如何 证明 3=0？推翻 数学 大厦！
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
最近 有個 小朋友 跟 我 說 呀
他 在 網上 看 了 壹個 帖子
說 有 壹 個人 呢
推翻 了 現有 數學 體系
因為 他 可以 證明 3=0
這是 怎 麽 回事 呢
那 今天 我們 來 討論 壹下 這個 問題
我們 首先 來說 壹下 這個 帖子 的 證明
說 他 想 證明 壹件 事
什 麽 事 呢
就是 3 它 是 等於 0 的
他 的 這個 證明 方法 是 什 麽 呢
我們 來看 啊
這個 證明 方法 很 有意思
他 首先 構造 了 壹個 方程
他 說 x²+x+1=0
這是 壹個 壹元 二次方程
顯而易見 啊
這個 方程 x 是 不 等於零 的
因為 零 不是 這個 方程 的 根 對 吧
既然 零 不是 這個 方程 的 根
我 就 可以 讓 這個 方程
等號 兩邊 同時 除以 x
除以 x 之後
x² 除以 x 就是 x
再 加上 1 再 加上 1/x
右邊 還是 零
這是 因為 這個 式子 等號 兩邊 都 除以 x
x 又 不 等於零 就 得到 這個 結果
然後 我 再 把 原來 的 式子 吧
和 這個 式子 作差
妳 就 會 發現
它們 還有 公共 部分 x+1 對 不 對
把 x+1 給 去掉
最後 就 會 變成 x²-1/x=0
就是 左邊 減 左邊
右邊 減 右邊 就 得到 這個 式子
現在 我 在 這等號 兩邊 同時 乘以 壹個 x
就 會 變成 什 麽 呢
x³-1=0
這 就是 兩邊 乘以 x 的 結果
最後 我們 就 會 發現
原來 這個 方程 就是 x³-1=0 了
那 x³-1=0
x 等於 幾 呢
顯而易見
x 等於 1 對 不 對
好 方程解 完 了
我們 再 把 這個 解呀
代 回到 這個 表達式 中 去
所以 就 會 有 1+1+1=0
所以 3=0
現有 數學 體系 被 推翻 了 對 吧
這 就是 網上 這個 帖子 的 證明
那 麽 這個 證明 顯而易見 呢 是 有 問題 的
我們 就是 要 找到 這個 問題 在 哪
我們 首先 來 討論 壹下 壹元 二次方程
因為 這道題 它 涉及 到 壹元 二次方程
我們 再 回到 初二
去 講壹下 壹元 二次方程
壹個 壹元 二次方程
叫 ax²+bx+c=0
而且 a 不 等於零
這個 方程 的 解是 什 麽
這個 方程 的 解
咱們 上 初中 的 時候 都 學過
它 有 兩個 根 等於 (-b±√(b²-4ac))/2a 對 不 對
我們 上 初中 的 時候 學過
這根 號 裏邊 的 數叫 b²-4ac
它 叫 判別式
判別式 等於 b²-4ac 對 吧
只有 判別式 大於 等於零
怎 麽 著
這個 方程 才 有 實根 對 吧
才 有 實根
如果 判別式 小於 零
初中 怎 麽 講的
叫 無 實根
無 實根 不是 沒有 根 它 有 復 數根
只是 沒有 什 麽 實數 根 而已
沒有 實數 根
但是 它 還有 復 數根
那好 我們 明白 了 這個 道理 之後
我們 再 回過頭來 看 這個 方程
x²+x+1 這個 方程 是 吧
x²+x+1=0
這個 方程 的 系數 a b c 其實 都 是 1
按照 這個 壹元 二次方程 的 解法
妳 就 會 發現 它 的 判別式 等於 b²-4ac=-3
它 是 小於 零 的
小於 零 的 怎 麽 樣
就 說明 這個 方程 是 沒有 實數 根 的
沒有 實數 根
沒有 實數 根 的話
妳 解出 x=1
這個 結果 肯定 是 不 對 的
所以 x 等於 1 壹定 不是 根
而是 壹會 我們 要 講到 的 它 是 增根 是 吧
沒有 實根
雖然 沒有 實根
但是 它 其實 是 有 什 麽 呢
有 復 數根 的
什 麽 叫 復 數根
還 記得 以前 我們 說過 嗎
√(-1)=i
這叫 虛數
只要 我 把 虛數 引進 去 之後
這個 方程 還是 可以 有根 的
咱們 看看 這個 方程 的 根是 多少
x₁,₂ 等於 按照 求根 公式
(-b±√(b²-4ac))/2a
就是 -3 對 吧
好 寫成 這個 樣子
那 √(-3) 是 多少
初中 我們 學習 過
就 壹個 小於 零的數
是 沒有 辦法 開 平方根 的
但是 如果 我們 引入 了 虛數
就 可以 開 平方根 了
√(-1) 等於 i
所以 √(-3) 等於 √3i
於是 這個 數就 變成 了 什 麽 呢
等於 (-1±√3i)/2
好 這個 就是 兩個 復 數根
這個 復 數 怎 麽 去 表示 呢
我們 來看 壹下
在 初中 的 時候 我們 學過
這個 任何 壹個 實數
都 可以 表示 成 實數 軸上 的 壹個點
比如說 這個 點它 叫做 0
這個 點 叫做 1
這個 點 叫做 -1
兩邊 還 可能 有什 麽 -2 -3 之類 的
是不是 好
那 現在 呢 我 把 這個 坐標軸
我 把 這個 豎軸 （ 加上 ） 變成 二維 的
二維 的 我 再 加壹個軸
這個 叫 虛軸 虛軸
而 原來 這個 軸呢 就 叫 實軸
虛軸 上 的 標註 單位 呢 就 叫 i
這個 是 i
這個 是 -i 是 吧
是 這個 樣子 的
那 這樣的話
整個 這個 平面 就 叫 復 平面
上面 的 任何 壹個點
就 表示 了 壹個 復 數
舉 個例 子
剛才 這個 壹元 二次方程 的 根
它 是 -1/2+√3i/2
-1/2 在 這個 位置 是 吧
在 這個 位置
然後 √3/2 是 0.8 幾 對 吧
所以 大概 在 這個 位置
所以 呢 實際上
我們 就 可以 表示 出來 壹個點
這個 點 就是 第壹 個數 x₁ 是 吧
這個 是 √3i/2
這個 地方 呢 是 1/2
就 表示 出來 了
同樣 道理
第二個 這個 根 呢
-1/2-√3i/2
所以 它 實際上 表示 的 就是 這個 點
這個 就是 x₂
妳 這樣 壹來 呢
就 可以 把 這 兩個 根
表示 在 這壹個 復 平面 內 了
所以 說 復 數 還是 很 有用 的
總而言之
我們 就 得到 了 這個 方程 的 兩個 根
這 兩個 根 呢 都 不是 1 是 吧
所以 解出 1 是 錯 的
那有 的 同學 可能 會 說
那 既然 根 不是 1
我 為 什 麽 會 解出 x=1 呢
這個 呢 就是 初中
我們 在 學習 的 時候
知道 的 壹件 事兒
叫做 增根
我們 來看 壹下 增根 是 怎 麽 回事
比如 有壹個 方程
這個 方程 叫 f(x)=0
這個 方程 呢 它 有 根
這個 根 我們 假設 兩個 吧
x₁ 和 x₂ 是不是
好 那 麽 如果 f(x)=0
我 是不是 可以 壹定 能夠 推出
(x-a)f(x)=0 對 吧
因為 妳 f(x)=0
妳 乘以 任何 壹 個數 都 等於零
所以 我 可以 乘 這個 (x-a)
乘 完 了 之後 大家 看
後面 這個 方程 的 根
這個 方程 的 根除 了 剛才 的 x₁ 和 x₂ 以外
肯定 還有 壹個 根是 a 對 嗎
妳 這個 x₁ 代 進去
這個 式子 肯定 是 零
x₂ 代 進去
這個 式子 也 是 零
如果 妳 把 a 代 進去
因為 第壹項 是 零嘛
所以 整個 這個 式子 也 是 零
因此 它 就 會 多出 壹個 根 a 來
但是 這個 根
它 卻 不壹 定 是 原來 方程 的 根
換句話說
如果 這個 a 和 x₁ x₂ 不 相等 的話
這個 a 就是 增根
它並 不 滿足 原來 的 方程
妳在 等號 兩邊
同時 乘以 壹個 為 零的數
妳 就 會 出現 壹個 增根
這 就是 增根 的 來源
壹般 呢 我們 在 初中 解 分式方程 的 時候
經常 會 出現 增根
好 了
我們 明白 了 增根 的 問題 的話
那 現在 妳 再 回過 頭去 看 那個 方程
就 很 好解 了
我們 令 這個 f(x) 等於 什 麽 呢
等於 x²+x+1
然後 妳 第壹步 不是 除了 個 x 嘛
那 所以 f(x)/x
就 等於 x+1+1/x 對 不 對
然後 呢
我 再 把 這個 式子 和 這個 式子 再作 差
壹作 差 左邊 變成 (1-1/x)f(x)
右邊 呢 x+1 約 掉 了 對 吧
變成 了 x²-1/x
然後 我 再 讓 等號 兩邊 同時 乘以 壹個 x
於是 就 變成 了
(x-1)f(x)=x³-1
然後 呢 他 就 說 妳 看
原來 這個 方程 等於零 是 有 根 的 對 不 對
而 這個 根 呢
它 也 是 最後 這個 方程 等於零 的 根 對 不 對
這個 說話 是 沒錯 的
但 問題 是 後面 這個 方程 等於零 的 根
它並 不是 原來 這個 方程 等於零 的 根
它會 有 壹些 增根
而且 增根 妳 能 看 出來 是 哪兒 嗎
因為 妳是 乘 了 個 x-1 的
所以 說會 多出 壹個 增根來
也 就是 x=1
因此 它會 多出 壹個 增根
這個 增根 就是 x=1
而 這位 寫 帖子 的 同學
他 把 這個 增根 x=1
當成 了 原來 這個 方程 的 根
自然 就 會 得到 3=0
這種 不靠 譜 的 結果
事實上 根據 這個 代數 基本 定理
x³-1=0
它 是 個 三次 方程
三次 方程 必然 有 三個 根
而 這 三個 根 分別 是 什 麽 呢
除了 剛才 我們 說 的 這 兩個 根 x₁ x₂ 以外
還有 壹個 根 就是 x=1
於是 我們 可以 在 復 平面 內畫 出 第三個 根來
這 三個 根 大家 能 看 出來 嗎
其實 它 是 彼此 夾 120 度角 的 三個 矢量
如果 我們 畫成 壹個圓 的話
正好 能夠 把 它 用 壹個 圓給 圈起來
是 吧 非常 的 有趣
所以 整體 來說 這位 同學 的 這個 做法
就是 把 增根 當成 原來 方程 的 根
於是 得出 了 壹個 不靠 譜 的 壹個 結果
想起 代數 基本 定理
也 就是 幾次 方程 就 有 幾個 根
以及 解方程 的 時候 可以 解出 增根來
這些 知識 都 是 我 在 初二 的 時候 老師 教給 我 的
回想起來 好像 就 在 昨天
我 初中 的 老師 們 妳們 還好 嗎
2021 年 祝 各位 老師 身體健康 萬事如意
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