“九章 ”量子 计算机 为啥 快 ？玻色 采样 是 什么 ？量子 霸权 时代 来 了 吗？ (2)

它 其實 就 等於 以 這 兩個 矢量 為 鄰邊 的

這個 平行四邊形 的 面積

那 它 其實 是 等於 這個

妳 再 比如說 這個 三階 行列式 它 等於 什 麽 呢

它 也 是 有 幾何 含義 的

就是 妳 如果 有壹個 這個 三個 矢量

這 三個 矢量 的 空間 的 這個 出發點 都 是 原點

這個 空間 坐標 分別 是 a₁₁ a₂₁ 和 a₃₁

這 就是 x y z

這個 也 是 a₁₂ a₂₂ a₃₂

這 就是 x y z 它 也 是 a₁₃ a₂₃ a₃₃

就 表示 的 是 這 三個 末端

它 其實 分別 代表 了 這 三列 的數

那 如果 妳 給我求 個 行列式

妳 知道 得 啥 嗎

它 其實 是 等於

以 它們 三個 為 什 麽 呀

為邊 的 這個 這個 叫什 麽

這壹個 立體 對 吧

它 的 什 麽 玩意 壹 個體 積

它 等於 體積 是 吧

它 這個 體積 V 就 等於 這個 數

那 妳在 物理 上講 它 其實 也 是 有 意義 的

我舉 個例 子

比如說 我們 計算 安培力 的 時候

IL×B

IL×B 其實 算 的 就是

IL 和 B 構成 的 壹個 面積

我們 可以 利用 行列式 來 計算 安培力

同樣 比如說 我們 在 計算 這個 動生 電動勢 的 時候

上 高中同學 可能 知道 BLv

但 實際上 它 是 以 長度 速度 和 磁場

三者 構成 的 這個 矢量 的 立體 的 壹 個體 積 是 吧

所以 這個 行列式 它 在 物理 上講 了

它 還是 有壹些 意義 的

在 數學 上講 也 是 很 重要 的

不過 到 目前 為止

我們 只算到 三階 行列式

那 要是 四階 或者 四階 以上 的 行列式

我們 又 該 如何 計算 呢

那 我們 有壹個 普遍 表達式 叫 det(A)

det 就 表示 求 行列式

A 就是 這個 矩陣 它 等於 什 麽 呢

它 等於 壹個 加 和

σ 屬於 Sₙ 然後 再 sgn(σ)

然後 再 連乘 i=1

壹 直到 n 然後 a_(i,σ(i))

有人 說 這什 麽 亂七八糟 的

簡單 地 解釋 壹下 算法 其實 跟 這個 是 壹個 意思

但 只不過 寫 的 比較 復 雜

它 的 意思 就是 我 先要 把 壹 大堆 的 a 乘起來

乘 完 了 之後 我 還要 加 和

這個 長 得 像 π 壹樣 的 東西

它 就是 乘 乘 完 了 之後 我 再 把 它 加 起來 是 吧

那 這裏 邊有 壹個 sgn(σ) 的 意思 是

它 有 的 時候 它 是 正號

有 的 時候 它 是 負號

什 麽 時候 正 什 麽 時候 負

咱 這裏 就 不再 贅述 了 比較 復 雜

它 跟 交換 有關

另外 這個 Sₙ 叫 所謂 的 置換 群

就是 它 這裏 面有 很 多個 位置

這些 個位 置 1 2 3 4 5 6 ... 是 吧

壹 直到 n

這些 個位 置 它 可以 彼此 交換 是 吧

妳 可以 交換

妳 可以 1 2 3 4 5 6

妳 也 可以 是 5 6 3 4 2 1

什 麽 之類 的

可以 來回 來回 交換

妳 把 所有 的 交換 都給 我算 完 了

把 它 乘起來 再 相加

這 就是 什 麽

行列式 了 是 吧

行列式 是 有 壹個 普遍 算法 的

而且 這種 行列式 的 普遍 算法

如果 我們 直接 用 這個 公式 去 算 可能 會 比較 麻煩

那 麽 人們 發明 了 壹種 比較簡單 的 算法

最後 算出 了 這個 行列式 的 所謂 復 雜度

什 麽 叫 復 雜度 呢

就是 我們 解壹個 行列式 到底 要算 多少 步 是 吧

結果 壹算 這個 復 雜度 大概 是 用 O 來 表示

大概 是 在 (log(n))² 這個 量級 的

那 意思 是 說 妳 如果 要是 計算 1000 步

妳 要是 計算 1000 階 的 矩陣

那 這個 時候 大概 要 計算 的 次數

就是 (log(1000))²

log(1000) 是 3 3² 就是 9

妳 只 需要 計算 9 步

好像 還挺 簡單 的 對 吧

那 繼續

假如 我們 要是 計算 10⁶ 這 麽 壹個 矩陣

10⁶ 的 矩陣

那 妳 把 這個 10⁶ 代 進去

log(10⁶) 就是 6

6 再 壹 平方 就是 36

妳 也 只 需要 計算 36 次

所以 我們 發現

基本上 來講 算 行列式 是 比較 容易 的 是 吧

妳 算 壹個 10⁶ 這 麽 高階 的 行列式

妳 也 只 需要 36 次 步驟

妳 就 能 把 它 算 出來 了

用 最 優秀 的 算法 不是 像 我們 這 麽 算

我們 這 麽 算 太 復 雜了

所以 行列式 有用 而且 行列式 不難 算

行列式 是 我們 特別 喜歡 的 壹個 東西

但是 並 不是 所有 的 東西 都 像 行列式 這 麽 美

有壹些 東西 可 就 醜陋 的 多 了

那 麽 這個 東西 叫做 積和式

積和式 也 有人 管它 叫 行列式

但 它 是 壹種 特殊 的 行列式

它 特殊 在 哪

就是 把 剛才 這裏 面 所有 的 這個 符號

就是 帶 正負 的 這個 它 就 不要 了

因為 行列式 是 有加 也 有減 的

但是 積和式 沒有 積和式 全都 是 加

比如 我舉 個例 子

集合 是 用 perm 來 表示 然後 有壹個 矩陣

這個 矩陣 叫 a b c d

如果 是 行列式 的話

它 是 ad-bc 對 吧

但是 如果 是 積和式 的話

它 就是 ad+bc

它 把 那個 減號 改成 加號 了

把 所有 的 這個 符號 的 這壹 項給 去掉 了

所以 它 的 定義 應該 是 這 麽 寫 的

叫 perm(A) 等於 什 麽

等於 Σ σ 屬於 壹個 置換 群

然後 連乘 i=1 壹 直到 n

然後 a_(i,σ(i))

它 是 這 麽 壹個 玩意 是 吧 比較 復 雜

大家 看不懂 沒關系

妳 只要 知道 它 和 行列式 的 區別

就是 行列式 有減 的

積和式 沒有 全都 是 加 的

但是 就 因為 它 從 減號 變成 了 全是 加號 了

所以 它 的 復 雜度 非常 高

它 的 復 雜度 有 多 大 呢

現在 最 優秀 的 算法

認為 這個 玩意 的 復 雜度

大概 是 在 n×2ⁿ 這個 量級

也就是說 妳 這個 n 如果 很大 的話

那 復 雜度 就 非常 高

我舉 個例 子

比如說 這個 行列式 有 36 階

橫豎 都 是 36 個 的

這種 情況 下

妳 代入 到 這個 復 雜度 妳 就 會算 出來

它 的 這個 計算 次數 大概 是 在

2.47×10¹² 次

妳 要 算 這 麽 多次 才能 把 它 給算 出來

那 妳 跟 剛才 相比

妳 已經 是 大 了 很多 了 對 不 對

好 那 麽 這 麽 多 次數

我們 如果 用 超級計算機 去 算

妳 需要 算 多長時間 呢

超級計算機 比如 太湖 之光

它 壹 秒鐘 可以 算 10¹⁷ 次

所以 這個 次數 其實 還 不難

10⁻⁵ 秒 就 能 被 超級計算機 搞定 了

所以 看起來 我們 還是 比較 喜歡 的

但是 如果 妳 再加 幾 個數

假如 妳 這個 矩陣 是 100×100 的

這回 妳 再 去 計算

它 就 需要 計算

1.27×10³² 次 了

妳 計算 這 麽 多次 需要 多長時間 呢

還是 那句話

太湖 之光 壹 秒鐘 能算 10¹⁷ 次

妳 把 這個 數 除以 10¹⁷

妳 最後 會 發現 它 大約 能算 4000 萬年 對 吧

妳 需要 算 4000 萬年

妳 才能 把 這壹個

100×100 的 矩陣 的 積和式 給算 出來

這就是說 現在 的 超級計算機

不 適合 於 計算 這個 問題

那 麽 我們 有沒有 什 麽 辦法 去 解決 它 呢

當然 我們 可以 改進 我們 的 算法

但是 經過 很 長時間 的 研究

人們 發現 算法 好像 已經 改變 不了 了

於是 有人 想 說 我們 能 不能

像 剛才 高爾頓 釘板 壹樣

我們 去 解決 這個 問題 呢

就是 高爾頓 釘板 妳 這 概率 計算 的 時候

妳 也 是 算 出壹個 這個 排列 數來

假如 排列 數 沒有 更 優秀 的 算法 的話

那 麽 它 的 計算 量 也 會 非常 大

但是 我 完全 可以 做壹個 物理 實驗

然後 通過 采樣 的 方法 計算 出 這個 數來

同樣 道理

如果 我算 不 出來 這個 積和式 的話

那 我 是不是 可以 通過 壹些 采樣 的 辦法

把 它 算 出來 呢

那 這 就是 我們 下面 要講 的 這個 問題

所謂 的 玻色 采樣 問題 了 玻色 采樣

首先 我們 先 來說 壹下 什 麽 叫 玻色子

比如說 光子 它 就是 玻色子

玻色子 這個 最大 特征

就是 它 不 滿足 泡利 不相容 原理

它 兩個 量子 可以 是 在 同壹個 狀態 下 的

妳 比如說 兩個 光子 互相 撞壹塊

它們 會 彼此 穿 過去 的

它們 兩個 不會 說 像 電子 壹樣 壹 撞 就 撞 飛 了

不會 出現 這種 情況

那 麽 這個 玻色 采樣

就是 利用 玻色子 所 采用 的 壹個 采樣 方式

首先 我們 知道 在 量子力學 中 有壹個 基本 問題

就是 波函數

妳 要 知道 每壹個 量子 它 的 波函數

波函數 代表 了 這個 量子

出現 在 各個 不同 地方 的 概率

但是 如果 妳有 很 多個 玻色子 的話

這 很 多個 玻色子

它 每個 玻色子 都 有 壹個 波函數

那 我 想問 妳 這些 個 玻色子 整體 的 波函數

妳 該 怎 麽 計算 是 吧

我們 說 叫 整體 波函數

就是 好幾個 量子 好幾個 量子

每壹個 量子 它 都 有 波函數

而且 每壹個 量子 它 都 可以 既 在 第壹 個位 置

可以 在 第二個 位置

可以 第三個 位置 對 吧

第二個 玻色子 也 可以 在 第壹 個位 置

也 可以 在 第二個 位置

也 可以 在 第三個 位置

那 麽 整個 這壹 大堆 的 量子

妳 用 什 麽 樣 的 波函數 去 描述 呢

這 就是 所謂 的 整體 波函數

整體 波函數 我們 可以 這 麽 描述

這個 波函數 等於

Σpφ_(k1)(g_1)φ_(k2)(g_2)...φ_(kn)(g_n)

這個 大家 可能 又 看 不 明白 了

大概 的 意思 就是說

就 有 壹 大堆 的 粒子

每個 粒子 都 可以 處於 不同 的 位置

然後 妳 需要 把 它們 相乘

就 表示 妳 處於 第壹個

我 處於 第二個

妳 處於 第三個

我 處於 第四個

這些 位置 我 都 考慮 到 了

然後 這個 p 什 麽 意思

表示 的 是 交換

咱們 可以 反過來

妳 處於 第二個 我 處於 第壹個

或者 妳 處於 第壹個 我 處於 第二個 都 可以

所以 把 所有 的 情況 都 要顛 過來 倒 過去 的

乘到 壹塊 再 把 它們 加 起來

大家 看 我 把 壹 大堆 東西 乘起來

然後 顛 過來 倒 過去 再 相加

這 是不是 在 哪見過

是不是 就是 這個 地方

就是 在 這個 地方 我們 反 復 地 交換 坐標

然後 把 它們 相乘 再 把 它們 加到 壹塊

這不 就是 積和式 嗎

好像 這個 整體 波函數

就 和 積和式 有 壹個 對應 關系

於是 終於 就 到 了 這個 2010 年

麻省理工學院 的 教授 叫做 亞倫 森

和 他 的 學生 叫 阿爾希波夫

他們 兩個 人壹起 論證 了 壹個 結論

什 麽 結論 呢

就是 這 n 個 光子 它 的 玻色 取樣

玻色 取樣 它 正比 於 積和式 的 模方

積和式 的 模方

完 了 這壹句 話 出來 可能 同學們 又暈 了 是 吧

什 麽 叫 玻色 取樣 正比 於 積和式 的 模方 呢

首先 我們 說 這個 玻色 取樣

它 基本上 和 高爾頓 釘板 是 差不多 的

意思 是 說 這個 它 的 意思 很 像

就是說 我們 首先 有壹個 這個 光學 的 儀器

這個 光學 的 儀器 可以 讓 光子 在 裏邊 彈來彈去

就 好像 壹個 小球 在 這個 釘板 中間 彈來彈去 壹樣

當然 這個 小球 它 是 壹個 光子 是 個 量子

而且 這裏 面 有 入口 是 吧

有 好幾個 入口

然後 中間 會 出現 壹 大堆 的 叫做 所謂 分束器

分束器 就是 這些 個 光子

它 有 可能 會過 這個 分束器

也 可能 會 被 分束器 給 反彈 是 吧

然後 壹 大堆 的 這個 分束器 壹 大堆 的 分束器

我 這 只是 示意圖

比如說 我們 在 這裏 過來 了 壹個 光子

這個 光子 過來 之後 有 可能 不 理會 任何 分束器

然後 從 這裏 出去 了 是 吧

這 地方 就 有 壹個 出口 有壹個 出口

這 地方 也 有 出口

也 有 可能 它 到 了 這個 位置 之後 被彈 了 壹 下

彈到 這

然後 再往 下 出到 第三個 口 了 是 吧

也 有 可能 比如說 從 這個 地方 進來 的

然後 到 了 第二個 位置 它 又 往左邊 彈

然後 出到 了 這個 口 那 都 有 可能 是 吧

現在 我給 妳 這 麽 樣壹個 矩陣 我 就問 妳

假如 我 告訴 妳有 壹些 光子 從 某 幾個 口 輸入