永远 不倒 的 里拉 斜塔 ：一摞 书 一个 比 一个 凸出 ，最多 凸 多少 ？ forever|upright|attributive marker|Leaning|Tower|one stack|books|one|than|one|protrude|at most|protrude|how much Der schiefe Turm von Rila, der niemals einstürzen wird: Wie weit ragt ein Bücherstapel höchstens über den anderen hinaus? The Leaning Tower of Pisa that never falls: a stack of books, each one protruding more than the last, how much can it protrude? La Torre pendente di Rila, che non cadrà mai: quanto sporge una pila di libri l'una dall'altra, al massimo? 절대 쓰러지지 않는 릴라의 사탑: 책 더미가 서로 얼마나 튀어나올 수 있을까요? De scheve toren van Rila, die nooit zal vallen: hoeveel steekt een stapel boeken maximaal over elkaar uit?

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 everyone|students|everyone|good|I|am|Li Yongle|teacher Hello everyone, I am Teacher Li Yongle. 最近 有 个 小朋友 问 了 我 一个 问题 recently|have|one|child|ask|past tense marker|me|one|question Recently, a little friend asked me a question. 比萨斜塔 为什么 不会 倒 呢 Leaning Tower of Pisa|why|not fall|fall|emphasis marker Why doesn't the Leaning Tower of Pisa fall? 这个 问题 非常 的 复杂 this|problem|very|attributive marker|complex This problem is very complex. 涉及 到 许多 的 工程 和 数学 知识 involve|to|many|attributive marker|engineering|and|mathematics|knowledge It involves a lot of engineering and mathematical knowledge. 科学家 们 也 没有 完全 一致 的 结论 scientist|plural marker|also|do not have|completely|consistent|attributive marker|conclusion Scientists do not have a completely unanimous conclusion. 不过 我们 可以 在 家 里面 做 一个 模拟 比萨斜塔 however|we|can|at|home|inside|make|one|model|Leaning Tower of Pisa However, we can do a simulation of the Leaning Tower of Pisa at home. 有人 管 它 叫 里拉 斜塔 someone|call|it|named|Leaning|Tower Some people call it the Leaning Tower of Pisa. 我们 先 看 一下 这个 实验 we|first|look|briefly|this|experiment Let's take a look at this experiment first. 为什么 这些 书 一个 一个 凸出来 却 不会 倒下 why|these|books|one|one|stick out|but|not fall|down Why do these books stick out one by one but not fall down? 它们 最 多 可以 凸出 多远 呢 they|most|far|can|protrude|how far|emphasis marker How far can they stick out at most? 今天 我们 就 来 研究 一下 这个 问题 today|we|just|come|study|a bit|this|problem Today, we will study this problem. 为了 研究 这个 问题 我们 首先 in order to|study|this|problem|we|first In order to study this problem, we first... 来 带 大家 回顾 一下 初中 的 物理 知识 那 就是 杠杆 come|bring|everyone|review|briefly|middle school|attributive marker|physics|knowledge|that|is|lever Let's take everyone back to review the physics knowledge from middle school, which is the lever. 比如 我们 把 质量 分别 是 m₁ m₂ 的 两个 物体 for example|we|put|mass|respectively|is|m₁|m₂|attributive marker|two|objects For example, we have two objects with masses m₁ and m₂. 放在 了 一个 很 轻 的 杠杆 上 put on|past tense marker|one|very|light|attributive marker|lever|on Placed on a very light lever 我们 在 什么 位置 施加 一个 支点 we|at|what|position|apply|one|fulcrum Where do we apply a fulcrum 它 才 能够 平衡 it|only|be able to|balance So that it can balance 那 我们 知道 你 要 想 平衡 的话 that|we|know|you|want|think|balance|if Then we know that if you want to balance 应该 有 初中 物理 的 知识 力 和 力臂 的 乘积 要 相等 should|have|middle school|physics|attributive marker|knowledge|force|and|lever arm|attributive marker|product|must|be equal The knowledge of junior high school physics should state that the product of force and lever arm should be equal. 比如说 左边 物体 的 重力 G₁ for example|left side|object|attributive marker|gravity|G1 For example, the weight of the object on the left is G₁. 右边 物体 重力 是 G₂ right side|object|gravity|is|G2 The weight of the object on the right is G₂. 而 这个 力臂 分别 是 r₁ 和 r₂ 对 吧 and|this|lever arm|respectively|is|r₁|and|r₂|right|tag question marker And the lever arms are r₁ and r₂, right? 那么 当 G₁ × r₁ = G₂ × r₂ 的 时候 then|when|G₁|r₁|G₂|r₂|attributive marker|time So when G₁×r₁=G₂×r₂, 这个 杠杆 它 就 平衡 了 this|lever|it|just|balance|emphasis marker this lever is balanced. 这个 是 杠杆 平衡 的 一个 基本 原理 this|is|lever|balance|attributive marker|one|basic|principle This is a basic principle of lever balance. 我们 可以 把 它 作 一个 移项 we|can|put|it|make|one|move term We can rearrange it. 就是 这 两个 物体 的 力臂 之 比 它 应该 等于 什么 just|this|two|objects|attributive marker|lever arm|of|ratio|it|should|equal|what The ratio of the lever arms of these two objects should equal what? 它 应该 等于 G₂ 和 G₁ 之 比 it|should|equal to|G₂|and|G₁|of|ratio It should equal the ratio of G₂ to G₁. 它 应该 等于 重力 的 反比 it|should|equal|gravity|attributive marker|inverse proportion It should be inversely proportional to the weight. 也就是说 这 两个 物体 如果 一样 重 的话 that is to say|this|two|objects|if|the same|weight|in that case In other words, if these two objects weigh the same. 你 这个 支点 就 应该 架 在 正 中央 对 不 对 you|this|fulcrum|just|should|place|on|exactly|center|right|not|right This support point should be placed right in the center, right? 就 应该 架 在 正 中央 just|should|place|at|exactly|center It should be placed right in the center. 如果 你 质量 之 比 是 2:1 的话 if|you|quality|of|ratio|is|then If your mass ratio is 2:1, 那么 你 这个 力臂 之 比 就 应该 是 1:2 then|you|this|lever arm|of|ratio|just|should|be then your moment arm ratio should be 1:2. 你 架 在 1/3 的 位置 它 就 能够 平衡 了 对 不 对 you|place|at|attributive marker|position|it|then|be able to|balance|emphasis marker|right|not|right If you place it at 1/3 of the position, it can balance, right? 这是 我们 初中 的 时候 学习 过 的 一个 知识 This is a piece of knowledge we learned in middle school. 事实上 之所以 能够 平衡 in fact|the reason why|can|balance In fact, the reason it can balance is... 就是 因为 这个 点 它 就是 构成 了 系统 的 什么 it is|because|this|point|it|is|constitute|past tense marker|system|attributive marker|what it's because this point constitutes what the system is. 系统 的 重心 system|attributive marker|center of gravity The center of the system 就 这 两个 物体 有 一个 重心 just|these|two|objects|have|one|center of mass There is a center of gravity for these two objects 你 就 把 支点 给 我 架 在 重心 上 它 就 能够 平衡 you|just|put|fulcrum|to|me|place|on|center of gravity|on|it|then|can|balance Just place the fulcrum on the center of gravity and it will be balanced 如果 我们 不是 用 一个 支点 来 支 if|we|are not|use|one|fulcrum|to|support If we do not use a fulcrum to support 而是 用 一个 木板 去 架 着 它 的话 but|use|one|wooden board|to|support|ongoing action marker|it|if But instead, use a wooden board to support it. 咱们 看 木板 要是 这么 放 we|look|wooden board|if|this way|place Let's see if the wooden board is placed like this. 这个 系统 是 可以 静止 的 对 吧 this|system|is|can|stationary|attributive marker|right|tag question marker This system can be stationary, right? 这么 放 也 行 ... this way|put|also|okay It can be placed like this too... 到 这儿 这 是 临界 情况 to|here|this|is|critical|situation Here it is a critical situation. 如果 你 木板 再 往 下 移 if|you|wooden board|again|towards|down|move If you move the board down further. 因为 重心 已经 凸出 了 木板 了 because|center of gravity|already|protrude|emphasis marker|wooden board|emphasis marker Because the center of gravity has already protruded from the board. 它 就 一定 会 翻倒 对 不 对 it|just|definitely|will|topple over|right|not|right It will definitely tip over, right? 所以 不 翻倒 的 条件 so|not|overturn|attributive marker|condition So the condition for not tipping over 就是 重心 一定 在 下面 的 支撑物 以上 对 不 对 just|center of gravity|definitely|on|below|attributive marker|support|above|correct|not|correct is that the center of gravity must be above the support below, right? 好 我们 明白 了 这个 问题 之后 good|we|understand|emphasis marker|this|problem|after Okay, we understand this issue now. 我们 下面 看 we|below|look Next, let's take a look. 我们 刚才 做 的 斜塔 实验 是 怎么回事 we|just now|do|attributive marker|leaning tower|experiment|is|what is going on What we just did with the leaning tower experiment is about. 首先 最 上面 有 一个 木块 或者 是 书 first|most|on top|there is|one|wooden block|or|is|book First, there is a wooden block or a book at the very top. 或者 什么 其他 的 东西 是 吧 or|what|other|attributive marker|things|is|suggestion marker Or something else, perhaps. 我们 假设 它 的 长度 是 L 那么 因为 它 是 匀质 的 we|assume|it|attributive marker|length|is|L|then|because|it|is|homogeneous|attributive marker We assume its length is L, so because it is homogeneous. 所以 它 的 重心 在 正 中央 so|it|attributive marker|center of gravity|at|exactly|center So its center of gravity is right in the middle. 我们 设 它 为 G₁ 就是 第一块 板 的 重心 we|set|it|as|G₁|is|first|board|attributive marker|center of mass We set it as G₁, which is the center of gravity of the first board. 好 我们 下面 要 放 第二块 板 good|we|below|need|place|second piece|board Alright, we are going to place the second board next. 第二块 板 相当于 是 一个 支撑物 second piece|board|equivalent to|is|one|support The second board is essentially a support. 它 如果 想 支撑住 第一个 板 而 不 倒下 的话 it|if|wants|to support|the first|board|and|not|fall down|if If it wants to support the first board without falling down 它 的 边缘 最起码 应该 跟 重心 齐平 it|attributive marker|edge|at least|should|with|center of gravity|level its edge should at least be level with the center of gravity 你 再 往 左 点 也 行 you|again|towards|left|point|also|okay You can move a little to the left as well 你 再 往 右 一点 重心 凸出 边缘 you|again|towards|right|a little|center of gravity|protrude|edge If you move a little to the right, the center of gravity will protrude beyond the edge 它 就 会 倒下 对 不 对 it|just|will|fall down|right|not|right It will fall down, right? 所以 临界 情况 应该 是 凸出 一半 对 吧 so|critical|situation|should|be|protrude|half|right|emphasis marker So the critical situation should be half protruding, right? 因此 第二 块 砖 它 应该 正好 放在 这个 位置 therefore|second|piece|brick|it|should|just right|place on|this|position Therefore, the second brick should be placed exactly in this position. 边缘 就 在 这 是 吧 edge|just|at|this|is|emphasis marker The edge is right here, isn't it? 于是 你 就 会 凸出 一个 位置 来 这 叫 L₁ so|you|just|will|protrude|one|position|here|this|is called|L₁ So you will protrude a position, which is called L₁. 当然 右边 这个 长度 也 是 L₁ of course|right side|this|length|also|is|L₁ Of course, the length on the right side is also L₁. L₁ 有 多长 显而易见 The length of L₁ is obvious. 它 就是 重心 到 左 边缘 的 距离 it|is|center of mass|to|left|edge|attributive marker|distance It is the distance from the center of mass to the left edge. 那 正好 就是 板长 的 一半 that|just right|is exactly|board length|attributive marker|half That is exactly half of the board. 所以 应该 是 L/2 对 吧 so|should|is|L/2|right|emphasis marker So it should be L/2, right? 好 你 放 的 这块 板 重心 在 这个 位置 good|you|place|attributive marker|this piece|board|center of gravity|at|this|position Okay, the center of gravity of this piece of board you placed is at this position. 重力 大小 还是 G G₁ 和 G₂ 是 一样 大 的 The magnitude of gravity is still G; G₁ and G₂ are the same. 现在 我 又 要 用 一个 支撑物 now|I|again|need|use|one|support Now I need to use a support again. 去 支撑 上面 这 两个 物体 了 go|support|on top|this|two|objects|emphasis marker To support these two objects above. 我们 把 这 两个 物体 看作 一个 整体 we|make|this|two|objects|regard as|one|whole We consider these two objects as a whole. 你 知道 这个 整体 的 重心 在 哪 吗 you|know|this|overall|attributive marker|center of gravity|at|where|question marker Do you know where the center of gravity of this whole is? 这个 也 不 难 理解 this|also|not|difficult|understand This is not difficult to understand. 因为 整体 只 分 两个 部分 because|overall|only|divided|two|parts Because the whole is divided into two parts. 一个 是 G₁ 一个 是 G₂ one|is|G1|one|is|G2 One is G₁ and the other is G₂. 它 俩 质量 是 一样 的 it|two|quality|is|the same|attributive marker They both have the same mass. 所以 按照 我们 刚才 所说 的 so|according to|we|just now|said|attributive marker So according to what we just said, 重心 到 两 物体 距离 之 比 等于 质量 反比 center of mass|to|two|objects|distance|of|ratio|equals|mass|inverse ratio the ratio of the distance to the two objects is inversely proportional to their mass. 你 质量 一样 you|quality|the same Your mass is the same. 所以 重心 在 哪儿 so|center of gravity|at|where So where is the center of mass? 在 正 中央 对 吧 at|exactly|center|opposite|emphasis marker In the center, right? 这 就是 前 两块 板 的 整体 重心 位置 this|is|front|two pieces|board|attributive marker|overall|center of gravity|position This is the overall center of gravity position of the first two boards. 在 这 两个 重心 的 中央 at|this|two|center of gravity|attributive marker|center In the center of these two centers of gravity. 好 那 既然 这样 我们 要 想 用 一个 good|then|since|this way|we|want|think|use|one Well, since that's the case, we need to think of using one. 板子 去 支撑 前 两个 物体 的话 board|to|support|front|two|objects|if If the board is used to support the two objects in front, 你 的 边缘 正好 得 顶 到 上 两块 板 的 重心 位置 you|attributive marker|edge|exactly|emphasis marker|touch|to|on|two|boards|attributive marker|center of gravity|position the edge of yours should just touch the center of gravity of the two boards above. 所以 你 再 往 下 画 so|you|again|towards|down|draw So you draw down again. 下 一块 板 临界 情况 就 应该 是 放在 这个 位置 next|one piece|board|critical|situation|then|should|be|placed at|this|position The critical situation for the next board should be placed in this position. 于是 你 就 又 凸出来 了 一个 距离 叫做 L₂ so|you|just|again|protrude|emphasis marker|one|distance|called|L2 So you have another distance called L₂. 这个 L₂ 的 长度 this|L2|attributive marker|length The length of this L₂. 大家 看 能 不能 算 出来 L₂ 是 多长 everyone|see|can|cannot|calculate|out|L2|is|how long Let's see if everyone can calculate how long L₂ is. G₁ 和 G₂ 是 相等 的 G₁|and|G₂|are|equal|attributive marker G₁ and G₂ are equal. 所以 这 两个 距离 也 是 相等 的 so|this|two|distances|also|are|equal|attributive marker So these two distances are also equal. 也 就是 它 等于 1/2 的 板长 的 一半 对 不 对 also|is|it|equals|attributive marker|board length|attributive marker|half|correct|not|correct That means it is equal to half of 1/2 of the board length, right? 是 这么 长 is|this long|long It is this long. 好 继续 我们 把 前 三个 物体 看作 是 一个 整体 good|continue|we|make|front|three|objects|regard as|is|one|whole Okay, let's continue. We consider the first three objects as a whole. 这个 整体 它 的 重心 又 在 哪 this|whole|it|attributive marker|center of mass|again|at|where Where is the center of mass of this whole thing? 我们 思考 前 两个 物体 它 的 重心 是 在 这 we|think|before|two|objects|their|attributive marker|center of mass|is|at|this We think the center of mass of the first two objects is here. 第三个 物体 重心 是 在 这 third|object|center of mass|is|at|this The center of mass of the third object is here. 重力 之 比 是 2:1 gravity|of|ratio|is The ratio of gravity is 2:1. 所以 重心 到 两边 的 距离 之 比 就 应该 是 1:2 so|center of gravity|to|both sides|attributive marker|distance|of|ratio|then|should|be So the ratio of the distance from the center of gravity to both sides should be 1:2. 也 就是 我 应该 在 这里 对 吧 also|just|I|should|at|here|right|tag question marker That means I should be here, right? 1/32/3这样 的 位置 有 一个 重心 this way|attributive marker|position|has|one|center of gravity A center of gravity exists at a position like 1/3 and 2/3. 这个 点 就是 前 三块 板 的 重心 this|point|is|front|three|boards|attributive marker|center of gravity This point is the center of gravity of the first three boards. 我们 放 第 4 块 板 的 时候 we|place|the|piece|board|attributive marker|time When we place the 4th panel 第 4 块 板 的 重心 位置 必须 顶到 这个 边缘 是 吧 fourth|piece|board|attributive marker|center of gravity|position|must|touch|this|edge|is|tag question marker The center of gravity of the 4th panel must be at this edge, right? 所以 我们 放 第 4 块 板 是 这样 的 so|we|place|the|piece|board|is|this way|attributive marker So we place the 4th panel like this 它 就 又 会 凸出来 一点 叫做 L₄ it|just|again|will|protrude out|a little|called|L₄ It will protrude a little, called L₄ 这个 L₄ 的 大小 是 多少 this|L₄|attributive marker|size|is|how much What is the size of this L₄? 刚才 说 了 是 1:2 的 关系 just now|said|past tense marker|is|attributive marker|relationship It was just mentioned that it is a 1:2 relationship. 所以 是 1/3 再 乘以 so|is|again|multiplied by So it is 1/3 multiplied by. 整个 的 长度 是 板长 的 一半 L/2 对 吧 等等 whole|attributive marker|length|is|board length|attributive marker|half|L/2|right|tag question marker|etc The entire length is half of the board length L/2, right? Wait a minute. 这里 写错 了 应该 是 L₃ here|wrote wrong|emphasis marker|should|is|L₃ This is written incorrectly, it should be L₃. 第三块 板 就 重新 凸出 了 (1/3) × (1/2) L 对 吧 third piece|board|just|again|protrude|emphasis marker|L|right|tag question marker The third board is protruding again (1/3)×(1/2)L, right? 依次 类推 那么 我 问 in order|analogy|then|I|ask Following this pattern, I ask. 如果 一共 要 凸出 n 块 板 的话 if|in total|need|protrude|n|pieces|board|if If a total of n boards need to be protruded? 你 告诉 我 一共 凸出 了 多少 呢 you|tell|me|in total|protrude|past tense marker|how much|emphasis marker How much did you tell me it protruded in total? 很 简单 那 就是 (1/2) L 再 乘以 very|simple|that|is|L|again|multiply by It's very simple, that's (1/2)L multiplied by 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 1+1/2+1/3+1/4+... 一直 往下 加 加到 1/n 对 吧 continuously|downwards|add|add up to|1/n|correct|emphasis marker Keep adding down to 1/n, right? 这 就是 如果 你 一共 有 n 块 板 的话 this|is|if|you|in total|have|n|pieces|board|if This is if you have a total of n boards. 它 一共 可以 凸出 的 距离 it|in total|can|protrude|attributive marker|distance The total distance it can protrude. 大家 仔细 看 前面 那个 1/2 我 不管 了 everyone|carefully|look|in front|that|I|don't care|anymore Everyone, take a close look at that 1/2 in front, I won't care about it. 后面 这 一大堆 玩意 behind|this|a big pile of|stuff The large pile of things behind. 以前 我们 在 讲 黎曼 猜想 第一期 的时候 说 过 before|we|at|talk about|Riemann|conjecture|first issue|when|said|before Previously, when we talked about the first issue of the Riemann Hypothesis, we mentioned 这 叫 什么 this|called|what What is this called? 这个 叫做 调和级数 this|is called|harmonic series This is called the harmonic series. 而且 我们 还 证明 了 调和级数 是 发散 的 moreover|we|also|prove|past tense marker|harmonic series|is|divergent|attributive marker Moreover, we also proved that the harmonic series is divergent. 什么 叫 发散 what|is called|divergence What is called divergence? 就是 你 越 往后 加 这个 数 它 越 小 just|you|the more|later|add|this|number|it|the more|small It means that the more you add this number, the smaller it gets. 但是 如果 你 n 无限 的 加 下去 but|if|you|n|infinite|attributive marker|add|continue But if you keep adding it to infinity, 这个 数 会 变 到 无穷大 对 吧 this|number|will|change|to|infinity|right|tag question marker this number will become infinite, right? 大家 可以 回头 去 看 一下 那个 视频 everyone|can|turn back|to|look|briefly|that|video Everyone can go back and take a look at that video. 如何 证明 它 是 发散 的 how|prove|it|is|divergent|attributive marker How to prove that it is divergent. 这个 名字 叫 调和级数 为什么 叫 调和级数 this|name|is called|harmonic series|why|is called|harmonic series This name is called the harmonic series. Why is it called the harmonic series? 因为 每一项 都 是 前后 两项 的 调和 平均数 because|each item|all|is|before and after|two items|attributive marker|harmonic|average Because each term is the harmonic mean of the two surrounding terms. 所谓 调和 平均数 就 指 的 是 这个 数 的 倒数 so-called|harmonic|average|just|refers to|attributive marker|is|this|number|attributive marker|reciprocal The so-called harmonic mean refers to the reciprocal of this number. 是 前后 两个 数 倒数 的 平均数 is|before and after|two|numbers|reciprocals|attributive marker|average It is the average of the reciprocals of two numbers before and after. 你 看 2 的 倒数 是 1 和 1/3 倒数 的 平均值 you|see|attributive marker|reciprocal|is|and|reciprocal|attributive marker|average value You see, the reciprocal of 2 is the average of 1 and the reciprocal of 1/3. 1/3 的 倒数 是 1/2 和 1/4 倒数 的 平均值 对 吧 attributive marker|reciprocal|is|and|reciprocal|attributive marker|average value|correct|tag question marker The reciprocal of 1/3 is the average of the reciprocals of 1/2 and 1/4, right? 就 这么 个 意思 just|this|one|meaning That's the meaning. 如果 你 要是 凸出 4 个 木块 来 n 等于 4 if|you|if|protrude|measure word|wooden blocks|to|n|equals If you want to protrude 4 blocks, then n equals 4. 你 就 会 发现 那么 你 能够 you|just|will|discover|so|you|be able to You will find that you can. 一共 凸出来 的 距离 有 多长 in total|protrude|attributive marker|distance|is|how long What is the total distance that protrudes? 有 1.04 个 L 也就是说 have|unit marker|liters|that is to say There are 1.04 L, which means 你 有 4 块 这样 的 砖 的话 you|have|pieces|like this|attributive marker|bricks|if if you have 4 bricks like this 你 最 上面 那 块 砖 它 会 整个 的 悬空 you|most|top|that|piece|brick|it|will|whole|attributive marker|be suspended the top brick will be completely suspended 如果 你 要是 有 n 等于 50 块 砖 if|you|if|have|n|equals|pieces|bricks if you have n equal to 50 bricks 你 就 会 发现 这个 时候 凸出来 的 距离 you|just|will|discover|this|time|protrude|attributive marker|distance You will find that the distance protruding at this time 是 2.25 个 L 是 吧 is|unit marker|liters|is|tag question marker is 2.25 L, right? 那 就是 凸出 两块 砖 还要 多 的 距离 that|is|protrude|two pieces|bricks|still need|more|attributive marker|distance That means a distance that protrudes more than two bricks. 如果 你 这个 n 无穷大 的话 if|you|this|n|infinity|if If your n is infinite. 那么 你 就 会 发现 这个 距离 会 越来越 大 then|you|just|will|discover|this|distance|will|more and more|big Then you will find that this distance will become larger and larger. 理论 上 讲 你 靠 这个 一个 一个 的 木板 摞 起来 theory|on|speak|you|rely on|this|one|one|attributive marker|wooden board|stack|up Theoretically, you can stack these wooden boards one by one. 你 可以 造 出 任意 长度 的 这么 一个 斜塔 you|can|build|out|any|length|attributive marker|such|one|leaning tower You can build a slanted tower of any length. 可以 造 一个 跨海大桥 是 吧 can|build|one|cross-sea bridge|is|right You can build a cross-sea bridge, right? 是 这个 样子 is|this|appearance It is like this. 那么 对于 这个 调和级数 咱们 多 说 一句 then|regarding|this|harmonic series|we|more|say|a word So let's say a bit more about this harmonic series. 最早 研究 它 的 人 是 欧拉 earliest|research|it|attributive marker|person|is|Euler The earliest person to study it was Euler. 在 1735 年 的 时候 at|year 1735|attributive marker|time In the year 1735. 著名 的 数学家 欧拉 对于 调和级数 做 了 一定 的 研究 famous|attributive marker|mathematician|Euler|regarding|harmonic series|conduct|past tense marker|certain|attributive marker|research The famous mathematician Euler conducted some research on the harmonic series. 他 说 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n he|said|1 plus 1 over 2 plus 1 over 3 plus 1 over 4 plus plus 1 over n He said 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n. 如果 n 无穷大 的话 if|n|infinity|in that case If n approaches infinity, 这个 数列 是 发散 的 this|sequence|is|divergent|attributive marker this sequence is divergent. 这个 是 显而易见 大家 都 可以 证出来 this|is|obvious|everyone|all|can|prove This is obvious and can be verified by everyone. 那么 它 到底 是 多少 呢 so|it|exactly|is|how much|emphasis marker So how much is it exactly? 欧拉 经过 一大堆 的 计算 Euler|after|a lot of|attributive marker|calculations Euler went through a lot of calculations. 发现 说 这个 值 当 这个 n 无穷大 的 时候 discover|say|this|value|when|this|n|infinity|attributive marker|time He found that this value is when n approaches infinity. 当 这个 n 趋向于 无穷大 的 时候 when|this|n|approaches|infinity|attributive marker|time As n approaches infinity n 趋于 无穷的 时候 When n approaches infinity 它 等于 ln (n) + C it|equals|natural logarithm|n|constant It equals ln(n) + C 就是 以 e 为 底 n 的 对数 is|with|e|as|base|n|attributive marker|logarithm which is the logarithm of n with base e 然后 再 加 一个 常数 then|again|add|one|constant Then add a constant. 因为 你 n去 向 无穷 的 时候 because|you||towards|infinite|attributive marker|time Because when you n goes to infinity. 第一项 是 无穷大 的 first term|is|infinity|attributive marker The first term is infinity. 所以 说 整个 级数 也 是 无穷大 的 so|say|entire|series|also|is|infinity|attributive marker So the entire series is also infinity. 后面 的 这个 常数 我们 管 它 叫 欧拉 常数 behind|attributive marker|this|constant|we|call|it|is called|Euler|constant The constant at the back, we call it the Euler constant. 欧拉 常数 有 多 大 Euler|constant|has|how|big How big is the Euler constant? 欧拉 常数 等于 0.577... 是 吧 Euler|constant|equals|is|right The Euler constant is equal to 0.577..., right? 对于 欧拉 常数 人们 现在 已经 算 出 了 几百亿 位 了 For the Euler constant, people have now calculated hundreds of billions of digits. 但是 到 目前 为止 人们 还 不 知道 欧拉 常数 but|until|present|up to|people|still|not|know|Euler|constant But so far, people still do not know whether Euler's constant is a rational number or an irrational number. 到底 是 一个 有理数 还是 一个 无理数 in the end|is|a|rational number|or|an|irrational number Is it a rational number or an irrational number? 数学 就是 这么 的 迷人 而 又 复杂 是 吧 mathematics|is|so|attributive marker|fascinating|and|also|complex|is|tag question marker Mathematics is just so fascinating and complex, isn't it? 今天 给 大家 讲 了 一个 有关 斜塔 的 有趣 的 实验 Today, I shared an interesting experiment related to the Leaning Tower. 还 讲 了 一下 欧拉 常数 的 问题 also|talk|past tense marker|briefly|Euler|constant|attributive marker|question Also talked about the problem of Euler's constant. 大家 如果 在家 里面 有 条件 的话 可以 自己 试一试 everyone|if|at home|inside|have|conditions|then|can|by oneself|give it a try If everyone has the conditions at home, you can try it yourself. 看看 你 搭 出 的 斜塔 到底 可以 伸出 多长 来 take a look|you|build|out|attributive marker|leaning tower|exactly|can|stretch out|how long|come See how long the leaning tower you built can actually extend. 大家 如果 喜欢 的 视频 everyone|if|like|attributive marker|video If everyone likes the video. 可以 在 YouTube 账号 李永乐 老师 里 订阅 我 can|on|||Li Yongle|teacher|in|subscribe|me You can subscribe to Teacher Li Yongle's YouTube account. 点击 一下 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息 click|once|bell|can|first|time|get|update|information Click the bell to receive updates as soon as they are available.