Μαθηματικά - Γεωμετρία (Εισαγωγή) - Δ' & Ε΄Δημοτικού Επ. 5 Mathematics|Geometry|Introduction|4th|||Episode matematica|geometria|introduzione|quarta|quinta|elementare|episodio Mathematics - Geometry (Introduction) - 4th & 5th Grade Lesson 5 Matematica - Geometria (Introduzione) - Classe 4° & 5° Elementare Ep. 5

Γεια, καλή σας μέρα. Hello|good|your|day ciao|buona|vostra|giornata Hello, good day to you. Ciao, buona giornata.

Ονομάζομαι Γιώργος Ανδρίκος είμαι δάσκαλος στη Ε' Δημοτικού και είμαι εδώ σήμερα για να μιλήσουμε για τη Γεωμετρία. my name is|George|Andrikos|I am|teacher|in the|5th|grade|and|I am|here|today|to|to|we talk|about|the|Geometry mi chiamo|Giorgio|Andrikos|sono|insegnante|nella|quinta|elementare|e|sono|qui|oggi|per|per|parlare|di|la|geometria My name is George Andrikos, I am a teacher in the 5th grade and I am here today to talk about Geometry. Mi chiamo Giorgio Andrikos, sono insegnante nella 5° Elementare e sono qui oggi per parlare di Geometria.

Αν πάρουμε λίγο την ετυμολογία της λέξης Γεωμετρία θα παρατηρήσουμε το εξής. if|we take|a little|the|etymology|of the|word|Geometry|will|we observe|the|following se|prendiamo|un po'|l'|etimologia|della|parola|geometria|(indica futuro)|osserveremo|il|seguente If we take a little look at the etymology of the word Geometry, we will notice the following. Se prendiamo un po' l'etimologia della parola Geometria, noteremo quanto segue.

Αποτελείται από 2 ξεχωριστές λέξεις, τη λέξη γη, γαία και μετρώ. it consists|of|separate|words|the|word|earth|Gaia|and|I measure è composta|da|separate|parole|la|parola|terra|Gaia|e|misuro It consists of 2 separate words, the word earth, Gaia, and measure. È composta da 2 parole separate, la parola terra, gaia e misuro.

Ήταν λοιπόν η ανάγκη, παγματικά η ανάγκη, για τη μέτρηση της γης. it was|therefore|the|need|really|the|need|for|the|measurement|of the|earth era|quindi|la|necessità|veramente|la|necessità|per|la|misurazione|della|terra So it was the need, truly the need, for the measurement of the earth. Era quindi la necessità, davvero la necessità, di misurare la terra.

Να δούμε όμως πως προέκυψε αυτή η ανάγκη. to|we see|however|how|it arose|this|the|need da|vedere|però|come|è emersa|questa|la|necessità But let's see how this need arose. Vediamo però come è emersa questa necessità.

Γιατί, τελικά, πραγματικά προέκυψε από ένα πολύ πολύ σοβαρό λόγο. because|finally|really|it arose|from|a|very||serious|reason perché|alla fine|veramente|è emersa|da|un|molto|molto|serio|motivo Because, in the end, it really arose from a very, very serious reason. Perché, alla fine, è emersa davvero per un motivo molto molto serio.

Θα ταξιδέψουμε πίσω. will|we travel|back noi|viaggeremo|indietro We will travel back. Viaggeremo indietro.

Θα ταξιδέψουμε πίσω, στο παρελθόν, και μάλιστα να μην σας πω ότι θα πάμε και δυο και τρεις χιλιάδες χρόνια πίσω. will|we travel|back|to the|past|and|indeed|to|not|you|I tell|that|will|we go|and|two|and|three|thousand|years|back noi|viaggeremo|indietro|nel|passato|e|addirittura|a|non|vi|dirò|che|noi|andremo|e|due|e|tre|mila|anni|indietro We will travel back, to the past, and I must say that we will go two and three thousand years back. Viaggeremo indietro, nel passato, e non vi dico che andremo anche due o tremila anni indietro.

και - Ω! Τι βλέπω; and|Oh|what|I see e|oh|che|vedo and - Oh! What do I see? e - Oh! Cosa vedo?

Είναι κάτι Αιγύπτιοι, με τα μάτια μαυρισμένα από τις μπουνιές. they are|some|Egyptians|with|the|eyes|bruised|from|the|punches sono|alcuni|egiziani|con|gli|occhi|scuri|da|i|pugni There are some Egyptians, with their eyes blackened from the punches. Ci sono degli egiziani, con gli occhi neri per i pugni.

Παίζουν ξύλο εκεί κάτω, κοντά στο Νείλο. they play|wood|there|down|near|to the|Nile giocano|legno|lì|sotto|vicino|al|Nilo They are fighting down there, near the Nile. Stanno litigando laggiù, vicino al Nilo.

Ο Νείλος είναι πλημμυρισμένος. the|Nile|is|flooded il|Nilo|è|allagato The Nile is flooded. Il Nilo è in piena.

Τα πάντα, ολά γεμάτα λάσπη. the|everything|all|full|mud tutto|tutto|tutto|pieni|fango Everything is all covered in mud. Tutto, tutto è pieno di fango.

Γιατί; why perché Why? Perché?

Η απάντηση είναι πάρα πολύ απλή. the|answer|is|very|much|simple la|risposta|è|molto|semplice| The answer is very simple. La risposta è molto semplice.

Χάθηκαν τα σημάδια των χωραφιών. they got lost|the|signs|of the|fields sono scomparsi|i|segni|dei|campi The signs of the fields have disappeared. Si sono persi i segni dei campi.

Αυτό που, μέχρι χθες, ήξερε ότι τελείωνε εκεί, this|that|until|yesterday|he/she knew|that|it ended|there questo|che|fino a|ieri|sapeva|che|finiva|lì What, until yesterday, he knew ended there, Quello che, fino a ieri, sapeva che finiva lì,

σήμερα δεν μπορεί να το δει. today|not|he/she can|to|it|see oggi|non|può|di|lo|vedere today he cannot see. oggi non può vederlo.

Να σας θυμίσω ότι όταν ο Νείλος πλημμύριζε, to|you|remind|that|when|the|Nile|flooded a|voi|ricordare|che|quando|il|Nilo|straripava Let me remind you that when the Nile flooded, Vi ricordo che quando il Nilo straripava,

κατέβαζε από πάνω εκατομμύρια τόνους λάσπη. it brought down|from|above|millions|tons|mud portava giù|da|sopra|milioni|tonnellate|fango it brought down millions of tons of mud. portava giù milioni di tonnellate di fango.

Η λάσπη αυτή ήταν ευεργετική για τους Αιγύπτιους. the|mud|this|was|beneficial|for|the|Egyptians il|fango|questo|era|benefico|per|gli|Egiziani This mud was beneficial for the Egyptians. Questo fango era benefico per gli egiziani.

Έλα ντε, όμως, που χάνανε τα σημάδια των χωραφιών τους come on|indeed|but|that|they were losing|the|signs|of the|fields|their dai|però|però|che|perdevano|i|segni|dei|campi|loro But the problem was that they lost the marks of their fields. Ma ecco, però, che perdevano i segni dei loro campi.

και μετά παίζανε ξύλο γιατί, δεν ήξερε, ποιο χωράφι τελεώνει που; and|after|they were playing|wood|because|not|he/she/it knew|which|field|it ends|where e|dopo|giocavano|legno|perché|non|sapeva|quale|campo|finisce|dove And then they would fight because they didn't know which field was ending where; e poi si picchiavano perché non sapevano quale campo finisse dove;

Να, λοιπόν, που παρουσιάστηκε η τεράστια ανάγκη για να γεννηθεί η Γεωμετρία. here|therefore|that|it appeared|the|huge|need|for|to|be born|the|Geometry ecco|quindi|che|si è presentata|la|enorme|necessità|per|per|nascere|la|geometria So, here is where the huge need arose for Geometry to be born. Ecco, quindi, che si è presentata l'enorme necessità di far nascere la Geometria.

Και η Γεωμετρία, και εδώ μάλιστα εμείς ως Έλληνες μπορούμε να υπερηφανευόμαστε and|the|Geometry|and|here|indeed|we|as|Greeks|we can|to|we pride ourselves e|la|geometria|e|qui|addirittura|noi|come|greci|possiamo|a|essere orgogliosi And Geometry, and here we as Greeks can be proud, E la Geometria, e qui noi come Greci possiamo essere orgogliosi

γιατί η Γεωμετρία που είναι γνωστή στον πλανήτη σήμερα είναι η Ευκλείδεια Γεωμετρία. because|the|Geometry|that|is|known|in the|planet|today|is|the|Euclidean|Geometry perché|la|geometria|che|è|conosciuta|sul|pianeta|oggi|è|la|euclidea|geometria because the Geometry known on the planet today is Euclidean Geometry. perché la Geometria conosciuta nel pianeta oggi è la Geometria euclidea.

Η Γεωμετρία που έφτιαξε ο Ευκλείδης. the|geometry|that|he created|the|Euclid la|geometria|che|ha creato|il|Euclide The Geometry created by Euclid. La geometria che ha creato Euclide.

Ένας Έλληνας, σπουδαίος μαθηματικός. a|Greek|great|mathematician un|greco|grande|matematico A Greek, a great mathematician. Un greco, un grande matematico.

Ξεκινάει από κάτι πάρα πάρα πάρα πάρα πάρα πάρα πολύ απλό. he starts|from|something|very|very|very|very|very|very|very|simple inizia|da|qualcosa|molto|molto|molto|molto|molto|molto|semplice| It starts from something very, very, very, very, very, very simple. Inizia da qualcosa di molto, molto, molto, molto, molto semplice.

Ποιο είναι αυτό; which|is|this quale|è|questo What is that? Qual è questo?

Ας πούμε ότι αυτή η επιφάνεια είναι ένα επίπεδο. let's|say|that|this|the|surface|is|a|plane diciamo|dire|che|questa|la|superficie|è|un|piano Let's say that this surface is a plane. Diciamo che questa superficie è un piano.

Ένα επίπεδο είναι και το ταβάνι. a|plane|is|and|the|ceiling un|piano|è|anche|il|soffitto A plane is also the ceiling. Un piano è anche il soffitto.

Ένα επίπεδο είναι ο τοίχος πίσω μας. a|plane|is|the|wall|behind|us un|piano|è|il|muro|dietro|a noi A plane is the wall behind us. Un piano è la parete dietro di noi.

Ένα επίπεδο είναι το πάτωμα. a|plane|is|the|floor un|piano|è|il|pavimento A plane is the floor. Un piano è il pavimento.

Ένα επίπεδο είναι ο απέναντι τοίχος, a|level|is|the|opposite|wall un|livello|è|il|di fronte|muro A level is the opposite wall, Un livello è il muro di fronte,

όπως και ένα επίπεδο είναι αυτός ο τοίχος. as|and|a|level|is|this|the|wall come|anche|un|livello|è|questo|il|muro just as a level is this wall. così come un livello è questo muro.

Είμαστε γεμάτοι από επίπεδα, παντού γύρω μας. we are|full|with|levels|everywhere|around|us siamo|pieni|di|livelli|ovunque|intorno|a noi We are filled with levels, all around us. Siamo pieni di livelli, ovunque intorno a noi.

Όπου εφαρμόζει ο χάρακας μας, έχω και ένα επίπεδο. wherever|applies|the|ruler|our|I have|and|a|level dove|applica|il|righello|nostro|ho|anche|un|livello Wherever our ruler applies, I also have a level. Dove applica il nostro righello, ho anche un livello.

Ένα επίπεδο εκεί, ένα επίπεδο εδώ. one|level|there|one|level|here un|livello|lì|un|livello|qui One level there, one level here. Un livello lì, un livello qui.

Πάρα πάρα πολλά επίπεδα. very|very|many|levels molto|molto|tanti|livelli Too many levels. Troppi troppi livelli.

Πάνω λοιπόν σε αυτό το επίπεδο, θα πάω λοιπόν τώρα εγώ και θα δώσω την αρχή των πάντων. on|therefore|on|this|the|level|will|I go|therefore|now|I|and|will|I give|the|beginning|of|all sopra|quindi|su|questo|il|livello|verbo futuro|vado|quindi|adesso|io|e|verbo futuro|darò|l'|principio|di|tutto So on this level, I will now go and give the principle of everything. Quindi su questo livello, io andrò ora e darò l'inizio di tutte le cose.

Κυρίες και κύριοι, μπροστά μας έχουμε το σημείο! ladies|and|gentlemen|in front|us|we have|the|point signore|e|signori|davanti|a noi|abbiamo|il|punto Ladies and gentlemen, in front of us we have the point! Signore e signori, davanti a noi abbiamo il punto!

Το είδες; it|you saw lo|hai visto Did you see it? L'hai visto?

Αποκλείεται, τι να δεις; it's impossible|what|to|you see è impossibile|cosa|di|vedi No way, what is there to see? Impossibile, cosa dovresti vedere?

Μα για να κάνει η κάμερα λίγο focus να πάμε.. but|for|to|it makes|the|camera|a little|focus|to|we go ma|per|di|fa|la|camera|un po'|messa a fuoco|di|andiamo But for the camera to focus a bit, let's go.. Ma per far mettere a fuoco la camera, dobbiamo andare..

Όσο και να πάμε, δεν πρόκειται να το δούμε. as much|and|to|we go|not|it is going|to|it|we see quanto|e|di|andiamo|non|è probabile|di|lo|vediamo No matter how much we go, we won't see it. Per quanto possiamo andare, non lo vedremo.

Το σημείο, κυρίες και κύριοι, δεν έχει διαστάσεις, the|point|ladies|and|gentlemen|not|has|dimensions il|punto|signore|e|signori|non|ha|dimensioni The point, ladies and gentlemen, has no dimensions, Il punto, signore e signori, non ha dimensioni,

δεν έχει πάχος, δεν έχει τίποτα. not|has|thickness|not|has|nothing non|ha|spessore|non|ha|niente it has no thickness, it has nothing. non ha spessore, non ha niente.

Γι αυτό λοιπόν, πήγαμε και τι του είπαμε; for|this|therefore|we went|and|what|to him|we said per|questo|quindi|siamo andati|e|cosa|gli|abbiamo detto So, what did we say to it? E quindi, cosa gli abbiamo detto?

Επειδή πρέπει να σε βλέπουνε, δεν γίνεται, φανερώσου στον κόσμο. because|must|to|you|they see|not|it is possible|reveal yourself|to the|world perché|deve|a|ti|vedano|non|è possibile|rivelati|al|mondo Because you need to be seen, it cannot be, reveal yourself to the world. Poiché devono vederti, non è possibile, mostrati al mondo.

Γίνε λίγο πιο παχουλός, φάε λίγο. become|a little|more|chubby|eat|a little diventa|un po'|più|grassottello|mangia|un po' Become a little chubbier, eat a little. Diventa un po' più grassottello, mangia un po'.

Και έτσι λοιπόν το σημείο μας έφαγε και έγινε στρουμπουλούτσικο. and|so|therefore|the|point|our|it ate|and|it became|chubby e|così|dunque|il|punto|nostro|ha mangiato|e|è diventato|grassottello And so our dot ate and became chubby. E così il nostro punto ci ha mangiato ed è diventato paffutello.

Και του δώσαμε και όνομα - and|to it|we gave|and|name e|gli|abbiamo dato|e|nome And we even gave it a name - E gli abbiamo dato anche un nome -

το ονομάσαμε "σημείο", να σας ξαναθυμίσω με λένε Γιώργο, Γ. the|we named|point|to|you|I remind again|with|they call|George|G lo|abbiamo chiamato|punto|per|vi|ricordarvi|mi|chiamano|Giorgio|G we named it "dot", let me remind you my name is George, G. lo abbiamo chiamato "punto", per ricordarvi che mi chiamo Giorgio, G.

Λοιπόν, έγινε το σημείο Γ. well|it became|the|point|G dunque|è diventato|il|punto|G Well, point C has been made. Bene, è stato fatto il punto C.

Και το συμβολίσαμε με ένα κεφαλαίο γράμμα, and|the|we marked|with|a|capital|letter e|il|abbiamo segnato|con|una|maiuscolo|lettera And we marked it with a capital letter, E lo abbiamo contrassegnato con una lettera maiuscola,

στην προκειμένη περίπτωση είναι το Γ. in the|specific|case|it is|the|G nel|specifico|caso|è|il|G in this case it is C. in questo caso è la C.

Φανταστείτε τώρα το εξής. imagine|now|the|following immaginate|ora|il|seguente Now imagine the following. Immaginate ora il seguente.

Ξέρετε, στη Γεωμετρία φαντάζομαι συχνά. you know|in the|Geometry|I imagine|often voi sapete|nella|geometria|immagino|spesso You know, I often imagine in Geometry. Sapete, nella Geometria immagino spesso.

Αλλά αυτό που επίσης πρέπει να θυμάστε καλά but|this|that|also|I must|to|you remember|well ma|questo|che|anche|dovete|(particella per l'infinito)|ricordare|bene But what you also need to remember well Ma ciò che dovete ricordare bene

είναι ότι στη Γεωμετρία, εκτός από φαντασία, κάθε τι που μαθαίνω it is|that|in the|Geometry|except|from|imagination|every|thing|that|I learn è|che|nella|geometria|oltre|a|fantasia|ogni|cosa|che|imparo is that in Geometry, besides imagination, everything I learn è che nella Geometria, oltre all'immaginazione, tutto ciò che imparo

μπορώ να το χρησιμοποιώ στο επόμενο βήμα. I can|to|it|I use|in the|next|step posso|(particella per l'infinito)|(oggetto diretto)|usare|nel|prossimo|passo I can use in the next step. posso usarlo nel passo successivo.

Δεν χρειάζεται να ξαναπώ ότι εγώ το ήξερα από κει. not|necessary|to|say again|that|I|it|knew|from|there non|è necessario|di|ripetere|che|io|lo|sapevo|da|lì I don't need to say again that I knew it from there. Non c'è bisogno che lo ripeta, lo sapevo già da lì.

Τα ξέρω όλα. them|I know|all li|so|tutto I know everything. So tutto.

Και γιατί τα ξέρω όλα; and|why|them|I know|all e|perché|li|so|tutto And why do I know everything? E perché so tutto?

Τα ξέρω όλα γιατί τα είχα μάθει πριν, them|I know|all|because|them|I had|learned|before li|so|tutto|perché|li|avevo|imparato|prima I know everything because I had learned it before, So tutto perché l'avevo imparato prima,

οπότε μπορώ να τα χρησιμοποιώ τώρα. so|I can|to|them|I use|now quindi|posso|di|li|uso|adesso so I can use them now. quindi posso usarli adesso.

Έρχομαι λοιπόν και λέω. I come|therefore|and|I say vengo|quindi|e|dico So I come and say. Quindi vengo e dico.

Πάνω εδώ λοιπόν, στο σημείο. up|here|therefore|at the|point sopra|qui|quindi|al|punto Up here then, at the point. Quindi qui, al punto.

Το σημείο ουσιαστικά δεν έχει καμία διάσταση. the|point|essentially|not|it has|any|dimension il|punto|sostanzialmente|non|ha|nessuna|dimensione The point essentially has no dimension. Il punto in sostanza non ha alcuna dimensione.

Από αυτό λοιπόν το σημείο περνάνε άπειρες γραμμές. from|this|therefore|the|point|they pass|infinite|lines da|questo|quindi|il|punto|passano|infinite|linee From this point, therefore, countless lines pass. Da questo punto passano infinite linee.

Ώπα, Γιώργο, τι είναι η γραμμή; whoa|George|what|is|the|line ehi|Giorgio|che|è|la|linea Whoa, George, what is a line? Ehi, Giorgio, che cos'è la linea?

Η γραμμή, φίλη μου και φίλε μου - κοίταξε λίγο! - the|line|friend|my|and|friend|my|look|a bit la|linea|amica|mia|e|amico|mio|guarda|un po' A line, my friend and my friend - take a look! - La linea, mia cara amica e mio caro amico - guarda un po'! -

είναι ένα σύνολο από άπειρα σημεία. is|a|set|of|infinite|points è|un|insieme|di|infiniti|punti is a set of countless points. è un insieme di infiniti punti.

Τι σημαίνει "άπειρα" σημεία; what|means|infinite|points che|significa|infiniti|segni What does "infinite" points mean? Cosa significa "infinito" punti?

"Πέρας" στα αρχαία ελληνικά είναι το τέλος. limit|in the|ancient|Greek|is|the|end fine|in|antichi|greco|è|la|conclusione "Limit" in ancient Greek is the end. "Fine" in greco antico è la conclusione.

Το "α" είναι στερητικό. the|a|is|negation il|a|è|privativo The "a" is a negation. La "a" è un prefisso negativo.

Άπειρα, λοιπόν, λέγονται αυτά τα οποία είναι ατελείωτα. infinite|therefore|are called|these|the|which|are|endless infiniti|quindi|si chiamano|queste|le|quali|sono|interminabili Infinite, therefore, refers to those which are endless. Infinito, quindi, si dice di quelle cose che sono illimitate.

Σημεία που δεν έχουν τέλος. points|that|not|they have|end punti|che|non|hanno|fine Points that have no end. Punti che non hanno fine.

Δεν τελειώνουνε ποτέ! not|they end|ever non|finiscono|mai They never end! Non finiscono mai!

Αν μπορούσαμε να πάμε πάρα πάρα πολύ κοντά, if|we could|to|we go|very|very|much|close se|potessimo|a|andare|molto|molto||vicino If we could go very, very close, Se potessimo andare molto, molto vicino,

με έναν εκπληκτικά μεγάλο μεγενθυντικό φακό και μικροσκόπιο, with|a|incredibly|large|magnifying|lens|and|microscope con|un|incredibilmente|grande|ingranditore|lente|e|microscopio with an incredibly large magnifying glass and microscope, con una lente d'ingrandimento incredibilmente grande e un microscopio,

τι θα βλέπαμε; what|will|we would see che|verbo ausiliare futuro|avremmo visto What would we see? cosa vedremmo?

Δις τετράκις εκατομμύρια σημεία τα οποία είναι το ένα δίπλα δίπλα.. two|four|millions|points|the|which|are|the|one|next|to due|quattro|milioni|punti|i|quali|sono|il|uno|accanto|accanto Two hundred and forty million points that are next to each other.. Due volte quattro milioni di punti che sono uno accanto all'altro..

και μου φτιάχνουν αυτή τη γραμμή. and|to me|they make|this|the|line e|a me|fanno|questa|la|linea and they create this line for me. e mi formano questa linea.

Και μάλιστα επειδή θα παρατήρησες ότι αυτή η γραμμή έχει το σχήμα ενός τεντωμένου σχοινιού, and|indeed|because|will|you noticed|that|this|the|line|has|the|shape|of a|stretched|rope e|infatti|perché|verbo ausiliare futuro|avresti notato|che|questa|la|linea|ha|la|forma|di una|tesa|corda And indeed, you may have noticed that this line has the shape of a stretched rope, E infatti, poiché avrai notato che questa linea ha la forma di una corda tesa,

την ονομάζω "ευθεία γραμμή". her|I call|straight|line la|chiamo|retta|linea I call it "straight line." la chiamo "linea retta".

Από σήμερα, λοιπόν, αυτή την ευθεία γραμμή, from|today|therefore|this|the|straight|line da|oggi|quindi|questa|la|retta|linea From today, therefore, this straight line, Da oggi, quindi, questa linea retta,

την ευθεία γραμμή που περνάει από το σημείο Γ, το όνομα μου, the|straight|line|that|passes|through|the|point|G|the|name|my la|retta|linea|che|passa|da|il|punto|G|il|nome|mio the straight line that passes through point G, my name, la linea retta che passa per il punto G, il mio nome,

θα τη συμβολίζω με ένα μικρό γράμμα. will|it|I symbolize|with|a|small|letter verbo ausiliare futuro|la|simboleggio|con|una|piccolo|lettera I will denote it with a lowercase letter. la simboleggerò con una lettera minuscola.

Το γράμμα "ε", από τη λέξη "ευθεία". the|letter|e|from|the|word|straight la|lettera|e|da|la|parola|linea retta The letter "e", from the word "straight". La lettera "e", dalla parola "linea retta".

Το έχεις, το θυμάσαι, το βλέπω! it|you have|it|you remember|it|I see lo|hai|lo|ricordi|lo|vedo You have it, you remember it, I see it! Ce l'hai, te lo ricordi, lo vedo!

Το κρατάμε λοιπόν. it|we hold|therefore lo|teniamo|quindi So we keep it. Quindi lo teniamo.

Η ευθεία γραμμή (όπως είπαμε πριν, στη Γεωμετρία τα φαντάζομαι τα περισσότερα) the|straight|line|as|we said|before|in the|Geometry|the|I imagine|the|most la|retta|linea|come|abbiamo detto|prima|nella|geometria|i|immagino|i|più The straight line (as we said before, I imagine most of these in Geometry) La linea retta (come abbiamo detto prima, in Geometria immagino la maggior parte di esse)

γιατί έχει μεγέθη μέσα τα οποία, ομολογουμένως, πρέπει να τα φαντάζομαι because|it has|sizes|inside|them|which|admittedly|I must|to|them|I imagine perché|ha|dimensioni|dentro|i|quali|a dire il vero|devo|a|i|immaginare because it has sizes inside it that, admittedly, I have to imagine perché ha dimensioni dentro di esse che, a dire il vero, devo immaginare

γιατί ακριβώς αυτή τη δυναμική έχουνε. because|exactly|this|the|dynamic|they have perché|esattamente|questa|la|dinamica|hanno because exactly this is the dynamic they have. perché esattamente questa è la loro dinamica.

Η ευθεία γραμμή δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος. the|straight|line|not|it has|nor|beginning|nor|end la|retta|linea|non|ha|né|inizio|né|fine The straight line has neither a beginning nor an end. La linea retta non ha né inizio né fine.

Ώπα, τι θα πει "ούτε αρχή, ούτε τέλος". whoa|what|will|it means|nor|beginning|nor|end ehi|che|verbo ausiliare futuro|dirà|né|inizio|né|fine Whoa, what does "neither beginning nor end" mean. Aspetta, cosa vuol dire "né inizio, né fine".

Και γω δηλαδή, αν μου πουν να φτιάξουμε μια ευθεία γραμμή, τι θα κάνω; and|I|that is|if|to me|they tell|to|we make|a|straight|line|what|will|I do e|io|cioè|se|mi|dicono|di|facciamo|una|retta|linea|che|verbo ausiliare futuro|farò And I mean, if they tell me to draw a straight line, what will I do? E io, cioè, se mi dicono di fare una linea retta, cosa farò?

Εσύ θα κάνεις αυτό που πρέπει: you|will|you do|this|that|must tu|verbo ausiliare futuro|farai|questo|che|devi You will do what you have to: Tu farai ciò che devi:

Θα φτιάξεις αυτό ακριβώς και θα σκέφτεσαι ότι, will|you make|this|exactly|and|will|you think|that verbo ausiliare futuro|farai|questo|esattamente|e|verbo ausiliare futuro|penserai|che You will create exactly that and you will think that, Farai esattamente questo e penserai che,

από εδώ και από κει from|here|and|from|there da|qui|e|da|là from here and there da qui e da lì

η γραμμή σου ουσιαστικά - κοίταξέ με! - και αντίστοιχα the|line|your|basically|look at|me|and|correspondingly la|linea|tua|praticamente|guardami|me|e|corrispondentemente your line essentially - look at me! - and correspondingly la tua linea in sostanza - guardami! - e corrispondentemente

δεν τελειώνει πουθενά. not|ends|anywhere non|finisce|da nessuna parte it doesn't end anywhere. non finisce da nessuna parte.

Ναι, εγώ πως θα τη χρησιμοποιώ αυτή τη γραμμή; yes|I|how|will|it|I use|this|the|line sì|io|come|verbo futuro|questa|utilizzerò|questa|questa|linea Yes, how will I use this line? Sì, come userò questa linea?

Έχεις δίκιο, έχεις δίκιο. you have|right|you have|right hai|ragione|hai|ragione You are right, you are right. Hai ragione, hai ragione.

Δεν είναι εύκολο να τη χρησιμοποιείς αυτή τη γραμμή. not|is|easy|to|it|you use|this|the|line non|è|facile|da|la|usi|questa|la|linea It's not easy to use this line. Non è facile usare questa linea.

Μάλλον δεν είναι τόσο εύκολο. probably|not|is|so|easy forse|non|è|così|facile It's probably not that easy. Probabilmente non è così facile.

Εμείς όμως θα τα κάνουμε λίγο πιο εύκολα τα πράγματα. we|but|will|them|we make|a little|more|easy|the|things noi|però|verbo futuro|le|faremo|un po'|più|facili|le|cose However, we will make things a little easier. Noi però renderemo le cose un po' più facili.

Ο άνθρωπος, λοιπόν, σκέφτηκε το εξής και είπε. the|man|therefore|he thought|the|following|and|he said l'|uomo|quindi|pensò|il|seguente|e|disse So, the person thought the following and said. L'uomo, quindi, pensò il seguente e disse.

Πάνω σε αυτή τη γραμμή εγώ, την ατελείωτη γραμμή, on|in|this|the|line|I|the|endless|line sopra|su|questa|la|linea|io|la|infinita|linea On this line I, the endless line, Sopra questa linea io, la linea infinita,

θα πάρω ένα κομμάτι της. will|I take|a|piece|of it futuro|prenderò|un|pezzo|di essa will take a piece of it. prenderò un pezzo di essa.

Αυτό το κομμάτι λοιπόν εγώ, θέλω να είναι this|the|piece|therefore|I|I want|to|it to be questo|il|pezzo|quindi|io|voglio|che|sia So this piece I want to be Questo pezzo quindi io, voglio che sia

τόσο. so così this much. così.

Πάρα πολύ ωραία. very|much|beautiful molto|molto|bella Very nice. Molto bello.

Αυτή λοιπόν τη γραμμή, this|therefore|the|line questa|quindi|la|linea So this line, Quindi questa linea,

που ξέρω ακριβώς το μήκος της, γιατί το όρισα εγώ, that|I know|exactly|the|length|its|because|the|I defined|I che|so|esattamente|la|lunghezza|sua|perché|l'|ho definito|io whose length I know exactly, because I defined it, di cui conosco esattamente la lunghezza, perché l'ho definita io,

θα την ονομάσω ευθύγραμμο τμήμα. will|it|I will call|straight|segment futuro|la|chiamerò|rettilineo|segmento I will call a line segment. la chiamerò segmento rettilineo.

Αυτή εδώ ευθεία, αυτό εδώ είναι το ευθύγραμμο τμήμα. this|here|straight line|this|here|is|the|straight|segment questa|qui|retta|questo|qui|è|il|rettilineo|segmento This straight line here, this is the straight segment. Questa qui è la retta, questo qui è il segmento rettilineo.

Και θα μου πεις τώρα, and|will|to me|you say|now e|verbo ausiliare futuro|a me|dirai|adesso And now you will tell me, E ora mi dirai,

μα καλά ρε Γιώργο πως, but|well|hey|George|how ma|bene|amico|Giorgio|come but come on George, how, ma come, caro Giorgio,

δύο σημεία μόνο; two|points|only due|punti|solo only two points? solo due punti?

Tο πρώτο και το τελευταίο; the|first|and|the|last il|primo|e|l'|ultimo The first and the last? Il primo e l'ultimo?

Αυτή έχει άπειρα σημεία μέσα της. she|has|countless|points|inside|her essa|ha|infiniti|punti|dentro|di lei This has infinite points within it. Questa ha infiniti punti al suo interno.

Βεβαίως και έχει άπειρα σημεία μέσα της. certainly|and|has|countless|points|inside|her certo|e|ha|infiniti|punti|dentro|di lei Of course it has infinite points within it. Certo che ha infiniti punti al suo interno.

Είναι αδύνατον όμως να τα παραστήσω όλα. it is|impossible|however|to|them|I represent|all è|impossibile|però|di|tutti|rappresentare|tutto However, it is impossible to represent them all. È impossibile però rappresentarli tutti.

Γι' αυτό, λοιπόν, στο ευθύγραμμο τμήμα θα κρατήσω for|this|therefore|in the|straight|segment|will|I will keep perciò|questo|quindi|nel|rettilineo|segmento|verbo futuro|terrò Therefore, in the straight section, I will keep Perciò, quindi, nel segmento rettilineo terrò

και θα πάρω το πρώτο και το τελευταίο and|will|I will take|the|first|and|the|last e|verbo futuro|prenderò|il|primo|e|l'|ultimo and I will take the first and the last e prenderò il primo e l'ultimo

και θα το ονομάσω ΑΒ. and|will|it|I will name|AB e|verbo futuro|lo|chiamerò|AB and I will name it AB. e lo chiamerò AB.

Αναλόγως. accordingly a seconda Accordingly. A seconda.

Όπως θέλω εγώ, όπως το επιθυμώ. as|I want|I|as|it|I desire come|voglio|io|come|lo|desidero As I want, as I desire. Come voglio io, come lo desidero.

Πάντα όμως με κεφαλαία. always|however|with|capital letters sempre|però|con|maiuscole Always in capital letters. Sempre però in maiuscolo.

Αυτό μην το ξεχνάς ποτέ σου, this|not|it|you forget|never|your questo|non|lo|dimenticare|mai|tuo Never forget this, Questo non dimenticarlo mai,

πάντα κεφαλαία γράμματα όταν ονομάζω ευθύγραμμο τμήμα. always|capital|letters|when|I name|straight|segment sempre|maiuscole|lettere|quando|chiamo|rettilineo|segmento always capital letters when I name a straight segment. sempre lettere maiuscole quando nomino un segmento rettilineo.

Και αυτό είναι το τελευταίο, τελειώσαμε; and|this|is|the|last|we finished e|questo|è|l'|ultimo|abbiamo finito And this is the last one, are we done? E questo è l'ultimo, abbiamo finito?

Aμ δεν τελείωσαμε well|not|we finished ma|non|abbiamo finito Oh no, we are not done. No, non abbiamo finito

γιατί έχω πάλι κάτι άλλο, because|I have|again|something|other perché|ho|di nuovo|qualcosa|altro Because I have something else again, perché ho di nuovo qualcos'altro,

το οποίο θα το ονομάσω "ημιευθεία", the|which|will|it|I will call|half-line il|quale|verbo futuro|lo|chiamerò|semi-retta which I will call "semi-straight," che chiamerò "semi-retta"

που όπως καταλαβαίνεις είναι μισή ευθεία. that|as|you understand|it is|half|straight line che|come|capisci|è|mezza|retta which as you understand is a half line. che come puoi capire è una mezza retta.

Θα λέγαμε λοιπόν πως έχει αρχή. will|we would say|therefore|that|it has|beginning verbo ausiliare futuro|diremmo|quindi|che|ha|inizio So we would say that it has a beginning. Diremmo quindi che ha un inizio.

-ας την πούμε την αρχή της "Β"-, και δεν έχει τέλος, let's|it|we say|the|beginning|of the|B|and|not|it has|end lasciamo|la|diciamo|l'|inizio|di|B|e|non|ha|fine -let's call it the beginning of "B"-, and it has no end, -chiamiamolo l'inizio della "B"-, e non ha fine,

είναι ευθεία. it is|straight line è|retta it is a line. è una retta.

Άρα "ε". so|e quindi|e So "e". Quindi "e".

Ξαναθυμίζουμε. we remind again ricordiamo di nuovo Let's remind ourselves. Ricordiamo di nuovo.

Σημείο κεφαλαίο γράμμα, ευθεία μικρό γράμμα στο συμβολισμό point|capital|letter|straight|small|letter|in the|notation punto|maiuscolo|lettera|linea|minuscolo|lettera|nella|simbolizzazione Capital letter point, straight small letter in the symbolism. Punto maiuscolo, lettera minuscola dritta nella simbologia.

Ας το βάλουμε και σε μια παρένθεση μέσα, let's|it|we put|and|in|a|parenthesis|inside mettiamo|lo|mettiamo|anche|in|una|parentesi|dentro Let's also put it in a parenthesis, Mettiamolo anche tra parentesi,

για να είμαστε πιο σίγουροι. for|to|we are|more|sure per|che|siamo|più|sicuri to be more certain. per essere più sicuri.

Τα σημεία δεν τα βάζουμε σε παρένθεση. Αυτά. the|points|not|them|we put|in|parentheses|these i|punti|non|li|mettiamo|in|parentesi|questi We do not put the points in parentheses. That's it. I punti non li mettiamo tra parentesi. Questi.

Μέχρι στιγμής λοιπόν, είδαμε ότι until|moment|therefore|we saw|that fino|a questo momento|quindi|abbiamo visto|che So far, we have seen that Fino ad ora, quindi, abbiamo visto che

ξεκινήσαμε από το σημείο - we started|from|the|point abbiamo iniziato|da|il|punto we started from the point - siamo partiti dal punto -

το σημείο, ξαναθυμίζουμε, δεν έχει διαστάσεις. the|point|we remind|not|has|dimensions il|punto|ricordiamo di nuovo|non|ha|dimensioni the point, we remind you, has no dimensions. il punto, ricordiamo, non ha dimensioni.

Είδαμε ότι η ευθεία περνάει από το σημείο - we saw|that|the|line|passes|through|the|point abbiamo visto|che|la|retta|passa|da|il|punto We saw that the line passes through the point - Abbiamo visto che la retta passa per il punto -

και εδώ θα σου κάνω μία ερώτηση: and|here|will|to you|I ask|a|question e|qui|(particella del futuro)|a te|faccio|una|domanda and here I will ask you a question: e qui ti farò una domanda:

Πόσες ευθείες πάνω στο ίδιο επίπεδο φαντάζεσαι ότι περνούν από ένα σημείο; how many|lines|on|the|same|plane|you imagine|that|they pass|through|a|point quante|rette|sopra|sul|stesso|piano|immagini|che|passano|da|un|punto How many lines on the same plane do you imagine pass through a point? Quante rette nello stesso piano pensi che passino per un punto?

Θα σου δώσω λίγο χρόνο. I will|to you|I give|a little|time io|a te|darò|un po'|tempo I will give you a little time. Ti darò un po' di tempo.

Ε όχι κι άλλο, εντάξει, αφού το ξέρεις. well|no|and|another|okay|since|it|you know eh|no|e|altro|va bene|dato che|lo|sai Oh no, not more, okay, since you know it. No, non altro, va bene, dato che lo sai.

Το βλέπω ότι το ξέρεις. it|I see|that|it|you know lo|vedo|che|lo|sai I can see that you know it. Vedo che lo sai.

Λοιπόν, πολύ σωστά, πάρα πολύ σωστά το σκέφτηκες. well|very|correctly|very|very|correctly|it|you thought allora|molto|giusto|davvero|molto|giusto|lo|hai pensato Well, very correctly, you thought about it very well. Bene, hai pensato molto bene, davvero molto bene.

Από ένα σημείο πάνω στο ίδιο επίπεδο, περνούν άπειρες ευθείες. from|a|point|on|the|same|level|they pass|infinite|lines da|un|punto|sopra|sul|stesso|livello|passano|infinite|linee From a point on the same plane, countless lines pass through. Da un punto su lo stesso piano, passano infinite linee.

Να δούμε μερικές! to|we see|some a|vediamo|alcune Let's see some! Vediamo alcune!

Καλά, μην φανταστείς ότι θα τις κάνω όλες τώρα, okay|not|you imagine|that|will|them|I do|all|now va bene|non|immaginare|che|verbo ausiliare futuro|le|farò|tutte|adesso Well, don't imagine that I will do them all now, Bene, non pensare che le farò tutte adesso,

αν είναι δυνατόν! if|it is|possible se|è|possibile if that's even possible! se è possibile!

Να λοιπόν μία -πως σου φαίνεται αυτή; here|then|one||to you|it seems|this ecco|dunque|una||ti|sembra|questa Here is one - what do you think of this? Ecco una - come ti sembra questa?

Εμένα μια χαρά μου φαίνεται, πολύ ωραία. to me|one|joy|to me|it seems|very|beautiful a me|una|gioia|mi|sembra|molto|bella I think it's great, very nice. A me sembra molto bene, molto bella.

Να φτιάξω και άλλη μία. here|I make|and|another|one ecco|che io faccia|e|un'altra|una Shall I make another one? Devo farne un'altra.

Πολύ ωραία. very|beautiful molto|bella Very nice. Molto bella.

Κοίτα, ωραιότατη! look|beautiful guarda|bellissima Look, very beautiful! Guarda, bellissima!

Άντε, επειδή είσαι εσύ θα κάνω άλλη μια, come on|because|you are|you|will|I will do|another|one dai|perché|sei|tu|verbo futuro|farò|un'altra|volta Come on, because it's you I'll do one more, Dai, visto che sei tu farò un'altra,

γιατί σε συμπάθησα. ||liked perché|ti|ho preso simpatia because I like you. perché mi sei simpatica.

Λοιπόν, σταματάω. allora|mi fermo Well, I'm stopping. Allora, mi fermo.

Μην μπερδευτείς και μου πεις ότι don't|get confused|and|to me|you say|that non|ti confondi|e|a me|mi dici|che Don't get confused and tell me that Non confonderti e dirmi che

"ξέρεις εγώ το έκανα στο σπίτι μου και κάθησα με το μολύβι μου και έφερα, έφερα you know|I|it|I did|in the|house|my|and|I sat|with|the|pencil|my|and|I brought|I brought sai|io|lo|ho fatto|nella|casa|mia|e|mi sono seduto|con|la|matita|mia|e|ho portato|ho portato "you know I did it at my house and I sat with my pencil and I brought, I brought "sai, io l'ho fatto a casa mia e sono rimasto con la mia matita e ho portato, ho portato

και κάποια στιγμή, ξέρεις, έφερα εξακόσιες είκοσι έξι ευθείες!". and|some|moment|you know|I brought|six hundred|twenty|six|lines e|qualche|momento|sai|ho portato|seicento|venti|sei|linee and at some point, you know, I brought six hundred twenty-six lines!". e a un certo punto, sai, ho portato seicento ventisei linee!".

Α πάρα πολύ ωραία, ευχαριστώ πολύ. ah|very|much|nice|thank you|very ah|molto|molto|bello|grazie|molto Ah, very nice, thank you very much. Ah, molto bene, grazie mille.

Ξεχνάς, όμως, ότι το μολύβι έχει πάχος όπως πάχος έχει και αυτός ο μαρκαδόρος. you forget|however|that|the|pencil|it has|thickness|as|thickness|it has|and|this|the|marker dimentichi|però|che|la|matita|ha|spessore|come|spessore|ha|anche|questo|il|evidenziatore You forget, however, that the pencil has thickness just as this marker has thickness. Dimentichi, però, che la matita ha uno spessore proprio come ha spessore anche questo evidenziatore.

Και είπαμε ότι το σημείο θεωρητικά δεν έχει διαστάσεις. and|we said|that|the|point|theoretically|not|it has|dimensions e|abbiamo detto|che|il|punto|teoricamente|non|ha|dimensioni And we said that the point theoretically has no dimensions. E abbiamo detto che il punto teoricamente non ha dimensioni.

Αυτό να μην το ξεχνάμε καθόλου. this|to|not|it|we forget|at all questo|da|non|lo|dimentichiamo|affatto We should not forget this at all. Non dobbiamo dimenticarlo affatto.

Λοιπόν, πάμε λοιπόν να δούμε τι είπαμε μέχρι τώρα: well|we go|therefore|to|see|what|we said|until|now allora|andiamo|dunque|a|vedere|cosa|abbiamo detto|fino|adesso So, let's go ahead and see what we have said so far: Bene, andiamo quindi a vedere cosa abbiamo detto finora:

Ότι πάνω στο ίδιο επίπεδο το σημείο, η ευθεία και από το σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες. that|on|the|same|level|the|point|the|line|and|through|the|point|pass through|infinite|lines che|sopra|sul|stesso|piano|il|punto|la|retta|e|da|il|punto|passano|infinite|rette That on the same level the point, the line, and from the point pass infinite lines. Che sullo stesso piano il punto, la retta e dal punto passano infinite rette.

Σύμφωνοι; Agreed d'accordo Agreed? D'accordo?

Είδαμε επίσης ότι, we saw|also|that abbiamo visto|anche|che We also saw that, Abbiamo anche visto che,

επειδή η ευθεία δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος, because|the|line|not|has|neither|beginning|nor|end perché|la|retta|non|ha|né|inizio|né|fine because the line has neither a beginning nor an end, poiché la retta non ha né inizio né fine,

εγώ πήρα το ευθύγραμμο τμήμα που έχει συγκεκριμένο μήκος, I|took|the|straight|segment|that|has|specific|length io|ho preso|il|rettilineo|segmento|che|ha|specifico|lunghezza I took the line segment that has a specific length, io ho preso il segmento rettilineo che ha una lunghezza specifica,

(έχει και αρχή και τέλος) has|and|beginning||end ha|e|inizio|e|fine) (it has both a beginning and an end) (ha sia un inizio che una fine)

και πήρα και την ημιευθεία, and|I took|and|the|ray e|ho preso|e|la|semiretta and I also took the ray, e ho preso anche la semiretta,

που έχει αρχή και δεν έχει τέλος. that|has|beginning|and|not|has|end che|ha|inizio|e|non|ha|fine which has a beginning and no end. che ha un inizio e non ha fine.

Να τα γράψουμε όμως λίγο να τα θυμόμαστε; to|them|we write|but|a little|to|them|we remember di|le|scriviamo|però|un po'|di|le|ricordiamo Shall we write them down a bit so we remember? Scriviamoli un po' così ce li ricordiamo?

Είπαμε "ευθεία". we said|straight abbiamo detto|retta We said "straight." Abbiamo detto "linea retta".

Είπαμε "ευθύγραμμο τμήμα". we said|straight|segment abbiamo detto|rettilineo|segmento We said "line segment." Abbiamo detto "segmento rettilineo".

Και επίσης είπαμε "ημιευθεία". and|also|we said|half-line e|anche|abbiamo detto|semiretta And we also said "ray." E abbiamo anche detto "semiretta".

Το θυμόμαστε λοιπόν. it|we remember|therefore lo|ricordiamo|quindi So we remember it. Quindi lo ricordiamo.

Πάρα πολύ ωραία. very|very|nice molto|molto|bello Very nice. Molto bene.

Να δούμε λίγο τώρα, πως ακριβώς ονομάζονται δύο ημιευθείες που βρίσκονται ακριβώς πάνω στην ίδια ευθεία; to|we see|a little|now|how|exactly|they are called|two|half-lines|that|they are located|exactly|on|the|same|line a|vediamo|un po'|adesso|come|esattamente|si chiamano|due|semirette|che|si trovano|esattamente|sopra|sulla|stessa|retta Let's see now, what exactly are the names of two rays that lie exactly on the same line? Vediamo un po' ora, come si chiamano esattamente due semirette che si trovano esattamente sulla stessa retta?

Έλα να τις φτιάξουμε. come|to|them|we make vieni|a|le|costruiamo Come on, let's create them. Vieni a crearle.

Ας αλλάξουμε και χρώμα. let's|change|and|color lasciamo|cambiamo|e|colore Let's change the color. Cambiamos anche colore.

Ας φτιάξουμε, λοιπόν, αυτές τις δύο ημιευθείες που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. let's|make|therefore|these|the|two|half-lines|that|are located|on|the|same|line lasciamo|costruiamo|quindi|queste|le|due|semirette|che|si trovano|sopra|sulla|stessa|retta So, let's create these two rays that lie on the same line. Quindi, creiamo queste due semirette che si trovano sulla stessa retta.

Θα πάρουμε αυτό το σημείο, will|take|this|the|point noi|prenderemo|questo|il|punto We will take this point, Prenderemo questo punto,

λοιπόν, και θα ορίσουμε τις δύο ημιευθείες μας therefore|and|will|define|the|two|half-lines|our quindi|e|noi|definiremo|le|due|semirette|nostre then, and we will define our two rays. quindi, e definiremo le nostre due semirette.

που έχουν κοινή αρχή. that|they have|common|starting point che|hanno|comune|principio that have a common starting point. che hanno un'origine comune.

Πρόσεξε με, "κοινή αρχή": την ίδια δηλαδή. pay attention|to me|common|starting point|the|same|that is fai attenzione|a me|comune|principio|la|stessa|cioè Pay attention to me, "common starting point": the same one, that is. Attento a me, "origine comune": la stessa cioè.

Ας πάρουμε ότι είναι το σημείο Α, let's|we take|that|it is|the|point|A lasciamo|prendere|che|è|il|punto|A Let's take it as point A, Prendiamo che sia il punto A,

και αυτή εδώ πέρα είναι η χ και αυτή εδώ η χ'. and|this|here|over|it is|the|x|and|this|here|the|x' e|questa|qui|oltre|è|la|x|e|questa|qui|la|x' and this here is x and this here is x'. e questa qui è la x e questa qui è la x'.

Μπορώ, επίσης, να αλλάξω τον συμβολισμό μου, όπως εγώ τον επιθυμώ. I can|also|to|I change|the|symbol|my|as|I|it|I desire posso|anche|di|cambiare|il|simbolo|mio|come|io|lo|desidero I can also change my symbolism as I wish. Posso anche cambiare il mio simbolismo, come desidero.

Οι ημιευθείες λοιπόν που έχουν κοινή αρχή, όπως βλέπεις, the|half-lines|therefore|that|they have|common|starting point|as|you see le|semirette|quindi|che|hanno|comune|origine|come|vedi The semi-lines that have a common origin, as you see, Le semirette quindi che hanno un'origine comune, come vedi,

και βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία and|they are located|on|the|same|line e|si trovano|sopra|sulla|stessa|retta and are located on the same line e si trovano sulla stessa retta

και κοιτάει η μία από δω και οι άλλη κοιτάζει από κει, and|she looks|the|one|from|here|and|the|other|she looks|from|there e|guarda|la|una|da|qui|e|l'altra||guarda|da|là and one looks from here and the other looks from there, e una guarda da qui e l'altra guarda da lì,

ονομάζονται "αντικείμενες ημιευθείες". they are called|objects|semi-axes si chiamano|oggetti|semi-linee They are called "object semi-axes." si chiamano "semirette opposte".

Αντικείμενες. Objects Oggetti Objects. Opposte.

Δηλαδή είναι ξαπλωμένες, ουσιαστικά κείνται η μια από δω και η άλλη από εκει. that is|they are|lying down|essentially|they lie|the|one|from|here|and|the|other|from|there cioè|sono|sdraiate|praticamente|giacciono|la|una|da|qui|e|l|altra|da|lì That is, they are lying down, essentially one is here and the other is there. Cioè sono distese, sostanzialmente giacciono una da una parte e l'altra dall'altra.

Λοιπόν, well allora Well, Bene,

πάμε λοιπόν να ξαναθυμιθούμε λίγο πάλι από την αρχή: let's go|then|to|remember again|a little|again|from|the|beginning andiamo|dunque|a|ricordiamo di nuovo|un po'|ancora|da|l'|inizio So let's go back and remember a little from the beginning: Andiamo quindi a ricordare un po' di nuovo dall'inizio:

Σημείο, point punto Point, Punto,

ευθεία (δεν έχει αρχή δεν έχει τέλος), straight line|not|has|beginning|not|has|end retta|non|ha|inizio|non|ha|fine line (it has no beginning, it has no end), linea (non ha inizio non ha fine),

επίπεδο. flat piano plane. piano.

Από το ίδιο σημείο στο ίδιο επίπεδο περνάνε άπειρες ευθείες. from|the|same|point|in the|same|level|pass|infinite|lines da|il|stesso|punto|sul|stesso|piano|passano|infinite|linee From the same point on the same plane, countless straight lines pass. Dallo stesso punto allo stesso livello passano infinite linee rette.

Ευθύγραμμο τμήμα: straight|segment lineare|segmento Line segment: Segmento rettilineo:

συγκεκριμένη διάσταση. specific|dimension specifica|dimensione specific dimension. dimensione specifica.

Στην καθημερινότητα μας έχουμε ανάγκη να έχουμε φτιάξει ευθύγραμμα τμήματα παντού. in the|daily life|our|we have|need|to|we have|made|straight|segments|everywhere nella|quotidianità|nostra|abbiamo|bisogno|di|avere|creato|lineari|segmenti|ovunque In our daily lives, we need to have created straight segments everywhere. Nella nostra vita quotidiana abbiamo bisogno di avere segmenti rettilinei ovunque.

Παντού, δεν γίνεται διαφορετικά. everywhere|not|it becomes|differently ovunque|non|è possibile|diversamente Everywhere, it cannot be otherwise. Ovunque, non può essere altrimenti.

Φαντάσου αυτό το γραφείο, φτιάχτηκε με μια συγκεκριμένη διάσταση. imagine|this|the|desk|it was made|with|a|specific|dimension immagina|questo|il|tavolo|è stato costruito|con|una|specifica|dimensione Imagine this desk, it was made with a specific dimension. Immagina questa scrivania, è stata realizzata con una dimensione specifica.

Η μία του πλευρά επί την άλλη. the|one|its|side|on|the|other il|uno|suo|lato|su|l'|altro One side on top of the other. Un lato sopra l'altro.

Κάποιος μέτρησε, το έκοψε, το έφτιαξε σε μια συγκεκριμένη διάσταση. someone|he measured|it|he cut|it|he made|in|a|specific|dimension qualcuno|ha misurato|il|ha tagliato|il|ha costruito|in|una|specifica|dimensione Someone measured it, cut it, and made it to a specific dimension. Qualcuno ha misurato, l'ha tagliata, l'ha realizzata in una dimensione specifica.

Δεν μπορεί να πει κάποιος ότι όσο μου έρθει εκείνη την ώρα. not|can|to|say|someone|that|as long as|to me|comes|that|the|time non|può|di|dire|qualcuno|che|finché|mi|arriverà|quella|l'|ora No one can say that whatever comes to me at that moment. Non si può dire che qualsiasi cosa mi venga in mente in quel momento.

Πρέπει να ξέρω από πριν τις διαστάσεις του. must|to|I know|from|before|the|dimensions|of it devo|di|sapere|da|prima|le|dimensioni|suo I need to know the dimensions beforehand. Devo sapere in anticipo le dimensioni.

Γι' αυτό και όρισα το μετρικό μου σύστημα. for|this|and|I defined|the|metric|my|system perciò|questo|e|ho definito|il|metrico|mio|sistema That's why I defined my metric system. Ecco perché ho definito il mio sistema metrico.

Λοιπόν, ας πάμε λοιπόν να δούμε τι κάνανε αυτές οι ευθείες, well|let's|we go|then|to|see|what|they did|these|the|lines allora|lasciamo|andare|quindi|di|vedere|cosa|hanno fatto|queste|le|linee So, let's go and see what these lines did, Bene, andiamo a vedere cosa hanno fatto queste linee,

όταν βρέθηκαν η μία κοντά στην άλλη. when|they found|the|one|close|to the|other quando|si trovarono|la|una|vicino|a|l'altra when they were found close to each other. quando si trovarono una vicino all'altra.

Να δούμε, λοιπόν, τι έγινε ακριβώς. to|we see|therefore|what|it happened|exactly a|vediamo|quindi|cosa|è successo|esattamente So, let's see what exactly happened. Vediamo, quindi, cosa è successo esattamente.

Πολύ σωστά το φαντάστηκες very|correctly|it|you imagined molto|giustamente|lo|hai immaginato You imagined it very correctly. Hai immaginato molto bene.

δημιούργησαν μία γωνία! they created|a|angle crearono|un|angolo They created an angle! hanno creato un angolo!

Να τη δούμε λίγο αυτή τη γωνία; to|her|we see|a little|this|the|corner di|la|vediamo|un po'|questa|la|angolo Shall we take a look at this corner? Possiamo dare un'occhiata a questo angolo?

Ας την φτιάξουμε και μεις ξανά από την αρχή. let's|it|we fix|and|we|again|from|the|beginning lasciamo|la|rifacciamo|e|noi|di nuovo|da|l'|inizio Let's fix it again from the beginning. Rifacciamolo anche noi da capo.

Λοιπόν, μπροστά μας έχουμε μία γωνία. well|in front|us|we have|a|corner allora|davanti|a noi|abbiamo|un|angolo So, in front of us, we have a corner. Allora, davanti a noi abbiamo un angolo.

Το σημείο που βλέπουμε εδώ, the|point|that|we see|here il|punto|che|vediamo|qui The point we see here, Il punto che vediamo qui,

που συναντιούνται οι δύο, where|they meet|the|two dove|si incontrano|i|due where the two meet, dove si incontrano i due,

πως να τις ονομάσουμε αυτές λες; how|to|them|we name|these|you say come|a|le|chiamiamo|queste|dici what do you say we should call them? come le chiamiamo queste dici?

Για θυμίσου λίγο... for|remember|a little per|ricordati|un po' Just remember a little... Ricordati un po'...

Έχουμε αρχή δεν έχουν τέλος... we have|beginning|not|they have|end abbiamo|inizio|non|hanno|fine We have a beginning, they have no end... Abbiamo un inizio ma non hanno fine...

Εδώ εδώ εδώ - ημιευθείες είναι! here|here|here|semi-answers|they are qui|qui|qui|semi-infinite|sono Here here here - semi-vowels are! Ecco ecco ecco - le semi-vocali sono!

Πολύ σωστά, μπράβο, very|correct|well done molto|giusto|bravo Very correct, well done, Molto giusto, bravo,

ημιευθείες! semi-answers semi-infinite semi-vowels! le semi-vocali!

Θα βάλουμε λοιπόν στην αρχή τους, ένα κεφαλαίο γράμμα will|we will put|therefore|in the|beginning|their|a|capital|letter verbo ausiliare futuro|metteremo|quindi|all'inizio|inizio|loro|una|maiuscolo|lettera So we will put at the beginning, a capital letter Metteremo quindi all'inizio, una lettera maiuscola

και αντίστοιχα από δω: and|correspondingly|from|here e|corrispondentemente|da|qui and correspondingly from here: e corrispondentemente da qui:

αυτή θα την ονομάσουμε y και y'. this|will|her|we will name|y|and|y' questa|verbo ausiliare futuro|la|chiameremo|y|e|y' we will call this y and y'. la chiameremo y e y'.

Έχω λοιπόν την γωνία y'Ay I have|therefore|the|angle|y'Ay ho|quindi|l'|angolo|y'Ay So I have the angle y'Ay Quindi ho l'angolo y'Ay

και θα σου θυμίσω ότι η γωνία είναι ο χώρος που περιορίζεται. and|will|to you|I will remind|that|the|angle|is|the|space|that|is limited e|verbo ausiliare futuro|ti|ricorderò|che|l'|angolo|è|lo|spazio|che|è delimitato and I will remind you that the angle is the space that is bounded. e ti ricordo che l'angolo è lo spazio che è delimitato.

Είναι ακριβώς αυτό εδώ μέσα. it is|exactly|this|here|inside è|esattamente|questo|qui|dentro It is exactly this right here. È proprio qui dentro.

Για να δούμε λίγο, τι ακριβώς λοιπόν είναι η γωνία μας; for|to|we see|a little|what|exactly|therefore|it is|the|angle|our per|espressione del congiuntivo|vediamo|un po'|cosa|esattamente|quindi|è|l'|angolo|nostro Let's take a look, what exactly is our angle then? Vediamo un po', cos'è esattamente il nostro angolo?

Έχω λοιπόν μία γωνία την οποία ονομάζω "κυρτή" I have|therefore|a|angle|the|which|I call|curved ho|quindi|un|angolo|che||chiamo|convesso So I have an angle that I call "convex" Ho quindi un angolo che chiamo "convesso"

και μία εξωτερική γωνία που την ονομάζω μη κυρτή. and|a|external|angle|that|the|I call|not|curved e|un|esterno|angolo|che|che|chiamo|non|concavo and an external angle that I call non-convex. e un angolo esterno che chiamo non convesso.

Σκέψου το σαν μία τούρτα. think|it|like|a|cake pensa|a|come|una|torta Think of it like a cake. Pensa a questo come a una torta.

Φαντάσου λοιπόν το κομμάτι που κόβεις για να φας, imagine|therefore|the|piece|that|you cut|to|to|you eat immagina|quindi|il|pezzo|che|tagli|per|inf|mangiare So imagine the piece you cut to eat, Immagina quindi il pezzo che tagli per mangiare,

από μία μεγάλη στρογγυλή τούρτα γενεθλίων: from|a|large|round|cake|birthday da|una|grande|rotonda|torta|di compleanno from a large round birthday cake: da una grande torta rotonda di compleanno:

είναι η κυρτή σου γωνία. it is|the|curved|your|corner è|l'|curva|tua|angolo it's your curved corner. è il tuo angolo curvo.

Το κομμάτι που υπολείπεται, που απομένει the|piece|that|remains|that|is left il|pezzo|che|resta|che|rimane The piece that remains, that is left Il pezzo che rimane, che resta

είναι η μη κυρτή σου γωνία. is|the|not|curved|your|angle è|l'|non|curva|tua|angolo is your non-convex angle. è il tuo angolo non curvo.

Η γωνία λοιπόν έχει τις εξής the|angle|therefore|has|the|following l'|angolo|quindi|ha|le|seguenti So the angle has the following L'angolo quindi ha i seguenti

πλευρές, να τες! sides|to|them lati|ecco|le sides, here they are! lati, eccoli!

Αy' και Αy. oh|and|oh ehi|e|ehi Ay' and Ay. Ay' e Ay.

Άνοιγμα... να το! opening|to|it apertura|ecco|lo Opening... there it is! Apertura... eccolo!

Το ορίσαμε πριν, το βλέπουμε ξανά. it|we defined|before|it|we see|again lo|abbiamo definito|prima|lo|vediamo|di nuovo We defined it before, we see it again. L'abbiamo definito prima, lo vediamo di nuovo.

Και "κορυφή" το σημείο που συναντιούνται οι δύο αυτές ημιευθείες. and|peak|the|point|that|they meet|the|two|these|half-lines e|vertice|il|punto|che|si incontrano|le|due|queste|semirette And "peak" is the point where these two rays meet. E "cima" il punto in cui si incontrano questi due semirettilinei.

Πάμε λοιπόν ξανά: let's go|therefore|again andiamo|dunque|di nuovo So let's go again: Andiamo quindi di nuovo:

Άνοιγμα, πλευρές και κορυφή. opening|sides|and|top apertura|lati|e|vertice Opening, sides, and top. Apertura, lati e cima.

Την γωνία τη μετράω με μοιρογνωμόνιο. the|angle|the|I measure|with|protractor la|angolo|la|misuro|con|goniometro I measure the angle with a protractor. Misuro l'angolo con un goniometro.

Σήμερα δεν θα μετρήσουμε γωνίες, today|not|will|we will measure|angles oggi|non|verbo futuro|misureremo|angoli Today we will not measure angles, Oggi non misureremo angoli,

θα το κάνουμε κάποια άλλη στιγμή. will|it|we do|some|other|time lo|lo|faremo|qualche|altra|momento We will do it some other time. Lo faremo un'altra volta.

Θα τις γνωρίσουμε όμως. will|them|we will meet|however lo|le|conosceremo|però But we will get to know them. Ma le conosceremo.

Ας πάρουμε λοιπόν με τη σειρά, let's|we take|therefore|with|the|order prendiamo|prendiamo|quindi|con|la|ordine So let's take it in order, Prendiamo quindi in ordine,

την πρώτη γωνία που μας ενδιαφέρει. the|first|corner|that|to us|interests la|prima|angolo|che|ci|interessa the first corner that interests us. il primo angolo che ci interessa.

Είναι η ορθή γωνία. it is|the|right|angle è|l'|retta|angolo It is the right angle. È l'angolo retto.

Είναι η γωνία η οποία μου σχηματίζει ενενήντα μοίρες. it is|the|angle|the|which|to me|it forms|ninety|degrees è|l'|angolo|che|quale|mi|forma|novanta|gradi It is the angle that forms ninety degrees. È l'angolo che forma novanta gradi.

Την συμβολίζω πάντοτε με ένα τετραγωνάκι. it|I symbolize|always|with|a|small square la|simboleggio|sempre|con|un|quadratino I always symbolize it with a small square. Lo simboleggio sempre con un quadratino.

Εγώ κάνω και μια τσακπινιά, βάζω και μια τελίτσα μέσα. I|I do|and|a|trick|I put|and|a|small dot|inside io|faccio|e|una|furbata|metto|e|un|puntino|dentro I also make a little twist, I put a dot inside. Faccio anche un piccolo trucco, metto anche un puntino dentro.

Την ονομάζω λοιπόν "ορθή", her|I call|therefore|right la|chiamo|quindi|retta I therefore call it "right", La chiamo quindi "rettangolare".

και είναι ίση με ενενήντα μοίρες. and|it is|equal|to|ninety|degrees e|è|uguale|a|novanta|gradi and it is equal to ninety degrees. E corrisponde a novanta gradi.

Η επόμενη γωνία μου είναι η "οξεία", the|next|angle|my|it is|the|acute la|prossima|angolo|mio|è|l'|acuta My next angle is the "acute", Il mio angolo successivo è "acuto",

η οποία είναι μικρότερη από ενενήντα μοίρες. the|which|it is|smaller|than|ninety|degrees la|quale|è|minore|di|novanta|gradi which is less than ninety degrees. che è minore di novanta gradi.

Η οξεία είναι πάντοτε μικρότερη από ενενήντα μοίρες. the|acute|is|always|smaller|than|ninety|degrees la|acuta|è|sempre|minore|di|novanta|gradi An acute angle is always less than ninety degrees. L'acute è sempre minore di novanta gradi.

Και τέλος, είναι η "αμβλεία". and|finally|is|the|obtuse e|infine|è|la|ottusa And finally, there is the "obtuse" angle. E infine, c'è l'"ottusa".

Νάτη και η αμβλεία, here it is|and|the|obtuse ecco|e|la|ottusa Here it is, the obtuse angle, Ecco l'ottusa,

η οποία είναι μεγαλύτερη από ενενήντα μοίρες. the|which|is|larger|than|ninety|degrees la|quale|è|maggiore|di|novanta|gradi which is greater than ninety degrees. che è maggiore di novanta gradi.

Να τις ξαναδούμε λίγο; to|them|see again|a little di|le|rivedere|un po' Shall we see them again a little? Possiamo rivederle un po'?

Ορθή, οξεία και αμβλεία. right|acute|and|obtuse retta|acuta|e|ottusa Right, acute, and obtuse. Retta, acuta e ottusa.

Ίση με ενενήντα μοίρες, μικρότερη από ενενήντα μοίρες, μεγαλύτερη από ενενήντα μοίρες. equal|to|ninety|degrees|less than|than|||greater than||| uguale|a|novanta|gradi|minore|di|||maggiore||| Equal to ninety degrees, less than ninety degrees, greater than ninety degrees. Uguale a novanta gradi, minore di novanta gradi, maggiore di novanta gradi.

Υπάρχει και μια τέταρτη γωνία, there is|and|a|fourth|angle c'è|e|un|quarta|angolo There is also a fourth angle, C'è anche un quarto angolo,

την οποία θα την πούμε σήμερα, the|which|will|it|we say|today la|quale|verbo ausiliare futuro|la|diremo|oggi which we will call today, quella che chiameremo oggi,

ονομάζεται "πλήρης" γωνία. it is called|full|angle si chiama|piena|angolo is called a "full" angle. si chiama "angolo" completo.

Ποιά είναι αυτή; which|is|this quale|è|questa What is this? Qual è questa?

Φαντάσου την ως εξής: imagine|it|as|follows immagina|la|come|segue Imagine it as follows: Immaginala così:

Θυμάσαι τη μη κυρτή που είπαμε πριν λίγο; do you remember|the|not|curved|that|we said|before|a little ti ricordi|la|non|convessa|che|abbiamo detto|prima|poco Do you remember the non-convex one we talked about a little while ago? Ricordi l'angolo non convesso di cui abbiamo parlato poco fa?

Πρόσεξε με λοιπόν! pay attention|to me|then fai attenzione|a me|quindi So pay attention to me! Quindi, prestami attenzione!

Φαντάσου ότι αυτή είναι η πλήρης γωνία. imagine|that|this|is|the|full|angle immagina|che|essa|è|l'|completa|angolo Imagine that this is the full angle. Immagina che questo sia l'angolo completo.

Ποια; which quale Which one? Quale?

Μα αυτή. but|this (feminine) ma|questa But this. Ma questa.

Αυτή δεν είναι γωνία, αυτή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα. this (feminine)|not|is|angle|this (feminine)|is|a|straight|segment questa|non|è|angolo|questa|è|un|rettilineo|segmento This is not an angle, this is a straight line segment. Questa non è un angolo, questa è un segmento rettilineo.

Αυτή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα, νομίζεις, this (feminine)|is|a|straight|segment|you think questa|è|un|rettilineo|segmento|pensi This is a straight line segment, you think, Questa è un segmento rettilineo, pensi,

που έχει πέσει το ένα στο άλλο that|has|fallen|the|one|on the|other che|ha|caduto|il|uno|su|altro that has fallen onto the other one. che uno sia caduto sull'altro

κοίταξε πως ήταν ακριβώς: look|how|it was|exactly guarda|come|era|esattamente look how it was exactly: guarda com'era esattamente:

ήταν εκεί, και έκανε εναν ολοοοοόκληρο κύκλο it was|there|and|he made|a|whole|circle era|lì|e|fece|un|intero|giro it was there, and it made a whole circle era lì, e ha fatto un intero cerchio

και πήγε ξανακούμπησε πάνω and|he went|he touched again|on e|andò|toccò di nuovo|sopra and it went back and touched again e è tornato a toccare sopra

Ε, αυτή η γωνία, λοιπόν, ονομάζεται πλήρης! well|this|the|angle|therefore|it is called|complete beh|questa|la|angolo|quindi|si chiama|completo Well, this angle, then, is called a complete one! Ecco, questo angolo, quindi, si chiama completo!

Και όπως κατάλαβες καλά είναι ίση με τριακόσιες εξήντα μοίρες. and|as|you understood|well|it is|equal|to|three hundred|sixty|degrees e|come|hai capito|bene|è|uguale|a|trecento|sessanta|gradi And as you understood, it is equal to three hundred sixty degrees. E come hai ben capito, è uguale a trecentosessanta gradi.

Εδώ να σου θυμίσω ότι οι τριακόσιες εξήντα μοίρες... here|to|to you|I remind|that|the|three hundred|sixty|degrees qui|per|ti|ricordo|che|le|trecento|sessanta|gradi Here, let me remind you that three hundred sixty degrees... Qui voglio ricordarti che i trecentosessanta gradi...

σε τριακόσιες εξήντα μικρές λεπτές φέτες into|three hundred|sixty|small|thin|slices in|trecento|sessanta|piccole|sottili|fette in three hundred sixty small thin slices in trecentosessanta piccole sottili fette

ο άνθρωπος χώρισε τον κύκλο. the|man|he divided|the|circle l'|uomo|ha diviso|il|cerchio the man divided the circle. l'uomo ha diviso il cerchio.

Το μοιρογνομόνιο λοιπόν, the|protractor|therefore il|miorognomònio|quindi The moironomonio therefore, Quindi il mirolognomonio,

το μισό αυτό κυκλάκι που μετράμε εμείς, the|half|this|little circle|that|we measure|we il|mezzo|questo|cerchietto|che|misuriamo|noi this half circle that we measure, questo mezzo cerchietto che misuriamo noi,

είναι εκατόν ογδόντα μοίρες. it is|hundred|eighty|degrees è|cento|ottanta|gradi is one hundred eighty degrees. è centottanta gradi.

Και ανάλογα με τον τρόπο που τον τοποθετούμε, and|depending|on|the|way|that|it|we place e|a seconda|con|il|modo|che|lo|posizioniamo And depending on how we place it, E a seconda del modo in cui lo posizioniamo,

μπορούμε να μετράμε τις γωνίες μας. we can|to|we measure|the|angles|our possiamo|di|misurare|gli|angoli|nostri we can measure our angles. possiamo misurare i nostri angoli.

Για τελευταίο, σήμερα, for|last|today per|ultimo|oggi Lastly, today, Per ultimo, oggi,

κράτησα να συζητήσουμε λίγο I kept|to|we discuss|a little ho tenuto|di|discutere|un po' I kept to discuss a little ho tenuto da parte un po' per discutere

για δύο πολύ χαρασκτηριστικές γωνίες - for|two|very|characteristic|angles per|due|molto|caratteristiche|angoli about two very characteristic angles - di due angoli molto caratteristici -

μάλλον για γωνίες οι οποίες θα σου φανούν πολύ χρήσιμες. Να τις θυμάσαι probably|for|angles|which|that|will|to you|seem|very|useful|to|them|remember forse|per|angoli|che|quali|verbo ausiliare futuro|a te|sembreranno|molto|utili|imperativo di dovere|le|ricorda probably for angles that will seem very useful to you. Remember them. probabilmente per angoli che ti sembreranno molto utili. Ricordali

πώς ακριβώς ονομάζονται how|exactly|they are called come|esattamente|si chiamano what they are called exactly. come si chiamano esattamente

γιατί έχουν ένα πολύ πολύ βασικό χαρακτηριστικό: because|they have|a|very||basic|characteristic perché|hanno|una|molto|molto|fondamentale|caratteristica because they have a very, very basic characteristic: perché hanno una caratteristica molto molto fondamentale:

Οι γωνίες αυτές the|angles|these gli|angoli|questi These angles Questi angoli

-κοίταξε με!- look|at me |me -look at me!- -guardami!-

έχουν they have hanno they have hanno

κοινή κορυφή. Νάτη! common|peak|here it is comune|cima|eccola a common peak. Here it is! una cima comune. Eccola!

Ας την πούμε "Φ", let's|it|say|F lasciamo|la|dire|F Let's call it "F" Chiamiamola "F"

και η πλευρά της μίας είναι προέκταση της πλευράς της άλλης. and|the|side|of the|one|is|extension|of the|side|of the|other e|la|lato|di|uno|è|estensione|del|lato|di|altro and one side is an extension of the other side. e il lato di uno è un'estensione del lato dell'altro.

Οι γωνίες αυτές είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. the|angles|these|are|always|equal|among|them gli|angoli|questi|sono|sempre|uguali|tra|loro These angles are always equal to each other. Questi angoli sono sempre uguali tra loro.

Αυτή η γωνία είναι ίση με αυτή this|the|angle|is|equal|with|this questo|l'|angolo|è|uguale|a|questo This angle is equal to this one. Questo angolo è uguale a questo

και, αντίστοιχα, αυτή η γωνία είναι ίση με αυτή. and|correspondingly|this|the|angle|is|equal|with|this e|corrispondentemente|questo|l'|angolo|è|uguale|a|questo and, correspondingly, this angle is equal to this one. e, rispettivamente, questo angolo è uguale a questo.

Πρόσεξες ότι τροποποίησα τον συμβολισμό. you noticed|that|I modified|the|notation hai notato|che|ho modificato|il|simbolo Did you notice that I modified the notation. Hai notato che ho modificato la notazione.

Για να δηλώσω την ισότητα των γωνιών, in order|to|I declare|the|equality|of the|angles per||dichiarare|l'|uguaglianza|degli|angoli To indicate the equality of the angles, Per dichiarare l'uguaglianza degli angoli,

αλλάζω τον συμβολισμό. I change|the|notation cambio|il|simbolo I change the notation. cambio la notazione.

Αυτή με τη μία γραμμή είναι ίση με αυτή this|with|the|one|line|is|equal|to|this questa|con|la|una|linea|è|uguale|a|questa This one with the single line is equal to this one. Questa con una linea è uguale a questa

και, αντίστοιχα, αυτή με τις δύο είναι ίση με αυτή. and|respectively|this|with|the|two|is|equal|to|this e|corrispondentemente|questa|con|le|due|è|uguale|a|questa and, correspondingly, this one with the two is equal to this one. e, corrispondentemente, questa con le due è uguale a questa.

Λοιπόν, αυτές οι γωνίες που έχουν -ξαναθυμίζω- κοινή κορυφή well|these|the|angles|that|have||common|vertex allora|queste|le|angoli|che|hanno||comune|vertice Well, these angles that have - I remind you again - a common vertex Bene, questi angoli che hanno -ricordo di nuovo- un vertice comune

και πλευρά της μιας είναι προέκταση της άλλης... and|side|of the|one|is|extension|of the|other e|lato|di|un|è|estensione|di|un'altra and one side is an extension of the other... e un lato di uno è l'estensione dell'altro...

- δεν θα μπορούσε να είναι αυτή, not|will|could|to|be|this non|verbo futuro|potrebbe|verbo infinito|essere|questa - it couldn't be this one, - non potrebbe essere questo,

γιατί έχουν μεν κοινή κορυφή αλλά δεν είναι προέκταση- because|they have|indeed|common|vertex|but|not|they are|extension perché|hanno|certo|comune|vertice|ma|non|sono|estensione because they have a common vertex but are not extensions - perché hanno una cima comune ma non sono un'estensione-

ονομάζονται "κατακορυφήν" γωνίες, they are called|vertically|angles si chiamano|verticali|angoli they are called "vertical" angles, si chiamano angoli "in verticale",

και είναι πάντοτε ίσες. and|they are|always|equal e|sono|sempre|uguali and they are always equal. e sono sempre uguali.

Θυμήσου θα σου φανεί πάρα πάρα πολύ χρήσιμο! remember|will|to you|it will seem|very|very|very|useful Ricordati|particella del futuro|ti|sembrerà|molto|molto|utile| Remember, it will seem very, very useful to you! Ricorda, ti sembrerà molto, molto utile!

Όταν, μάλιστα, θυμηθείς ότι όλο μαζί είναι ένας κύκλος, when|indeed|you remember|that|all|together|they are|a|circle quando|infatti|ricorderai|che|tutto|insieme|è|un|cerchio When you remember that all together it is a circle, Quando, per di più, ricordi che tutto insieme è un cerchio,

άρα τριακόσιες εξήντα μοίρες. so|three hundred|sixty|degrees quindi|trecento|sessanta|gradi therefore three hundred sixty degrees. quindi trecentosessanta gradi.

Φαντάσου - άμα σου δώσουνε μόνο τη μία, imagine|if|to you|they give|only|the|one immagina|se|ti|daranno|solo|la|uno Imagine - if they only give you one, Immagina - se ti danno solo uno,

μπορείς πολύ εύκολα να βρεις όλες τις υπόλοιπες. you can|very|easily|to|you find|all|the|remaining puoi|molto|facilmente|a|trovare|tutte|le|rimanenti you can very easily find all the others. puoi facilmente trovare tutti gli altri.

Έχουμε, όμως, πολλά να πούμε ακόμα. we have|however|many|to|we say|still abbiamo|però|molto|da|dire|ancora However, we still have a lot to say. Tuttavia, abbiamo ancora molto da dire.

Σου έυχομαι να έχεις μια υπέροχη μέρα to you|I wish|to|you have|a|wonderful|day ti|auguro|di|avere|una|splendida|giornata I wish you a wonderful day. Ti auguro di avere una giornata meravigliosa.

και να τα θυμηθείς όλα ξανά. and|to|them|you remember|all|again e|di|tutto|ricordare|tutto|di nuovo And to remember everything again. E di ricordare tutto di nuovo.

Εύχομαι να σε βοήθησα. I wish|to|you|I helped auguro|di|ti|ho aiutato I hope I helped you. Spero di esserti stato d'aiuto.

Την καλημέρα μου! the|good morning|my la|buona mattina|mia Good morning! Buongiorno!