什么 形状 的 地板 可以 铺满 整个 房间 ？数学家 研究 了 100年！

妈咪 说 知识 就是 力量 大家 好 我 是 妈咪 叔

今天 咱们 再来 聊 一个 有趣 的 问题

是 关于 地砖 的 就是 地板

咱们 看看 地板 里 能 挖出 多少 知识 哈

首先 家里 的 地板 一般 都 是 长方形 是 吧 ？

因为 长方形 可以 铺满 整个 房间 就是 中间 不留 空隙

这个 在 数学 上 叫做 密铺 问题

那 第一个 问题 什么样 的 图形 可以 密铺 呢 ？

这个 问题 比较 大 这样 咱们 加上 一个 条件

什么样 的 正多边形 可以 铺满 房间 呢 ？

房间 边上 你 可以 裁掉 或者 用些 边角料 这个 就 不算 了

只要 中间 不留 空隙 就行了

然后 为了 美观 和 省事 我们 只用 一种 形状 的 地砖 单元

就是 每块 地砖 长得 都 一模一样

也 就是 所谓 的 单密 铺 问题

首先 我们 很 容易 想到 正方形 肯定 可以 了

因为 常见 的 大理石 地砖 就 都 是 正方形 的

还有 吗 ？ 正 六边形 也 可以 蜂窝 对 吧 ？

正 六边形 如果 可以 正三角形 就 一定 可以

因为 正 六边形 就是 六个 正三角形 嘛

没 了 只有 这 三种 正多边形 可以 密铺

原因 其实 很 简单

因为 三角形 、 正方形 和 正 六边形 的 内角 刚好 是 360 的 因子

60、90、120 所以 它们 可以 密铺

好 那 现在 把 问题 延伸 一下

如果 不是 正多边形 呢 ？ 什么样 的 形状 可以 密铺 呢 ？

是不是 大家 依旧 感觉 这个 问题 好 简单 啊

其实 还 真不简单

就 在 2015 年 数学家 才 解决 了 周期性 单密 铺 问题

整个 历史 也 有 几百年 了 咱们 来看 咋 回事

先 来看 四边形 吧 家里 的 地板 就是 四边形 嘛

长方形 肯定 可以 密铺 了 那 平行四边形 可以 密铺 吗 ？

显然 也 是 可以 的 那 你 会 发现

如果 平行四边形 可以 密铺 那 就 意味着 任意 三角形 也 可以 密铺

因为 你 只要 连接 平行四边形 的 一条 对角线 就 会 得到 两个 全等 的 三角形

那 倒 过来 说 就是 两个 任意 全等 的 三角形 都 可以 先 摆成 一个 平行四边形

然后 就 可以 密铺 了

所以 任意 形状 的 三角形 都 可以 密铺 能 明白 吧 ？

三角形 的 问题 这 就 解决 了

那 继续 刚才 的 思路 平行四边形 可以 了

那 请问 任意 的 四边形 可以 密铺 吗 ？

可以 的

因为 四边形 的 内角 和 是 360 度

这样 你 就 可以 用 四个 全等 的 四边形

通过 旋转 和 翻折 把 四个 不同 的 角 挤 到 一个 顶点 上去

你 就 会 得到 一个 八边形 的 密铺 单元

然后 用 它 就 可以 密铺 了

所以 任意 的 四边形 也 可以 密铺

到 这里 咱们 先 把 密铺 问题 放一放

有 这么 一个 无聊 的 问题

就是 既然 任意 三角形 任意 四边形 都 可以 密铺

那 为什么 地板 要 做成 长方形 呢 ？

首先 肯定 和 美观 有 关系 了

我们 中国 人 自古以来 就 喜欢 横 平竖直 井井有条 啊

所以 三角形 的 地砖 我 是 没见 过

可是 既然 喜欢 方方正正 为什么 地板 要 用 长方形 而 不用 正方形 呢 ？

我 个人 想到 了 这样 一个 原因

不 知道 当初 设计 地板 和 瓷砖 的 人 是不是 这么 考虑 的 哈

没 考证 过

就是 地板 铺上 以后 最大 的 问题 是 什么 呢 ？

是 清洁 问题 就是 我们 总得 拖地 啊

那 地板 的 面 不是 问题 了 但是 地板 缝 就 特别 容易 进灰

所以 理论 上 你 屋子 多大 就 用 多 大 一块 地板 这 是 最 完美 的

没有 缝

但是 除非 你 特制 要不然 不 可能 是 吧 ？

那 我们 考虑 这样 一个 问题

比如说 房间 面积 是 固定 的 100 平

我 现在 要 限制 每 一块 地板 的 面积 假设 是 1 平

不管 什么 形状 我 就 打算 用 平均 100 块 搞定

那 在 这种 每块 地板 面积 是 一个 定值 的 情况 下

什么样 形状 的 地板 才能 使 屋子里 的 地板 缝 的 总长度 最小 呢 ？

问题 清楚 吧 ？

其实 地板 缝 的 总长 还是 很 好求 的

因为 每 一条 缝 都 是 两个 图形 公用 的 啊

所以 地板 缝 的 总长 就 等于 所有 地板 的 周长 之 和 减去 房间 的 周长 再 除以 2

对 吧 ？ 你们 可以 思考 一下

也 就是 地板 缝 和 每 一块 地板 的 周长 有关

那 这个 问题 就 变成 了 每 一块 地板 面积 是 固定值 的 时候

什么样 的 形状 周长 最小 呢 ？

或者 我们 反过来 问 周长 一定 什么 形状 面积 最大 呢 ？

等 周 定理 对 吧 ？ 是 个 圆

但是 圆 又 不能 密铺

我们 想要 四边形 对 吧 ？ 所以 我们 再 限制 一下 条件

周长 一定 的 情况 下 什么样 的 四边形 面积 最大 呢 ？

其实 这个 问题 水 也 很 深

答案 是 正多边形 也 就是 正方形

听 起来 挺 好 理解 的 但是 证明 起来 不太 容易

咱们 改天 再说 这个 证明

如果 我们 不 限制 四边形 在 所有 能密 铺 的 形状 里

单位 面积 的 地板 什么 形状 才能 使得 地板 缝 总长 最小 呢 ？

答案 是 正 六边形

千万 不要 觉得 这个 问题 很 无聊 哈

这个 问题 最早 要 追溯到 公元前 50 年 左右

古罗马 的 学者 瓦罗 就 曾经 考虑 过

它 叫做 蜂窝 猜想 完整 的 描述 是

使用 最少 的 周长 将 一个 平面 划分 成 面积 相等 区域 的 最佳 方法

这 就 和 咱们 刚才 探讨 的 地板 缝 是 等价 的 命题

然而 它 的 证明 却是 一直 到 了 1998 年 才 由 美国 数学家 黑尔斯 证明

其实 黑尔斯 是 奔 着 开普勒 猜想 去 了 顺带 着 把 蜂窝 猜想 证明 了

开普勒 猜想 咱们 下期 再说

你 看 所以 理论 上 家里 的 地板 在 我们 强行 要求 是 四边形 的 情况 下

正方形 才 会 使 地板 缝 的 长度 最小

但是 别忘了 前提 哈 每块 地板 的 面积 是 固定 的

如果 不 固定 肯定 越大越 好 啊

那 为什么 要 用 长方形 呢 ？

我 感觉 因为 地板 是 镶嵌 的

就是 如果 有 一块 地板 坏 了 长方形 拆卸 起来 比较 方便

而 对于 不是 镶嵌 的 而是 拼接 的 瓷砖 来说 一般 正方形 就 比较 多 了

因为 我 从 哪 都 能 把 它 扣下来 可能 是 这个 原因 吧

好 这 是 闲聊 哈 说 回到 主题

三角形 和 四边形 我们 解决 密铺 问题 了

五边形 以上 有 可以 密铺 的 非 正多边形 形状 吗 ？

这个 问题 就 不 那么 简单 了

貌似 不是 任意 五边形 和 六边形 都 能 密铺

所以 数学家 决定 先 减小 一点 难度

就是 只 考虑 凸多边形 凹 多边形 先 不管

其实 凹 多边形 简单 它 只是 凸多边形 的 特烈

这个 问题 最早 公开 发表 论文 进行 探讨 的 人 是 德国 数学家 莱因哈特

他 在 1918 年 发表 了 一篇 论文

其中 给出 了 五种 可以 密铺 的 五边形 形状

这五种 情况 比较 好 理解

比如说 其中 的 有 一种

就是 把 一个 正 六边形 用 120 度 的 Y 字形 分成 三个 全等 的 五边形

然后 利用 这个 正 六边形 密铺 单元 进行 密铺

那 你 可能 会 问 我 把 这个 Y 字形 旋转 一个 角度

这 不 就 有 无限 种 情况 了 嘛

是 的 不过 在 数学家 眼里 这 就是 一种 情况

所以 莱因哈特 最早 给出 了 五种

然后 这个 问题 就 搁置 了

又 过 了 大概 45 年

1963 年 数学家 证明 了 对于 一般 六边形 只有 三种 密铺 方式

你 说 我 把 正 六边形 压扁 一点 这 不 还是 有 无数种 吗 ？

在 拓扑学 里 这 和 正 六边形 密铺 是 一样 的

所以 咱们 寻找 的 是 密铺 的 方式

这 六边形 一下 就 解决 了

除此之外 数学家 还 证明 在 大于 等于 七边 形 的 形状 中

不 存在 密铺 方式 了 这是 阶段性 进展

你 看

三四 （ 边形 ） 解决 了 、 六 （ 边形 ） 以上 也 解决 了

现在 只要 解决 了 五边形 密铺 问题 那 就 可以 完结 了 呀

于是 人们 对于 五边形 密铺 又 开始 重视 起来 了

到 了 1968 年 数学家 Kershner 又 给出 了 三种 五边形 密铺 方式

当时 Kershner 在 论文 里 还 宣称 说 除此之外 再 没有 了

证明 太 多 论文 里 写 不下 了 但是 只有 这 八种 妥妥 的

结果 到 了 1975 年 被 打 脸 了

有 一个 程序员 叫做 理查德 · 詹姆斯

他 是 偶然间 看到 了 Kershner 论文

就 用 电脑 找 了 一下 果然 又 发现 一种 这 就 有 九种 了

同年 美国 一位 科普 作家 马丁 · 加德纳

就 把 这个 事 发表 在 了 科学 美国 人 杂志 上

人家 美国 的 科普 工作 就 做 的 很 好 是 吧 我 还 得 再 努力

然后 加德纳 还 把 詹姆斯 的 这种 密铺 方式 命名 为 第十种 type X

你 看 苹果 手机 跳过 第九代 直接 iPhone X 不是 先例

就 象征 着 未完待续

果不其然 这个 问题 火 了

又 过 了 两年 1977 年 又 有 新 发现 了

还是 一位 业余 女 数学家

准确 的 说 是 一位 大妈 叫做 玛乔里 · 赖斯

只有 高中 文凭 但是 在 几何学 却 很 出名

这位 去年 刚刚 去世

1975 年 赖斯 看到 加德纳 的 科普 文章 之后

用 了 两年 时间 也 就是 1977 年 没事 就 自己 在家 画

又 给出 了 4 种 五边形 密铺 方式 厉害 吧 ？

至此 五边形 密 铺就 已经 有 13 种

1985 年斯坦 发现 了 第十四 种 五边形 密铺

然后 这个 问题 就 又 停滞 了

30 年 之后 也 就是 2015 年

美国华盛顿大学 的 卡西 · 曼 教授 和 他 的 妻子 还有 学生

利用计算机 又 发现 了 一种 五边形 密铺 方式

一个 很 奇怪 的 形状

用 了 12 个 全 等 五边形 构成 一个 类似 于 S 的 密铺 单元

一共 15 种 了

到 了 2017 年 数学家 劳 再次 利用计算机 证明 了 之前 的 15 种

就是 全部 的 五边形 密铺 方式 了

看起来 这个 问题 终于 是 可以 告一段落 了

一个 铺地板 的 问题 居然 研究 了 这么 长时间

但是 这 还 没完

因为 我们 只 考虑 了 单密 铺 对 吧 ？

如果 你 可以 用 两种 形状 呢 ？ 或者 三种 呢 ？

你 看 立马 这个 问题 就 变得 更 复杂 了

而且 要是 非周期性 密铺 呢 ？

所谓 周期性 密铺 就是 先 找到 一个 密铺 单元 然后 重复 重复

如果 没有 这个 密铺 单元 还 可以 密铺 吗 ？ 这 就是 非周期性 密铺

有 很多 有名 的 例子 比如说 彭罗 斯密 铺

这 就是 典型 的 非周期性 密铺 但 这 就 不是 单密 铺 了

还有 很多 大街 上 看到 的 地砖 铺 的 方式 也 都 是 非周期性 的

然后 从密 铺 问题 还 可以 延伸 出 很多 问题

比如说 从 平面 提升 到 空间

什么样 的 三维 图形 可以 铺满 整个 空间 呢 ？

再 比如说 数学家 考虑 了 这样 一个 很 实际 的 问题

而且 比密 铺 问题 研究 的 要 早 很多

就是 假设 我 有 很多 个 相同 体积 的 球体

现在 我 想要 把 这些 球体 放到 一个 箱子 里

如何 摆放 才能 放 的 最 多 呢 ？ 是不是 很 有 生活 感 啊 ？

这个 问题 的 答案 就是 咱们 刚才 提到 的 开普勒 猜想

你们 先 思考 一下 咱们 下期 接着 聊

我 是 妈咪 叔 一个 较真儿 的 理工 男

下期 见 拜拜