美国 大 选民 调 为啥 总 不靠 谱 ？会 骗人 的 数字 （三 ）有 偏 抽样
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
美國 大選 的 居民 投票 部分
在 壹 段時間 以前 就 已經 結束 了
但是 正式 的 選舉人 投票 在 昨天 才 剛剛 舉行
各州 的 選舉人 都 按照 自己 的 宣誓
把 本州 的 選票
投給 了 贏得 本州 選舉 的 總統 候選人
特朗普 所 期待 的 翻盤 沒有 出現
有 小朋友 就 跟 我 說
在 大選 之前 很多 民調 機構 都 預測
拜登 會以 絕對 的 優勢 領先 特朗普
但是 實際 的 選舉 過程 卻 非常 曲折
拜登 在 很 多個 搖擺 州 差壹點 被 翻盤
其實 美國 的 民調 不靠 譜
從來 就 不是 什 麽 新鮮事
在 四年 以前 的 希拉 裏 就 曾經 民調 大幅 領先
但是 最後 反而 被 特朗普 搶去 了 總統 的 寶座
那 今天 我們 就 來 討論 壹下
民調 為什 麽 這 麽 不靠 譜
為 了 研究 這個 問題
我們 首先 先 從 抽樣 這個 概念 說起
我們 研究 壹下 有 偏 的 抽樣
事實上 民調 都 是 壹個 抽樣 過程
他 不 可能 把 美國 所有 的 人 都 問壹遍
他 只能 問壹 部分 人 說 妳 支持 特朗普 呢
妳 還是 支持 拜登 對 吧
通過 這個 抽樣 的 結果 來 獲得 壹個 預測
也許 特朗普 會贏 或者 也許 拜登 會贏
它 就是 壹個 抽樣 的 結果
那 麽 對於 這個 有 偏 抽樣 的 意思 是 什 麽 呢
在 1924 年 的 時候
我們 先 來說 這 麽 壹件 事
1924 年 的 時候
美國 壹 所 大學 叫 耶魯大學
這個 耶魯大學 當然 至今
還是 美國 非常 好 的 壹 所 大學 了
1924 年 美國耶魯大學 的 畢業生
人們 調查 說 畢業生 的 平均工資 是 多少
結果 壹算 畢業生 平均工資
25111 美元 每年
2 萬多美元 壹年 大概 相當於 現在 多少錢 呢
大概 相當於 現在 300 萬 人民幣 左右
就 壹個 耶魯 的 畢業生
壹年 能 拿 300 多萬 人民幣
他們 幹的還 不錯
說 為 什 麽 有 這 麽 高 的 工資 呢
那 很多 人 發現 很多 耶魯 畢業生
沒有 這 麽 高 的 工資
為什 麽 呢
這是 因為 抽樣 存在 偏差
我們 看 假如 說 耶魯 畢業生 有 6 個人
咱們 這 6 是 壹個 虛數
它 可能 60 個 600 個 都 有 可能
假如 有 6 個人
這 6 個人 裏面 他 中低收入 的 有 4 個
相比 來講 中低收入
可能 跟 我們 比 還是 高 收入 是 吧
好 還有 就是 高 收入 的 有 2 個人 是不是
所以 對於 全體 來講
他 的 中低收入 和 高 收入 的 人數 之 比 就是 2:1
那 麽 如果 我們 想 抽樣
並且 得出 壹個 比較 準確 的 結果 的話
我們 在 抽樣 的 時候
應該 是 中低收入 的 抽 兩個 人
然後 高 收入 的 抽 壹 個人
這 就是 合理 的
但是 事實上 我們 在 抽樣 過程 中
可能 不 自覺 的 會 存在 壹定 的 偏差
比如說 當 我們 去 尋找 這些 畢業生 的 時候
那些 高 收入 的 人群 我們 是 不會 忘記 的
這個 公司 的 總裁 是 吧
那個 公司 的 CEO 我們 都 不會 忘
所以 這些 人 總能 被 我們 看見
但是 中低收入 的 這些 人
很 有 可能 他們 跟 校友會 壹點 聯系 都 沒有
所以 妳 根本 找不著 他
也 有 可能 妳 找 著 他 了
但是 因為 他 覺得 自己 收入 太低 了
所以 不 願意 參與 這個 調查
所以 妳 所 調查 的 人群 裏面
可能 很多 都 是 高 收入 的
而 低收入 的 人 妳 調查 的 比較 少
所以 在 抽樣 的 時候
妳 的 抽樣 比例 可能 是 1:2
這樣 壹來 妳 就 會 造成 什 麽
造成 好像 耶魯 的 畢業生 裏面
很多 人 都 工資 非常 高
但 事實上 有 大量 的 人 他們 工資 比較 低
但 他 不 願意 參與 抽樣
所以 妳 這個 抽樣 就 不 能夠 代表 全體 對 吧
那 我們 再來 舉 個例 子
那 就是 美國 大選 了
美國 大選
美國 大選 它 實行 的 是 選舉人 制度
就是 每壹個 州 有 壹定 的 選舉人 票數
有 的 州 人數 多 是 吧
經濟 發展 好 它 的 那個 選票 可能 會多 壹些
有 的 州 人數 少
它 的 選票 就 少壹些
然後 妳在 州 內 先選
大部分 的 州 都 是 誰 贏了 我州 內 的 選舉
那 麽 我們 州 所有 的 選票 都 投給 那個 人
所以 民眾 先 投
投完 了 之後 每壹個 州 的 選舉人 再 去 投
而 那個 選舉人 投票 日 就是 在 12 月 14 號
12 月 14 號 投票 了 之後
拜登 才能 從 法理 上成 為 新壹任 的 美國 總統 是 吧
那 美國 大選 之前 總會 有人 做 這個 民調 是 吧
這個 歷史 上 就 有
比如說 在 1936 年
1936 年 有 壹個 雜誌
這個 雜誌 名字 叫 《 文學 文摘 》
這個 《 文學 文摘 》
是 壹個 發行量 很大 的 壹個 雜誌
這個 雜誌 就 說 我 能 不能 做壹個 美國 大選 的 預測
之前 我 都 預測 了 好幾年 了 我 今年 再 做 壹次
於是 這個 《 文學 文摘 》 就 發行 了 問卷
發行 多少 問卷 發行 了 1000 萬張
1000 萬張 調查 問卷
去 研究 這個 選舉 的 結果 是 什 麽 是 吧
最後 它 回收 了 230 萬張 是 吧
回收 了 這 麽 多
那 麽 這 兩個 候選人 是 誰 呢
這 兩個 候選人 分別 是 民主黨 的 候選人 羅斯福
大家 應該 都 知道 羅斯福
就是 帶領 美國
戰勝 了 這個 經濟危機 和 二戰 的 總統 是 吧
好 那 麽 另外 壹個 就是 共和黨 的
共和黨 的 領導人 他 的 名字 叫做 林登 林登
好 那 麽 民主黨 和 共和黨 的 這 兩個 人
他們 進行 投票 是 吧
在 民調 的 時候 結果 是 什 麽 樣子 的 呢
在 民調 的 時候 這 《 文學 文摘 》 就 說
根據 我們 的 民調 結果
回收 的 這 230 萬張 選票
我們 斷定 這個 林登 肯定 會贏
林登 最終 會 得到 370 張 選舉人 票
而 羅斯福 會 得到 161 張 選舉人 票
當時 的 總 選舉人 票數 是 531 張票 是 吧
那 這樣 壹來 的話 林登 就 肯定 贏了 羅斯福 了
好 了 那 麽 最後 實際 的 情況 又 是 如何 呢
實際 的 情況 是 林登壹 共 只 拿 了 8 張 選舉人 票
贏了 其中 的 兩個 州 是 吧
羅斯福 贏了 523 張 選舉人 票
也 是 民主黨 歷史 上
這個 壓倒性 勝利 的 壹次 投票 了
那 麽 事後 人們 就 琢磨
說 我 在 調研 的 時候 我發 了 1000 萬張 問卷
我 最後 收到 230 萬張
這 應該 說 我 這個 選 的 人 已經 非常 多 了
我 最後 公平 公正 地 得到 的 這些 結果
大家 都 支持 林登
那 麽 為 什 麽 最後 羅斯福
反而 以 這 麽 大 的 優勢 獲得 了 勝利 呢
這是 為 什 麽 呢
人們 就 琢磨 這 事兒
後來 發現 這也 是 有 偏 抽樣 造成 的
什 麽 意思 啊
就是 妳 訂閱 這個 《 文學 文摘 》
看起來 這個 雜誌 還是 水平 比較 高 的 是 吧
它 可能 是 有 壹些 特定 收入 的 人群
或者 特定 職業 的 人群
而 這些 收入 和 職業 的 人群
他 可能 更 喜歡 林登
而 不 喜歡 羅斯福 是 吧
那 麽 這些 人 喜歡 林登 不 喜歡 羅斯福
妳 並 不能 代表 其他 的 美國 人 也 喜歡 林登
所以 這個 說法 是 不 對 的 這是 第壹個
第二個 就是 他 是 自願 調查 的
什 麽 叫 自願 調查 呢
就是 反正 我 問卷 就 寄給 妳 了
妳 要是 願意 回 吧 妳 就 把 這個 問卷 返回 給我
妳 要是 不 願意 回 呢 妳 就 問卷 就 扔 了
妳 不用 返回 給我 對 不 對 自願 的
那 麽 這個 時候 就 會 出現 兩種 人
有 的 人 就 特別 特別 討厭 羅斯福
可 下 抓住 的 壹個 機會 壹定 要 都 寫 上
那 麽 也 有 壹些 人 他 可能 覺得 無所謂 對 吧
他 就 不 寫 了
所以 最後 就 造成 了
好像 看起來 林登 的 支持率 特別 高
但是 事實上 最終 結果 卻是 林登 慘敗 是不是
後來 就 因為 這壹次 的 烏龍 事件
《 文學 文摘 》 沒 過 多長時間 它 就 停刊 了
對 它 的 這個 信譽 損害 是 非常 大 的
其實 有 偏 抽樣 在 我們 生活 中是 很 常見 的
比如說 我們 參加 同學會
壹 看 同學們 個個 是 光鮮 艷麗 是 吧
買車 買房 是 吧 都 非常 厲害
為什 麽 呢
就是 因為 有 很多 那些 工作 不是 很 順利 的
身體 又 不好 又 沒有 什 麽 錢 的 人
他 可能 根本 都 不來 是 吧
所以 就 造成 大家 感覺 好像 來 的 這些 人 都 很 厲害
同學們 都 很 厲害 壹樣
再 比如說 以前 有個 段子
說 有 壹個 記者 跑 到 這個 火車 上去 采訪
說 妳 買 到 票 了 嗎 妳 買 到 票 了 嗎
最後 發現 大家 都 買 到 票 了
於是 記者 就 說 了 今年 的 春運 非常 理想
所有人 都 買 到 了 票
很 顯然 這也 是 壹個 有 偏 的 抽樣 對 吧
再 比如說 醫生 每天 看到 病人
然後 就 覺得 說 所有 的 人 都 有 病
那 這 肯定 也 是 壹個 有 偏 抽樣 對 不 對
所以 中國 有句 古話
有 偏 抽樣 其實 就 叫 什 麽 呀
成語 以偏概全
當然 從 語文 上 來講 它 是 個 貶義詞
但是 我們 從 統計 上 來講
就 說明 這個 抽樣 它 是 有 偏 的
也許 妳是 無意 的
但 它 確實 是 有 偏 的
那 麽 除了 有 偏 的 抽樣 以外
有 的 時候 這個 樣本 可能 是 無偏 的
但是 因為 它 樣本 個數 少 也 會 造成 它 的 不 準確
我們 來說 壹下 小 樣本 的 偏差
因為 樣本 個數 太少 了 也 會 造成 偏差
我們 來 考慮 這樣 壹個 問題
說 有 壹批 產品 這壹批 產品 壹 共有 10 個
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
這壹批 產品 裏面 有 的 產品 是 合格 產品
有 的 產品 是 次品
有 正品 有 次品
然後 我 如果 從 這 10 個 產品 裏邊 我取 3 個
我 壹 看 取 的 這 三個 全都 是 正品
那 是不是 就 可以 說明 這 10 個 都 是 正品 呢
反過來說
假如 我 要是 取 了 3 個 發現 都 是 次品
我 是不是 就 能 說明 這 10 個 全都 是 次品 呢
我們 來 研究 壹下 這個 問題
我們 先 做 壹個 假設
假設 這 10 個裏 邊有 7 個 是 正品
有 7 個 是 正品
還有 3 個 是 次品
左邊 的 這 7 個 是 合格 的 7 個 正品
還有 就是 3 個 次品 對 吧
好 我們 現在 首先 想
我 現在 要 進行 抽樣 對 不 對
我 進行 抽樣 的 時候 我 抽 3 個
抽 3 個
抽 3 個 有 多少 種 方法 數
有 多少 種 方法 數
妳 從 10 個裏 邊抽 3 個
我們 學過 組合 數就 知道
應該 叫 C(10,3) 對 不 對
C(10,3) 就 是從 10 個 東西 裏邊
抽取 3 個 的 方法 數
它 的 算法 10×9×8/(1×2×3) 是 吧
算法 就是 這個 樣子
最後 算 完 了
這個 數 應該 是 120 種 方法
就是 妳 抽 3 個 壹 共 就 有 這 麽 多種 方法
好 我 現在 問
那 麽 這些 方法 裏邊
我們 如果 抽到 了 3 個 正品
它 有 多 大 的 可能 呢
如果 妳 抽到 了 3 個 正品 的話
妳 必須 從 這 7 個 裏面 抽 3 個
所以 它 的 方法 數就 等於 C(7,3) 對 吧
7 個裏 邊抽 3 個
那 麽 我們 按照 這種 方法 去 算
7×6×5/(1×2×3)
最後 答案 是 35
所以 抽到 3 個 正品 的 可能性 有 35 種
所以 它 的 概率
P₁ 就是 m₁/N
最後 結果 是 35/120 對 不 對
好 抽到 3 個 正品 有 這 麽 大 的 概率
我們 再 來看
如果 是 2 個 正品 1 個 次品 呢
有 多少 種 可能
如果 妳 要是 抽到 了 2 個 正品 的話
妳 再 從 這 7 個裏 邊抽 2 個 正品 C(7,2)
完 了 妳 還得 再 從 這 3 個 次品 裏邊 抽 1 個
叫 C(3,1)
我們 按照 這個 算法 去 算
最後 結果 有 63 種
每壹種 可能性 都 是 壹樣 的
所以 相應 的 概率 就是
m₂ 除以 壹個 總共 的 可能性 63/120
有 這 麽 多 的 可能 是 吧
他 抽到 了 2 件 正品
好 那 如果 要是 抽到 了 1 個 正品 和 2 個 次品 呢
妳 不壹 共 抽 3 個 嗎
有 多少 種 方法 數
很 顯然 7 個裏 邊抽 1 個 正品
在 3 個裏 邊抽 2 個 次品
最後 算 完 了 是 21 種
它 相應 的 概率 應該 是 21/120
最後 還有 壹種 可能
什 麽 可能 呢
就是 妳 抽到 了 0 個 正品 和 3 個 次品
妳 抽 了 3 個 這 3 個 全都 是 次品
這有 可能 嗎 有 可能
妳 只 需要 在 這 3 個 次品 中 抽 3 個 不 就行了 嗎
所以 就是 C(3,3)
C(3,3) 等於 1 種
相應 的 概率 就是
（ 更正 ）m₄/N=1/120
好 了 大家 來看 壹下
假如 這壹箱 的 產品 中
真的 就是 有 7 個 正品 和 3 個 次品 的話
那 麽 妳 抽 3 個
既有 可能 抽到 3 個 正品
也 有 可能 抽到 3 個 次品
反過來說 就是
妳 抽到 3 個 正品
並 不能 證明 這壹 箱子 全都 是 好 的
妳 抽到 3 個 次品
也 不能 證明 這壹 箱子 全都 是 壞 的
所以 這樣 的 抽樣 其實 沒有 太 大 意義
主要 是 因為 妳 只 抽壹次
只 抽壹次 沒有 辦法 說明 這個 產品 的 特性
那 我們 怎 麽 辦
我們 應該 多 抽 幾次 是 吧
反 復 地 抽
如果 每壹次 抽 都 是 3 個 正品
我們 基本上 可以 證明
這壹批 產品 是 比較 合格 的
如果 妳 每壹次 抽樣 都 是 3 個 次品
那不就 說明 這個 東西 得 扔 嗎
不能 用 是不是
但 事實上 很多 時候 不是 這樣
比如說 我 想 說 我 這個 產品 好 怎 麽 辦 呢
我 就 做 很多很多 次 實驗
很多很多 次 抽樣
直到 抽出來 壹個 3 個 全是 正品 的 情況
然後 把 這壹次 數據 放 出來 對 吧
讓 妳 看 我們 產品質量 非常 好
那 我 如果 想 黑 妳 怎 麽 辦 呢
我 如果 要是 想 黑 對方 的 產品
我 就給 它 進行 抽樣
抽樣 完 了 之後 我 找出 壹次 抽樣 來
3 次 全都 是 次品
然後 我 就 說 妳 這 東西 是 個 垃圾 對 吧
所以 統計數據 是 會 騙人 的
這種 現象 在 我們 生活 中 其實 是 屢見不鮮 的
比如說 很多 這個 洗手液 這個 洗衣粉
都 宣稱 說 自己 的 殺菌 效果 達到 了 99.9%
說 妳 這個 99.9% 是 怎 麽 測 出來 的 呢
很 有 可能 妳是 做 了 很 多次 實驗
找出 最好 的 那 壹次
妳 說 我們 殺菌 效果 99.9%
但 事實上 妳在 生活 的 環境 下
沒有 實驗室 那 麽 好
它 很 有 可能 殺菌 效果 是 達 不到 的 對 吧
再 比如 有些 不太 負責 任 的 這個 實驗室
他們 在 做 實驗 的 時候 也 是 這樣
就 做 了 很 多次 實驗
找出 效果 最好 的 那個 實驗
然 後來 支持 自己 的 理論
但 實際上 可能 大部分 的 實驗 是 沒有 辦法 重 復 的
那 我們 剛才講 的 這種 抽樣 的 問題
實際上 叫做 超 幾何 分布
超 幾何 分布
也 是 這個 中學 我們 要講 的 壹種 分布 的 情況
對於 這種 超 幾何 分布 造成 的 這種 統計 的 偏差
其實 中國 古人 也 有 話
比如說 中國 古人 有壹句 話 叫 盲人摸象
盲人摸象 是 什 麽 意思 呢
就是說 妳 只 看到 了 很小 的 壹個 部分
妳 就 以 為 整個 大象 都 是 像 繩子 壹樣
或者 都 是 像 柱子 壹樣 對 不 對
沒有 看到 全體
盲人摸象 就是 因為 小 樣本 造成 的 偏差 造成 的
還有 壹個 說 如果 我 主動 的 去 選擇 壹些 好 的 數據
或者 壹些 不好 的 數據 來說 明 這個 產品
那 叫 什 麽 呢
那 叫 斷章取義 是 吧
這個 也 是 中國 古人 說 的
我 剛才講 的 這些 問題 其實 是 出自 誰 啊
出自 1954 年
有壹個 作家 名字 叫做 達 萊爾 · 哈夫
達 萊爾 · 哈夫
這個 人寫 了 壹 本書
這本 書是 壹個 統計學 的 經典著作
叫做 《 如何 用 統計數字 騙人 》
《 如何 用 統計數字 騙人 》
這本 書壹經 問世 就 立刻 風靡 美國 是 吧
成為 當年 的 暢銷 讀物
而且 這 麽 多 年來 這本 書壹直 都 很 暢銷
現在 中文 的 譯本 好像 叫 《 統計 陷阱 》
大家 如果 有 興趣 不妨 拿 回來 看壹 看
這個 達 萊爾 · 哈夫 在 這本 書中 說 到 這樣 壹句 話
他 說 數據 是 真實 的
但是 利用 這些 數據 得到 壹個 未經 證實 的 結論
這 就是 謬誤 了
其實 我們 的 生活 中
到處 都 充斥 著 這種 統計 的 謬誤
我們 不知不覺 就 被 這些 數字 欺騙 了
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