Spezielle Relativitätstheorie I - Warum Zeit nicht gleich Zeit ist (2018)

Das Raumzeit-Team bekennt sich endlich zu seinem Namen. Wir beginnen heute mit unserer

Reihe zur Relativitätstheorie Albert Einsteins – jener Theorie, der die Menschheit die

bekannteste aller Gleichungen verdankt. Jene Theorie, welche zusammen mit der Quantenmechanik

die Physik des 20. Jahrhunderts revolutionierte und bestimmte. Unsere Zielsetzung ist dabei

einfach: wir wollen heute einen Teil der speziellen Relativitätstheorie vorstellen und zwar so,

dass man sie versteht. Und nur ein bisschen Mathematik, versprochen. Kleines bisschen.

Jetzt aber los. Ich bin Ronny. Willkommen bei Raumzeit.

Einstein veröffentlichte seinen Aufsatz zur „Elektrodynamik bewegter Körper“ in seinem

annus mirabilis, seinem Wunderjahr, 1905. Den Begriff spezielle Relativitätstheorie

benutzte Einstein erst 1915, als er der Welt die Allgemeine Relativitätstheorie vorstellte.

Um die spezielle Relativitätstheorie, die wir gelegentlich mit SRT abkürzen werden,

zu verstehen, ist ein Minimum an physikalischen Begrifflichkeiten notwendig.

Der erste Begriff, der immer wieder auftaucht, ist Inertialsystem. Das klingt sehr intellektuell,

beschreibt aber letztlich nur ein System, z.B. ein Raumschiff, einen Menschen oder einen

Asteroiden, welches sich in einer gleichförmigen Bewegung befindet. Es kann stillstehen, 50

km/h schnell sein oder sich mit halber Lichtgeschwindigkeit bewegen. Solange das System nicht beschleunigt

oder gebremst wird, gilt es als Inertialsystem. Für solche Inertialsysteme ging Einstein

von genau zwei Grundüberlegungen aus. Erstens: alle physikalischen Gesetze gelten ohne Einschränkungen

in jedem Inertialsystem. Das ist für uns alle intuitiv nachvollziehbar: egal ob wir

im Bett liegen, in einem Zug fahren oder im Flugzeug reisen: wenn wir einen Stift fallen

lassen, dann fällt dieser nach unten. Genau genommen könnten wir nicht einmal feststellen,

dass wir uns bewegen. Und überhaupt ist das mit dem still im Bett liegen ja so eine Sache.

Wir liegen eigentlich auf einem rotierenden Ball, welcher einen Stern umkreist, der mit

220 Kilometer pro Sekunde durch die Milchstraße rast – bewegungslos ist anders. Also nochmal

die erste Prämisse Einsteins: in allen Inertialsystemen existieren die gleichen physikalischen Gesetze.

Die zweite Prämisse sagt, dass die Lichtgeschwindigkeit c immer gleich ist, egal für welchen Beobachter,

egal in welchem System. Im Klartext: egal ob ich meine Taschenlampe aus dem Sessel heraus

anmache oder in der International Space Station die mit 7.66 km/s fliegt: ich und jeder andere

Beobachter sehen einen Lichtstrahl, der sich mit 300.000 km/s bewegt. Nicht langsamer,

nicht schneller. Diese beiden Prämissen leiten an sich ganz

logisch zur Speziellen Relativitätstheorie hin. Machen wir mal ein Experiment. Wir brauchen

zwei Inertialsysteme, sagen wir mal, Sandy und Dr. Fred. Sandy sitzt gerade in einem

geparkten Raumschiff und Dr. Fred schaut ihr vom Boden aus zu. Beide haben exakt identische

Uhren bei sich – ganz besondere Uhren. Sie besteht aus einem Spiegel oben und einem Spiegel

unten. Zwischen beiden Spiegeln bewegt sich ein Photon auf und ab (könnte auch ein Lichtstrahl

sein, aber ein Photon ist besser zu animieren und klingt cooler.) Bei Uhren laufen absolut

synchron und das Licht benötigt aus Gründen der Vereinfachung genau 1 Sekunde hoch und

1 Sekunde runter. Sehen wir hier. Zur Erinnerung – das Photon bewegt sich mit 300.000 km/h,

mit c, mit Lichtgeschwindigkeit. Das findet auch Einstein unproblematisch,

denn beide Inertialsysteme (Sandys Raumschiff und Dr. Freds Parkbank) sind gleich schnell

– sie bewegen sich nicht. Was aber, wenn Sandy ihr Fusionsionentriebwerk zündet und

etwas später mit halber Lichtgeschwindigkeit unterwegs ist? Jetzt haben wir zwei Inertialsysteme,

die sich relativ zueinander unterschiedlich schnell bewegen. Was ist mit den Uhren? Erstmal

genau das, was wir erwarten würden. Fred sieht seine Uhr genauso ticken wie zuvor.

Eine identische Beobachtung macht Sandy im Raumschiff. Erinnern wir uns an die Prämissen:

physikalische Gesetze sind in beiden Systemen identisch. Beide sehen also eine Uhr, die

1 Sekunden anzeigt. Doch jetzt ändern wir etwas Entscheidendes.

Wir ermöglichen so jene Beobachtung, die letztlich die spezielle Relativitätstheorie

definiert! Sandy fliegt nun an Dr. Freds Position vorbei. Fred steht noch immer da. Während

des Vorbeifluges sieht Sandy das Photon in ihrer Uhr normal auf und ab gehen. Auch Fred

sieht sein Photon genauso auf und ab gehen. – Doch nun blickt Fred auf die vorbeifliegende

Sandy und deren Uhr. Zu schnell?

Hier nochmal etwas langsamer. Jetzt? Das Photon, dessen Bewegungen für

Sandy ganz normal verlaufen, muss aus Dr. Freds Perspektive eine längere Wegstrecke

zurücklegen. Eine längere Wegstrecke bedeutet mehr Zeit. Das ist doch aber gar nicht möglich!

Wenn nämlich die Lichtgeschwindigkeit für jeden Beobachter immer identisch ist (das

war Einsteins zweite Prämisse), dann gibt es hier ein Problem. Das Licht hat offensichtlich

in der gleichen Zeit eine längere Strecke als das Licht in Dr. Freds Uhr zurücklegen

müssen. Das geht aber nicht, denn beide Lichtstrahlen sind ja exakt gleich schnell – und zwar

für jeden Beobachter … Lösen wir das auf: Geschwindigkeit definiert

sich in der Physik als Quotient V aus Distanz d durch Zeit t.

Da V des Photons aber immer gleich sein muss, nämlich 300.000 Kilometer pro Sekunde, muss

sich die andere Variable verändert haben. Die Zeit.

Dr. Freds Beobachtung lässt sich nur dann erklären, wenn die Zeit auf Sandys Uhr langsamer

verging. Und das ist keine optische Täuschung. Sandy nimmt alles an Bord ihres Schiffes so

wahr wie immer, ihre Uhr geht auch ganz normal. Tatsächlich aber liefen alle physikalischen

& biologischen Prozesse in Sandys Schiff verlangsamt ab. Und wie langsam? Hier bemühen wir mal

ein wenig Mathematik – ist aber einfach, versprochen.

Schauen wir nochmal auf den Vorbeiflug von Sandy und ihre Lichtuhr. Und stop. Wenn wir

hier ein Dreieck einzeichnen, dann seht ihr sicher, dass dieses rechtwinklig ist. Und

wir brauchen diese lange Seite hier … Moment, kramen wir im Schulwissen – richtig, Satz

des Pythagoras. Wem diese Herleitung jetzt zu mathematisch wird, der kann einfach die

nächste Minute überspringen. Wir lösen vorsichtshalber mal Mathematikalarm aus.

Was haben wir: wir wissen, wie weit Sandys Uhr in dieser Zeit gekommen ist: diese Distanz

ergibt sich aus der Geschwindigkeit ihres Raumschiffs v multipliziert mit der Zeit Tsandy,

die Fred beobachtete – nennen wir das also vTsandy. Dann haben wir die senkrechte Seite

des Dreiecks. Das ist die Distanz zwischen den Spiegeln bzw. die Strecke, die das Licht

in Zeit tfred zwischen den Spiegeln zurücklegt, also Lichtgeschwindigkeit c mal Zeit auf Freds

Uhr. Und wir wollen schließlich die Zeit herausfinden, die das Licht aus Freds Sicht

für die Distanz benötigte – das ist die Hypotenuse, also Lichtgeschwindigkeit c mal

Zeit TSandy. Erstmal nicht verwirren lassen – wir schreiben das mal als Gleichung auf:

v mal groß T zum Quadrat plus c mal klein T zum Quadrat ist gleich c mal groß T zum

Quadrat.

Wir wollen gerne die Zeit erfahren, die aus Freds Perspektive für Sandy vergangen sein

muss, wir stellen also die Gleichung nach Groß-T um. Wir lassen auch ab jetzt das kleine

Fred und Sandy unter den Ts weg – groß T ist die gedehnte Zeit, klein t ist die Zeit

auf Freds Uhr. Zuerst bringen wir unser v groß T nach rechts

und rechnen die Klammern aus. So erhalten wir

Nun dividieren wir durch c Quadrat. So kürzt sich das c² rechts zu 1.

Um nun groß T zu erhalten, bringen wir die gesamte Klammer nach links und ziehen noch

die Wurzel. Geschafft. Wir erinnern uns, dass Freds Uhr genau eine

Sekunde von unten nach oben benötigte, also können wir für klein t 1 einsetzen. Und

mit nur einem klitzekleinen Bisschen Mathematik können wir jetzt für jede Geschwindigkeit

ausrechnen, wie die Zeit für Sandy vergeht. Wenn Sandy wie in unserem Beispiel mit 50%

der Lichtgeschwindigkeit unterwegs ist, sieht unsere Gleichung so aus:

Während für Dr. Fred also genau 1 Sekunde vergeht, sieht er, dass Sandys Uhr für einen

Tick 1,1547 Sekunden benötigt. Würde Sandys Raumschiff mit 99,9% der Lichtgeschwindigkeit

fliegen, dann erhöht sich der Wert rapide. 1 Sekunde in Sandys Raumschiff scheint dann

für Dr. Fred 22 Sekunden lang zu sein. Und damit haben ihr soeben aus unserem simplen

Beispiel den wichtigen Lorentzfaktor errechnet,

den Physiker meist schlicht Gamma nennen. So wird er auch geschrieben: γ – Fachbegriffe

mal dahingestellt: Ihr könnt nun mithilfe des Lorentzfaktors errechnen, wie die Zeit

durch die Relativität zweier Bezugssysteme verzerrt wird.

Kann man sowas eigentlich nachweisen? Ja, absolut … die Relativitätstheorie ist eine

der am besten experimentell bewiesenen Theorien. Als beliebtes Beispiel werden oft die GPS

Satelliten herangezogen. Sie bewegen sich mit ungefähr 3km/s also 0,001% der Lichtgeschwindigkeit

relativ zur Erde. Und wir können beobachten, dass für jede Sekunde auf der Erde 1,0000005

Sekunden auf einem GPS Satelliten vergehen. Pro Tag sind das 0,04 Sekunden. Da GPS Satelliten

aber eine äußerst präzise Zeit angeben müssen, um zu funktionieren, müssen ihre

Atomuhren täglich etwas vorgestellt werden – auf die Zeit der Menschen.

Und wer jetzt immer noch da ist und keine Schweißausbrüche hat, der kann uns schreiben,

ob das nun wirklich verständlich war und ob wir mit der Relativitätstheorie weiter

machen sollen. Die kann nämlich auch die Distanz zwischen den Sternen schrumpfen lassen,

nukleare Fusion erklären und uns zeigen, dass ein Ereignis in unserer Vergangenheit

in der Zukunft eines anderen liegen kann … Bitte was? Wirklich …

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