无限 旅馆 悖论 - Jeff Dekofsky Das Unendlichkeitshotel-Paradoxon - Jeff Dekofsky The Infinity Hotel Paradox - Jeff Dekofsky インフィニティ・ホテルのパラドックス - Jeff Dekofsky Парадокс отеля Infinity - Джефф Декофски 無限旅館悖論- Jeff Dekofsky

在 1920年， In the 1920's, 在1920年，

德国 数学家 David Hilbert the German mathematician David Hilbert 德国数学家David Hilbert

设计 了 一个 著名 的 思维 实验 devised a famous thought experiment 设计了一个著名的思维实验

向 我们 展示 了 to show us just how hard it is 向我们展示了

深入 思考 无限 的 理念 到底 有 多难。 to wrap our minds around the concept of infinity. 深入思考无限的理念到底有多难。

想象 一个 酒店 有 无限 数量 的 房间 Imagine a hotel with an infinite number of rooms 想象一个酒店有无限数量的房间

和 一个 认真 工作 的 夜班 经理。 and a very hardworking night manager. 和一个认真工作的夜班经理。

一天 晚上 ，无限 酒店 满房 了， One night, the Infinite Hotel is completely full, 一天晚上，无限酒店满房了，

被 无限 数量 的 客人 全部 预定 了。 totally booked up with an infinite number of guests. 被无限数量的客人全部预定了。

一个 男士 走进 了 酒店 A man walks into the hotel and asks for a room. 一个男士走进了酒店

并且 要求 一个 房间。 And ask for a room. 并且要求一个房间。

夜班 经理 并 没有 拒绝 他， Rather than turn him down, 夜班经理并没有拒绝他，

而是 决定 给 他 一个 房间。 the night manager decides to make room for him. 而是决定给他一个房间。

怎么 可能？ How? 怎么可能？

很 简单 ，他 让 1号 客房 的 客人 Easy, he asks the guest in room number 1 很简单，他让1号客房的客人

搬到 了 2号 客房， to move to room 2, 搬到了2号客房，

2号 客房 的 客人 搬到 3号 客房， the guest in room 2 to move to room 3, 2号客房的客人搬到3号客房，

以此类推。 and so on. 以此类推。

每个 客人 从 “n”号 房间 Every guest moves from room number "n" 每个客人从“n”号房间

搬入 “n+1”号 房间。 to room number "n+1". 搬入“n+1”号房间。

因为 那里 有 一个 无限 个 房间， Since there are an infinite number of rooms, 因为那里有一个无限个房间，

总有 一个 新 房间 给 每 一个 已有 的 客人 there is a new room for each existing guest. 总有一个新房间给每一个已有的客人

这样 1号 房间 就 留给 了 新 的 客人。 This leaves room 1 open for the new customer. 这样1号房间就留给了新的客人。

这个 过程 可以 被 重复 The process can be repeated 这个过程可以被重复

给 任何 有限 数量 的 新 客人 们。 for any finite number of new guests. 给任何有限数量的新客人们。

假设 一个 观光 大巴 If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms, 假设一个观光大巴

40人 下车 要 找 房间， 40 people got off the bus to find the room. 40人下车要找房间，

那么 每个 已 在 的 客人 只要 Then every guest who is already in just 那么每个已在的客人只要

从 “n"号 房间 from room number "n" 从“n"号房间

搬 到 “n+40"号 房间， to room number "n+40", 搬到“n+40"号房间，

因此 ，就 能 打开 新 的 40个 房间。 thus, opening up the first 40 rooms. 因此，就能打开新的40个房间。

但是 现在 有 一个 无限大 的 巴士 But now an infinitely large bus 但是现在有一个无限大的巴士

拉 了 可数 的 无限 多 的 乘客 with a countably infinite number of passengers 拉了可数的无限多的乘客

来租 房间。 pulls up to rent rooms. 来租房间。

可数 的 无限 是 关键。 countably infinite is the key. 可数的无限是关键。

现在 ，极大 的 巴士 的 无限 的 乘客 Now, the infinite bus of infinite passengers 现在，极大的巴士的无限的乘客

一 开始 为难 了 夜店 经理， perplexes the night manager at first, 一开始为难了夜店经理，

但是 他 意识 到 有 一个 方法 but he realizes there's a way 但是他意识到有一个方法

来 安置 每 一个 新人。 to place each new person. 来安置每一个新人。

他 让 1号 房间 的 客人 He asks the guest in room 1 to move to room 2. 他让1号房间的客人

搬到 了 2号 房间。 Moved to room #2. 搬到了2号房间。

他 然后 让 2号 房间 的 客人 He then asks the guest in room 2 他然后让2号房间的客人

搬到 了 4号 房间， to move to room 4, 搬到了4号房间，

3号 房间 的 客人 the guest in room 3 to move to room 6, 3号房间的客人

搬到 6号 房间， Move to room 6. 搬到6号房间，

以此类推。 And so on. 以此类推。

每 一个 当前 的 客人 从 ”n"号 房间 Each current guest from room "n" 每一个当前的客人从”n"号房间

搬到 了 “2n“号 房间， Moved to room "2n". 搬到了“2n“号房间，

填补 了 只有 无限 的 偶数号 房间。 filling up only the infinite even-numbered rooms. 填补了只有无限的偶数号房间。

通过 这个 ，他 现在 清空 了 By doing this, he has now emptied 通过这个，他现在清空了

所有 的 无限 的 奇数 号 房间， all of the infinitely many odd-numbered rooms, 所有的无限的奇数号房间，

无限大 的 巴士 的 乘客 们 which are then taken by the people filing off the infinite bus. 无限大的巴士的乘客们

将 占用 这些 奇数 房间。 will occupy these odd-numbered rooms. 将占用这些奇数房间。

每个 人 的 开心 和 酒店 的 生意 Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever. 每个人的开心和酒店的生意

达到 了 从未有过 的 兴荣。 It has reached a level of prosperity that has never been seen before. 达到了从未有过的兴荣。

好 吧 ，事实上 ，它 只是 和 以前 一样 Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever, 好吧，事实上，它只是和以前一样

一直 在 兴荣， has been in the Hing Wing. 一直在兴荣，

在 一夜之间 把 无数 的 美元 存入 银行。 banking an infinite number of dollars a night. 在一夜之间把无数的美元存入银行。

关于 这家 惊人 的 酒店 的 消息 传开 了。 Word spreads about this incredible hotel. 关于这家惊人的酒店的消息传开了。

人们 从 世界各地 蜂拥而来。 People pour in from far and wide. 人们从世界各地蜂拥而来。

一天 晚上 ，意外 发生 了。 One night, the unthinkable happens. 一天晚上，意外发生了。

夜班 经理 看 了 外面 The night manager looks outside 夜班经理看了外面

并且 看到 了 由 无限 大巴 们 and sees an infinite line of infinitely large buses, 并且看到了由无限大巴们

组成 的 一个 无限 的 排列， consists of an infinite array of 组成的一个无限的排列，

每个 大巴 都 有 一个 可数 的 无限 多 的 客人。 each with a countably infinite number of passengers. 每个大巴都有一个可数的无限多的客人。

他 能干 些 什么？ What can he do? 他能干些什么？

如果 他 不能 给 他们 找到 房间， If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out 如果他不能给他们找到房间，

这个 酒店 可能 会 This hotel may be 这个酒店可能会

失去 一大笔 无数 的 钱， on an infinite amount of money, 失去一大笔无数的钱，

并且 他 肯定 会 失去 他 的 工作。 and he will surely lose his job. 并且他肯定会失去他的工作。

幸运 的 是 ，他 记得 Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E., 幸运的是，他记得

在 公元 300年前， In the year 300 A.D., the 在公元300年前，

Euclid证明 了 质数 的 Euclid proved that there is an infinite quantity Euclid证明了质数的

一个 无穷 量。 of prime numbers. 一个无穷量。

所以 ，为了 完成 这个 看上去 不 可能 的 任务 So, to accomplish this seemingly impossible task 所以，为了完成这个看上去不可能的任务

找到 无数 的 床 of finding infinite beds for infinite buses 找到无数的床

给 无数 的 大巴 上 的 For the countless busloads of 给无数的大巴上的

无数 的 疲倦 的 旅客 们， countless tired travelers. 无数的疲倦的旅客们，

夜店 经理 安排 给 每个 当前 的 客人 the night manager assigns every current guest 夜店经理安排给每个当前的客人

第一个 质数，2， to the first prime number, 2, 第一个质数，2，

幂指数 为 他们 当前 的 房间 号。 raised to the power of their current room number. 幂指数为他们当前的房间号。

因此 ，当前 所 居住 房间 号 为7 So, the current occupant of room number 7 因此，当前所居住房间号为7

那么 就要 住 到 房间 号 为 2的 7次方 的 房间 里， goes to room number 2^7, 那么就要住到房间号为2的7次方的房间里，

也 就是 128号房。 which is room 128. 也就是128号房。

夜班 经理 然后 带领 The night manager then takes the people on the first of the infinite buses 夜班经理然后带领

在 第一个 超级 大巴 们 上 的 人们 The people on the first superbus 在第一个超级大巴们上的人们

并且 安排 了 房间 号 给 他们 and assigns them to the room number 并且安排了房间号给他们

下 一个 质数，3， of the next prime, 3, 下一个质数，3，

幂指数 为 他们 在 大巴 的 座位号。 raised to the power of their seat number on the bus. 幂指数为他们在大巴的座位号。

因此 ，座位号 为 7的 第一辆 大巴 上 的 人 So, the person in seat number 7 on the first bus 因此，座位号为7的第一辆大巴上的人

到 房间 号 为 3的 七次 方 goes to room number 3^7 到房间号为3的七次方

即 2187号 房间 去。 or room number 2,187. 即2187号房间去。

这个 过程 持续 给 第一辆 大巴 上 的 所有人。 This continues for all of the first bus. 这个过程持续给第一辆大巴上的所有人。

第二辆 大巴 上 的 乘客 们 The passengers on the second bus 第二辆大巴上的乘客们

被 安排 到 了 下 一个 质数 ，5的 幂. are assigned powers of the next prime, 5. 被安排到了下一个质数，5的幂.

接下 的 大巴 ，7的 幂。 The following bus, powers of 7. 接下的大巴，7的幂。

每辆 大巴 如下： Each bus follows: 每辆大巴如下：

11的 幂， powers of 11, powers of 13, 11的幂，

13的 幂， powers of 17, etc. 13的幂，

17的 幂 ，等等。 The power of 17 , etc. 17的幂，等等。

因为 这些 数字 每 一个 Since each of these numbers 因为这些数字每一个

都 只有 1和 它们 的 幂 本身 only has 1 and the natural number powers 都只有1和它们的幂本身

作为 因数， of their prime number base as factors, 作为因数，

因此 就 没有 重叠 数字 号 的 房间。 there are no overlapping room numbers. 因此就没有重叠数字号的房间。

所有 大巴 乘客 们 呈 扇形 散开 到 各自 房间 去 All the buses' passengers fan out into rooms 所有大巴乘客们呈扇形散开到各自房间去

利用 独特 的 房间 安置 计划 using unique room-assignment schemes 利用独特的房间安置计划

基于 独特 的 质数 们。 based on unique prime numbers. 基于独特的质数们。

这样一来 ，夜班 经理 能够 安排 In this way, the night manager can accommodate 这样一来，夜班经理能够安排

每辆 大巴 的 每位 乘客 入住。 every passenger on every bus. 每辆大巴的每位乘客入住。

尽管 ，还有 许多 房间 是 空 的， Although, there will be many rooms that go unfilled, 尽管，还有许多房间是空的，

像是 6号房 like room 6, 像是6号房

因为 6不是 任何 质数 的 幂。 since 6 is not a power of any prime number. 因为6不是任何质数的幂。

幸运 的 是 ，他 的 老板 数学 不是 很棒， Luckily, his bosses weren't very good in math, 幸运的是，他的老板数学不是很棒，

所以 他 的 工作 是 安全 的。 so his job is safe. 所以他的工作是安全的。

夜班 经理 策略 的 实现 是 可能 的 The night manager's strategies are only possible 夜班经理策略的实现是可能的

仅仅 因为 infinite酒店 because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare, 仅仅因为infinite酒店

一定 是 难办 之 事， It must be a difficult thing to do. 一定是难办之事，

它 只能 处理 最低水平 的 无穷 数， it only deals with the lowest level of infinity, 它只能处理最低水平的无穷数，

主要 是 可数 的 mainly, the countable infinity of the natural numbers, 主要是可数的

无限 自然数 Infinite Natural Number 无限自然数

1，2，3，4.等等。 1, 2, 3, 4. etc. 1，2，3，4.等等。

George Cantor称 这个 水平 为 无穷大 阿列 夫零. Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero. George Cantor称这个水平为无穷大阿列夫零.

我们 使用 自然数 为 房间 号 We use natural numbers for the room numbers 我们使用自然数为房间号

同时 也 是 大巴 的 座位号。 as well as the seat numbers on the buses. 同时也是大巴的座位号。

如果 我们 处理 更 高级 顺序 的 无穷 数， If we were dealing with higher orders of infinity, 如果我们处理更高级顺序的无穷数，

比如 实数， such as that of the real numbers, 比如实数，

这些 结构 策略 these structured strategies would no longer be possible 这些结构策略

便是 不 可能 的 Then it is not possible 便是不可能的

因为 我们 没有 办法 as we have no way to systematically include every number. 因为我们没有办法

系统地 包含 每 一个 数字。 Systematically includes every number. 系统地包含每一个数字。

实数 Infinite酒店 The Real Number Infinite Hotel 实数Infinite酒店

有 负数 号 的 房间 在 地下室， has negative number rooms in the basement, 有负数号的房间在地下室，

分数 号 的 房间， fractional rooms, 分数号的房间，

因此 房间 号 为 二分之一 的 人 总 怀疑 so the guy in room 1/2 always suspects 因此房间号为二分之一的人总怀疑

他 的 房间 小于 1号房 的 人。 he has less room than the guy in room 1. 他的房间小于1号房的人。

平方根 的 房间 ，像 房间 号 为 根号 2的 房间 Square root rooms, like room radical 2, 平方根的房间，像房间号为根号2的房间

和 房间 号 为 圆周率 的 房间， and room pi, 和房间号为圆周率的房间，

这些 乘客 期待 免费 的 点心。 where the guests expect free dessert. 这些乘客期待免费的点心。

而 什么样 的 自重 的 夜班 经理 What self-respecting night manager would ever want to work there 而什么样的自重的夜班经理

会 想要 在 那 工作 Will want to work there 会想要在那工作

甚至 是 为了 无穷的 薪水？ even for an infinite salary? 甚至是为了无穷的薪水？

但是 再 看看 Hilbert的 Infinite酒店， But over at Hilbert's Infinite Hotel, 但是再看看Hilbert的Infinite酒店，

永远 都 不会 有 空缺 where there's never any vacancy 永远都不会有空缺

并且 总是 有 房间 给 更 多 的 人， and always room for more, 并且总是有房间给更多的人，

永远 的 勤劳 还有 可能 太 热情好客 的 夜班 经理 the scenarios faced by the ever-diligent 永远的勤劳还有可能太热情好客的夜班经理

面临 着 这样 的 场景 and maybe too hospitable night manager 面临着这样的场景

是 在 提醒 我们 serve to remind us of just how hard it is 是在提醒我们

我们 这样 相对 有 穷 的 思维 We have a relatively poor mindset like this 我们这样相对有穷的思维

想 掌握 一个 像 无穷 数 一样 大 的 概念。 for our relatively finite minds 想掌握一个像无穷数一样大的概念。

是 有 多么 困难 to grasp a concept as large as infinity. 是有多么困难

可能 你 在 好好 睡 了 一晚 后 Maybe you can help tackle these problems 可能你在好好睡了一晚后

能 解决 这些 问题 after a good night's sleep. 能解决这些问题

但是 老实 说 ，我们 可能 需要 你 But honestly, we might need you 但是老实说，我们可能需要你

在 凌晨 2点换 房间。 to change rooms at 2 a.m. 在凌晨2点换房间。