مفارقة الفندق اللانهائي - جيف ديكوفسكي Das unendliche Hotelparadoxon – Jeff Dikofsky The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dikofsky La paradoja del hotel infinito - Jeff Dikofsky Sonsuz Otel Paradoksu - Jeff Dekowski 无限酒店悖论——杰夫·德科斯基

في عشرينات القرن الماضي In the 1920's,

قام عالم الرياضيات الألماني دافيد هيلبرت the German mathematician David Hilbert

بتصميم تجربة فكرية مشهورة devised a famous thought experiment

ليظهر لنا مدى صعوبة to show us just how hard it is

فهم عقولنا لمصطلح اللانهاية. to wrap our minds around the concept of infinity.

تخيّل فندقاً يحوي عدداً لانهائياً من الغرف Imagine a hotel with an infinite number of rooms

ومدير ليلي مجتهد جداً في عمله. and a very hardworking night manager.

في إحدى الليالي ، امتلأ الفندق اللانهائي One night, the Infinite Hotel is completely full,

حجزت كل غرفه من قبل عدد لانهائي من الزبائن. totally booked up with an infinite number of guests.

فيدخل رجلٌ إلى الفندق A man walks into the hotel and asks for a room.

ويطلب غرفة. and asks for a room.

وبدلاً من أن يرده خائباً Rather than turn him down,

قرر المدير اليلي أن يوجد له غرفة. the night manager decides to make room for him.

كيف؟ How?

بسهولة ، يطلب من الزبون في الغرفة الأولى Easy, he asks the guest in room number 1

أن ينتقل إلى الغرفة الثانية to move to room 2,

ويطب من الزبون في الغرفة الثانية أن ينتقل للغرفة الثالثة the guest in room 2 to move to room 3,

وهكذا. and so on.

ينتقل كل زبون من الغرفة رقم "ن" Every guest moves from room number "n"

إلى الغرفة رقم "ن+1". to room number "n+1".

وبما أنه يوجد عدد لانهائي من الغرف Since there are an infinite number of rooms,

فهناك غرفة جديدة لكل زبون موجود. there is a new room for each existing guest.

مما يترك الغرفة الأولى جاهزة للزبون الجديد. This leaves room 1 open for the new customer.

يمكن أن تتكرر هذه العملية The process can be repeated

لأي عدد محدود من الزبائن الجدد. for any finite number of new guests.

لكن لنقل أن حافلة سياحية أنزلت If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

40 شخصاً جديداً يريدون غرفاً 40 new people want rooms

عندها ينتقل كل زبون موجود Then every existing customer moves on

من الغرفة رقم "ن" From room no. "N"

إلى الغرفة رقم "ن+40" To room No. "N+40"

مما يجعل أول 40 غرفة فارغة. Which makes the first 40 rooms empty.

لكن حافلة كبيرة بشكل لانهائي But now an infinitely large bus

تحتوي على عدد لانهائي مماثل من الركاب with a countably infinite number of passengers

تأتي لتستأجر غرفاً. pulls up to rent rooms.

مفتاح الحل هو اللانهائية. countably infinite is the key.

أربكت الحافلة اللانهائية وركابها اللانهائيون Now, the infinite bus of infinite passengers

المدير الليلي في بداية الأمر perplexes the night manager at first,

لكنه أدرك أن هناك طريقة but he realizes there's a way

لوضع كل شخص جديد. to place each new person.

فيطلب من الزبون في الغرفة الأولى He asks the guest in room 1 to move to room 2.

أن ينتقل إلى الغرفة الثانية To move to the second room

ثم يطلب من الزبون في الغرفة الثانية Then the customer is asked to the second room

أن ينتقل إلى الغرفة الرابعة To move to the fourth room

والزبون في الغرفة الثالثة And the customer is in the third room

أن ينتقل إلى الغرفة السادسة To move to the sixth room

وهكذا. And so on.

ينتقل كل زبون موجود من الغرفة رقم "ن" Every customer present moves from room number "N".

إلى الغرفة رقم "2ن" To room number "2n"

مالئين الغرف اللانهائية ذوات الأرقام الزوجية. filling up only the infinite even-numbered rooms.

بهذا يكون قد فرغ By doing this, he has now emptied

كل الغرف اللانهائية ذوات الأرقام الفردية all of the infinitely many odd-numbered rooms,

وأعطاها للأشخاص which are then taken by the people filing off the infinite bus.

الذين كانوا في الحافلة اللانهائية. who were on the infinite bus.

أصبح الجميع سعداء ، وازدهر عمل الفندق Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

أكثر من أي وقت مضى. more than ever.

حسناً ، الحقيقة أنه قد ازدهر Well, the truth is, it has thrived

تماماً بنفس الكمية التي كان عليها من قبل Exactly the same amount as before

مدرةً عدد لانهائياً من الدولارات في الليلة. Infinite dollars per night.

انتشرت الأحاديث عن هذا الفندق المدهش. Word spreads about this incredible hotel.

وأتى الناس من مكان. People pour in from far and wide.

في ليلة من الليالي ، حدث الغير متوقع. One night, the unthinkable happens.

نظر المدير الليلي إلى الخارج The night manager looks outside

ورأى عدداً لانهائياً and sees an infinite line of infinitely large buses,

من الحافلات اللانهائية الكبيرة of the big infinite buses

والتي يحتوي كل منها على عدد لانهائي مماثل من الركاب.

ماذا يمكنه أن يفعل ؟ What can he do?

إذا لم يستطع أن يجد غرفاً لهم If he couldn't find rooms for them

فسوف يخسر الفندق You will lose the hotel

عدداً لانهائياً من الأموال An infinite number of funds

وسوف يخسر وظيفته بكل تأكيد. He will definitely lose his job.

لحسن الحظ ، تذكر Fortunately, remember

أنه وفي حوالي السنة 300 قبل الميلاد ، That in about the year 300 BC,

أثبت إقليدس أن هناك عدداً لانهائياً Euclid proved that there is an infinite number

من الأعداد الأولية. of prime numbers.

لذا ، لإنجاز هذه المهمة التي تبدو مستحيلة So, to accomplish this seemingly impossible task

أي إيجاد غرفٍ لانهائية of finding infinite beds for infinite buses

للباصات اللانهائية for infinite buses

الممتلئة بالمسافرين اللانهائيين المتعبين، full of weary endless travellers,

قام المدير الليلي بنقل كل زبون حالي The night manager moved every existing customer

إلى أول رقم أولي ، 2 ، to the first prime number, 2,

مرفوع إلى القوة الموافقة لرقم غرفته الحالية . raised to the power of their current room number.

لذا ، القاطن الحالي في الغرفة رقم 7 So, the current occupant of room number 7

سينتقل إلى الغرفة رقم 2^7 ، goes to room number 2^7,

والتي هي الغرفة 128. which is room 128.

ثم يأخذ المدير الليلي الأشخاص The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

في الحافلة اللانهائية الأولى On the first infinite bus

ويعطيهم الغرف التي أرقامها And he gives them the rooms whose numbers they are

توافق الرقم الأولي التالي وهو 3 The next prime number corresponds to 3

مرفوع إلى قوة توافق رقم مقعده في الحافلة. raised to the power corresponding to his seat number on the bus.

لذا فالشخص في المقعد السابع في الحافلة الأولى So the person is in the seventh seat on the first bus

سيذهب إلى الغرفة رقم 3^7 He will go to room 3^7

أو الغرفة رقم 2,187 Or room 2,187

ويستمر الأمر كذلك لكل الحافلة الأولى . This continues for every first bus.

أما ركاب الحافلة الثانية As for the passengers of the second bus

فترفع القوة للعدد الأولي التالي وهو 5 . The power is raised to the next prime number, which is 5.

والحافلة التي تليها تأخذ القوة للعدد 7 The next bus takes the power of 7

وتتبعها كل حافلة : Each bus follows:

القوة للعدد 11 The power of 11

القوة للعدد 13 The power of 13

القوة للعدد 17 ... إلخ. The power of 17...etc.

وبما أن كل من هذه الأرقام Since each of these numbers

ليس لها إلا الرقم 1 والقوى الطبيعية only has 1 and the natural number powers

للأساس الأولي كعوامل of their prime number base as factors,

فلن يحدث تداخل بأرقام الغرف. there are no overlapping room numbers.

كل ركاب الحافلات سينتقلون إلى غرف All the buses' passengers fan out into rooms

باستخدام خطط توزيع غرف فريدة using unique room-assignment schemes

مبنية على أساس أرقام أولية فريدة . based on unique prime numbers.

بهذه الطريقة ، يمكن للمدير الليلي أن يحسب حساب In this way, the night manager can accommodate

كل راكب في كل حافلة. every passenger on every bus.

على الرغم من وجود بعض الغرف التي ستبقى فارغة Although, there will be many rooms that go unfilled,

كالغرفة رقم 6 like room 6,

لأن العدد 6 ليس قوة لأي عدد أولي. since 6 is not a power of any prime number.

لحسن الحظ ، فمديره لم يكن جيداً جداً في الرياضيات Luckily, his bosses weren't very good in math,

لذا فوظيفته بأمان. so his job is safe.

استرتيجيات المدير الليلي قابلة للتطبيق The night manager's strategies are only possible

لأنه وعلى الرغم من كون الفندق اللانهائي because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

كابوساً لوجستياً محتماً ، a logistical nightmare,

لأنها تتعامل مع الطبقة الدنيا من اللانهائية . it only deals with the lowest level of infinity,

بشكل أساسي ، اللانهائية المعدودة mainly, the countable infinity of the natural numbers,

للأعداد الطبيعية for natural numbers

1،2،3،4 وهكذا . 1,2,3,4 and so on.

أطلق جورج كانتور على هذه الطبقة من اللانهائية اسم " ألف- زيرو". Georg Cantor called this layer of infinity "A-Zero".

نستخدم الأعداد الطبيعية لغرف الفندق We use natural numbers for the room numbers

مثلها أرقام مقاعد الحافلة . as well as the seat numbers on the buses.

إذا كنا نتعامل مع فئات أعلى من اللانهائية If we were dealing with higher orders of infinity,

كالأعداد الحقيقية such as that of the real numbers,

لن تكون بنى هذه الاستراتيجيات these structured strategies would no longer be possible

ناجحة بعد الآن

بما أننا لا نستطيع as we have no way to systematically include every number.

أن نحصي كل الأعداد بشكل منظم. To count all the numbers in an orderly manner.

الفندق اللانهائي ذو الأرقام الحقيقية يحتوي The Real Number Infinite Hotel

على غرف ذات أرقام سالبة في القبو has negative number rooms in the basement,

وغرف كسرية fractional rooms,

لذا فعلى الشخص في الغرفة 1/2 أن يتوقع دائماً so the guy in room 1/2 always suspects

أنه سيحصل على مساحة أقل من الشخص في الغرفة 1 . he has less room than the guy in room 1.

وغرف أرقامها جذور تربيعية ، كالغرفة جذر 2 Square root rooms, like room radical 2,

والغرفة رقم π and room pi,

حيث سيتوقع الزبون أن يحصل على تحلية مجانية. where the guests expect free dessert.

أي مدير ليلي يحترم نفسه What self-respecting night manager would ever want to work there

سيرغب بالعمل هناك He will want to work there

حتى بمقابل راتب لانهائي؟ even for an infinite salary?

ولكن هنا في فندق هيلبرت اللانهائي But over at Hilbert's Infinite Hotel,

حيث لا يوجد أي شواغر where there's never any vacancy

ويوجد دوماً مكانٌ لزبائن أكثر and always room for more,

تعمل الحالات التي يواجهها المدير المجتهد جداً the scenarios faced by the ever-diligent

والذي قد يكون مضيافاً أكثر من اللازم and maybe too hospitable night manager

على تذكيرنا serve to remind us of just how hard it is

كم من الصعب How hard

على أدمغتنا المحدودة نسبياً for our relatively finite minds

فهم مصطلح بكبر اللانهاية . to grasp a concept as large as infinity.

قد يكون بإمكانك أن تساهم بحل هذه المشاكل Maybe you can help tackle these problems

بعد أن تنال قسطاً جيداً من النوم. after a good night's sleep.

لكن وبصراحة ، قد نحتاج منك But honestly, we might need you

أن تغير الغرفة في الساعة الثانية صباحاً. to change rooms at 2 a.m.