0.999…=1？数 到底 是 什么 ？WhatAREnumbers?

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 经常 有 小朋友 问 我 这样 一个 奇怪 的 问题

0.999… 到底 等 不 等于 1 呢

如果 我们 在 网络 上 搜索 这个 问题 的话

会 看到 许多 用 初等数学 的 方法 进行 了 证明

但是 这个 看似 简单 的 问题 其实 必须 使用 数学 公理化

和 实数 的 构造 才能 进行 严格 的 证明

今天 我们 就 通过 这个 例子

带 大家 了解 一下 数学 公理化 的 无限 魅力

为了 了解 数学 公理化

我们 首先 从 一个 大家 都 知道 的 概念 有理数 说起

什么 叫 有理数 呢

有理数 就是 表示 一个 数字 可以 写成 两个 整数 的 比

如果 P 等于 m / n 而且 m 和 n 都 是 整数

那 这样 一来 这个 P 就是 一个 什么 数 就是 一个 有理数

对 吧 就是 个 有理数

很显然 在 数轴 上 有 非常 多个 有理数

比如说 0 就是 有理数 对 吧

1 也 是 有理数 2 也 是 有理数 -1 也 是 有理数

所有 的 整数 点 都 是 有理数

但是 不是 整数 的 点 也 有 有理数

比如 0 和 1 之间 还有 什么

还有 正 中央 这个 点 1/21/2也 是 有理数

0 和 1/2 之间 的 正 中央 那个 点 叫 1/4

1/4 是不是 也 是 有理数

如果 我们 取 0 和 1/4 中间 那个 点 是 1/8

1/8 是不是 也 是 有理数 这 就 说明 是 什么

说明 在 0 和 1 之间 其实 有 无穷 多个 有理数

这是 我们 知道 的 第一个 结论

这个 结论 叫 有理数 的 稠密性

稠密性 的 意思 是 说 在 任意 两个 有理数 之间

任意 的 两个 有理数 之间 都 有 无穷 多个 有理数

这个 我们 就 称之为 有理数 的 稠密性

毕达哥拉斯 就 认为 说 数轴 上 的 所有 点 其实 都 是 有理数

有理数 是 稠密 的 而且 是 连续 的

但 事实上 并非 如此 对 吧

我们 很 容易 构造 出 一个 无理数 来 怎么 构造

我们 可以 以 0 到 1 之间 的 距离 为 边长 做 一个 正方形

这个 正方形 边长 就是 1

于是 它 的 斜边 是 多长 斜边 是 √2 对 吧

我们 利用 尺规 把 这个 √2 画 一个 圆 画 上去

那么 这个 点 数字 对应 就是 √2

√2它 就 不是 有理数 它 不能 表示 成 两个 整数 的 比 对 不对

所以 有理数 其实 并 不是 连续 的

这个 在 数学 上 我们 称之为 有理数 是 不 完备 的

有理数 是 不 完备 的

也就是说 虽然 有理数 是 无限 稠密 的

你 随便 给 我 找 两个 有理数 它们 中间 都 有 无限 多个 有理数

但是 这些 个 有理数 它 并 不是 连 着 的

它 中间 有 无理数 隔 着

并且 比如说 1 和 2 之间 它 不仅仅 有 √2 这么 一个 无理数

它 有 很多 个 无理数

举个 例子 √2 是 在 1 和 2 中间 的 无理数 吧

1+√2/2 这个 数 也 是 无理数 而且 它 也 在 1 和 2 之间 对吧

1+√2/2^2 这个 数 也 是 无理数

1+√2/2^3它 也 是 无理数

所以 在 1和 2之间 其实 有 无穷 多个 无理数

换句话说 任意 两个 有理数 之间 也 有 无穷 多个 无理数

所以 有理数 是 稠密 的 但是 它 并 不是 连续 的

它 在 数轴 上 是 以 一大堆 的 这样 的 点 的 形式 存在 的

它 无限 的 稠密 但是 它 却 不是 连续 的

我们 究竟 该 怎么样 去 定义 无理数 呢

这 实际上 是 一个 数学 难题

以至于 很多年 以来 很多 数学家 拒绝 承认 无理数 是 数

他们 认为 有理数 实数 没 问题 无理数 就 不是 数

除非 你 给 它 一个 定义

那么 这个 问题 直到 什么 时候 才 解决

实际上 是 到 19 世纪 末 20 世纪 初 的 时候

轰轰烈烈 的 数学 公理化 运动 开展 之后 它 才 真正 解决 了

从 第一次 数学 危机 发现 无理数 到 最后 无理数 被 解决 掉

一共 花 了 2000 多 年

那么 数学 公理化 到底 是 怎么回事 呢

数学 公理化 是 指 从 第一次 数学 危机 人们 讨论 √2

第二次 数学 危机 人们 讨论 无穷小 到底 是 什么

人们 就 觉得 数字 需要 基础

你 必须 告诉 我 数字 到底 是 什么

就像 欧几里得 当年 在 《几何原本》 里边 写

从 五条 公设 推出 其他 所有 结论 一样

那 数 到底 是 什么 对 吧

那么 为 这件 事 作出 贡献 有 很多 人

比如说 有 这个 柯西 有 这个 康托尔

还 有 我们 今天 所 要 讲 的 叫做 戴德金

我们 通过 戴德金 的 这种 方法 来 思考 一下 数学 的 公理化

戴德金 分割

戴德金 德国 数学家 他 是 高斯 的 学生

也 是 黎曼 和 狄利克雷 的 同事

那么 戴德金 这个 人 他 提出 了 一种 方法

说 我们 可以 通过 这样 的 办法 来 构造 一个 实数

我 就 告诉 你 实数 是 这个 样子 的

以后 你 就 承认 了 无理数 它 就是 数 了 说 怎么 弄

首先 我们 知道 在 一个 数轴 上

应该 有 无穷 多个 有理数 点 对 不 对

这些 都 是 有理数 点 有理数 我们 一般 是 把 它 写成 Q

戴德金 说 你 这样 你 把 这个 有理数 分成 两段

把 它 中间 一切 分成 两断

一个 集合 是 A 一个 集合 是 B

这个 集合 A 和 B 之间 有 什么 特点

首先 第一个 它 的 分割 方法 分割 成 A 与 B

对 吧 分割 成 A 与 B

并且 有个 特点 就是 A∩B 是 空集

A∩B 是 空集 是 什么 意思 呢

就是说 A 和 B 没有 重复 的 元素

你 把 有理数 的 点 分成 了 两个 部分

这 两个 部分 一个 是 A 一个 是 B 它们 没有 重复 的 元素

但是 A∪B 它 却 必须 是 有理数

也就是说 A 和 B 的 元素 加 起来 它 刚好 等于 有理数

相当于 中间 切 一刀

不仅如此 他 还有 一个 要求 第二个 要求

第二 要求 是 什么

就是 假如 有 一个 元素 a 它 是 属于 第一个 集合 的

有 一个 元素 b 它 是 属于 第二个 集合

显而易见 a 和 b 它 都 是 有理数

因为 A 和 B 是 在 有理数 集合 上 分割 出来 的

那么 则 一定 会 有 一个 结论 a

这 就 说明 其实 就是 a 集合 它 是 在 b 集合 的 左侧

好 如果 你 做 这样 的 一个 分割

我们 就 称之为 戴德金 分割

这个 分割 有 很 多种 方法 比如说 你 可以 在 0 这 切 一刀

0左边 的 是 一类 0右边 的 是 一类 对 吧

你 可以 在 2 这 切 一刀 你 还 可以 在 √2 这 切 一刀

所以 戴德金 分割 有 很 多种 方法

那么 这个 分割 的 结果 是 怎样 的

第二个 我们 来说 一下 分割 的 结果

戴德金 经过 讨论 说 这个 分割 结果 有 以下 的 这么 几种 可能

第一种 可能 是 什么 呢

第一种 可能 叫做 A 中 有 最大 B 中 无 最小

有人 说 这 什么 意思

什么 叫 A 中 有 最大 B 中 无 最小

我 举个 例子 比如说 我们 把 A 集合 写成 这个 样子

一个 数字 它 是 有理数

但是 这个 数字 它 小于 等于 2

这 就 表示 所有 小于 等于 2 的 有理数

大家 想象 一下

这个 时候 A 集合 中 最大 的 元素 是不是 就是 2 对 吧

这 叫 A 中 有 最大 那 B 呢

B我们 自然而然 要 把 它 写成 {x|x 属于 Q ,x>2} 对 吧 变成 这个 样子

那么 B 中 没有 最小 的 因为 B 中 的 最小 元素 是 大于 2

它 没有 一个 最小 的 元素

这种 情况 下 如果 我们 在 这个 图上 画 的话

大概 可以 画成 这个 样子

A这儿 有 一个 实心 的 点 表示 A中 有 一个 最大 的 元素

而 B没有 实心 的 点 B这 一端 是 没有 点 的

就 说明 B 最 左端 没有 元素 它 没有 最小

这 是 第一 种 可能 叫 A 中 有 最大 B 中 无 最小

我们 再 来 看 第二 种 可能

第二种 可能 叫

A中 无 最大 而 B中 有 最小

就 把 它 反过来 了

那 显而易见 我 把 这个 等号 挪 后面 就 行了 对吧

A 集合 是 小于 2 B 集合 是 大于 等于 2 就行了

在 图 上 去 画 A 中 无 最大 所以 A 这 一端 没有 点

而 B 中 有 最小 B 中 是 这个 样子

好 这 是 第二 种 可能

第三种 可能 是 A 中 无 最大 B 中 也 无 最小

又 出现 了 这样 的 一种 可能

说 这 是 什么 情况

举个 例子 比如 我 让 A 集合 写成 一个 数

这个 数 是 有理数

并且 这个 数字 它 小于 0 或 这个 数字 的 平方 小于 2

这是 A 集合

咱们 看 它 是 负数 就是 可以 的 它 负 的 有理数 是 可以 的

它 如果 是 正 的 有理数 的话 它 的 平方 要 小于 2

那 也就是说 其实 表示 的 是 A 小于 √2 对 吧

我们 再 来 看 B B我们 可以 把 它 写成 一个 集合

这个 集合 叫 {x|x 是 有理数 ,x>0 且 x^2>2 } 好 那 实际上 它 表示 的 就是 x 大于 √2

咱们 来 看 这 两个 集合

这个 集合 其实 就是 在 √2 那 切 了 一刀

而 A 中 有 没有 最大 元素 它 没有

为什么 因为 √2它 不是 有理数

A 和 B 都 是 有理数 的 一个 分割 对 吧

B中 有 没有 最小 元素 它 也 没有

因为 它 最小 的 元素 是 √2 但是 √2 它 不是 有理数

所以 这种 情况 下 我们 画图 就 两端 都 没有 点

可能 有 同学 说 还 有 第四种 情况

什么 第四种 情况

就是 A 中 有 最大 还有 B 中 有 最小

有没有 这种 可能 呢

A中 有 最大 表示 这个 A集合 它 有 一个 点

最大 的 元素 我们 可以 设 它 为 a

B 中有 最小 最小 元素 我们 可以 设 它 为 b

咱们 看 首先 a 和 b 能 不能 是 公共 元素 不能

因为 我们 刚才 说 了 A 交 B 是 空集 对 不 对

所以 首先 我们 知道 了 a 不 等于 b

既然 a 不 等于 b

根据 我们 刚才 所说 a 和 b 都 是 有理数

a 和 b 都 是 有理数 所以 (a+b)/2 怎么着 也 是 有理数

但是 (a+b)/2这个 数 它 既 不 在 A 中 也 不 在 B 中

这样 一来 就 跟 A∪B 是 有理数 发生 了 什么 发生 了 矛盾 对 吧

矛盾 说明 什么 矛盾 就 说明 第四种 情况 其实 是 不 存在 的

你 不 可能 分割 的 时候 分割 成 这种 情况

于是 只有 前 三种 情况

前 三种 情况 中 第一 和 第二 两种 情况

切 一刀 端点 会 出现 有理数 对 不对

而 第三种 情况 端点 没有 有理数 这 说明 什么

说明 这 一刀 把 正好 从 两个 有理数 中间 的 空隙 钻过去 了

这 就 说明 有理数 其实 中间 是 有 空隙 的

谁 去 填补 这个 空隙 呢

戴德金 说 我们 可以 定义 一种 数 叫 无理数

无理数 就是 有理数 的 什么 空隙

因此 它 通过 这种 办法 就 定义 了 无理数 了

戴德金 说 我 可以 通过 德金 分割 定义 全体 实数

我 擦 一下 黑板

那么 戴德金 就 说

我 通过 这种 分割 的 方法 就 可以 定义 实数 了

也 就是 有理数 的 全体 分割

有理数 的 全体 分割 就 构成 了 实数

我们 简单 解释 一下 就是说 我们 把 有理数 进行 戴德金 分割

有 可能 这个 分割 点 它 是 个 有理数 对 吧

也 有 可能 分割 点 不是 有理数

如果 分割 点 不是 有理数 我们 就 叫 它 无理数

现在 我 把 所有 的 分割点 都 给 我 加起来 就 构成 了 实数

每一个 实数 其实 对应 的 是 一个 戴德金 分割

那 我们 可以 想象 既然 有 理数 它 是 有 空隙 的

我们 切 一刀 下去 有 可能 会 切 不到 有理数

那 实数 有没有 空隙 它 是不是 连续 的 呢

戴德金 证明 了 这样 的 一个 定理

他 说 我们 可以 通过 推理 的 办法 得出 这样 一个 结论

如果 我们 对 实数 进行 分割 会 有 什么 结果

如果 我们 对 实数 进行 分割 的话

我们 这个 分割 点 就 只有 一 和 二 两种 情况

你 对 实数 进行 分割 要不然 左边 的 这个 集合 A 含有 一个 端点

这个 端点 是 个 实数

要不然 这个 集合 B 含有 一个 端点 端点 是 实数

不 可能 出现 第三种 情况

两端 这个 点 都 没有 最大值 和 最小值 这种 情况 这个 不存在

这 就 说明 什么

说明 你 对 实数 的 轴 上 切 一刀 一定 能够 切除 个 实数 来

而 不会 切出 一个 其它 的 新 的 数字 来

因此 实数 是 什么

实数 是 完备 的

实数 是 完备 的 其实 也 可以 叫 连续 的

但是 比较 好 的 说法 是 完备 的

于是 我们 也 就 知道 了 原来 这个 实数 是 一个 连 一个

把 这个 数轴 整个 填满 的 但是 有理数 并 不是 这个 样子 的

那 这个 过程 就 叫做 实数 的 公理化

其实 实数 公理化 有 很 多种 方法

除了 这个 戴德金 的 这种 方法 以外

康托尔 和 这个 柯西 也 自己 有 自己的 方法

但是 通过 数学 可以 证明 他们 之间 都 是 等价 的

现在 我们 终于 可以 解释 我们 最 开始 要 说 的 问题 了

就是 我们 要 证明 一件 事儿

0.999… 到底 等 不 等于 1 呢

我们 要 证明 这个 数 它 确实 是 等于 1 的

我们 怎么 证明 我们 刚才 说过

每 一个 戴德金 分割 对应 了 一个 实数

这 两个 数 都 是 实数

所以 它 一定 对应 了 有理数 的 戴德金 分割

我们 要 把 有理数 进行 分割 分割 有理数

把 有理数 可以 分割 成 什么

比如 分割 成 A 和 B 这 两个 集合

它 对应 的 是 第一个 数字 0.999…

我们 也 可以 把 它 进行 C 和 D 分割

对应 了 第二个 数字 就是 1

那么 这个 A 和 B C 和 D 都 怎么 定

显而易见 我们 可以 定义 A 是 这样 的 一个 数

它 是 所有 的 数 这个 数 是 一个 有理数

并且 这个 数 它 小于 0.999… 这是 A

B 我 就 不 写 自然 就是 大于 等于 对 吧

那么 C我们 又 可以 定义 成 什么

定义成{x|x是有理数,x>1}对吧 我们 可以 这样 进行 戴德金 分割

这个 是 第一种 分割 的 第一个 集合

这 是 第二 种 分割 的 第一个 集合

现在 我 想 证明 这 两个 数字 是 一个 数字

就是 要 证明 这 两种 分割 是 一样 的

我们 要 想 证明 这 两种 分割 是 一样 的

就要 证明 这 两个 集合 是 一样 的

我们 怎么 证明 这 两个 集合 是 一样 的 呢

我们 看 我们 要 证明 A 集合 是 完全 等于 C 集合 的

怎么 证明

第一步 我们 在 集合 A 中 取 一个 元素

这个 元素 它 是 集合 A 中 的 元素

A 的 集合 是 每一个 元素 都 小于 这个 数

所以 自然 这个 数 就 小于 0.999… 对 吧

不管 0.999… 是 到底 等于 1 还是 小于 1

t现在 是 小于 0.999… 所以 t 一定 会 小于 1 对 不 对

t 小于 1 它 就 满足 哪个 定义 满足 第二个 定义

所以 t 是 集合 C 中 的 元素

好 了 我们 看

如果 t 是 A 中 的 元素 t就 一定 是 C 中 的 元素

就 说明 A 中 所有 元素 都 是 C 中 的 元素

因此 A 是 C 的 子集

我们 再 反过来 看

如果 有 一个 元素 它 是 C 中的 元素

也就是说 这个 数 它 是 小于 1 的

我 现在 要 证明 它 也 一定 会 小于 0.999…

我们 怎么 证明 这件 事 不要 忘 了 t 是 个 什么 数 有理数 对 不 对

所以 t 可以 写成 p 和 q 的 除法 的 形式 p 和 q 都 是 整数

这个 数它 小于 1 从此 我们 就 可以 看出 这个 p 它 是 小于 q 的

两个 整数 而且 p 小于 q

于是 我们 又 可以 把 这个 数字 进行 变形

叫做 1 -t =1 -p / q

通 分 等于 (q-p)/q我们 知道 q 比 p 大 对 不对

所以 q-p 比 1 大

大于 等于 1/q对 不对

好 不管 这个 q 是 什么

我们 知道 总能 找到 这么 一个 自然数 n

使得 10^n 这个 数 肯定 可以 比 q 大

我 总能 找到 这样 一个 数 不管 你 这个 q 有 多大 对 不对

所以 我们 就 可以 找到 一个 数 1/10^n

它 是 小于 1/q 我们 把 这 两个 结合 一下

也就是说 我 一定 能 找到 一个 自然数 n

使得 1-t >1/10^n 所以 t 就 会 小于 1 - 1/10^n

1-1/10^n 得 几 得 0.999…9 几个 9

n 个 9 对 不 对 小于 这个 数

而 这个 数 只有 n 个 9 0.999… 它 是 无限 多个 9

所以 它 小于 0.999…

于是 得出 结论 t其实 也 是 A 中 的 元素

如果 t 是 C 中 的 元素 t 就 一定 是 A 中 的 元素

所以 说 C 是 A 的 子集 A 是 C 的 子集 C 又 是 A 的 子集

因此 怎么样 A 等于 C 得证

也就是说 这 两种 分割 是 完全 一样 的

每 一种 分割 对应 了 一个 数

两个 分割 一样 说明 这 两个 数 一样

所以 这个 式子 得证 多么 漂亮 的 证明

也许 有人 会 说 明明 是 一个 非常 简单 的 数学 问题

你 怎么 搞 的 这么 复杂 在 这里 我 必须 发表 一下 我 的 看法

古希腊 有 许多 的 先贤 智者

他们 会 讨论 比如说 阿基里斯 能 不能 追上 乌龟

√2 到底 是不是 数 这样 看起来 毫无意义 的 问题

他们 认识 到 有 的时候 经验 并 不是 真实 的

而 推理 和 证明 更加 可靠 这 是 一种 思想 上的 革命

在 这种 思想 的 影响 下 欧几里得 写成 了 《 几何 原本 》

从 几个 公设 出发 演绎 出 整个 几何学 大厦

而 亚里士多德 又 建立 了 自己 的 逻辑 体系

他们 都 是 古希腊 先贤 的 优秀 代表

这种 思想 在 文艺复兴 之后 的 欧洲 繁荣 起来

也 使得 欧洲 成为 近代 科学 的 中心

有时候 科学家 们 研究 数学 科学 和 哲学

并 不是 因为 它们 是 有用 的 或者 它们 能 带来 名誉 财富 和 地位

而 仅仅 是因为 它们 是 有趣 的

它们 可以 使 我们 更加 认识 这个 世界

使 我们 更加 接近 真理

科学家 们 有时候 很 像是 登山者

有人 问 第一个 从 北坡 攀登 珠穆朗玛峰 的 登山者 乔治 · 马洛里

你 为什么 要 攀登 珠穆朗玛峰 呢

马德里 说 因为 它 就 在 那里

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