布朗运动 是 什么 ？太阳光 到 地球 需要 多久？ What is Brownian motion? How long does it take for sunlight to reach Earth?

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 最近 有个 小朋友 问 了 我 一个 问题 他 说 太阳 发出 光 到达 地球 一共 需要 花 多少 时间 呢 这个 问题 看起来 简单 但是 要 想 真正 研究 明白 我们 必须 要 了解 一下 爱因斯坦 在 1905 年 的 时候 的 一个 工作 布朗运动 那 今天 我们 就 从 布朗运动 的 这个 概念 说起 什么 是 布朗运动 呢 大家 看 这 名字 就 知道 布朗运动 肯定 是 一个 叫 布朗 的 人 发现 的 对 吧 他 是 在 1827 年 的 时候 1827 年 英国 有 一个 大英博物馆 这个 大英博物馆 有 一个 馆长 名字 叫 罗伯特 · 布朗 这 罗伯特 · 布朗 他 作为 馆长 也 是 要 进行 科学研究 的 因为 他 是 一个 植物学家 有 一天 他 把 这个 花粉 放到 水 里边 去 观察 结果 发现 这个 花粉 就 在 水 里面 动来动去 的 叫 无规则 运动 无规则 的 运动 说 这个 花粉 无规则 运动 是 什么 意思 呢 比如说 我们 俯视 这有 一个 杯子 杯子 里边 有水 然后 这个 水放上 一个 花粉 这 花粉 就 在 这水 里边 动动 动 ... The pollen is moving in the water... 就是 无规则 的 走 不 一定 往 什么 地方 走 not sure where to go 反正 就是 无规则 的 走 就 这样 走 说 这个 为什么 会 走 呢 这 布朗 感觉 到 很 困惑 于是 他 就 怀疑 说 这个 估计 是 由于 外界 的 干扰 造成 的 外界 的 干扰 造成 的 比如说 气流 对 吧 比如说 这个 水在 蒸发 比如说 振动 等等 但是 他 尽力 的 排除 了 这些 外界 干扰 之后 结果 发现 这 花粉 还是 在 动 所以 不是 由于 外界 干扰 造成 的 这个 原因 不 对 那么 还有 可能 是 什么 原因 布朗 作为 一个 植物学家 就 想到 了 说 这个 花粉 是 什么 花粉 是 植物 的 孢子 堆 Pollen is the spore pile of plants 像 动物 的 精子 它 就 可以 游泳 对 不 对 植物 的 孢子 堆 也 有 生命 所以 它 也 可以 游泳 所以 他 也 想到 了 这个 花粉 应该 是 有 生命 的 所以 它 在 水 里边 游泳 那么 这个 想法 对 不 对 怎么样 进行 排除 呢 How to exclude it 你 有 生命 我 把 你 杀死 不 就 完 了 You have life, if I kill you, it's over 他 就 用 锅 把 这个 花粉 给 炒 了 炒 完 了 之后 花粉 就 死 了 结果 放水 里边 还是 游泳 他 又 想 那 干脆 这样 咱 不用 花粉 了 咱们 用 煤粉 we use pulverized coal 就 煤炭 的 那个 粉 或者 是 玻璃 的 粉末 放到 水 里边 结果 发现 还是 在 乱动 所以 这 应该 不是 因为 花粉 有 生命 造成 的 那 这个 是 什么 原因 呢 他 觉得 有 可能 是 水 里边 有 生命 水中 有 生命 比如 水 里面 有 微生物 对 吧 这 微生物 显微镜 看不见 但是 它会 推着 这个 花粉 走来走去 走来走去 But it will push this pollen around and around 于是 他 说 干脆 我 不 用水 了 我用 酒精 酒精 是 杀菌 的 杀 微生物 的 所以 它 应该 没有 生物 了 吧 结果 把 这个 花粉 放 酒精 里面 那个 花粉 还是 在 动 放在 煤油 里边 花粉 也 还是 在 动 所以 说 起来 水中 有 生命 这 事 好像 也 不 对 那么 这些 都 不 对 最后 这个 布朗 就 搞不清楚 到底 是 什么 原因 了 最后 当 他 提交 报告 的 时候 他 因为 什么 都 不 对 最后 他 给 了 一个 想法 什么 想法 他 说 活性 分子 活性 分子 在 有机物 和 无机物 中 有机 无机物 中 都 是 普遍存在 的 什么 叫 活性 分子 咱们 简单 来说 活性 分子 就是 生命 他 认为 生命 不管 是 在 有机物 中 还是 在 无机物 中 都 普遍存在 比如说 水 水是 无机物 吧 水 里边 也 有 活性 分子 There are active molecules in the water 比如说 像 玻璃粉 玻璃粉 它 是 无机物 那 它 也 有 活性 分子 就是 这些 活性 分子 造成 了 这个 花粉 的 无规则 运动 那么 这种 说法 就是 不太 符合实际 了 不过 在 几十年 的 时间 里面 人们 也 没有 搞清楚 到底 是 什么 原因 造成 的 It is not clear what causes it. 后来 就 有 一种 学说 叫 原子论 Later there was a theory called atomism 原子论 这个 原子论 就是说 我们 都 知道 世界 是 由 原子 构成 的 说 原子论 就 给出 了 一种 解释 说 布朗运动 到底 是 什么 原因 呢 他 说 是 这么 个 原因 首先 是因为 这个 花粉 是 一个 大 颗粒 比 分子 大 很多 但是 花粉 周围 有水 这个 水分子 在 不停 的 运动 就 会 撞击 这个 花粉 所以 原子论 的 解释 是 这样 的 第一个 就是 水分子 在 无规则 的 运动 说 水分子 为什么 会 无规则 运动 呢 因为 它 有 能量 所以 它 就 动 水分子 无规则 运动 的 时候 就 会 怎么样 就 会 撞击 花粉 撞击 花粉 的 时候 如果 你 各个 方向 均匀 那么 它 花粉 还是 不 动 但是 在 撞击 的 时候 可能 三个 方向 有 一个 方向 没有 所以 这 花粉 就 会 被 撞 到底 下去 是不是 所以 撞击 花粉 出现 了 不 均匀 因为 撞击 花粉 不 均匀 所以 就 造成 了 花粉 的 运动 对 不 对 那过 一会 这 三个 方向 没有 这块 来 了 一个 那 花粉 就 反 方向 运动 了 所以 之所以 花粉 会 无规则 运动 它 实际上 是因为 水分子 无规则 运动 还有 就是 温度 这个 温度 要是 高 布朗运动 就 越 剧烈 温度 高 布朗运动 就 剧烈 为什么 呢 他 说 这 是因为 这个 温度 高 的 时候 水分子 的 运动 就 剧烈 所以 布朗运动 也 就 剧烈 这是 原子论 的 解释 但是 这种 解释 也 不见得 就 比 上面 这种 解释 高级 多少 因为 虽然 在 20 世纪 初 的 时候 人们 已经 发现 了 原子 里边 的 电子 但是 人们 依然 认为 原子论 只是 一种 学说 它 不见得 是 真理 那么 真正 证明 原子 存在 的 人 是 谁 呢 是 爱因斯坦 说 这 爱因斯坦 真 厉害 还 能 证明 原子 存在 是 的 到 爱因斯坦 的 时代 人们 才 正式 确认 了 原子 是 存在 的 爱因斯坦 在 1905 年 的 时候 连续 写 了 几篇 论文 讨论 了 光电效应 还有 布朗运动 还有 狭义 相对论 这 几个 方面 的 问题 那么 其中 这个 布朗运动 这 一方面 的 问题 就 确认 了 原子 的 存在 因为 爱因斯坦 这篇 论文 数学 内容 比较复杂 所以 咱们 只能 采用 一个 简化 的 版本 我们 来 讨论 一个 问题 叫做 随机 行走 随机 行走 什么 叫 随机 行走 就 比如说 有 一个 醉汉 这个 醉汉 靠 在 一个 栏杆 O 处 然后 这个 醉汉 准备 回家 但是 因为 他 已经 腿脚 不好 使 了 所以 他 走 着 走 着 就 会 拐弯 是 吧 他 开始 的 时候 走 了 一米 走 了 一个 距离 然后 就 不 知道 往 哪 拐 了 随便 拐 了 一个 然后 又 随机 拐 了 一个 弯 然后 又 随机 拐 了 一个 弯 又 随机 拐 了 一个 弯 每 走 一步 他 的 步长 是 确定 的 但是 他 每 走 完 一步 之后 都 会 拐个 弯 而且 这个 拐弯 是 随机 的 我们 假设 他 的 每 一个 步骤 他 每 走 一步 他 的 位移 叫 xᵢ xᵢ 什么 意思 就是 先走 这个 叫 x₁ 再 走 这个 x₂ x₃ x₄ x₅ ... 就 叫 xᵢ 对 吧 xᵢ 是 个 矢量 而且 每 一步 的 长度 都 一样 就 长度 叫 L 吧 是不是 然后 走 完 了 步骤 之后 他 的 位置 我们 用 字母 Rɴ 来 表示 位置 叫 Rɴ 就是 你 走 了 N 步 之后 你 在 哪 你 比如说 这个 就是 走 了 一步 二步 三步 四步 五步 走 了 五步 所以 从 O 点到 这 这个 矢量 就 叫 R₅ 就 走 了 五步 之后 你 所在 的 位置 就是 R₅ 你 再 走 一步 就 出来 R₆ 了 对 不 对 所以 Rɴ 等于 什么 呢 其实 是 等于 每 走 一步 的 位移 加 起来 其中 i 等于 1 一直 到 N 把 所有 的 每 走 的 一步 矢量 求和 就是 你 最后 到达 的 位置 然后 爱因斯坦 想 讨论 什么 呢 就是 假如 这个 分子 是 无规则 运动 就 像 这个 醉汉 一样 那么 经过 了 一段时间 之后 这些 个 分子 离 出发点 到底 有多远 这是 爱因斯坦 想 讨论 的 问题 那么 这个 问题 好像 没有 答案 为什么 这么 说 呢 你 想 如果说 这个 醉汉 他 是 往前 一步 往后 一步 往前 一步 往后 一步 ... 你 走 N 步 之后 你 到 原点 的 距离 就是 0 所以 最小 距离 是 0 但 如果 你 一直 往前走 呢 你 一直 往前走 的话 每 一步 长度 是 L 走到 N 步 你 最长 是 NL 所以 这个 醉汉 到 原点 的 距离 应该 是 在 0 和 NL 之间 那 爱因斯坦 就 想 问 了 平均 是 多少 如果 醉汉 走 了 很 多次 的话 每 一次 都 走 N 步 的话 那么 你 到 出发点 的 平均 距离 是 多少 爱因斯坦 就 想 讨论 这个 问题 其实 这个 问题 我们 用 简化 的 方法 讨论 起来 并 不 复杂 咱们 来看 一下 好 我们 现在 对 这个 问题 进行 一下 矢量 的 分析 我们 想 研究 一下 走 了 N 步 之后 这个 醉鬼 随机 行走 了 之后 到底 能离 出发点 有多远 怎么 分析 呢 我们 看 假如 走到 k 步 之后 这 出发点 o 走到 k 步 之后 它 到 这儿 就 来回 走来走去 到 这儿 走 了 k 步 那 这样一来 它 的 Rĸ 就 是从 出发点 算 的 这个 位矢 就是 这个 矢量 对 不 对 然后 它 就 又 走 了 一步 又 走 了 一步 应该 叫 Xĸ₊₁ 吧 又 走 了 一步 好 那么 新 的 位 矢 就 变成 了 叫 Rĸ₊₁ 这 就是 走 了 k 步 然后 又 走 了 一步 That's k steps and then another step. 这 是 新 的 位 矢 此时 这个 Xĸ₊₁ 和 Rĸ 之间 它们 之间 有个 角度 就 叫 θ 咱们 来看 一看 这个 θ 的 角 它 是 在 哪个 范围 内 呢 θ 角 最小 应该 是 在 哪个 范围 内 The minimum θ angle should be within which range θ 角 最小 应该 是 0 度 就是说 新 走 的 这个 步 和 这个 位矢 是 反向 的 就是 0 度角 也 有 可能 它 正好 是 向 外 的 向外 的话 就是 180 度 所以 这个 角 最大 就是 180 度 0 到 180 度 之间 那 我 想 问 了 平均 来讲 θ 是 多少度 平均 来讲 我们 是不是 可以 说 它 叫 90 度 是 吧 有人 说 不合理 凭 什么 平均 90 度 是 这样 的 这个 算法 不太 合理 但是 它 比较简单 我们 先 用 这种 办法 推出 结论 来 然后 咱们 再 看 一些 比较 正常 的 方法 平均 来讲 夹角 是 90 度 如果 是 90 度 这 是 个 什么 三角形 是 一个 直角三角形 对 不 对 所以 我们 就 说 那 Rĸ₊₁² 等于 Rĸ² 再 加上 这个 的 平方 因为 每 一个 步骤 它 都 是 走 L 长度 对 不 对 所以 这个 醉鬼 这 一步 就是 L² 是不是 当然 这 只是 平均 来讲 我们 加 一个 箭头 号 表示 平均值 对 吧 L 不用 加 L 是 个 定值 L does not need to be added L is a constant value 就 平均 来讲 Rĸ₊₁² 会 比 Rĸ² 多 一个 L² 那 你 不要 忘 了 R₁² 等于 几 你 走 完 了 一步 之后 不管 你 往 哪 走 走 了 一步 到 原点 的 距离 都 是 L 对 不 对 所以 它 等于 L² 从 上面 的 这个 式子 能 看出 它 是 个 等差数列 底下 这个 是 首项 首项 就是 L² 你 能 不能 告诉 我 通过 这 两个 式子 你 能 得出 这个 Rɴ 是 多少 能 看 出来 吧 这 是 个 等差数列 公差 是 L² 首项 也 是 L² 所以 Rɴ² 平均值 就 等于 NL² 这个 N 是 什么 N 就是 步数 就是 这个 醉汉 他 到底 走 了 多少 步 而 这个 L 就是 每 一步 的 长度 每 一步 的 长度 在 这个 分子运动 上 讲 叫做 平均 自由 程 Mean free path 就是 平均 这个 分子 可以 无 阻碍 的 走 多 远 然后 撞 别人 之后 再 进行 这个 方向 的 变化 平均 自由 程 Average Freedom Program 你 像 这个 气体 平均 自由 程就大 因为 它 这个 分子 离得 远 像 固体 液体 它 平均 自由程 就会 比较 小 Like solids and liquids, its average free range is relatively small. 这个 L 就是 平均 自由 程 好 这是 一种 不是 很 那个 严谨 的 方法 那 我们 来说 一说 稍微 严谨 一点 的 方法 是 什么 呢 我们 得 用 矢量 进行 分析 就是 你 从 这 张图 上 就 能 看 出来 叫做 Rĸ₊₁ 的 矢量 它 应该 等于 Rĸ 的 矢量 再 加上 Xĸ₊₁ 的 矢量 有 这么 一个 观点 然后 我 让 它 左右 两边 自己 点 乘 自己 Rĸ₊₁² 就 等于 右边 自己 点 自己 的话 就是 Rĸ²+Xĸ₊₁²+2Rĸ·Xĸ₊₁ 好 然后 我们 取 平均 取 平均 表示 方法 是 加 一个 这样 的 括号 加 一个 括号 大家 看 这 里面 Xĸ₊₁² 它 是 一个 定值 就是 L² 每 一步 的 步长 就是 L² 这 一项 里边 有 一个点 乘 大家 知道 吧 点 乘 如果 它们 夹 的 是 锐角 的话 那点 乘 就是 正 的 如果 夹 钝角 的话 点 乘 就是 负 的 平均 来讲 这个 点 乘 是 几 是 0 吧 是不是 所以 这么 一 平均 这 一项 是 0 那 只 剩下 前面 这 一项 那 你 不 还 跟 刚才 一样 吗 所以 Rĸ₊₁² 的 均值 就 等于 Rĸ² 的 均值 加上 L² 那 你 就 和 这个 式子 一模一样 了 对 不 对 反正 最终 结果 都 会 得出 一个 同样 的 结论 就是 走 了 N 步 之后 它 到 原点 的 距离 的 平均值 应该 等于 √N 再 乘以 一个 L 是不是 √N 就是 根号 下 步数 而 L 就是 每 一步 的 长度 是 吧 有 了 这个 结论 之后 我们 就 可以 研究 一个 分子 到底 经过 一段时间 可以 运动 多远 了 我们 说 一个 分子 它 有 个 平均速度 是 吧 平均速度 叫 v 然后 它 还有 一个 扩散 的 时间 它 扩散 了 多长时间 呢 扩散 时间 叫 t 还有 就是 平均 自由 程 平均 自由 程叫 L 就是 每 一次 它 可以 不 转向 的 走 多 远 叫 L 然后 我 就 问 你 在 这种 情况 下 请问 这个 分子 会 走 多 远 是 吧 怎么 算 呢 咱们 可以 这么 想 你 看 它 平均 自由 程是 L 平均速度 又 是 v 所以 每一 步骤 的 时间 每 一个 步骤 它 的 时间 t₀ 是 多少 是不是 就是 L/v 每 一步 是 这么 长时间 所以 步数 N 就是 t/t₀ 对 吧 用 扩散 的 时间 除以 每 一步 的 时间 所以 这个 结果 是 vt/L 是不是 然后 你 再 把 这个 N 你 代入 到 这 里面 去 你 就 会 发现 此时 扩散 的 平均 距离 Rɴ 它 的 平均值 等于 多少 呢 把 这个 代 进去 就是 √(vtL) √(vtL) 什么 意思 呢 就是 分子运动 的 速度 越 快 它 离 原点 的 距离 就 越远 所以 温度 高 的 时候 扩散 的 快 t 是 时间 对 吧 时间 越长 扩散 的 越远 这 很 正常 还有 L 是 平均 自由 程 平均 自由 程越 大 扩散 的 越远 而且 它 是 与 它们 有 一个 根号 下 的 一个 关系 爱因斯坦 就 得出 了 一个 类似 于 这种 表达式 的 这么 一个 关系 而且 利用 这个 关系 爱因斯坦 还 可以 计算 阿伏加 德罗 常数 Einstein can also calculate Avogadro's constant 虽然 爱因斯坦 自己 没有 去 算 但是 后来 别的 科学家 把 这个 阿伏 加德 常数 通过 这种 办法 算 出来 了 并且 获得 了 诺贝尔奖 爱因斯坦 没有 因为 这件 事情 而 获奖 有 了 这个 结论 之后 我们 就 明白 了 说 原来 分子 在 不停 的 运动 但是 我们 还 可以 从 统计学 的 观点 得 出来 它 的 运动 规律 是 什么 最后 我们 就要 回答 最 开始 的 时候 我们 提出 的 问题 了 说 太阳 太阳 发出 的 光 多久 能够 到达 地球 呢 有人 说 非常简单 八分钟 小 的 时候 就 知道 那 是 太阳 表面 的 光 照射到 地球 上 需要 八分钟 我们 看到 的 是 八分钟 之前 的 太阳 但是 太阳 发光 的 并 不是 表面 太阳 发光 的 部分 是 在 太阳 的 核心 太阳 的 核心 才 会 有 聚变 然后 这个 核心 聚变 发出 来 的 光子 经过 非常 非常 曲折 的 道路 才能 到达 表面 因为 它 经常 会 与 太阳 发生 碰撞 撞来 撞 去 它 就 往回 走 了 你 知道 吗 最后 它 扩散 到 表面 了 所以 太阳光 从 核心 出来 了 之后 它 不是 奔 着 表面 走 的 它 是 扩散 一点 一点一点 到达 表面 了 那 我 就 想 问 如果 我们 认为 这个 光是 太阳 最 中心 发出 来 的 它 到 表面 到底 需要 多长时间 呢 我们 要 给 几个 参数 首先 第一个 参数 是 太阳 的 这个 半径 半径 就是 你 所 需要 扩散 的 距离 对 吧 大概 是 七十万 公里 也 就是 7×10⁸ 米 这是 太阳 的 这个 半径 然后 就是 光速 光速 应该 是 3×10⁸ 米 / 秒 对 吧 还有 太阳 的 平均 自由 程 这个 不太好 估计 有 科学家 估计 光子 在 太阳 里边 的 平均 自由 程是 10⁻⁵ 米 也 就是 0.01 毫米 这个 量级 那么 假如 你 把 这 三个 式子 都 代入 到 这个 表达式 中 去 你 就 可以 计算 出 时间 来 了 那么 这个 光子 从 太阳 核心 到达 表面 所 需要 的 平均 时间 是 Rɴ²/(vL) 把 数据 代 进去 这个 答案 大概 是 500 万年 500 万年 什么 意思 就是 太阳 核心 部位 聚变 然后 发出 一个 光子 这个 光子 在 太阳 里边 走来走去 大概 要 走 500 万年 才能 到达 太阳 的 表面 到 了 太阳 表面 之后 只 需要 8 分钟 就 进入 到 我们 的 眼睛 了 所以 我们 看到 的 这个 太阳光 是 8 分钟 之前 从 太阳 表面 过来 的 但是 却是 500 万年 之前 从 太阳 核心 因为 聚变 而 发出 来 的 光 是 吧 所以 这个 看起来 非常 像 蝉 对 吧 So this looks very much like a cicada, right 蝉 在 地下 可以 生活 很多年 什么 3 年 5 年 7 年 13 年 ... 这样 的 蝉 结果 爬 到 地上 之后 只能 生活 几十天 太阳光 也 是 这个 样子 其实 爱因斯坦 在 1905 年 的 时候 还有 很多 其他 的 贡献 我们 下 一回 还会 再 给 大家 介绍 一个 爱因斯坦 提出 的 有趣 的 问题 大家 如果 喜欢 我 的 视频 可以 在 YouTube 账号 李永乐 老师 订阅 我 点击 小 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息