什么 是 公平 ？如何 分配 利益 才能 大家 都 满意 ？李永乐 老师 讲切 蛋糕 问题 (1)

各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師

最近 有個 朋友 跟 我 說 他 遇到 了 兩件 煩心事

第一件 是 家裏 的 兩個 小朋友

總是 因為 搶 玩具 和 食物 而 打架

第二件 事 就是 馬上 就要 到 年底 了

他 需要 製作 一個 方案

來給 部門 的 下屬 分配 各種 獎勵

有 的 獎勵 是 現金

也 有 晉升 的 機會 以及 各種 榮譽

每年 到 了 這個 時候 部門 裏面 就 會 雞飛狗跳

所有人 都 覺得 自己 拿少 了

甚至 發生 過 有人 去 上級 主管部門

舉報 自己 同事 的 事兒

所以 他 就 想問 我

有沒有 一種 方法 可以 讓 大家 都 滿意 呢

其實 這個 問題 在 數學 上 是 有解 的

稱 之 為切 蛋糕 問題

我們 今天 就 來講 一講

如何 能夠 讓 大家 都 滿意 地 分配 一塊 蛋糕

首先 我們 先 來講 一講

公平 的 切 蛋糕 方法 是 什 麽

那什 麽 叫 公平 呢

我們 在 數學 上 可以 這樣 定義 公平

如果 有 N 個人 去 分 一塊 蛋糕

那 麽 N 個人 的話

每 一個 人 都 可以 拿到 一塊 蛋糕

拿到 多少 呢

都 拿到 不 少於 1/N 的 蛋糕

如果 每 一個 人 都 拿到 了 不 少於 1/N 的 蛋糕

我們 就 稱 這種 分配 方法 是 公平 的

有人 說 那 一共 就 一塊 蛋糕

你 有 N 個人 的話

每個 人 都 不 少於 1/N

那 不 就是 每個 人 都 是 1/N 嗎

其實 不是 這樣 的

因為 每 一個 人 對於 蛋糕 的 不同 部分

喜好 是 不 一樣 的

就 比如說 吧

這 一塊 蛋糕 有 的 地方 是 奶油

有 的 地方 是 草莓

那 有人 喜歡 奶油 有人 喜歡 草莓

你 把 喜歡 奶油 的 這 一部分 給了 喜歡 奶油 的 人

他 就 會 覺得 自己 獲得 的 收益 超過 1/2

同樣 另外 一部分 喜歡 草莓 的 人

你 把 這個 草莓 給他

他 就 會 覺得 自己 的 收益 也 超過 1/2

這就 叫 每 一個 人 拿到 的 部分 都 不 少於 1/N

再 生活化 一點

比如 有 一個 老人 去世 了 他 留下 了 一些 遺產

有 房子 有 車子 還有 現金 要給 三個 兒子

那 麽 有 的 兒子 可能 特別 喜歡 房子

他 覺得 這個 房子 是 最 值錢 的

也 有人 可能 特別 喜歡 車

也 有人 可能 特別 喜歡 現金

所以 如果 你們 按照 正確 的 方式 去 分配 的話

可能 所有人 都 會 覺得 自己 拿到 的 超過 了 1/3

那 這 就是 一個 比較 好 的

或者說 比較 公平 的 一個 分配 的 方案

好 那 我們 現在 說 比較簡單 的 情況

我們 怎 麽 樣 公平 地 分配 一塊 蛋糕 呢

比如說 如果 只有 兩個 人分

那 這個 問題 就 會 變得 比較簡單

我們 只 需要 采用 一個 經典 的 方法

那 就是 我切 你 選 就 可以 了

什 麽 叫 我切 你 選 呢

就是說 一共 不是 兩個 人 嗎

我們 設置 為 A 和 B

首先 我們 讓 A 去切 蛋糕

你 把 這個 蛋糕 切成 兩份

切成 兩份 了 之後 B 先選

一共 兩個 人

你 B 沒有 切 蛋糕 那個 你 先選

你 選完 了 之後 剩下 那 一塊 就給 A 就行了

你 用 這種 分配 方法

你 就 會 發現 A 和 B 都 覺得 它 是 公平 的

為什 麽 呢

咱們 仔細 看 這是 一塊 蛋糕

A 在 切 它 的 時候 他 就要 考慮 了

一會兒 我 可是 後 選 的 對 不 對

所以 B 如果 把 好 的 那個 拿走 了

我 剩下 那個 不 就 不好 嗎

那 我 為 了 讓 自己 能夠 獲得 最大 的 收益

A 會 怎 麽 做

A 一定 會 想盡 一切辦法

把 它 切成 比較 均勻 的 兩份 對 不 對

當然 這種 均勻 或者說 公平 是從 A 的 角度 來看

A 認為 左邊 的 這 一半 值 1/2

右邊 的 這 一半 也 值 1/2

這 是從 A 的 視角 去 看

但是 B 也 這 麽 認為 嗎

那 可不 一定

因為 這是 在 A 的 視角

A 可能 喜歡 奶油

所以 他 認為 這 一半 值 1/2

那 一半 也 值 1/2

而 B 可能 他 不 喜歡 奶油

所以 他 可能 認為 左邊 這 一半 就是 垃圾

所以 左邊 這 一半 它 只值 1/4 的 效用

而 右邊 的 這 一半 它值 3/4

所以 B 先選 B 會 非常高興

B 說好 我 現在 選 我選 右邊 這 一半 對 不 對

我選 右邊 這 一半 之後

我 就 可以 拿到 3/4 的 效用

我 相當於 是 把 3/4 蛋糕 拿走 了 是不是

而 A 呢

A 就 拿 左邊 這 一半 A 也 不 覺得 虧

為什 麽 呢

你 想 A 我 是 均勻 分 的 兩邊 各 一半 對 不 對

你 拿走 右邊 這 一半 我 拿 左邊 這 一半

還是 你 拿走 左邊 這 一半 我 拿 右邊 這 一半

我 都 不虧

這樣一來 就 實現 了

每 一個 人 都 拿到 了 不 少於 1/N 的 蛋糕

這 就是 一種 比較 公平 的 分配 方案

其實 這種 分配 方法 在歷史上 早就 有 了

那舉 兩個 例子

比如 第一個 例子 是 《 聖經 》

在 《 聖經 》 裏面 有 一個 故事

說 亞伯拉罕 和 洛特 要分 迦南 之地

那 怎 麽 分 呢

亞伯拉罕 說 這樣 吧

我 把 這個 土地 分成 左右兩半 然後 你 先選

這樣一來 無論是 亞伯拉罕 還是 洛特

他們 都 覺得 自己 占 了 便宜

洛特 先選 他 自然 占便宜 對 吧

亞伯拉罕 雖然 是後選 但是 是 他 分 的

他 兩邊 土地 對 他 來講 意義 是 一樣 的 是不是

所以 他們 都 覺得 自己 沒有 虧

這 就是 一種 公平 的 分配 方案

除此之外 還有 一個 叫 《 聯合國 海洋 憲章 》

《 聯合國 海洋 憲章 》 裏

有 一個 非常 有意思 的 規定

就是說 發達國家 有 能力 對 公海 的 礦藏 進行 開發

但是 發展中國家 沒有 能力 開發

但是 公海 的 礦藏 應該 是 屬於 全人類 的

你 不能 只 允許 發達國家 去 開采

那 於是 怎 麽 辦 呢

這個 聯合國 就 想 了 一個 餿主意

他 說 如果 發達國家

你 想 在 某 一個 海域 開發 這個 礦產 的話

那 你 首先 要 向 我 提交 一份 報告

選 兩個 區域 一起 提交 給我

把 它們 的 數據 什 麽 都給 我

給我 了 之後 我 在 這 兩個 區域 裏邊

我選 一塊 留給 發展中國家

另外 一塊 給你 你 去 開發 對 吧

這樣一來

它 既 可以 允許 發達國家 開采 這個 礦產

同時 也 為 發展中國家

保留 了 跟 發達國家 一樣 的 礦產資源 對 不 對

你 發達國家 想 開發 得 越 多

你給 發展中國家 你 保留 的 就 必須 越 多

而且 你 也 不 知道 我選 哪個 是 吧

你 只能 把 它 就 盡量 公正 地去 切割 是 吧

所以 在 這樣 的 情況 下

這 發達國家 一定 會 誠實 地 提交 報告

就 好像 這個 A

他 一定 會 誠實 地 把 這個 蛋糕 分成 兩份 一樣

那 麽 如果 人數 多一些 的話 又 該 怎 麽 辦 呢

比如說 假如 有 三個 人要 分 一塊 蛋糕

那 麽 你 應該 采用 什 麽 樣 的 方案 呢

三個 人 公平 分 蛋糕 的 方法

在 一九四 幾年 的 時候

有 一個 波蘭 的 猶太裔 的 數學家

名字 叫做 斯坦豪斯

他 提出 了 一種 解決方案

但是 這個 方法 有點 復 雜 咱們 暫時 先不講

那 麽 在 1961 年 的 時候 又 有 兩位 數學家

一個 人 名字 叫 杜賓斯

還有 一個 人 名字 叫斯巴 尼爾

他們 兩個 人 這個 搞出 了 一種

叫做 移動 刀法

通過 這種 方法 它 就 可以 讓 三個 人

都 能夠 公平 地去 分 這個 蛋糕 了

具體來講 怎 麽 做 呢

我們 看 我們 首先 把 這個 蛋糕 畫得長 一點

畫得長 一點

然後 有 一個 人 就 拿 著 一把 刀

從 左側 開始 一點一點 地 往右邊 移動

然後 告訴 這 三個 人 誰 感覺 左邊 的 蛋糕

已經 達到 了 整個 蛋糕 的 1/3 誰 就 喊停

比如說 A 突然 感覺 到 你 移動 到 這兒 了

這個 時候 你 已經 達到 了 1/3 了

所以 A 就 喊 停 是 吧

然後 幹什 麽

然後 你 就 把 這 一塊 就給 A 就行了

就給 第一個 喊停 的 人 是 吧

A 感覺 到 它 已經 達到 了 1/3 了

所以 就 喊停

說 那 B 和 C 為什 麽 不 喊 呢

因為 我 剛才 還是 那句話

就是 不同 的 人 感受 是 不 一樣 的

A 可能 特別 喜歡 左端 因為 左端 可能 有 草莓

B 和 C 可能 不 喜歡 草莓

所以 B 和 C 他 就 不 喊停

對於 B 來講

他 可能 認為 這 一半 只 到達 了 整個 蛋糕 的 1/4

它 並不指 長度 它 指 的 是 整個 的 效用

就是 我 感覺 到 我 享受 的 這 一份 蛋糕

只能 提供 總共 蛋糕 的 1/4 的 享受 值

所以 我 不 喊停 對 吧

而 對於 C 來講

他 可能 感覺 A 這一 份兒 只值 1/5

所以 他們 倆 都 不 喊停

A 喊停 了 好 這 一塊兒 蛋糕 就給 A 了

然後 不是 還剩 了 這 一大 塊兒 嗎

這 一大 塊兒 現在 只有 兩個 人 了

於是 這個 刀口 繼續 往右 走

告訴 B 和 C

誰 感覺 已經 到達 了 剩余 部分 的 1/2

剩余 部分 的 1/2 應該 就是 總體 的 1/3

到達 了 剩余 部分 的 1/2 誰 就 喊停

結果 到 這的 時候 B 喊停 了

那 就 把 這 一塊兒 給 B 是 吧

為什 麽 B 喊停 了 呢

B 可能 覺得 這 一部分

已經 達到 了 剩余 蛋糕 的 1/2 了

那 咱們 思考 一下 剩余 部分 的 1/2 是 多少

B 認為 A 這 一塊兒 只值 1/4

認為 第 一塊兒 只值 1/4

所以 剩下 的 這兩塊 兒 應該 值 3/4 對 吧

達到 一半兒 的話

它 應該 能夠 分到 3/8

所以 B 感覺 到 這 一份 的 效用 是 3/8

他 就 會 喊停 了

那 C 為什 麽 不 喊 呢

因為 C 可能 覺得 B 這 一塊 其實 也 不好

他 也 只有 1/4 的 效用

那 麽 剩下 的 這 一塊 因為 只有 一個 C 了

所以 就給 C 吧 C 就 賺 了

為什 麽 呢

第一塊 對 C 來講 效用 是 1/5

第二塊 對於 C 來講 是 1/4

所以 加 到 一塊 只有 9/20

因此 C 拿到 了 第三塊

他 感覺 到 拿到 了 蛋糕 的 11/20

好像 比 一半 還多

在 這種 情況 下

咱們 來 思考 一下 是不是 公平 的

A 拿到 了 整個 部分 的 1/3

A 感覺 自己 不虧 對 吧

一共 三個 人 拿 一塊 蛋糕 我 拿 1/3 不虧

B 呢 B 感覺 到 自己 拿 了 3/8 我 也 不虧

因為 我 正常 應該 是 拿 1/3 的

我 現在 拿到 3/8 我 超過 1/3 了

所以 我 不虧

那 C 就 更 不 虧了 對 不 對

C 拿到 了 11/20 一半 還多

我 更 賺 了 是不是

所以 他們 三個 人 應該 都 是 非常高興 的

因此 我們 稱 這種 方法 是 一種 公平 的 方法

那 麽 我們 還要 解釋 一個 問題

為什 麽 這個 刀口 到 1/3 的 時候

A 就 一定 要 喊停 呢

他 在 等 一會兒 喊停 他 不是 會 拿到 的 更 多 嗎

這 就要 註 意 了

如果 到 了 這個 部分 的 時候

左邊 是 1/3 右邊 是 2/3

A 不 喊停 的話 A 就 會 面臨 風險

什 麽 風險 呢

就是 刀口 繼續 往前 走時 被 別人 先喊 了 停

於是 超過 1/3 的 部分 被 別人 拿走 了

那 A 和 另外 一個 人 只能 分 不到 2/3 的 部分

於是 A 就 有 可能 會虧 對 不 對

A 為 了 防止 自己 拿到 少於 1/3 的

他 一定 要 在 到達 1/3 的 時候 就要 喊停

因此 一個 好 的 規則 可以 讓 A B C 都 怎 麽 樣

都 變得 比較 誠實 是 吧

這 就是 一個 好 的 規則

因為 這個 規則 就 造成 了

A B C 一定 要用 最 誠實 的 方法

說出 自己 的 內心 感受 是 吧

到 1/3 你 必須 喊停

如果 你 不 喊 的話

那過 一會兒 你 很 有 可能 虧

你 可能 會 拿 不到 1/3 是 吧

就 出現 這樣 一個 情況

不過 大家 一定 要 註 意

這種 方案 我們 稱之為 是 公平 的

而且 在 公平 的 方案 中