(#45) Les nombres premiers - YouTube

Bonjour à tous.

Aujourd'hui on va parler des nombres premiers.

Les nombres premiers, c'est quelque chose qui fascine les mathématiciens.

Il y a une bonne raison pour ça,

c'est un concept extrêmement simple,

je crois que l'on apprend ça au collège

Et pourtant il pose des problèmes insolubles

aux meilleurs chercheurs en math du monde

et depuis des siècles.

Alors commençons par rappeler de quoi il s'agit.

Un nombre premier c'est tout simplement un nombre entier

qu'on peut pas diviser.

Par exemple 7 est un nombre premier,

13 est un nombre premier

21 ce n'est pas un nombre premier

on peut le diviser par 3.

100 non plus, on peut le diviser par 10.

Evidemment, un nombre entier on peut toujours le diviser

soit par 1, soit par lui-même.

Donc un nombre premier, plus précisément,

c'est un nombre qui n'a pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même.

Alors vous pouvez, de tête, chercher les nombres premiers

2, 3, 5, 7

11, 13, 17, 19, ..etc

C'est simple non ?!

Et pourtant il existe des problèmes de maths insurmontables

rien qu'à base de nombres premiers.

Tenez par exemple :

Tout nombre pair est la somme de 2 nombres premiers.

C'est un mathématicien allemand du XVIIIe

Christian Goldbach qui a dit ça

Ça lui semblait vrai, mais il savait pas le démontrer.

Du coup, il en a parlé à Leonhard Euler

le plus grand mathématicien de son temps.

Peut-être même de tous les temps.

Euler qui lui a répondu dans un mélange d'allemand et de latin

"Dass aber ein jeder numerus" machin

Et ça veut dire qu'il est absolument certain que ce que a dit Godlbach est vrai

mais il sait pas non plus le démontrer.

Hé bien encore aujourd'hui personne n'a réussi

personne n'a réussi à démontrer que n'importe quel nombre paire

peut s'écrire comme la somme de 2 nombres premiers.

Et pourtant tout le monde y croit

chaque fois que l'on essaye ça marche

chaque fois que l'on prend un nombre pair on trouve toujours un moyen

de le décomposer comme somme de 2 nombres premiers.

Par exemple 8 c'est 5 + 3

12 = 5 +7

20 =17 + 3

Et généralement il y a même plusieurs solutions

20 c'est aussi 13 + 7

Aussi loin que l'on regarde ça marche

donc ça doit être vrai

et pourtant personne ne sait le montrer.

Quand on a quelque chose comme ça que l'on pense vrai mais que l'on ne sait pas démontrer

on appelle ça on "conjecture"

Et donc

Tout nombre pair est la somme de 2 nombres premiers

c'est la conjecture de Goldbach

Ce qui est fou, c'est que plutôt que de vérifier à la main

on peut utiliser un ordinateur

Et la conjecture de Goldbach elle a été vérifiée

jusqu'à 4 milliards de milliards

C'est-à-dire que tous les nombres paires

entre 4 et 4 milliards de milliards

on a trouvé un moyen de les écrire comme somme de 2 nombres premiers.

Et voilà! On a un problème de maths hyper facile à comprendre

vérifié par ordinateur jusqu'à des nombres astronomiques

Et qui pourtant fait damner les mathématiciens du monde entier

depuis presque 3 siècles.

Les problèmes de ce genre là, il y en a pleins d'autres

ils concernent souvent la manière dont les nombres premiers sont répartis.

Tenez, entre 0 et 100

on trouve 25 nombres premiers

je les ai mis en rouge

Entre 0 et 1 000

il y en a 168

Entre 0 et 10 000 : 1229

Si on met ça en pourcentage

on voit qu'un quart des nombres compris entre 0 et 100 sont premiers

mais seulement 12% entre 0 et 10 000

c'est-à-dire que plus on va loin, moins il y a de nombres premiers.

ils se raréfient.

Alors on sait quand même qu'il y en a une infinité

ça Euclide l'avait déjà démontré il y a plus de 2 000 ans

je vous épargne la démonstration mais elle est pas très très compliqué

Voyons plutôt une chose que l'on ne sait pas démontrer

de temps en temps on trouve des nombres premiers avec un écart de 2

par exemple 5 et 7

ou alors 11 et 13

17 et 19

on appelle ça des nombres premiers jumeaux

il y en a pas beaucoup et ils sont aussi de plus en plus rares

Est-ce qu'il y en a une infinité ?

Tout le monde pense que "oui" personne ne sait le démontrer

On appelle ça la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Et là aussi avec un ordinateur on arrive à aller très loin

entre 0 et 1 milliard de milliards

on a trouvé 800 mille milliards de nombres premiers jumeaux

mais est-ce qu'il y en a vraiment une infinité ?

Cette conjecture des nombres premiers jumeaux

on peut en faire des variantes.

Par exemple, on peut considérer des nombres premiers consécutifs avec un écart de 4

par exemple 7 et 11

ou alors 13 et 17

On appelle ça des nombres premiers cousins

Est-ce qu'il y a une infinité de nombres premiers cousins ?

On sait pas.

Si 2 nombres premiers consécutifs ont un écart de 6

par exemple 23 et 29

on appelle ça des nombres premiers sexys

Alors ça a pas rapport avec le sexe

ça a rapport avec le nombre 6

Oui, ils sont drôles ces mathématiciens

Hé bien là aussi on sait pas si il y en a une infinité.

Et on peut en faire pleins des conjectures comme ça

On peut regarder les nombres premiers consécutifs séparés de 14, 36 ou 1442

Et chaque fois la question est là même.

Est-ce qu'il y en a une infinité ?

Et on sait pas.

Et pourtant en 2013, il y a un progrès spectaculaire qui a été accompli

par un quasi inconnu Yitang Zhang

Zhang a montré que parmi toutes ces conjectures

avec des écarts de 2, 4, 6 ...etc

Il y en avait forcément au moins une de vraie avec un écart plus petit que 70 millions

Alors ça parait pas grand chose comme ça

mais ça a complètement débloqué l'étude de ce problème

En quelques mois d'autres mathématiciens s'y sont mis

et ils ont, collectivement, réussi à renforcer le résultat

en montrant qu'en dessous d'un écart de 246

il y en avait forcément 1 de correct.

Alors attention ces conjectures, au fond, tout le monde est convaincu qu'elles sont toutes vraies.

Mais pour l'instant le mieux que l'on est pu démontrer

c'est qu'il y en a au moins une de vraie en-dessous de 246

L'histoire de cette découverte, elle est assez sympa

quand il a publié sa démonstration

Zhang travaillait dans une petite université du New Hampshire aux États-Unis

Officiellement, il faisait même pas de recherche, il était juste enseignant.

Et puis à force de travail solitaire, il a réussi à trouver cette démonstration

Il l'a envoyé au meilleur journal mathématique du monde

il s'appelle Annals of Mathematics

Et en quelques semaines, il est devenu une super star.

Cette histoire, c'est un des rares cas où on ait effectivement à faire à un génie solitaire

un peu en marge du système traditionnel

D'ailleurs le système a pas mis très très long temps avant d'accepter ses travaux.

Donc si jamais parmi vous certains sont convaincus d'avoir réussi à démontrer la conjecture de GoldBach

Et je sais qu'il y en a.

Merci d'écrire directement à Annals of Mathematics

Pas la peine de m'envoyer la démonstration à moi.

Ça peut vous paraître dingue de passer son temps à essayer de démontrer quelque chose

que l'on a de toute façon vérifier par ordinateur

jusqu'à des milliards de milliards

Et donc tout le monde pense que c'est vrai.

Hé bien je voudrais terminer par quelque chose qui a aussi été vérifié par ordinateur jusqu'à des nombres astronomiques

Et pourtant, tout le monde pense que c'est faux.

Je vous ai dis que les nombres premiers il y en a de moins, qu'ils se raréfient.

Par exemple, entre 1 et 100, il y en a 25.

Mais entre 1 001 et 1 100, il y en a que 16.

Et entre 3 641 et 3 740, il y en a que 13.

À chaque fois on intervalle de longueur 100 mais il y en a de moins en moins.

Et en faite il y a plus de nombres premiers entre 1 et 100

que dans n'importe quel autre intervalle de longueur 100

Et ça marche pas qu'avec 100,

si vous essayez, vous trouverez toujours plus de nombres premiers entre 1 et N

que dans n'importe quel autre intervalle de longueur N

Chaque fois que l'on essaye, ça marche.

On ne sait pas le démontrer mais on n'a jamais trouvé de contre exemple

Et pourtant, on pense qu'il en existe 1,

quelque part.

Et pour des raisons que je vous épargne

mais dont je parle dans le billet qui accompagne la vidéo

on a un bon portrait robot du suspect.

Il faut savoir que si on prend N = 3 159

Hé bien, entre 1 et 3 159, on a 446 nombres premiers

Et on pense qu'il existe quelque part un intervalle de longueur 3 159

qui en comprendrait 447, c'est-à-dire 1 de plus

On l'a jamais trouvé ce contre exemple

mais on sait estimer qu'il doit se trouver quelque part

entre 10 puissance 174 et 10 puissance 1 198

Bon, il y a plus qu'à chercher. Au boulot !

Merci d'avoir suivi cette vidéo.

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Et pour ceux qui ne le saurait pas encore, je serais à l'espace des sciences à Rennes, le mercredi 5 octobre

donc on aura l'occasion de se voir là-bas, si vous y êtes.