι ποιος αριθμός;

Το 5.

Τι σημαίνει αυτό; Το βρίσκετε από την προπαίδεια.

2 επί κάτι που δεν ξέρω, μου κάνει 10.

Άρα το x είναι 5.

Πάμε όμως τώρα να το πούμε λίγο πιο σοβαρά, λίγο καλύτερα.

Όταν έχω, παιδιά, εξίσωση που ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου..

..τι σημαίνει;

Παράγοντας γινομένου; ..τι σημαίνει;

Παράγοντας γινομένου;

Σημαίνει ότι έχω δύο αριθμούς από τους οποίους τον έναν δεν τον γνωρίζω.

Έχω λοιπόν έναν αριθμό

όπως έχετε δει και στη διαφάνεια η οποία υπάρχει.

x που δεν ξέρω ποιος είναι, ο ένας παράγοντας,

επί 5

μου κάνει 20.

Τι κάνω λοιπόν εδώ;

Όταν έχω εξίσωση που ο ένας από τους δύο παράγοντες είναι άγνωστος

τότε κάνω την αντίστροφη πράξη.

Θυμηθείτε ότι όταν είχα εξισώσεις πρόσθεσης

έκανα την αντίστροφη πράξη, βρίσκοντας το x, και έκανα αφαίρεση.

Όταν είχα εξίσωση με αφαίρεση, έκανα την αντίστροφη πράξη,

που σημαίνει πρόσθεση.

Εδώ λοιπόν, όταν έχω εξίσωση η οποία είναι..

..ο άγνωστος μου είναι παράγοντας γινομένου...

Τότε τι κάνω παιδιά;

Την αντίστροφη πράξη για να βρω το x. Δηλαδή;

Δηλαδή κάνω διαίρεση.

Τι σημαίνει αυτό;

Κρατάω το x

στο πρώτο μέλος της ισότητας

και λέω x ίσον 20 δια 5

x=4

To 4 επαληθεύει την εξίσωσή μου. Γιατί; Γιατί 4*5=20.

Πριν προχωρήσουμε να πούμε και άλλα παραδείγματα θέλω να θυμάστε ότι:

Όπως όταν λέμε την προπαίδεια, δεν παίζει κανένα απολύτως ρόλο αν θα πούμε 2*3=6

ή αν θα πούμε 3*2

το ίδιο πράγμα συμβαίνει και στις εξισώσεις με πολλαπλασιασμό.

Συνηθίζουμε λοιπόν, να μην βάζουμε πρώτα το x

αλλά να βάζουμε τον αριθμό πρώτα.

5*x=20.

Όπως είχα εδώ x*5, εδώ έχω 5*x.

Είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα και το λύνω ακριβώς με τον ίδιο τρόπο. Δηλαδή τι κάνω;

x= 20

δια 5, x=4.

Παίζει κανένα ρόλο η σειρά; Απολύτως κανένα.

Συνηθίζουμε όμως να βάζουμε τον άγνωστο ως δεύτερο παράγοντα του γινομένου.

Για να δούμε και ένα άλλο παράδειγμα.

Αν π.χ. έχω 10..

..ωραίο 10 έγραψα. Να το γράψουμε πιο ωραία!

10*x=50.

Πάμε να το λύσουμε.

Ψάχνουμε να βρούμε το x.

Έχουμε εξίσωση πολλαπλασιασμού. Άρα τι κάνω;

Θα κρατήσω το x και θα κάνω την αντίστροφη πράξη.

Ποια είναι η αντίστροφη πράξη; Η διαίρεση.

x=50

δια 10

x λοιπόν ίσον 5.

Το ίδιο πράγμα είναι άμα πω x*10.

Δεν παίζει κανένα ρόλο η σειρά των παραγόντων στην εξίσωση.

Κανέναν απολύτως ρόλο.

Είτε πω 10*x είτε πω x*10 είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα.

Πάμε λοιπόν να προχωρήσουμε στις εξισώσεις οι οποίες έχουν να κάνουν με άγνωστο διαιρετέο.

Πριν πούμε οτιδήποτε, να θυμίσω

ότι όταν έχουμε μία διαίρεση έχουμε:

διαιρετέο, διαιρέτη

και αυτό που βρίσκουμε το λέμε πηλίκο.

Άρα έχουμε Δ:δ=π.

Για να δούμε λοιπόν ένα παράδειγμα.

Αν έχουμε x

δια

μου κάνει 8.

Για να δούμε λοιπόν τι κάνουμε.

Πάλι θα κάνουμε την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή...

... έχω εξίσωση με διαίρεση.

Τι θα κάνω; Η αντίστροφη πράξη είναι ο πολλαπλασιασμός.

Άρα θα κρατήσω το x

στο πρώτο μέλος της εξίσωσης

και θα πω: x ίσον...

Και αντί για διαίρεση θα κάνω πολλαπλασιασμό.

8*5

Άρα το x=40.

Αν πάρω λοιπόν εδώ το 40, που βρήκα ότι είναι το x, η λύση της εξίσωσης

και το βάλω στη θέση του x, τότε τι θα έχω;

40:5 βεβαίως και μου κάνει 8.

Άρα όταν έχω εξίσωση...

...κρατήστε το αυτό γιατί στο επόμενο βήμα θα το πάμε αντίστροφα, θα ψάχνουμε να βρούμε το διαιρετέο.

Για να δούμε λοιπόν.

Το ξαναλέω μία φορά.

Όταν έχουμε εξίσωση στην οποία ψάχνουμε να βρούμε τον άγνωστο διαιρετέο..

αντί για διαίρεση θα κάνω την αντίστροφη πράξη.

Θα κάνω πολλαπλασιασμό.

Πάμε να δούμε και άλλο ένα παράδειγμα.

Αν έχουμε

x:20=5.

Τι θα κάνουμε παιδιά;

Έχουμε διαίρεση, εξίσωση διαίρεσης.

Άρα θα κάνω την αντίστροφη πράξη.

Κρατάω λοιπόν το x στο πρώτο μέλος και λέω

x ίσον 5

Αντί για διαίρεση, πολλαπλασιασμό: άρα x=5*20.

Άρα x=100.

Επαληθεύεται; Βεβαίως.

Αν πάρω τη λύση της εξίσωσης η οποία είναι x=100

και τη βάλω στη θέση του x...

Τι θα έχω; 100 δια 20

Μου κάνει πόσο;

Μου κάνει 5.

Αυτό είναι το εύκολο κομμάτι.

Και πάμε να δούμε! Αν θυμηθείτε πώς κάναμε στην αφαίρεση, που είχαμε μία υποκατηγορία,

που όταν είχαμε εξισώσεις αφαίρεσης ξανακάναμε αφαίρεση...

...το ίδιο πράγμα υπάρχει και στη διαίρεση.

Πότε; Για να δούμε λοιπόν την επόμενη.

Πως λύνεται μία εξίσωση όταν έχουμε άγνωστο διαιρετέο.

Όταν ο άγνωστος λοιπόν είναι διαιρέτης, για να λύσουμε την εξίσωση

διαιρούμε τον διαιρετέο με το πηλίκο.

Για να δούμε τι εννοούμε.

Πάμε παιδιά.

Για να το δούμε, να κάνουμε μία απλή εξίσωση στην αρχή.

Για να το δούμε.

Αν πούμε λοιπόν

55:x=11

Για να δούμε.

Έχουμε εδώ... ότι πρέπει να βρούμε το δια x.

Όταν έχουμε δια x, ξανακάνω διαίρεση.

Κρατάω το x στο πρώτο μέλος, και τι κάνω;

Πηγαίνω τον διαιρέτη πίσω.

55:11

Άρα το x=5.

Είναι υποκατηγορία στις εξισώσεις, με τη διαίρεση, που θέλει μία ιδιαίτερη προσοχή...

Είναι το ίδιο πράγμα που κάναμε στην αφαίρεση όταν είχαμε πλην x, που ξανακάναμε αφαίρεση.

Εδώ λοιπόν, το ξαναλέω και θα κάνουμε και άλλο παράδειγμα,

όταν έχουμε δια x δεν κάνω πολλαπλασιασμό αλλά κάνω ξανά διαίρεση.

Για να το δούμε, λοιπόν, πάλι. Σε άλλο παράδειγμα.

Αν π.χ. πούμε 100:x=5

Τι θα πρέπει να κάνω; Βλέπω ότι έχω δια x. Άρα θα κρατήσω το x στο πρώτο μέλος

και τι θα ξανακάνω παιδιά;

Πάλι διαίρεση. Δηλαδή 100

δια 5

x ίσον πόσο; 20.

Την επαληθεύει; Βεβαίως. Γιατί 100...

Αν βάλω το x στη θέση εδώ...

100:20=5.

Πάμε να προχωρήσουμε λοιπόν λίγο,

να κάνουμε περισσότερες ασκησούλες.

Πάμε λοιπόν στο πρώτο πρώτο πρόβλημα το οποίο...

Προσέξτε, εσείς βλέπετε ότι έχω εδώ τρία προβληματα.

Αυτά τα τρία προβλήματα μπορεί να τα λύσουμε και με πρακτική αριθμητική.

Στη συγκεκριμένη όμως περίπτωση δεν θα τα λύσουμε με πρακτική αριθμητική,

με τις απλές πράξεις,

αλλά θα προσπαθήσουμε να φτιάξουμε εξισώσεις.

Θα λύσουμε δηλαδή τα προβλήματα με εξισώσεις.

Για να δούμε λοιπόν, όσο εσείς διαβάζετε, θα σας διαβάζω κι εγώ

το πρώτο πρόβλημα

και θα πάμε να φτιάξουμε εξίσωση.

Τρεις φορές το 11 και τρεις φορές το 12 και τρεις φορές το 15 και άλλος ένας αριθμός μας κάνουν 120. Ποιος είναι ο άλλος αριθμός;

Για να πάμε να τον βρούμε.

Tρεις φορές το 11: το γράφουμε.

τρεις φορές το 11, και τρεις φορές ποιο; Το 12. Και τρεις φορές ποιο; Το 15. Και άλλος ένας αριθμός...

Τον ξέρω τον άλλον αριθμό;

Όχι! Άρα ποιος είναι; Ο x, ένας x.

Mας κάνει πόσο;

Δεν το θυμάμαι παιδιά απέξω... Μας κάνει 120!

Εδώ δεν έχω πρόβλημα το οποίο είναι πολλαπλασιασμού.

Θα πάμε στα επόμενα πολλαπλασιασμού.

Θέλω απλώς να δείτε ότι έχω γινόμενα αλλά η εξίσωσή μου δεν είναι εξίσωση πολλαπλασιασμού. Γιατί;

Γιατί έχω συν x. Θέλω απλώς να δείτε ότι έχω γινόμενα αλλά η εξίσωσή μου δεν είναι εξίσωση πολλαπλασιασμού. Γιατί;

Γιατί έχω συν x.

Για πάμε λοιπόν να το λύσουμε.

Τρεις φορές το 11 μας κάνει πόσο παιδιά; Μας κάνει 33.

Και τρεις φορές το 12, μας κάνει 36.

Και τρεις φορές το 15, μας κάνει 45.

Συν το x, μας κάνει 120.

Για πάμε λοιπόν να δούμε τι έχουμε.

33+36+45+x=120.

Τι εξίσωση έχω εδώ παιδιά;

Μην παρασύρεστε απ'ό,τι έχω!

Σήμερα μιλάμε για εξισώσεις πολλαπλασιασμού και διαιρέσεων.

Εδώ έχω συν x, άρα έχω εξίσωση πρόσθεσης.

Τι πρέπει να κάνω, λοιπόν;

Είτε θα προσθέσω αυτά που έχω στο πρώτο μέλος,

είτε θα τα πάω όλα πίσω κάνοντας αφαίρεση.

Ο πιο εύκολος τρόπος είναι να τα προσθέσω...

...συν x, και να πω 120.

Πάμε λοιπόν να δούμε.

5 και 6, 11 και 3, 14.

4... Ένα το κρατούμενο, και 4; 5. Και 3; 8. Και 3, 11.

Άρα 114+x=120.

Που κατέληξα; Κατέληξα να έχω μία απλή εξίσωση πρόσθεσης.

Άρα x είναι ίσον...

Τι έχουμε πει όταν έχουμε εξίσωση πρόσθεσης; Τι κάνουμε;

Κάνουμε την αντίστροφη πράξη. Άρα αφαίρεση.

120-114.

Άρα x=6.

Σημειώστε το και πάμε παρακάτω. Πάμε να λύσουμε το επόμενο πρόβλημα,

και θα δούμε τι έχουμε να κάνουμε σε αυτό.

Λοιπόν...

Λέει, ο κύριος Γιώργος είχε 2 χαρτονομίσματα των 20 ευρώ, 4 χαρτονομίσματα των 5 ευρώ και 4, προσέξτε, ίδια κέρματα. Αν τα χρήματά του ήταν συνολικά 68 ευρώ, τι είδους κέρματα είχε;

Το βασικό σε αυτό το πρόβλημα είναι ποιο;

Το ότι δεν ξέρουμε τι είδους κέρματα έχει.

Ξέρουμε ότι έχει 4 ίδια κέρματα αλλά δεν ξέρουμε τι είναι.

Είναι του ενός ευρώ, των δύο ευρώ των πενήντα λεπτών; Δεν ξέρουμε τι είναι.

Πάμε λοιπόν να καταστρώσουμε το πρόβλημα.

2 χαρτονομίσματα των 20 ευρώ. Άρα 2*20.

Τι άλλο είχε; Σας λέει ότι είχε:

4 χαρτονομίσματα των 5 ευρώ.

Άρα συν 4*5.

Προσέξτε τώρα.

Μας λέει ότι είχε και 4 κέρματα ίδια.

Τι δεν ξέρουμε παιδιά;

Δεν ξέρουμε πόσα.

Άρα συν 4 επί τι; Επί x.

Γιατί; Γιατί δεν ξέρω τι είδους κέρματα είναι.

Αυτά λοιπόν τα χρήματα τα οποία είχε... Όλα μαζί είναι 68.

€68 συνολικά έχει ο κύριος Γιώργος.

Για να δούμε λοιπόν τι πρέπει να κάνουμε.

Έχουμε γινόμενα.

Πάμε λοιπόν να δούμε πόσο κάνει το καθένα. Να ξεκινήσουμε να λύσουμε την εξίσωση.

2*20=40.

Συν

4*x. Δεν μπορώ να κάνω τίποτα ακόμα. Το αφήνω όπως είναι: 4*x.

Πόσο μου κάνει όλο αυτό; 68.

Προχωράμε.

40+20 μου κάνει πόσο παιδιά; 60.

Συν 4*x.

Όλο μαζί πόσο μου κάνει; 68.

Για να δούμε εδώ τι έχουμε.

Έχουμε μία εξίσωση η οποία...

Εδώ έχουμε ένα γινόμενο με τον άγνωστο,

και εδώ έχουμε μία πρόσθεση.

Άρα, εγώ τι πρέπει να κάνω;

Θα πρέπει το 60, τον έναν προσθετέο να τον πάω πίσω

για να κρατήσω μόνο του το x, το 4*x στο πρώτο μέλος.

Για να το πάω όμως πίσω, τι πρέπει να κάνω παιδιά;

Την αντίστροφη πράξη.

Δηλαδή 4*x που θα το κρατήσω μόνο του...

ίσον...

θα γράψω το 68 που έχω

και το 60 αφού του αλλάζω πλευρά και το πάω από την άλλη πλευρά της ισότητας

αντί για πρόσθεση που είναι εκεί, τι θα κάνω; Αφαίρεση.

Και θα είναι μείον 60.

Για να δούμε λοιπόν.

4*x, μου κάνει πόσο;

68-60=8.

Τι έχω εδώ παιδιά;

Έχω μία εξίσωση πολλαπλασιασμού.

Τι κάνω όταν έχω εξίσωση πολλαπλασιασμού;

Την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή, διαίρεση.

Άρα κρατάω το x στο πρώτο μέλος..

Και έχω τι;

Ίσον με 8:4.

Άρα το x=2.

Τι είναι αυτό το 2 που βρήκα;

Είναι ότι ο κύριος Γιώργος είχε τι, παιδιά;

Είχε 4 κέρματα των 2 ευρώ.

Η απάντηση λοιπόν που εμείς έχουμε να δώσουμε στο πρόβλημα είναι ποια;

Ότι είχε 4 κέρματα...

Τι;

... Των 2 ευρώ.

Αυτή είναι η απάντησή μας στο πρόβλημα.

Δείτε το ξανά γιατί αυτό το οποίο θα πρέπει να προσέξουμε είναι ότι

ενώ ξεκινάμε και έχουμε πράξεις κανονικά, καταλήγουμε

στο να έχουμε μία εξίσωση πολλαπλασιασμού.

Και στην εξίσωση πολλαπλασιασμού θα πρέπει να κάνω την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή, διαίρεση.

Όση ώρα εγώ σβήνω τον πίνακα,

εσείς κοιτάξτε με προσοχή το τρίτο πρόβλημα και το διαβάζουμε μαζί.

Για να δούμε λοιπόν τι λέει το τρίτο πρόβλημα.

Το τρίτο πρόβλημα μας λέει για έναν

κύριο που γίνεται μπαμπάς απότομα.

Για να δούμε γιατί γίνεται μπαμπάς απότομα.

Μας λέει λοιπόν ότι ένας δημόσιος υπάλληλος παίρνει 1280 ευρώ μισθό.

Η γυναίκα του γέννησε τρίδυμα.

Πολύ δύσκολο.

Έγινε πολύ γρήγορα μπαμπάς με πολλά παιδάκια.

Το κράτος λοιπόν δίνει πάντα στους γονείς ένα χρηματικό βοήθημα το οποίο λέγεται επίδομα.

Στον επόμενο μισθό o υπάλληλος πήρε 1440 ευρώ μισθό.

Πόσο επίδομα πήρε για το κάθε παιδί;

Για να δούμε λοιπόν τι έχουμε εδώ.

Ένας δημόσιος υπάλληλος, ένας κύριος, παίρνει κάθε μήνα...

Βλέπει στον τραπεζικό του λογαριασμό από τον μισθό του 1280 ευρώ.

Πολύ ωραία. Γίνεται ένα ευχάριστο γεγονός στη ζωή τους

και η γυναίκα του γεννάει τρία παιδάκια. Τρίδυμα.

Τον επόμενο λοιπόν μισθό τον οποίο παίρνει ο κύριος..

Έχει αυξηθεί ο μισθός του.

Και από 1280 ο μισθός του γίνεται 1440.

Αυτό όμως δεν γίνεται έτσι.

Γίνεται γιατί;

Γιατί παίρνει ένα επίδομα το οποίο...

Επίδομα είναι για το κάθε παιδάκι.

Ναι αλλά, είπαμε, αυτός...

Η γυναίκα του γέννησε τρία παιδάκια.

Άρα, σε αυτά τα 1280 ευρώ

προστέθηκε ένα επίδομα

το οποίο δεν είναι για το ένα παιδάκι μόνο.

Τι, το ένα παιδάκι θα πάρει και τα άλλα δεν θα πάρουνε;

Παίρνει λοιπόν και για τα τρία παιδιά.

Άρα... ξέρουμε πόσα λεφτά παίρνει για το κάθε παιδί; Όχι.

Αυτό ψάχνουμε να βρούμε.

Άρα αφού είναι τρία τα παιδάκια τα οποία γεννήθηκαν...

Το επίδομα το οποίο παίρνει ο μπαμπάς για το καθένα δεν ξέρουμε πόσο είναι.

Άρα είναι x.

Τι έχουμε λοιπόν εδώ;

1280 που ήταν ο μισθός του αρχικά,

συν το επίδομα το οποίο παίρνει και για τα τρία μωρά τα οποία γεννήθηκαν.

Στον επόμενο μισθό του βλέπει κάποια χρήματα παραπάνω.

Ο μισθός του από 1280 ευρώ έχει γίνει 1440 ευρώ.

Για να δούμε λοιπόν, ποιο είναι το επίδομα το οποίο πήρε;

Αρχικά βλέπουμε ότι έχουμε μία πρόσθεση και

ένα γινόμενο το οποίο γινόμενο έχει και το x μέσα.

Εμείς λοιπόν το πρώτο πράγμα που έχουμε να κάνουμε είναι ποιο;

Να κρατήσουμε το γινόμενο με το x,

το 3*x στο πρώτο μέλος

και τον αριθμό, εδώ που έχουμε την πρόσθεση, να τον πάμε πίσω

κάνοντας τι, παιδιά; Κάνοντας αφαίρεση.

Την αντίστροφη πράξη.

Άρα 3*x είναι ίσον με 1440...

Αφού το 1280 θα το πάω από την άλλη πλευρά αντί για πρόσθεση, τι θα κάνω; Αφαίρεση.

Μείον τα 1280.

Άρα, για να δούμε....

3 λοιπόν επί x ίσον...

Για πάμε να κάνουμε την πράξη!

0-0=0.

14-8=6.

1+2=3. 4-3=1.

1-1=0.

Είμαστε εντάξει;

Πάμε λοιπόν να δούμε.

Έχουμε λοιπόν, 3*x=160.

Για να δούμε.

Τι έχουμε να κάνουμε;

Έχουμε να κάνουμε με μία διαίρεση.

Γιατί; Γιατί έχουμε πολλαπλασιασμό. Έχουμε εξίσωση πολλαπλασιασμού.

Τι πρέπει να κάνω, παιδιά;

Πρέπει να κρατήσω το x μόνο του.

Άρα είναι 160

δια 3.

Τα 160 ευρώ θα πρέπει να τα διαιρέσω με το 3.

Ίσον...

Αν κάνουμε τη διαίρεση κανονικά θα μας βγει ένα 53,3333 και θα συνεχίζεται

Αυτό λοιπόν...

Προσέξτε, είναι κάτι καινούριο το οποίο μαθαίνετε!

Βγαίνει ένας αριθμός που όσο και αν την προχωράω τη διαίρεση θα μου βγαίνει ατελής.

Και ατελής πως;

Επαναλαμβάνοντας το 3.

Αυτή τη διαίρεση... Αυτός ο αριθμός ο οποίος προκύπτει...

Για να μην το λέω συνέχεια, είτε το στρογγυλοποιώ, όπως έχετε μάθει...

Και λέω ότι το x είναι περίπου...

Πόσο; Με 53,34 ευρώ για το κάθε παιδάκι.

Προχωράμε.

Πάμε να δούμε λοιπόν

και ακόμα λίγα προβληματάκια.

Δύο για την ακρίβεια.

Και τις δύο από κάτω,

που βλέπετε στη διαφάνειά σας,

τις δύο από κάτω ασκησούλες

θα τις λύσετε εσείς για την επόμενη φορά

και στο επόμενο μάθημα θα ξεκινήσουμε από εκεί.

Πάμε να δούμε λοιπόν

τα δύο επόμενα προβλήματα και να σταματήσουμε το μάθημά μας για σήμερα.

Διαβάστε το πρώτο πρόβλημα όσο εγώ σβήνω τον πίνακα.

Όσο τον σβήνω, ξεκινήστε και διαβάστε.

Είναι πολύ πολύ εύκολο!

Για να το δούμε.

Αγοράσαμε, λέει, φακελάκια για παρασκευή κρέμας στιγμής που κοστίζουν 3,15€.

3 ευρώ και 15 λεπτά.

Το ένα στοιχίζει 0,45€.

Πόσα τέτοια φακελάκια αγόρασα;

Σας στέλνει η μαμά σας στο σούπερ μάρκετ, να αγοράσετε φακελάκια για να φτιάξετε κρέμες.

Εσείς λοιπόν βλέπετε ότι στον πάγκο που είναι τα φακελάκια με τις κρέμες στιγμής

το κάθε ένα φακελάκι κοστίζει 0,45€.

Αγοράζετε.

Παίρνετε κάποια στο καλάθι σας.

Εγώ και οι υπόλοιποι δεν ξέρουμε πόσα έχετε πάρει.

Άρα πόσα είναι παιδιά; x, αυτά τα οποία παίρνετε εσείς.

Πάτε λοιπόν στο ταμείο.

Περνάει η ταμίας τα φακελάκια σας, που εγώ δεν ξέρω πόσα είναι,

και σας ζητάει να πληρώσετε, πόσα; 3,15€.

Άρα έχουμε μία εξίσωση πολλαπλασιασμού

την οποία εμείς πρέπει να λύσουμε πώς;

Με την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή κάνοντας διαίρεση.

Για να βρούμε πόσα φακελάκια αγοράσαμε!

Για να δούμε λοιπόν τι πρέπει να κάνουμε;

x ίσον...

Αντίστροφη πράξη, διαίρεση. Άρα...

3,15 δια πόσο, παιδιά;

Δια 0,45.

x ίσον... Θυμόμαστε να κάνουμε διαιρέσεις με δεκαδικούς αριθμούς;

Για να δούμε.

Έχουμε 3,15:0,45.

Δύο δεκαδικά ψηφία ο ένας, δύο δεκαδικά ψηφία ο άλλος.

Άρα πολλαπλασιάζουμε και τους δύο αριθμούς επί 100 και γίνεται 315

δια 45.

Για να προχωρήσουμε.

Το 45 στο 31 χωράει; Όχι.

Το 45 στο 315 χωράει πόσες φορές;

Χωράει 8; 4*8=32. Όχι.

Χωράει 7.

Για να δούμε.

5*7=35.

3.

4*7=28.

28+3=31.

0.

Τι βρήκαμε λοιπόν;

Ότι το x=7.

Άρα ποια είναι η απάντηση στο πρόβλημά μας.

Ότι το παιδάκι αγόρασε 7 σακουλάκια που το καθένα περιέχει

κρέμα στιγμής

και που το καθένα κοστίζει 0,45€.

Πάμε παρακάτω

και στο τελευταίο μας πρόβλημα.

Για να το δούμε.

Αγόρασα 6 φακελάκια πάλι για παρασκευή κρέμας στιγμής και πλήρωσα 3,90€.

Ποια είναι η αναγραφόμενη τιμή στο ράφι του καταστήματος για το ένα φακελάκι;

Είναι ανάποδο το πρόβλημα.

Είναι λίγο αντίστροφο με αυτό που λύσαμε πριν.

Για να σημειώσουμε τι ξέρουμε!

Αγοράσαμε τώρα 6 φακελάκια - μας λέει πόσα.

Αγοράζουμε 6 φακελάκια.

Μας λέει επίσης ότι στο ράφι,

όταν πάει το αγοράκι να αγοράσει την κρέμα

δεν βλέπει την τιμή

αλλά ξέρει ότι πληρώνει στο τέλος 3,90€.

Πληρώνει 3,90€.

Αγόρασε 6 φακελάκια.

Τι δεν ξέρουμε, παιδιά;

Δεν ξέρουμε πόσο κάνει το ένα.

Για να δούμε λοιπόν.

Τι θα πούμε;

Έχουμε 6 φακελάκια που αγοράζει...

Τι δεν ξέρουμε εδώ; Δεν ξέρουμε την τιμή.

Επί πόσο; Επί x.

Δεν ξέρουμε πόσο κάνει το καθένα.

Τι πληρώνουμε στο ταμείο; Πληρώνουμε 3,90€.

Άρα έχω πάλι μία εξίσωση πολλαπλασιασμού;

Βεβαίως.

Τι πρέπει να κάνω; Την αντίστροφη πράξη.

Άρα x=3,90.

Ποια είναι η αντίστροφη πράξη; Η διαίρεση.

Δια πόσο παιδιά; Δια 6.

Για λοιπόν να κάνουμε...

Εδώ έχουμε να κάνουμε μία διαίρεση.

Τι διαίρεση παιδιά έχουμε να κάνουμε;

Δεκαδικού με ακέραιο.

Άρα έχω 3,9.

Το ίδιο πράγμα είναι, 3,90.

Δια πόσο; Δια 6.

Το θυμόμαστε πώς κάνουμε διαιρέσεις δεκαδικού με ακέραιο;

Το 6 στο 3 δεν χωράει.

Αφού τονίζω και το ψηφίο, βάζω 0 στο πηλίκο και υποδιαστολή - το 6 στο 39 χωράει πόσες;

6 φορές.

6*6=36.

9-6=3.

3-3=0.

Κατεβάζω και το άλλο.

Το 6 στο 30 πόσο χωράει; 5.

5*6=30.

30-30=0.

Άρα τι βρήκα;

Ότι x= 0,65€.

Κλείνοντας να υπενθυμίσουμε...

Να υπένθυμήσουμε, παιδιά, ότι...

Ανακεφαλαιώνοντας τα δύο μέρη που έχουμε κάνει μέχρι τώρα των εξισώσεων,

έχουμε εξισώσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης.

Τα πράγματα είναι πάρα πάρα πολύ εύκολα στην πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Γιατί;

Στην πρόσθεση κάνουμε την αντίστροφη πράξη, δηλαδή όταν έχω άγνωστο προσθετέο κάνω αφαίρεση.

Το ίδιο και στον πολλαπλασιασμό.

Όταν έχω τον έναν παράγοντα άγνωστο, αντί για πολλαπλασιασμό κάνω διαίρεση.

Πού πρέπει να προσέχουμε πάρα πολύ;

Πρέπει να προσέχουμε στις εξισώσεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης.

Γιατί; Γιατί έχουμε δύο υποκατηγορίες για την καθεμία,

που όταν έχουμε άγνωστο τον μειωτέο, στην αφαίρεση κάνω κανονικά την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή πρόσθεση.

Όταν όμως έχουμε άγνωστο τον αφαιρετέο ξανακάνω τι; Ξανακάνω αφαίρεση.

Το ίδιο πρέπει και να προσέχω στη διαίρεση.

Θέλω να θυμάστε πολύ καλά ότι όταν έχουμε δια x, δεν κάνω πολλαπλασιαμό αλλά κάνω ξανά διαίρεση.

Στη διαφάνεια την οποία βλέπετε, υπάρχουν δύο ασκησούλες πολύ πολύ απλές.

Αν θέλετε μπορείτε να τις σημειώσετε

και στο επόμενο μάθημα που θα κάνουμε

θα λύσουμε πολλές ασκήσεις

και από τα τέσσερα είδη των εξισώσεων και με αριθμητικές παραστάσεις

και με πολλά πολλά προβλήματα.

Καλή συνέχεια, καλή δύναμη

και ραντεβού για το επόμενο μάθημα.

Γεια σας.

×

우리는 LingQ를 개선하기 위해서 쿠키를 사용합니다. 사이트를 방문함으로써 당신은 동의합니다 cookie policy.