井底 之 蛙 如何 看到 广阔 天空 ？猫眼 （门镜 ）啥 原理 ？

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师

最近 有 个 小朋友 跟 我 说

他 刚 学 了 一篇 课文 叫 《 坐井观天 》

有 一只 青蛙 在 井底 看到 天空 就 只有 井口 那么 大

他们 老师 让 他 写 一篇 读后感

他 就 想 问 我 说

如何 帮助 这个 井底之蛙 看到 更 广阔 的 世界 呢

今天 我们 就 给 这 只 青蛙 提 两个 建议

那 第一个 建议 就是 注水

我们 只 需要 在 这个 井 里边 注水 就 可以 了

注水 为什么 就 行了 呢

是 因为 光 会 发生 折射 光 的 折射

什么 是 光 的 折射 咱们 都 知道

就是说 假如 有 空气 还有 水

光线 从 空气 中 斜射 入 水中

那么 就 会 发生 折射

在 空气 中 这个 角 我们 叫 它 θ1 吧

在 水中 这个 角 叫 θ2

分别 叫 入射角 和 折射角

然后 水中 的 这个 角 比较 小

空气 中 的 这个 角 比较 大

这 就是 所谓 的 折射 现象

为什么 会 发生 折射 现象

折射 现象 满足 什么 规律 呢

这件 事 其实 人们 研究 了 2000 多年

在 古希腊 的 时代 就 有 一个 伟大 的 学者

名字 叫 托勒密

托勒密 就是 提出 地心说 的 那个 科学家

托勒密 就 研究 了 这个 问题

他 说 θ1如果 增大 θ2也 跟着 增大

θ1 和 θ2 之 比 是 一个 常数

这 就是 托勒密 的 观点

他 说 θ1 与 θ2 是 成正比 的

二者 之 比 是 一个 常数

当然 事实上 这件 事

只有 在 θ1 和 θ2 都 比较 小 的 时候

光线 接近 于 竖直 的 时候 才 是 成立 的

如果 这 两个 角 比较 大 的话 其实 就 不 成立 了

但是 托勒密 那个 时代 他 这个 实验 条件 不太好

所以 他 得出 这么 一个 结论

后来 1000 多 年 之后

陆续 有人 发现 他 这个 结论 好像 是 不 对 的

把 这个 规律 完整 的 写 出来 有 哪个 人 呢

有 一个 荷兰 的

荷兰 的 物理学家 名字 叫 斯涅耳

这个 斯涅耳 他 最早 发现 了 折射 的时候

到底 满足 什么 规律

除了 斯涅耳 以外 还有 一个 法国 的 学者

在 十几年 之后 也 独立 地 写出 了 这个 规律

这个 法国 学者 名字 叫 笛卡尔

当然 笛卡尔 的 名字 更 响亮 一点

所以 这个 规律 我们 一般 叫做 斯涅耳 定律

但 在 法国 就 叫 笛卡尔 定律

这个 定律 是 什么 内容 呢

这个 定律 内容 就是 θ1 和 θ2 并 不是 成正比 的

而是 二者 的 sin 之 比 是 一个 常数

sinθ1 比 sinθ2 是 一个 常数 n

这个 n 我们 就 给 它 起个 名字 叫 折射率

我们 这里 解释 一下 什么 叫 sinθ

就是 我们 画 一个 直角三角形

这个 直角三角形 有 一个 角 叫 θ 角

对边 叫 x 邻边 叫 y 斜边 叫 r

那 所谓 的 sinθ 就是 什么 意思 啊

sinθ 就是 对边 比 斜边 这 就 叫 sinθ

这 两个 sinθ 之 比 是 折射率

折射率 跟 材料 有关

水 的 折射率 大概 是 1.33 左右

所以 θ1 就 会 比 θ2 大

好 那么 人们 知道 了 这个 规律 之后

人们 就 想 说 这 规律 原因 是 什么 为什么 呢

我们 来 做 一下 解释

对于 折射 定律 的 解释

其实 历史 上 也 是 有 很多种 不同 的 解释 的

比如说 这个 法国 的 学者 笛卡尔

他 对于 这个 规律 的 解释 是 什么 呢

他 说 是 这么 回事

你 看 这 是 空气 和 水 的 界面

然后 这 光线 不 就 从 空气 这 射过来 了 吗

射 过来 了

射过来 的 时候 吧

它 的 速度 可以 分解 成 一个 水平 速度 vx

和 一个 竖直 速度 vy

然后 它们 两个 的 合速度 就是 v1

v1 就是 入射 的 时候 在 空气 中 的 速度

然后 到 了 水 里边 吧 它 水平 速度 不变

为什么 不变 不 知道 反正 它 就 不变

竖直 速度 变快 了 这 叫 vy' 变快 了

所以 新 的 合速度 就 变大 了 而且 往 下边 偏

这 就是 水中 的 速度 v2

这 就是 笛卡尔 的 解释

说 为什么 往下 偏 呢

因为 水 里边 速度 快 而且 是 纵向 速度 快

这样 一来 它 就 往 下 偏 了

我们 还 可以 计算 一下

如果 这个 角度 是 θ1 这个 角度 是 θ2 的话

我们 来看 sinθ1 是 什么

sinθ1 其实 就 等于 这个 边 比 斜边 吧

就是 vx/v1 对 不 对

sinθ2 是 什么 呢

sinθ2 它 就 等于 这个 vx 比 斜边

vx/v2这 两 vx 一样

所以 sinθ1 / sinθ2

把 vx 约 掉 等于 v2 / v1

v2/v1 是 什么

是 水中 的 速度 与 空气中 速度 之 比 对 不 对

所以 它 的 意思 是 说 这个 数 是 n

那 就是 水中 速度 比 空气 中 速度 快 n 倍

这个 就是 笛卡尔 的 解释

那么 如果 水中 的 光速

真的 比 空气 中 的 光速 快 快 n 倍 的话

那么 就 说明 笛卡尔 的 解释 是 对 的 是 吧

除了 笛卡尔 以外

还有 一个 荷兰 的 物理学家 叫 惠更斯

惠更斯 他 是 怎么 解释 的 呢

惠更斯 他 是 提出 了 波动 理论

他 认为 光 是 一种 波

那么 这个 波 在 传播 到 界面 的 时候

不是 一根 光线 而是 一束 光线

大家 注意 看 是 一束 光线

这 一束 光线 有 一根 光 传播 到 界面 上 A1 了

但 另外 一边 还 没有 传到 呢

它 只 传到 了 这个 位置 叫 A2 传到 这个 位置

而 当 右侧 这个 光 传播 到 界面 B2 的 时候

左边 的 这个 光 其实 已经 在 水 里边 传 了 一段 了

只不过 在 水 里边 的 时候 它 的 这个 速度 慢

所以 当 A2 传到 B2 这 段 时间 里

水中 的 光线 走 不了 这么 远

它 的 运动 范围 只有 这么 一个 小 半圆

它 没有 这个 长 对 吧

当然 中间 还 会 有 一些 光线

这些 光线 进入 到 界面 比 A1 晚 比 A2 早

所以 形成 了 大小 不同 的 半圆

把 这些 半圆 的 包络 面 结合 起来

就是 新 的 波面

而 波 就是 往 这边 传 的 要 跟 这个 波面 垂直

有点 像 什么 呢

就是 一辆 汽车 它 开进 了 一个

斜 着 开进 了 一个 沼泽地

它 有 一个 轮子 先 陷 进去 了

所以 这个 轮子 跑 不动 了

整个 这 汽车 不 就 往 下边 歪 了 吗

这 就是 惠更斯 的 解释

我们 依然 可以 通过 计算 来 得到 一些 结论

咱们 看 这个 角度 叫 入射角 θ1

θ1加 这儿 是 90 这个 角 加 这个 角 是 90

所以 θ1 可以 挪 这儿 来 对 吧

θ2 是 这个 角 折射角

那么 同样 道理 我 可以 把 它 挪 到 这儿 来

这个 角 是 θ2 这个 是 A1 这个 是 A2

同时 的

这个 是 B2 这个 点 是 B1 也 是 同时 的

左侧 光 到 B1 右侧 光 就 到 B2

我们 再 来 看 那么 sinθ1 是 什么

sinθ1 就 等于 对边 比 斜边 对 吧

等于 A2B2 / A1B2

那 sinθ2 是 什么

sinθ2 是 这个 边 比 这个 边 是 吧

A1B1/A1B2

那么 我们 再 把 这 两个 数 做 比

sinθ1 / sinθ2 是 什么

sinθ1 / sinθ2 那 就是 把 这个 分母 都 约掉

等于 A2B2 / A1B1

A2B2 是 同样 时间 内在 空气 中 走 的 路程

A1B1 是 同样 时间 的 在 水中 走 的 路程

所以 这 两个 路程 之 比 其实 就是 速度 之 比

左边 的 这个 数 它 不 就 等于 n 吗

所以 最后 结论 就是 n 等于 v1 / v2

它 的 意思 是 在 空气 中 的 速度 是 水中 速度 的 n 倍

空气 中 速度 快

所以 他俩 正好 是 矛盾 的 对 吧

笛卡尔 认为 在 水中 速度 是 空气 中的 n 倍

惠更斯 认为 空气 中的 速度 是 水中 的 n 倍

所以 他俩 正好 是 反 的

那么 到底 水中 的 光速 比 空气 中 快 还是 慢 呢

最 开始 人们 测 不 出 来 光速 所以 一直 都 不知道

后来 托马斯 ·杨 搞出 个 双缝 干涉 实验

通过 双缝 干涉 实验 可以 测量 波长

而 通过 波长 我们 就 可以 知道 光速 了

结果 这个 实验 支持 了 惠更斯 的 观点

就是 水中 光速 慢

再 后来 傅科 等 一批 科学家 干脆 就 把 光速 测 出来

又 非常 完美 的 证明 了 惠更斯 这种 观点 是 正确 的

但 惠更斯 也 并 不是 非常 完美 的

他 认为 光 是 一种 机械波

但 事实上 我们 知道 光是 电磁波

总而言之 我们 现在 已经 知道 了

折射率 的 含义 到底 是 什么 其实 就是 光速 之 比

是 空气 中 光速 和 介质 中 光速 之 比

这个 结论 是 正确 的

而 笛卡尔 这种 观点 是 错误 的

好 那 我们 说了 半天 都 是在 说 折射

咱们 现在 不是 要 给 这个 青蛙 支招 吗

那 青蛙 为什么 注水 就行了 呢

咱们 就 来 说 一说 注水 的 作用

井底之蛙 注水 有 什么 用

我们 来看 说 这里 有 一个 井

这个 井底 下 有 一只 青蛙

这 只 青蛙 它 不想 上来

但 它 还是 想 看 一看 外面 的 世界 到底 有 多大 是 吧

那 怎么办

我们 看 假如 说 这 只 青蛙 不 注水 的话

它 能够 看到 多大 范围 的 天空 呢

那么 空气 中 的 光 传到 这个 青蛙 擦着 边 传过来

擦 着 边 传过来 也 只能 传到 这儿

再 往外 的 天空 它 就 看不见 了

所以 它 认为 天空 就是 这么 一个 尖角 的 范围 内

那么 假如 我们 假设 这个 井口 的 半径 是 R

我们 不计 青蛙 的 身高 井 的 深度 设 它 为 h

这样 一来 我们 就 可以 知道

青蛙 能够 看到 的 圆锥 的 半角

这个 半角 我们 管它 叫 θ2

这个 θ2 是 多 大 呢 sin θ2

sinθ2=R/√(R²+h²) 勾股定理

这是 第一个 结论

但是 如果 我们 把 这个 水 注 进去

它 就 会 发生 折射 所以 光线 会 这样 过来

然后 在 这 折 一下 进 到 青蛙 的 眼睛 里

这边 也 是 光线 这样 过来 进 到 青蛙 的 眼睛 里

咱们 来 观察 在 折射 的 时候 空气 中 这个 角 θ1

这个 θ1 有 多大 我们 刚才 已经 说 了

θ1 的 sin 值 是 θ2 sin 值 的 n 倍

所以 我们 只要 把 这个 数 乘以 n 就行

结论 是 sinθ1 = nR / √ ( R² + h² )

你 看 这个 角 是不是 比 刚才 那个 角 要 大 了 对 不 对

我们 来 具体 说 一下 数字

假如 我们 这个 青蛙 它 在 一个 半径 是 0.5 米

深度 是 5 米 的 井 里边 水 的 折射率 是 1.33

于是 你 就 可以 算 出来 原来 这 只 青蛙

它 能够 看到 的 这个 顶角 θ2 是 5.7 度

最 开始 它 认为 天空 集中 在 5.7 度 的 范围 内

但是 如果 说 你 注 了 水 之后

更大 的 范围 天空 可以 进来 它 就 变成 了 θ1

这个 θ1 是 7.6 度

你 看 青蛙 从 一个 5.7 度 的 天空

看到 了 7.6 度 的 天空 它 是不是 大 了 一点

大 的 不 多 是 吧

主要 是 因为 水 的 折射率 1.33 其实 还 不太 够

那 你 说 我 搞 一个 10 倍

这个 折射率 是 10 的 这样 一个 液体 行 不行

关键 是 这种 液体 它 不 一定 存在 是不是

所以 这种 做法 它 的 作用 是 有限 的

那 还有 什么 别的 办法

可以 让 这个 青蛙 看到 整个 天空 吗

还有 就是 我们 还有 一种 办法

就是 采用 透镜 我们 可以 给 这个 青蛙 安 透镜

给 青蛙 安 了 透镜 之后

它 就 能 看到 更大 范围 的 天空 甚至 是 整个 天空

为什么 这么 说 呢

我们 在 初中 阶段 其实 都 学过 透镜 成像 规律

我们 来 简单 复习 一下

假如 这里 有 一个 凹透镜

凹透镜 两侧 各有 一个 焦点

焦点 的 意思 是 说

平行 于 主光轴 的 光线 经过 凹透镜 发散

但是 发散 之后 的 反向 延长线 会 过 焦点

同时 凹透镜 还有 一个 特点

过光心 的 光线 传播 方向 不变

那么 假如 我们 有 一个 物体

就 在 这个 凹透镜 旁边 有 一个 物体

我 问 这个 物体 它 会 成像 在 什么 位置

怎么 研究 呢

物体 发出 了 一个 平行 光线 平行 于 主光轴 的

那么 经过 凹透镜 折射 之后

它 会 反向 延长线 过 焦点

过光心 的 光线 传播 方向 不 发生 变化

所以 当 我们 用 右侧 眼睛 一看 的话

你 就 会 以为 这个 物体 从 哪 发出 来 的 光

从 这儿 发出 来 的 光

这 就是 它 的 像

所以 凹透镜 会 成 一个 什么 像

成 一个 正立 缩小 的 虚像

因为 你 是 反向 延长线 形成 的

正立 缩小 的 虚像

那么 凸透镜 成像 呢

凸透镜 成像 倒 是 我们 教材 里 的 一个 重点

凸透镜 成像 有 很 多种 类型

那么 我们 说 其中 的 一种 类型

凸透镜 有 两个 焦点

平行 光 入射 之后

凸透镜 会聚 会 会聚 于 这个 焦点 上

如果 过 光心 的 光线 传播 方向 也 不会 发生 变化

我们 把 这个 物体 放 在 凸透镜 的 一倍 焦距 以内

这个 是 物

那么 它 发出 的 光线 平行 光线 会 过 焦点

过光心 的 光线 传播 方向 不变

所以 我们 眼睛 在 右侧 去 观察 的 时候

你 就 会 发现

这个 光线 它 好像 是 在 这个 位置 发出 来 的

这个 就是 它 的 像

所以 我们 就 说

如果 物体 位于 凸透镜 的 一倍 焦距 以内 的话

那么 它 成 的 一个 是 正立 放大 的 虚像

好 凹透镜 成 正立 缩小 的 虚像

凸透镜 成 正立 放大 虚像

把 它 组合 起来

我们 就 可以 让 青蛙 看到 整个 天空 了

咱们 看 假如 这 是 一个 井

这是 一个 井

这个 青蛙 想 看到 天空 中 一个 很大 的 物体

这个 物体 非常 大

如果 青蛙 直接 去 看 的话

它 是 看不见 的 它 是 看 不 完整 的

它 只能 看到 中间 的 这 一部分 对 吧

两边 的 看不见

那么 我们 安装 这个 透镜 系统 它 就 能 看见 了

为什么 呢 咱们 看

我们 首先 在 这个 口 这个 位置 我 安 一个 凹透镜

凹透镜 会 成 什么 像 啊

凹透镜 会 成 一个 正立 缩小 的 虚像 对 不 对

所以 这个 物体 它 发出 的 光 经过 凹透镜 之后

它 的 光线 经过 凹透镜 成像 之后

就 会 在 比较 近 的 位置 成 一个 正立 缩小 的 虚像

这个 就 叫 A1

这 就是 第一次 成像 正立 缩小 的 虚像

成 完 了 之后

我 再 让 青蛙 的 这个 眼睛 这 我 再 放 一个 凸透镜

再 放 一个 放 凸透镜

理论 上 来讲 不 放 凸透镜

青蛙 直接 看 可能 也 能 看得见

但是 我 为什么 要 放 一个 凸透镜

一会 咱们 再 说

我 再 放 一个 凸透镜

放完 了 凸透镜 之后 这个 凸透镜 去 看 这个 A1

A1经过 凸透镜 再 去 成 一次 像

就会成 一个 正立 放大 的 虚像

我 让 这个 A1 处于 凸透镜 的 焦距 以内

就 成 一个 正立 放大 虚像 A2

这样一来 这个 青蛙 就 能够 看到 整个 的 这个 物体

我 只要 非常 好 地 调整 这 两个 物体 的 焦距

与 它们 之间 的 距离

就 可以 让 青蛙 看到 整个 的 天空 了

那么 我们 为什么 还要 放 一个 凸透镜 呢

我 直接 用 一个 凹透镜 来看 不行 吗

这 有 好处

好处 就是 现在 是 青蛙 要 看 外面 的 世界

但是 它 不 希望 外面 的 世界 看到 它 自己 对 不 对

如果 你 只 加 一个 凹透镜 的话

那 光路 可逆

你 必然 两边 都 能 看得见

但是 我 加 了 一 凸 一 凹 之后 就 不是 这个 样子 了

咱们 看 如果 外面 的 物体 发出 的 光线

它 会 先 经过 凹透镜 再 经过 凸透镜

青蛙 看得见

但 反过来 青蛙 发出 的 光线 呢

是 先 经过 凸透镜 再 经过 凹透镜

外面 的 世界 鸟 就 不 一定 看得见 了

这 实际上 就是 谁 的 原理

其实 不 就是 猫眼 吗 对 不 对

或者 也 叫 门镜

就是说 我们 在 门 上面

安 了 这么 一个 很 短 的 一个 东西

这 东西 里边 有 一个 凹透镜 和 一个 凸透镜

然后 我们 在 屋子 里边 往 外边 看

看 得 非常 清楚

其实 就是 外边 的 物体 成 了 一个 正立 缩小 的 虚像

又 成 了 一次 正立 放大 的 虚像

我们 就 看见 了

但是 反过来 说

如果 屋子 里边 的 物体 经过 这个 系统 之后

外面 的 人 想 看 很 困难

原因 是 什么

原因 是因为 它 倒 过来 的 时候

是 先 经过 凸透镜 再 经过 凹透镜 的 是 吧

它 的 光路 是 不 一样 的

所以 成像 的 结构 也 就 不 一样 了

好 那么 通过 这种 办法

青蛙 就 可以 看到 整个 外面 的 世界 了

不过 这 两种 方法 其实 还有 它 的 缺陷

比如说 第一种 方法 吧 它 的 这个 范围 比较 小

第二种 方法 虽然 可以 扩大 到 很大 的 范围

但是 它 会 产生 畸变

什么 叫 畸变 呢

就是 两侧 的 这些 物体 会 叠到 一块 会 畸形

不 知道 大家 有没有 用过 那个 鱼眼 镜头

用 鱼眼 镜头 拍照 的话

你 可以 拍 到 很大 的 范围 大 广角 是 吧

但 问题 是 它 周围 的 那些 物体 都 会 叠 到 一块 了

所以 看起来 会 发生 形变

青蛙 可能 也 并 不能 真正 地 认识 世界

所以 最好 的 方法 还是 让 这个 青蛙 从 井 里边 上来

这样 一来 才 能够 更好 地 认清 天空

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