宇宙速度 ：跑 多 快 才能 逃出 地球？

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 最近 中国 发射 了 火星 探测器 天问 一号 又 重燃 了 许多 网友 对于 天文学 的 热爱 有 一个 小朋友 就 跟 我 说 他 经常 听到 宇宙速度 这 四个 字 什么 第一 宇宙速度 第二 宇宙速度 说 航天器 只有 达到 这个 速度 才 能够 脱离 地球 是不是 这样 呢 今天 就 给 大家 介绍 一下 宇宙速度 的 知识 我们 首先 先 来 研究 一下 第一 宇宙速度 什么 是 第一 宇宙速度 呢 第一 宇宙速度 也 叫 环绕速度 环绕 谁 呢 就是 环绕 地球 环绕速度 我们 来 简单 解释一下 在 牛顿 时代 其实 就 提出 过 这个 概念 这是 地球 牛顿 说 在 地球 上放 一个 大炮 然后 大炮 水平 发射 一个 炮弹 如果 这个 炮弹 速度 要是 比较 小 的话 炮弹 就 会 落地 对 吧 如果 速度 要 大 一点 这个 炮弹 就 会 离 得 远 一点 离得 远 一点 但是 最后 还是 落地 了 不过 如果 这个 炮弹 的 速度 足够 快 的话 那么 这个 炮弹 就 不会 落地 而是 会 环绕 地球 成为 地球 的 一个 近地 卫星 达到 这个 速度 的话 这个 物体 的 速度 就 叫做 第一 宇宙速度 所以 简单 来说 以 第一 宇宙速度 发射 的 物体 会 环绕 地球 运动 那 如果 我们 把 这个 事儿 准确 的 说 一点 就是 在 地面 上 我们 是 在 地面 上 以 第一 宇宙速度 水平 发射 的 炮弹 水平 发射 的 炮弹 它 为什么 是 水平 发射 呢 如果 你 竖 着 往 上发 的话 那 它 最终 还是 会 掉下来 这 不行 我们 说 的 都 是 水平 发 的 以 第一 宇宙 的 速度 水平 发射 的 炮弹 而 不是 飞机 就是说 它 是 没有 动力 的 相当于 一块 石头 这个 石头 你 扔出去 之后 就 凭借 惯性 往前走 了 结果 它 还 会 怎么样 它 还 会 成为 地球 的 一个 近地 卫星 它会 成为 一个 近地 卫星 什么 叫 近地 卫星 懂 吧 就是 它 的 半径 接近 于 地球 半径 贴着 地球表面 一圈 一圈 地转 这 就是 第一 宇宙速度 的 含义 我们 以 这个 速度 往前 扔 一个 石头 这个 石头 就 不会 落地 而会 环绕 地球 一圈 一圈 地转 那有 同学 可能 会 感觉 很 奇怪 说 这个 它 明明 受到 地球 的 万有引力 它 为什么 不 落地 呢 我们 有 两个 角度 去 解释 它 第一个 角度 我们 可以 这样 看 这个 物体 它 有 一个 运动 速度 凭借 惯性 它 应该 做 匀速直线 运动 走 到 这个 位置 但是 它 同时 还 受到 了 地球 的 引力 是 指向 地心 的 对 吧 所以 它会 往回 掉 按说 它 应该 落地 但是 地面 是 弯曲 的 所以 它 往回 掉 一点 之后 正好 保持 着 它 跟 到 地面 的 高度 是 一样 的 对 吧 它 好像 没落 一样 原因 就是 因为 地球 也 往 下 弯 了 好 继续 它 又 往前 做 了 一个 匀速直线 运动 然后 又 受到 了 地球 的 万有引力 它 又 往 回落 了 结果 它 掉 的 这个 程度 跟 地球 弯 的 一样 它 又 好像 高度 没 变 一样 继续 往前 匀速直线 运动 继续 受到 地球 引力 影响 而 落地 一次 一次 的 这样 折腾 你 就 会 发现 这个 物体 到 地面 的 高度 始终 是 不变 的 所以 它 就 会 环绕 地球 运动 而 不 落地 本质 上 来讲 我们 可以 认为 这 是因为 地球表面 是 弯 的 所以 它 总是 落 不到 地面 上 这是 第一种 解释 当然 还有 一种 解释 比较简单 一点 就 是从 力 的 角度 去 解释 学过 高中 的 同学 都 知道 物体 在 地面 附近 受到 了 一个 万有引力 的 作用 我们 通过 这个 引力 来 充当 向心力 就 可以 计算 出 第一 宇宙速度 的 大小 了 引力 大小 是 GMm/R² 咱们 看 这里 边 这个 M 是 地球 的 质量 地球 的 质量 m 是 这个 物体 的 质量 万有引力 与 它们 质量 的 积 成正比 这个 R 是 地球 的 半径 为什么 除以 R² 呢 因为 引力 与 距离 平方 成反比 而 这个 物体 到 地心 的 距离 就是 地球 半径 对 吧 这个 G 是 万有引力 常数 是 个 常数 这个 万有引力 充当 了 什么 呢 充当 了 这个 物体 做 匀速圆周 运动 时 的 向心力 所以 它 等于 mv₁²/R 这 就是 向心力 的 表达式 通过 这个 表达式 我们 就 可以 计算 出 第一 宇宙速度 大小 了 第一 宇宙速度 大小 是 什么 呢 是 √(GM/R) 如果 我们 把 这些 数据 都代 进去 的话 你 就 会算 出来 第一 宇宙速度 大小 大概 是 7.9 千米 每秒 7.9 千米 每秒 是 多少倍 声速 呢 声速 是 330 米 每秒 左右 所以 7.9 千米 每秒 大概 相当于 20 多倍 声速 现在 世界 上 跑 得 最快 的 飞机 也 大概 只有 七八倍 声速 所以 没有 任何 一个 航天器 能够 达到 这个 速度 因为 地球表面 有 大气层 你 达到 这么 高 的 一个 速度 之后 大气层 跟 你 剧烈 摩擦阻力 是 非常 大 的 对 不 对 这 就 不 符合 我们 说 的 这个 假设 就是 没有 任何 大气 的 影响 这个 物体 就 可以 环绕 地球 运动 了 没有 办法 符合 这个 假设 所以 没有 任何 一个 航天器 能够 达到 这个 速度 说 那 为什么 我们 还 能 飞到 天上 去 呢 那 是因为 我们 假设 的 是 这个 没有 动力 的 炮弹 但是 比如说 一个 飞机 它 是 有 上升 力 的 有 机翼 有 上升 力 它 有 动力 对 吧 一个 火箭 它 往 下 喷气 靠 反作用力 上升 所以 这些 飞机 也好 火箭 也好 它 本身 是 存在 动力 并 不是 凭借 惯性 飞行 的 所以 它们 想 飞出 地球 并不一定 非得 要 达到 第一 宇宙 的 速度 事实上 这个 火箭 它 再慢 也 可以 它 靠着 反作用力 一步 一步 它 就 可以 脱离 地球 了 咱们 说 的 这个 第一 宇宙 的 速度 呢 是 指 你 发射 的 炮弹 是 吧 咱们 说 的 不是 这个 火箭 当然 了 这个 第一 宇宙 的 速度 7.9 千米 每秒 还 可以 稍微 修正 一下 比如说 我们 知道 地球 是 在 自转 的 这是 地球 是 吧 它 绕 这个 轴 在 旋转 所以 在 赤道 附近 地球 本身 有 一个 自转 速度 地球 的 自转 速度 大约 是 460 米 每秒 左右 地球 有 这么 一个 自转 速度 那 如果 我 要是 利用 这个 自转 速度 我 在 它 基础 之上 我 把 这个 第一 宇宙速度 发出 去 那么 我 再 发 的 时候 这个 第一 宇宙速度 就 可以 稍微 小 一点 了 你 借助 了 460 米 每秒 所以 我用 7.9 千米 每秒 减 460 这个 时候 我 只要 用 大概 是 7.4 千米 每秒 的 速度 就 可以 达到 环绕 的 这个 效果 了 是 吧 所以 靠近 赤道 的 地方 可以 借力 因此 我们 在 这个 海南 文昌 建了 一个 卫星 发射 基地 一方面 来讲 是因为 周围 是 大海 所以 不 容易 砸 到 人 对 吧 掉下来 的 那些 那个 东西 不 容易 砸 到 人 第二 就是 因为 它 在 赤道 附近 它 比较 容易 借助 地球 自转 的 作用 节省 燃料 第一 宇宙速度 我们 就 说完 了 以 第一 宇宙速度 发射 的 一个 炮弹 环绕 地球 运动 这 叫 环绕速度 那么 下面 我们 就 来讲 第二 宇宙速度 第二 宇宙速度 叫 什么 速度 叫 脱离 速度 脱离 谁 啊 脱离 地球 这回 我 可 就 不再 怎么样 了 不再 环绕 地球 了 我要 脱离 地球 了 说 第二 宇宙速度 是 什么 意思 假如 这是 地球 还是 那句话 你 以 第一 宇宙速度 发射 一枚 炮弹 这枚 炮弹 就 可以 环绕 地球 运动 了 如果 你 这个 速度 要是 比 第一 宇宙速度 大会 怎么样 呢 你 要 比 第一 宇宙速度 大 一点点 的话 它 还是 会绕 着 地球 转 只不过 转 的 时候 它 转 出个 椭圆 来 以 这个 出发点 为 近地点 然后 另外 一边 稍微 远 一点 它 转 出个 椭圆 来 这 就是 这个 速度 如果 是 超过 了 第一 宇宙速度 的话 它 的 结果 如果 你 速度 再大 它 绕 的 这个 椭圆 就 更 大 但是 速度 大到 一定 程度 它 就 不会 再 走 椭圆 绕 着 地球 走 了 而是 会 直接 以 一个 抛物线 的 轨迹 走 到 无穷 远处 这个 速度 就 叫做 第二 宇宙速度 是 吧 所以 如果 物体 速度 是 第一 宇宙速度 环绕 地球 如果 是 第二 宇宙速度 呈 抛物线 跑 到 无穷 远处 如果 在 第一第二 宇宙速度 之间 的话 你 就 会 做 一个 椭圆 轨道 的 运动 是 吧 椭圆 轨道 运动 就是 这个 样子 好 那 我们 把 这个 第二 宇宙速度 概念 写 一下 就是 在 地面 上以 什么 呀 第二 宇宙速度 发射 的 一个 炮弹 石头 也 行 反正 你 不能 有 动力 会 怎么样 呢 会 脱离 地球 的 引力 脱离 地球 的 引力 然后 呢 脱离 地球 的 引力 但 它 脱离 不了 太阳 的 引力 所以 它会 成为 什么 呢 太阳系 的 行星 成为 太阳系 的 行星 这个 就 叫 第二 宇宙速度 第二 宇宙速度 还有 一点 跟 第一 宇宙速度 不 一样 就是 第一 宇宙速度 它 必须 是 水平 发射 的 但是 第二 宇宙速度 其实 向 什么 方向 发射 都 可以 只要 你 速度 大小 够 就 可以 了 那么 具体来讲 这个 第二 宇宙速度 的 大小 该 怎么 计算 呢 咱们 看 要 想 计算 第二 宇宙速度 大小 的话 我们 得 采用 能量 的 方法 来 进行 计算 不像 第一 宇宙速度 我们 只要 力 就 够 了 你 如果 要是 以 第二 宇宙速度 发射 的 一个 物体 那么 你 在 原来 出发 的 时候 你 具有 一个 动能 还 具有 一个 引力 的 势能 这个 动能 是 多 大 呢 动能 叫做 (1/2)mv₂² 这 就是 动能 的 表达式 (1/2)mv² 加上 一个 引力 势能 引力 势能 大小 是 -GMm/R 大家 也 不要 管 这 公式 是 为啥 了 反正 结论 就是 这样 结论 就是 两个 物体 之间 的 引力 势能 与 它们 之间 质量 积 成正比 与 距离 成反比 然后 还得加 一个 负号 引力 势能 它 是 负 的 这里 边 的 这个 M 就是 地球 而 这个 m 就是 物体 好 这 就是 动能 和 势能 也 就是 总 能量 然后 它 就 跑 到 无穷远 了 到 了 无穷远 的 时候 你 最起码 你 速度 得 是 0 速率 不 可能 是 负 的 所以 最起码 到 无穷远 之后 你 刚好 速度 就 变成 了 0 速度 变成 0 之后 你 还有 引力 势能 引力 势能 按照 这个 表达式 来看 当 R 趋向于 无穷的 时候 引力 势能 也 是 0 所以 当 你 到 无穷远 的 时候 你 的 能量 是 0+0 然后 因为 这个 过程 它 是 机械能 守恒 的 所以 原来 的 能量 应该 等于 到 无穷远 时 的 动能 0 加 到 无穷远 时 的 势能 也 是 0 按照 这个 表达式 我们 就 可以 算 出 第二 宇宙速度 的 大小 了 第二 宇宙速度 大小 是 多少 呢 是 √(2GM/R) 把 数据 代 进去 结果 是 11.2km/s 这个 数是 第一 宇宙速度 的 √2 倍 看 出来 了 吧 是 第一 宇宙速度 的 √2 倍 也就是说 你 如果 有 了 这个 速度 的话 你 就 可以 环绕 如果 你 有 了 这个 速度 的话 你 就 可以 脱离 这 实际上 是 一个 普遍 成立 的 一个 结论 同样 道理 如果 你 要是 在 赤道 上 跑 的话 你 顺着 这个 赤道 转 的 方向 你 还 可以 减去 460m/s 这样 11.2 就 变成 了 多少 变成 了 10.8 了 是 吧 还是 10.7 变成 这个 数 了 好 了 第二 宇宙速度 咱们 也 知道 了 就是 以 这个 速度 发射 的 一个 苹果 可以 脱离 地球 成为 太阳系 的 一个 行星 那 下面 我们 就 来 讨论 一个 最 麻烦 的 第三 宇宙速度 在 这个 高中 的 教材 中 第三 宇宙速度 一般来讲 是 只 给 一个 数 而 不 告诉 你 它 是 怎么 算 的 那么 我们 从 第一 宇宙速度 和 第二 宇宙速度 的 含义 也 能 知道 了 第三 宇宙速度 该 脱离 谁 了 是不是 该 脱离 太阳 了 它会 脱离 太阳系 脱离 太阳 的 引力 束缚 那 成为 什么 呢 成为 银河系 的 行星 这 就是 第三 宇宙速度 所以 我们 准确 来说 一下 就是 我们 如果 以 第三 宇宙速度 v₃ 我们 发射 一枚 炮弹 它会 怎么样 呢 它会 脱离 太阳系 脱离 太阳系 然后 成为 银河系 的 一员 成为 银河系 的 一员 了 好 那 下面 的 问题 就是 这个 第三 宇宙速度 到底 该 怎么 去 进行 推导 我们 来看 一下 这个 具体 的 推导 过程 其实 推导 过程 也 并 不 复杂 只要 你 具有 了 高中 的 这个 水平 基本上 都 是 能看懂 的 咱们 来看 我们 假设 这是 太阳 这是 太阳 然后 太阳 旁边 就 有 个 地球 对 吧 这有 个 地球 地球 是 绕 着 太阳 在 运动 的 那 我 问 你 能 不能 告诉 我 地球 绕 太阳 运动 的 时候 地球 的 速度 是 多 大 这个 并 不难 地球 环绕 太阳 运动 地球 跟 太阳 之间 的 距离 叫 r_ 日地 那么 环绕速度 是 多大来 着 我们 刚才 刚算 完 吧 是不是 这个 对 不 对 是 这个 所以 我们 首先 以 太阳 为 参考系 以 太阳 为 参 以 太阳 为 参照物 这个 时候 我们 就 知道 地球 的 速度 地球 的 速度 叫 vₑ 它 应该 是 √(GM_ 太 /r_ 日地 ) 地球 围绕 太阳 转 就 好像 炮弹 围绕 地球 转 一样 它 的 环绕速度 表达式 就是 这个 你 去 计算 它 大约 是 30 千米 每秒 是 吧 地球 带 着 我们 一秒钟 大概 是 环绕 太阳 走 30 千米 那么 如果 你 想 让 这个 物体 能够 离开 太阳系 你 需要 多大 速度 脱离 太阳系 你 需要 多大 速度 这个 物体 如果 想 脱离 太阳系 的话 它 的 速度 必须 得 达到 √(2GM_ 太 /r_ 日地 ) 它 为什么 要 达到 这个 数 呢 因为 这 叫 脱离 太阳系 你 得 达到 第二 宇宙速度 脱离 速度 所以 这个 数 其实 是 √2 倍 的 太阳 环绕速度 那 我们 想 这个 物体 要 想 离开 太阳系 它 的 速度 必须 达到 √2 倍 的 地球 速度 所以 它 相对 于 地球 是不是 就 有 一个 速度 的 增加 对 不 对 所以 我们 看 这个 物体 对 地球 就 相对 于 地球 来讲 它 有 一个 速度 的 增加 这个 增加 就是 (√2-1)vₑ 就是 这个 物体 必须 比 地球 快 (√2-1)vₑ 它 才 能够 脱离 太阳系 而 不 像 地球 一样 环绕 太阳系 对 吧 好 这 一切都是 我们 以 太阳 为 参照 来 研究 的 下面 我们 再来 以 地球 为 参 研究 这个 问题 我们 看 这 是 地球 这是 地球 这个 物体 我们 以 第三 宇宙速度 发射 出去 了 发射 完 了 之后 这个 物体 就 离开 地球 跑 到 无穷远 了 但 大家 注意 当 你 离开 地球 跑 到 无穷远 时 你 还 没有 离开 太阳 你 离开 地球 了 之后 相对 于 地球 的 参照 你 到底 还有 多大 速度 刚算 完 (√2-1)vₑ 对 不 对 所以 当 你 到 无穷远 的 时候 你 的 速度 是 变成 了 (√2-1)vₑ 于是 我们 再次 利用 能量 的 守恒 最 开始 的 能量 (1/2)mv₃² 势能 -GM_ 地 m/R_ 地 等于 当 你 到 无穷远 的 时候 你 的 动能 (1/2)mΔv² 加上 势能 这回 等于 势能 是 0 了 对 吧 所以 最后 的 结果 是 多少 呢 是 v₃=16.7 千米 每秒 好 这 就是 第三 宇宙速度 的 计算方法 第三 宇宙速度 是 16.7 千米 每秒 达到 这个 速度 发射 了 一枚 炮弹 它会 先 脱离 地球 达到 无穷 远处 此时 相对 于 地球 的 速度 是 √2-1 倍 的 地球 速度 然后 再次 脱离 太阳 引力 最后 成为 银河系 的 行星 大家 听 明白 了 吗 但 事实上 我们 不 可能 用 这种 方法 去 发射 一枚 炮弹 让 这枚 炮弹 跑 到 无穷 远处 因为 这个 速度 对 我们 大气层 中 的 物体 来讲 太快 了 我们 一定 是 让 这个 物体 缓慢 加速 一点一点 的 跑 出 大气层 然后 才 以 一个 比较 高 的 速度 去 脱离 太阳系 的 对 吧 好 了 当然 按照 这个 方法 我们 还 可以 计算 出 第四 宇宙速度 就是 脱离 银河系 的 速度 因为 银河系 的 质量 科学家 们 现在 还 不是 很 清楚 所以 大家 估计 第四 宇宙速度 大概 在 500 千米 每秒 这个 量级 就 非常 非常 快 了 是 吧 所以 想 脱离 银河系 还 不是 很 容易 今天 给 大家 介绍 了 几种 宇宙速度 的 含义 但是 至于 说 我们 的 探测器 天问 一号 到底 是 怎么样 从 地球 跑 到 火星 上去 的 这个 问题 我们 希望 留到 下 一节课 再 给 大家 做 介绍 一定 要 记得 关注 大家 如果 喜欢 我 的 视频 可以 在 YouTube 账号 李永乐 老师 里 订阅 我 点击 小 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息