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Archimedes Tube, El Producto de Euler y la Funcion ZETA de Riemann

El Producto de Euler y la Funcion ZETA de Riemann

el gran Euler demostró que la suma

infinita de los inversos de los

cuadrados, lo que se conoce como el

problema de Basilea, valía exactamente

pi cuadrado partido por seis.

Otras sumas infinitas como la de los inversos de los

naturales, lo que se conoce como la serie

armónica, aunque crecen muy lentamente

divergen. Esto es, su suma es infinito.

¿Qué tienen en común la infinidad de los

números primos, ya demostrada por

Euclides en el 300 antes de Cristo aproximadamente,

con la serie armónica y

con el problema de Basilea?

La respuesta es: la función Zeta de Riemann.

En este vídeo vamos a probar el siguiente

resultado que Euler demostró en 1737 y

que se considera el origen de la teoría

analítica de números. Fijemos un número

real s mayor o igual que 1, vamos a ver

que el producto moviéndonos en todos

los números primos p del inverso de

1 - p elevado a -s es igual a la suma

de n igual a 1 hasta infinito de los

inversos de n elevado a s.

Esto es, un producto igual a una suma

y vamos a utilizar este resultado para

demostrar que hay infinitos números primos

¡¡Empezamos!!

Si consideramos esta serie numérica para

distintos valores de s vemos que para

s=2 obtenemos el problema de

Basilea y para s=1 lo que

tenemos es la serie armónica

Euler demostró que esta serie que tiene tantos

términos como números naturales es igual

a un producto que tiene tantos factores

como números primos. Este resultado es

verdaderamente sorprendente porque la

serie numérica de esta igualdad es un

objeto propio del análisis matemático

que estudia sucesiones, series, derivadas,

integrales. Pero el producto de esta

igualdad es un objeto propio de la

aritmética porque se mueve en los

números primos. Riemann tomó este resultado

de Euler como punto de partida para

escribir un pequeño artículo de ocho

páginas. Este artículo lo utilizo como

ponencia para su nombramiento como

profesor de la Universidad de Berlín.

En ese artículo estudiaba la función Pi (x)

que cuenta el número de primos menores

que un determinado valor x.

Riemann consideraba la serie numérica de

los inversos de en elevado a s pero para

s un número complejo y la extendía de

forma analítica obteniendo una función

de los números complejos en los números

complejos.

Esta función se conoce con el nombre de

función Zeta de Riemann, pero en este vídeo

vamos a considerar solamente valores

reales de s.

Para demostrar el teorema del producto

de Euler para la función Zeta

utilizaremos tan sólo dos resultados que

ya conocemos.

En primer lugar necesitamos

el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Este resultado afirma que todo número natural

N se escribe de forma única con un

producto de números primos.

Por ejemplo, 600 se puede escribir de

forma única como el producto 2 por 2 por

2 por 3 por 5 por 5, esto es, 2 al cubo

por 3 por 5 al cuadrado. Aquí os dejo el

enlace al vídeo en el que probamos la

existencia de esta descomposición.

El segundo resultado que vamos a utilizar

es la fórmula para el límite de una

serie geométrica. Una serie geométrica es

aquella que comienza con un término 'a'

y cada nuevo término se obtiene

multiplicando el anterior por un número

'r' llamado razón. Esta serie es

convergente si el valor absoluto de 'r' es

menor que 1 y la suma infinita, esto es,

el límite es 'a' dividido entre '1 - r'.

Por ejemplo, si tomamos como primer

término a=1 y como razón

'r' igual a 1 partido por p elevado a s

con p un número primo y s mayor o igual

que 1. Dado que cualquier número primo es

mayor o igual que 2, se tiene que la

razón, en valor absoluto, es menor que 1 y

por tanto la suma uno más 1 partido por

p elevado a s más 1 partido por elevado

a 2 s más 1 partido por p elevado a 3 s

etc es una serie geométrica cuyo

límite es justamente uno dividido entre

1 menos 1 partido por p elevado a s, esto es,

1 dividido entre 1 - p elevado a -s

los factores de la multiplicación infinita de Euler.

Vamos pues con la demostración.

Hagámos lo siguiente:

escribimos cada factor del producto de

Euler como una serie geométrica.

El factor correspondiente al 2 con su

serie geométrica que acabamos de ver.

El factor correspondiente al 3 con su

respectiva sería. El del 5, el del 7 y así

con todos los números primos.

El miembro izquierdo del teorema

de Euler se obtiene simplemente

multiplicando todos los factores de la

columna de la izquierda y esto equivale

a multiplicar todas las series

geométricas en los diferentes

números primos.

Sin embargo, si aplicamos la propiedad

distributiva de la multiplicación

respecto de la suma, en la multiplicación

de la derecha tendremos que hacer

muchíiiiiisimos más productos que en el

miembro izquierdo de hecho tendremos que

multiplicar todos los caminos que

podamos recorrer tomando exactamente un

factor de cada serie geométrica para

cada número primo p y terminar

multiplicando infinitos 1's que no

afectan al resultado. ¿¿¡¡De verdad todos

estos productos van a dar como resultado

justamente la función Zeta evaluada en s !!??

Empecemos con el 1. ¿Aparece en la

multiplicación? En efecto, es simplemente

el resultado de multiplicar todos los

unos.

Sigamos con uno dividido entre dos elevado a s.

En este caso tomamos el segundo sumando

de la primera serie geométrica y lo

multiplicamos con todos los unos de las

demás series geométricas.

¿Y para conseguir uno partido por tres

elevado a 's'? Pues tomamos el uno de la

primera serie, multiplicado por el segundo sumando de la

segunda serie, multiplicado el resto de unos.

El siguiente término 1 partido por 4

elevado a 's' ya es más interesante pues

tomamos el tercer su mando de la serie

geométrica correspondiente al primo 2 y

lo multiplicamos con los unos de las

demás series. Esto es así porque por las

propiedades de las potencias, 2 elevado a

'2s' ese es justamente 4 elevado a 's'.

Para el sumando 1 partido por 5 elevado

's' otra vez la misma historia, el 1 de la

serie del 2, el 1 de la serie del 3, el

segundo sumando de la serie de 5 y el

resto de unos.

Pero al sumando 1 partido por 6 elevado

a 's' es muy instructivo para entender el

teorema ya que tomamos el sumando 1

partido por 2 elevado a 's' en la primera

serie, el sumando 1 partido por 3 elevado

a 's' de la segunda serie y los demás unos,

y de nuevo por las propiedades de las

potencias

el resultado es 1 partido por 6 elevado a 's'.

Para obtener un sumando arbitrario, por

ejemplo 1 partido por 600 elevado a 's',

primero descomponemos 600 en factores

primos. Recordad que esto se puede hacer

siempre y de forma única gracias al

teorema fundamental de la aritmética.

En este caso 600 es igual a 2 al cubo por 3

por 5 al cuadrado.

Por tanto, 1 partido por 600 elevado a 's'

es igual a 1 partido por 2 elevado al

cubo por 3 por 5 al cuadrado entre

paréntesis, elevado a 's'.

Por las propiedades de las potencias

esto es igual a 1 partido por 2 elevado

a '3s' por 3 elevado a 's' por 5 elevado a '2s'.

Por tanto, tomaremos el tercer sumando de

la serie del dos, el primer sumando de la

serie del tres, el segundo sumando de la

serie del 5 y los demás unos. De este

modo, cualquier sumando de la serie dada

por la función Zeta se puede obtener y

además de forma única, por lo que

tendremos que el producto infinito de

Euler es exactamente igual a la

función Zeta

¡¡Maravilloso!!

¿Cómo podemos demostrar la infinitud de

los números primos gracias a este

teorema? Vamos a ponerle su

correspondiente letrero: TEOREMA "Existen

infinitos números primos"

¡Vamos a demostrarlo por reducción al

absurdo! Supongamos que sólo existe una

cantidad finita de números primos.

Tomemos s=1 en el teorema

anterior. En el miembro de la derecha

tenemos un producto finito, dado que

estamos suponiendo que hay una cantidad

finita de números primos. De este modo, en

el miembro de la derecha tendremos un

número.

Pero si evaluamos la función zeta en s

igual a 1 lo que obtenemos es la serie

armónica que como dijimos al inicio del

vídeo es divergente, esto es, su suma es

infinito. Hemos llegado a una

contradicción: un número igual a infinito,

que parte de suponer que sólo hay una

cantidad finita de números primos con lo

que queda demostrado el teorema: "hay

infinitos números primos".

¡Esperamos que el origen de la teoría

analítica de números que comienza con el

producto de Euler y la función Zeta

de Riemann os haya entusiasmado tanto como

a nosotros ¡¡Hasta luego!!

El Producto de Euler y la Funcion ZETA de Riemann Das Euler-Produkt und die Riemann-ZETA-Funktion The Euler Product and the Riemann ZETA Function Le produit d'Euler et la fonction ZETA de Riemann Het Eulerproduct en de Riemann ZETA-functie

el gran Euler demostró que la suma le grand Euler a prouvé que la somme

infinita de los inversos de los

cuadrados, lo que se conoce como el

problema de Basilea, valía exactamente

pi cuadrado partido por seis. pi squared divided by six.

Otras sumas infinitas como la de los inversos de los Other infinite sums such as that of the inverses of the

naturales, lo que se conoce como la serie

armónica, aunque crecen muy lentamente

divergen. Esto es, su suma es infinito.

¿Qué tienen en común la infinidad de los

números primos, ya demostrada por

Euclides en el 300 antes de Cristo aproximadamente,

con la serie armónica y

con el problema de Basilea? with the Basel problem?

La respuesta es: la función Zeta de Riemann.

En este vídeo vamos a probar el siguiente

resultado que Euler demostró en 1737 y

que se considera el origen de la teoría

analítica de números. Fijemos un número

real s mayor o igual que 1, vamos a ver

que el producto moviéndonos en todos

los números primos p del inverso de

1 - p elevado a -s es igual a la suma

de n igual a 1 hasta infinito de los

inversos de n elevado a s.

Esto es, un producto igual a una suma

y vamos a utilizar este resultado para

demostrar que hay infinitos números primos

¡¡Empezamos!!

Si consideramos esta serie numérica para

distintos valores de s vemos que para

s=2 obtenemos el problema de

Basilea y para s=1 lo que

tenemos es la serie armónica

Euler demostró que esta serie que tiene tantos

términos como números naturales es igual

a un producto que tiene tantos factores

como números primos. Este resultado es

verdaderamente sorprendente porque la

serie numérica de esta igualdad es un

objeto propio del análisis matemático

que estudia sucesiones, series, derivadas,

integrales. Pero el producto de esta

igualdad es un objeto propio de la

aritmética porque se mueve en los

números primos. Riemann tomó este resultado Prime numbers. Riemann took this result

de Euler como punto de partida para

escribir un pequeño artículo de ocho

páginas. Este artículo lo utilizo como

ponencia para su nombramiento como

profesor de la Universidad de Berlín. professor at the University of Berlin.

En ese artículo estudiaba la función Pi (x)

que cuenta el número de primos menores

que un determinado valor x.

Riemann consideraba la serie numérica de

los inversos de en elevado a s pero para

s un número complejo y la extendía de

forma analítica obteniendo una función

de los números complejos en los números

complejos.

Esta función se conoce con el nombre de

función Zeta de Riemann, pero en este vídeo

vamos a considerar solamente valores

reales de s.

Para demostrar el teorema del producto

de Euler para la función Zeta Euler's for the Zeta function

utilizaremos tan sólo dos resultados que

ya conocemos.

En primer lugar necesitamos

el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Este resultado afirma que todo número natural

N se escribe de forma única con un

producto de números primos.

Por ejemplo, 600 se puede escribir de

forma única como el producto 2 por 2 por

2 por 3 por 5 por 5, esto es, 2 al cubo

por 3 por 5 al cuadrado. Aquí os dejo el

enlace al vídeo en el que probamos la

existencia de esta descomposición.

El segundo resultado que vamos a utilizar

es la fórmula para el límite de una

serie geométrica. Una serie geométrica es

aquella que comienza con un término 'a'

y cada nuevo término se obtiene

multiplicando el anterior por un número

'r' llamado razón. Esta serie es 'r' called reason. This series is

convergente si el valor absoluto de 'r' es

menor que 1 y la suma infinita, esto es,

el límite es 'a' dividido entre '1 - r'.

Por ejemplo, si tomamos como primer

término a=1 y como razón

'r' igual a 1 partido por p elevado a s

con p un número primo y s mayor o igual

que 1. Dado que cualquier número primo es

mayor o igual que 2, se tiene que la

razón, en valor absoluto, es menor que 1 y

por tanto la suma uno más 1 partido por

p elevado a s más 1 partido por elevado

a 2 s más 1 partido por p elevado a 3 s

etc es una serie geométrica cuyo

límite es justamente uno dividido entre

1 menos 1 partido por p elevado a s, esto es,

1 dividido entre 1 - p elevado a -s

los factores de la multiplicación infinita de Euler.

Vamos pues con la demostración.

Hagámos lo siguiente:

escribimos cada factor del producto de

Euler como una serie geométrica.

El factor correspondiente al 2 con su

serie geométrica que acabamos de ver.

El factor correspondiente al 3 con su

respectiva sería. El del 5, el del 7 y así

con todos los números primos.

El miembro izquierdo del teorema

de Euler se obtiene simplemente

multiplicando todos los factores de la

columna de la izquierda y esto equivale

a multiplicar todas las series

geométricas en los diferentes

números primos.

Sin embargo, si aplicamos la propiedad

distributiva de la multiplicación

respecto de la suma, en la multiplicación

de la derecha tendremos que hacer

muchíiiiiisimos más productos que en el

miembro izquierdo de hecho tendremos que

multiplicar todos los caminos que

podamos recorrer tomando exactamente un

factor de cada serie geométrica para

cada número primo p y terminar

multiplicando infinitos 1's que no

afectan al resultado. ¿¿¡¡De verdad todos

estos productos van a dar como resultado

justamente la función Zeta evaluada en s !!??

Empecemos con el 1. ¿Aparece en la

multiplicación? En efecto, es simplemente

el resultado de multiplicar todos los

unos.

Sigamos con uno dividido entre dos elevado a s.

En este caso tomamos el segundo sumando

de la primera serie geométrica y lo

multiplicamos con todos los unos de las

demás series geométricas.

¿Y para conseguir uno partido por tres

elevado a 's'? Pues tomamos el uno de la

primera serie, multiplicado por el segundo sumando de la

segunda serie, multiplicado el resto de unos.

El siguiente término 1 partido por 4

elevado a 's' ya es más interesante pues

tomamos el tercer su mando de la serie we take the third his command of the series

geométrica correspondiente al primo 2 y

lo multiplicamos con los unos de las

demás series. Esto es así porque por las

propiedades de las potencias, 2 elevado a

'2s' ese es justamente 4 elevado a 's'.

Para el sumando 1 partido por 5 elevado

's' otra vez la misma historia, el 1 de la

serie del 2, el 1 de la serie del 3, el

segundo sumando de la serie de 5 y el

resto de unos.

Pero al sumando 1 partido por 6 elevado

a 's' es muy instructivo para entender el

teorema ya que tomamos el sumando 1

partido por 2 elevado a 's' en la primera

serie, el sumando 1 partido por 3 elevado

a 's' de la segunda serie y los demás unos,

y de nuevo por las propiedades de las

potencias powers

el resultado es 1 partido por 6 elevado a 's'.

Para obtener un sumando arbitrario, por

ejemplo 1 partido por 600 elevado a 's',

primero descomponemos 600 en factores

primos. Recordad que esto se puede hacer

siempre y de forma única gracias al

teorema fundamental de la aritmética.

En este caso 600 es igual a 2 al cubo por 3

por 5 al cuadrado.

Por tanto, 1 partido por 600 elevado a 's'

es igual a 1 partido por 2 elevado al

cubo por 3 por 5 al cuadrado entre

paréntesis, elevado a 's'.

Por las propiedades de las potencias

esto es igual a 1 partido por 2 elevado

a '3s' por 3 elevado a 's' por 5 elevado a '2s'.

Por tanto, tomaremos el tercer sumando de

la serie del dos, el primer sumando de la

serie del tres, el segundo sumando de la

serie del 5 y los demás unos. De este

modo, cualquier sumando de la serie dada

por la función Zeta se puede obtener y

además de forma única, por lo que

tendremos que el producto infinito de

Euler es exactamente igual a la

función Zeta

¡¡Maravilloso!!

¿Cómo podemos demostrar la infinitud de

los números primos gracias a este

teorema? Vamos a ponerle su

correspondiente letrero: TEOREMA "Existen

infinitos números primos"

¡Vamos a demostrarlo por reducción al

absurdo! Supongamos que sólo existe una

cantidad finita de números primos.

Tomemos s=1 en el teorema

anterior. En el miembro de la derecha

tenemos un producto finito, dado que

estamos suponiendo que hay una cantidad

finita de números primos. De este modo, en

el miembro de la derecha tendremos un

número.

Pero si evaluamos la función zeta en s

igual a 1 lo que obtenemos es la serie

armónica que como dijimos al inicio del

vídeo es divergente, esto es, su suma es

infinito. Hemos llegado a una

contradicción: un número igual a infinito,

que parte de suponer que sólo hay una

cantidad finita de números primos con lo

que queda demostrado el teorema: "hay

infinitos números primos".

¡Esperamos que el origen de la teoría

analítica de números que comienza con el

producto de Euler y la función Zeta

de Riemann os haya entusiasmado tanto como of Riemann has excited you as much as

a nosotros ¡¡Hasta luego!!