Άρχισε αυτό το μάθημα τώρα

Μαθαίνουμε ασφαλείς, Μαθηματικά | Αριθμητικές παραστάσεις | Ε'-ΣΤ' Δημοτικού Επ. 10

Μαθηματικά | Αριθμητικές παραστάσεις | Ε'-ΣΤ' Δημοτικού Επ. 10

Καλή σου μέρα!

Ονομάζομαι Γιώργος Ανδρίκος και είμαι δάσκαλος της Στ' Δημοτικού.

Πριν από λίγες ημέρες καθώς είχε τελειώσει το διάλειμμα...

και μπαίναμε φορώντας τις μάσκες μας όλοι, μέσα στις τάξεις μας,

είδα δυο μαθητές μου στον πίνακα να κοιτούν αυτούς τους αριθμούς με αυτές τις πράξεις.

Είχαν μια διαφωνία μεταξύ τους γύρω από το ποια πράξη θα πρέπει να γίνει πρώτη.

Ο ένας από τους δύο έλεγε πως θα κάνει πρώτα τη διαίρεση και μετά την πρόσθεση.

Ο επόμενος του έλεγε ότι επειδή τον διευκολύνει η πρόσθεση θα προτιμούσε να κάνει...

πρώτα την πρόσθεση και μετά τη διαίρεση.

Θέλεις να δούμε τι θα συμβεί στη μία ή στην άλλη περίπτωση;

Αυτοί πίστευαν ότι και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο.

Θέλεις να το δούμε;

Ας πούμε λοιπόν ότι στην πρώτη περίπτωση 18:2 = 9,

9 + 4 = 13.

Στη δεύτερη περίπτωση όμως που θα κάνω πρώτα το άθροισμά μου,

θα έχω 18 : 6 και θα μου κάνει 3.

Όπως βλέπεις δεν είναι καθόλου ίδιο το αποτέλεσμα.

Και αυτός είναι ο λόγος που οι άνθρωποι εδώ και πάρα πάρα πάρα πολλά χρόνια,

οι μαθηματικοί ιδιαίτερα, επέλεξαν μία συγκεκριμένη σειρά.

Σήμερα θα σε βοηθήσω να θυμηθείς λίγο αυτή την προτεραιότητα των πράξεων,

η οποία είναι κοινά αποδεκτή σε όλο τον πλανήτη.

Παντού, σε όλα τα κράτη της Γης, όπου κι αν βρεθείς,

αν κάνεις τις πράξεις με αυτή τη σειρά που θα θυμηθούμε σήμερα,

θα βρεις ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα.

Ας δούμε λοιπόν την προτεραιότητα των πράξεων.

Κάθε τόσο που θα μας προκύπτει κάποιο μικρό θέμα,

θα το λύνουμε εκείνη τη στιγμή.

Πρώτες - πρώτες λοιπόν, οι πιο ισχυρές, οι πιο δυνατές; Οι δυνάμεις. Μια χαρά.

Καλά το σκέφτηκες.

Στο νούμερο ένα είναι οι δυνάμεις.

Να θυμηθούμε λίγο τι ακριβώς κάνει μία δύναμη;

Η δύναμη, για παράδειγμα, 3 στη δευτέρα ή 3 στο τετράγωνο,

μου δηλώνει ότι η βάση μου, ο αριθμός 3, θα πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό της,

τόσες φορές όσες της λέει ο εκθέτης, δύο δηλαδή.

3 Χ 3 = 9.

Γιατί την ονομάζω δύναμη λοιπόν;

Γιατί με λίγα γινόμενα έχω πολύ μεγάλο αποτέλεσμα.

Αμέσως μετά τις δυνάμεις ακολουθούν οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις.

Θα σου θυμίσω ότι τη διαίρεση θα τη γράφουμε με αυτόν τον τρόπο,

για να θυμόμαστε ότι κάθε κλάσμα συμβολίζει μία διαίρεση.

Τέλος, οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις.

Πρόσεξε! Πρόσεξέ με καλά! Μην το ξεχάσεις ποτέ σου αυτό.

Με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά!

Τι θα γίνει τώρα, αν έχω μία παρένθεση;

Θα γίνουν οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.

Αν έχω μία αγκύλη, θα τελειώσω την αγκύλη.

Αν έχω ένα άγκιστρο, θα τελειώσω το άγκιστρο.

Λοιπόν, καλά μας τα λες Γιώργη, αλλά θέλουμε να τα δούμε στην πράξη.

Έχω ετοιμάσει κάποιες μικρές εφαρμογές,

για να επιβεβαιώσουμε αυτά που είπαμε μέχρι τώρα.

Καταρχάς να τα ξαναθυμηθούμε μία φορά. Τι λες κι εσύ;

Το 'ξερα ότι θα συμφωνούσες.

Λοιπόν προτεραιότητα, πρώτα απ' όλα, οι δυνάμεις.

Ακολουθούν πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις. Πρόσεξε! Ή διαιρέσεις - πολλαπλασιασμοί,

με όποια σειρά τα συναντήσω.

Στη συνέχεια, προσθέσεις - αφαιρέσεις ή αφαιρέσεις - προσθέσεις.

Πάλι με όποια σειρά τα συναντήσω.

Και φυσικά οι πράξεις μες στις παρενθέσεις προηγούνται όλων των άλλων.

Πάμε λοιπόν τώρα να δούμε τι ακριβώς έχουμε ετοιμάσει.

Πάμε να βρούμε την τιμή, λοιπόν, μιας παράστασης,

μιας και τιμή της παράστασης ονομάζω το τελικό της αποτέλεσμα.

Τιμή, λοιπόν, της παράστασης.

Η πρώτη παράσταση που διάλεξα να δούμε μαζί,

θα χωρίσουμε λίγο για να μην μπερδευτούμε, είναι....

5 Χ 4 + 8 : 2 - 14 =

Έχω βρει ότι, και το λέω πάντα και στα παιδιά μου,

ότι αν πάω να "τικάρω", να τσεκάρω τις πράξεις προτεραιότητας,

αυτό θα με διευκολύνει στο να μην κάνω λάθος,

όταν ξέρω ποια πράξη πρέπει να κάνω, με ποια σειρά.

Έτσι λοιπόν θα δω ότι το πρώτο που θα κοιτάξω είναι αν έχω δυνάμεις.

Δεν έχω καμία δύναμη.

Έχω κάποια παρένθεση που μου προϋποθέτει την προτεραιότητά της; Όχι.

Πηγαίνω λοιπόν. Πολλαπλασιασμοί ή διαιρέσεις;

Τι έχω πρώτο; Πρώτο έχω ένα γινόμενο και ακολουθεί ένα πηλίκο.

Τη διαφορά μου δεν θα την πειράξω, θα την αφήσω ακριβώς εκεί που είναι.

Ίσον λοιπόν. Η αριθμητική παράσταση συνεχίζεται κάθετα.

5 Χ 4 = 20.

Συν το πηλίκο μου, 8 : 2 = 4.

Πλην 14 ίσον.

Πάλι με τη σειρά. Δεν αλλάζω τίποτα.

Τι προηγείται; Το άθροισμα.

Ακολουθεί η διαφορά.

Θα ακολουθούμε, παρακαλώ πολύ, πραγματικά πιστά αυτή τη σειρά.

Δεν θα παρακάμπτουμε τίποτα.

Τώρα θα μου πεις, αν είναι μόνο προσθέσεις;

Ε, αν είναι μόνο προσθέσεις, θα τις κάνω όλες τις προσθέσεις μαζί όταν έρθει η ώρα.

Θα τα πούμε όμως κι αυτά, θα δεις.

Ίσον λοιπόν. 20 + 4 = 24.

Πλην 14. Ίσον.

Έρχομαι λοιπόν, 24 - 14 = 10.

Νάτη η τιμή της παράστασης.

Ξαναθυμίζω: προηγείται το γινόμενο, το πηλίκο, τελειώνει το πρώτο γινόμενο,

το πηλίκο μου και έρχεται η ώρα της αφαίρεσης στο τέλος.

Να η τιμή της παράστασης.

Πάμε τώρα να δούμε και μία άλλη... Όπα! Μας έπεσε. Το σηκώσαμε όμως!

Πάμε τώρα να δούμε μία άλλη παράσταση,

έρχομαι από εδώ για τη βλέπεις πιο καθαρά,

που θα βάλω και δυνάμεις μέσα.

5 στη δευτέρα ή αλλιώς 5 στο τετράγωνο όπως λέμε.

Θα σου θυμίσω ότι το ονομάζουμε τετράγωνο, γιατί για να βρω το εμβαδόν του τετραγώνου,

πολλαπλασιάζω πλευρά επί πλευρά.

Και επειδή στο τετράγωνο όλες οι πλευρές του είναι ίσες,

αυτός είναι ο λόγος που κάθε φορά που υψώνω έναν αριθμό στη δύναμη του 2,

το ονομάζω 5 στη δευτέρα ή αλλιώς 5 στο τετράγωνο.

Αντίστοιχα το ίδιο ισχύει και για τον κύβο,

επειδή βρίσκω τον όγκο του κύβου με αυτόν τον τρόπο.

Λοιπόν κλείνουμε αυτή τη μικρή παρένθεση και επιστρέφουμε.

Πολύ ωραία! Ρε Γιώργο, εύκολη είναι σχετικά. Εννοείται, γιατί να ήταν δύσκολη;

Και όσο περνάει η ώρα θα γίνονται όλο και πιο εύκολα όλα. Τώρα θα δεις!

Εδώ λοιπόν μία ακόμα παράσταση.

Θα ξεκινήσω με μία παρένθεση.

Λοιπόν, κοιτάζοντάς τα, θυμάμαι ότι προηγούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.

Έρχομαι λοιπόν και από τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις,

θα βάλω το άγκιστρό μου στο γινόμενο.

Ίσον λοιπόν. 3 Χ 1 = 3 συν 6.

Μη βιαστώ να φύγω.

Έχω μία παρένθεση την οποία δεν έχω ολοκληρώσει και την κουβαλάω.

Παράλληλα, έχω ένα γινόμενο, ένα πηλίκο και το προσέχω πολύ.

Και τώρα πια μείον. 4 Χ 2 = 8. Συν.

12 : 6 = 2.

Συν 3, ίσον.

Ξανακοιτάω προσεκτικά ό,τι έχω γράψει και βλέπω ότι έχω μία παρένθεση.

Προηγούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.

Έρχομαι λοιπόν. Ίσον.

Πάντοτε βάζω το άγκιστρό μου για να είμαι βέβαιος ότι θα το θυμηθώ.

3 + 6 = 9.

Πλην. 8 + 2 + 3. Ίσον.

Με τη σειρά! Δεν αλλάζω τίποτα.

Προηγείται η διαφορά.

9 - 8 = 1.

1 + 2 + 3 =

1 + 3 = 3.

3 + 3 =

Ε, τώρα πια δεν έχω κάτι άλλο, είναι το τελευταίο μου άθροισμα.

3 + 3 = 6.

Νάτη λοιπόν η τιμή της παράστασης.

Ας ξαναδούμε πάλι με τη σειρά τι ακριβώς κάναμε.

Ελέγξαμε και είδαμε ότι έχω μία παρένθεση.

Μέσα στην παρένθεση προηγείται ένα γινόμενο.

Ακολουθεί ένα γινόμενο και ένα πηλίκο.

Δεν με επηρεάζουν, γι' αυτό και μπορώ να τα κάνω παράλληλα.

Έρχομαι λοιπόν, 1 Χ 3 = 3.

3 + 6, έχω βρει ήδη το πρώτο μου γινόμενο, έχω βρει το πηλίκο μου και συνεχίζω.

Δεν παραλείπω να γράψω κάποιον αριθμό τον οποίο ακόμα δεν έχω χρησιμοποιήσει,

γιατί θα τον χρειαστώ στη συνέχεια.

6 + 3 = 9, 9 - 8 είναι η πράξη προτεραιότητάς μου, είναι η πρώτη,

δεν ξεχνώ πηγαίνω με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Με τη σειρά!

1 + 3 = 3, 3 + 3 = 6.

Τιμή της παράστασής μου.

Ας δούμε τι θα συμβεί σε μία περίπτωση τώρα,

που θα έχω μία παράσταση με κλάσματα.

Να σβήσουμε λίγο, να έρθουμε εδώ γιατί θυμάσαι πώς ξεκινήσαμε από την αρχή,

να κρατήσουμε την προτεραιότητα - μάλλον τη θυμόμαστε την προτεραιότητα,

δεν μας είναι απαραίτητη πια.

Και θα έρθουμε να δούμε μία παράσταση με κλάσματα.

Για να δούμε πώς θα το εφαρμόσουμε αυτό, όταν έχω κλάσματα. Τι θα συμβεί;

Ξεκινάω λοιπόν. Παρένθεση.

Προηγείται η πράξη μες στην παρένθεση.

Μες στην παρένθεση έχω άθροισμα.

Δεν έχει σημασία ότι υπάρχει εδώ ένα γινόμενο.

Το γινόμενό μου θα περιμένει.

Θα ολοκληρωθεί η πράξη της παρένθεσης και θα ακολουθήσει ό,τι είναι έξω από αυτή.

Έρχομαι λοιπόν. Καταλαβαίνω άμεσα ότι θα πρέπει να βρω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Ξεκινάω λοιπόν. Παίρνω τον μεγαλύτερο από τους παρονομαστές,

και ελέγχω. Βρε, μπας, κι είναι αυτός το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο;

Να το δούμε λίγο;

Το 12 φυσικά και είναι πολλαπλάσιο του εαυτού του και το ξέρεις πάρα πολύ καλά.

Το 4; 3 Χ 4 = 12. Νάτο! Δεν χρειάστηκε να κάνω μεγάλη διαδρομή.

Ήταν δίπλα μου, μπροστά μου ήταν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Μία λοιπόν και τρεις φορές αντίστοιχα.

Να θυμίσω ότι όταν μετατρέπω τα κλάσματά μου σε ομώνυμα,

ουσιαστικά βρίσκω κλάσματα ισοδύναμα με τα αρχικά,

τα οποία έχουν κοινό παρονομαστή.

Μπορώ να δουλέψω μαζί τους, με λίγα λόγια.

Ίσον. Πάλι μέσα σε παρένθεση γιατί δεν έχω τελειώσει όπως καταλαβαίνεις.

1 Χ 3 = 3, 3 Χ 4 = 12.

Συν 1 Χ 2 = 2, 1 Χ 12 = 12.

Επί 4/5. Ίσον...

3/12 + 2/12 = 5/12.

Επί 4/5. Ίσον.

Ολοκλήρωσα την παρένθεσή μου.

Κατεβαίνω κάτω και βλέπω ότι μου έχει προκύψει ένα τελικό γινόμενο.

Έρχομαι λοιπόν και τι κάνω; Απλοποιώ.

Η μαγική λέξη στον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, παιδιά,

είναι η απλοποίηση.

Για ποιο λόγο;

Γιατί μου επιτρέπει να έχω μικρότερους όρους,

να μη κουβαλάω μεγάλους, τεράστιους αριθμούς,

τους οποίους θα πρέπει να απλοποιήσω στο τέλος,

γιατί αλλιώς θα μου προκύψει ένα πολύ μεγάλο κλάσμα.

Και δεν το θέλω τόσο μεγάλο κλάσμα.

Θέλω να κάνω απλή τη ζωή μου. Όχι να τη δυσκολεύω.

Έρχομαι λοιπόν. Το 5 στον εαυτό του 1 φορά, στο 5, 1.

Το 4 στον εαυτό του 1 φορά και στο 12, 3.

Ε, κάνω και αυτό που μου λέει η πράξη επιτέλους.

Γινόμενο.

1 Χ 1 = 1.

1 Χ 3 = 3.

Νάτη η τιμή της παράστασής μου, 1/3.

Φαντάζομαι ότι σιγά - σιγά τα θυμόμαστε όλο και πιο πολύ.

Ε, θα λέγαμε ότι τελειώσαμε αλλά έχω άλλη μία παραστασούλα με κλάσματα.

Ξέρεις, τα κλάσματα κι εμένα προσωπικά,

με δυσκόλευαν από όταν ήμουνα παιδί.

Γιατί είναι αρκετά σύνθετα, έχουν πολλά πράγματα μέσα,

πρέπει να θυμάσαι πότε κάνω ομώνυμα,

πότε κάνω απλοποιήσεις,

πότε αντιστρέφω τους όρους του δεύτερου κλάσματος...

και αντί για διαίρεση κάνω πολλαπλασιασμό.

Ένα σωρό πράγματα πρέπει να θυμάσαι.

Πάμε λοιπόν να εξασκηθούμε λίγο ακόμη.

Να το γράψουμε εδώ δίπλα.

Για να έχεις και αυτό αν χρειαστεί, αν χρειαστούμε να δούμε κάτι μαζί.

Για να δούμε λοιπόν, για να ετοιμάσουμε και την τελευταία μας παράσταση.

Για πάμε να δούμε.

Να θυμίσουμε εδώ ότι το κλάσμα 1/3 είναι ανάγωγο.

Δηλαδή από το στερητικό α- και το ρήμα άγω,

δεν μπορεί να οδηγηθεί σε μία απλούστερη μορφή από αυτή.

Έχει φτάσει στην πιο απλή του μορφή.

Και φυσικά είναι ισοδύναμο με την αρχική μας παράσταση.

Έχει την ίδια αξία, όπως λέμε.

Λοιπόν, γράφω την επόμενη παράστασή μου.

Με μια πρώτη ματιά κάποιος θα ενθουσιαζόταν και θα 'λεγε,

"Α, κοίτα να δεις! Είναι και ομώνυμα, είναι έτοιμα, είναι αφαίρεση..."

Μη βιαζόμαστε! Μη βιαζόμαστε.

Πρόσεξε λίγο καλύτερα.

Έχω ένα γινόμενο.

Κι έχω και πράξεις μες στην παρένθεση.

Έρχομαι λοιπόν να πω ότι θα κάνω την παρένθεσή μου,

έχω και το γινόμενό μου να το προετοιμάσω.

Ξαναθυμίζουμε: πολλαπλασιασμός ίσον απλοποίηση.

Αυτό το κρατάμε γιατί χωρίς αυτό θα κουβαλάμε μεγάλους αριθμούς.

Και δεν τους θέλουμε γιατί μετά δεν θα μπορούμε να βρούμε ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια,

θα προκύπτουν τεράστια νούμερα.

Έρχομαι λοιπόν. Ίσον...

11/3 δεν το πειράζω.

Το έχω ως είναι.

Το κουβαλάω μαζί μου.

Πλην. Πάμε λοιπόν να δούμε τις απλοποιήσεις μας.

Το 3 στον εαυτό του 1.

Στο 9, 3.

Το 8 στον εαυτό του 1.

Στο 16, 2.

Να λοιπόν που το μαζέψαμε πολύ.

1 Χ 3 = 3.

1 Χ 2 = 2.

Πλην. Έρχομαι εδώ. Δεν μπορώ να το αφήσω έτσι.

Πρέπει να τα κάνω ομώνυμα.

Πηγαίνω λοιπόν και τους βάζω καπελάκια.

Και ψάχνω να βρω το ελάχιστο κοινό τους πολλαπλάσιο.

5 του εαυτού του όπως λέγαμε και πριν φυσικά και είναι. Ναι, αλλά δεν είναι του 2.

Νάτο. 2 Χ 5 = 10, 5 Χ 2 = 10.

2 λοιπόν εδώ και 5. Ίσον...

Παρένθεση. Δεν την παραλείπω. Δεν έχω τελειώσει ακόμα την πράξη μου.

Τώρα θα ξεκινήσω να την κάνω.

2 Χ 4 = 8.

2 Χ 5 = 10.

Νάτο το ισοδύναμό μου κλάσμα.

Αριθμητής και παρονομαστής με τον ίδιο αριθμό.

Το κλάσμα που μου προκύπτει είναι ισοδύναμο με το αρχικό.

Πλην... 1 Χ 5 = 5.

2 Χ 5 = 10. Ίσον.

Ίσον. Κάθε φορά που τελειώνω μία γραμμή της παράστασης,

κάθομαι και ελέγχω. Κοιτάζω προσεκτικά.

Ξανακοιτάω λοιπόν και βλέπω ότι έχω πράξη μέσα στην παρένθεση.

Πάω λοιπόν να τελειώσω με αυτή.

Δεν τα πειράζω τα αρχικά, τα κουβαλάω.

11/3 - 3/2 πλην. Έρχομαι εδώ λοιπόν.

8/10 - 5/10 = 3/10. Ίσον...

Και να που έφτασα σε ένα λίγο περίεργο σημείο, παιδί μου.

Έχω δύο διαδοχικές αφαιρέσεις.

Τι ακριβώς θα κάνω;

Θα ξαναγυρίσουμε στην αρχή. Θυμάσαι τι είχαμε πει;

Τις πράξεις με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Άρα λοιπόν θα πρέπει πρώτα να κάνω την πρώτη μου αφαίρεση.

Εδώ βέβαια θα κάνω μία μικρή πονηριά, αν συμφωνείς κι εσύ.

Τι λες;

Να πάμε να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων;

Να μην ξανακάνουμε και δεύτερη φορά, βρε παιδί μου, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Μία να το βρούμε και να είμαστε έτοιμοι.

Θα συμφωνήσεις φαντάζομαι, ε;

Πάμε να θυμηθούμε και λίγο πώς βρίσκω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο,

με ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;

Αυτό το 'χεις μάθει, το ξέρεις καλά.

Αλλάς ας του ρίξουμε μια ματιά.

Να φτιάξουμε λίγο χώρο. Ε, τι λες;

Θα μας χρειαστεί τώρα.

Έρχομαι, ψάχνω, δεν το ξεχνάω, ψάχνω να βρω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο...

του 3, του 2 και του 10.

Αρχίζω. Ποιος είναι ο πιο μικρός πρώτος αριθμός...

που διαιρεί ακριβώς έστω και έναν από αυτούς;

Πρώτοι αριθμοί, να το ξαναπούμε,

είναι αυτοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και με τη μονάδα.

Μόνο. Έρχομαι λοιπόν και βλέπω ότι είναι ο 2.

Ο 2 να θυμίσουμε ότι είναι και ο μοναδικός άρτιος αριθμός...

και ο πιο μικρός, που είναι πρώτος.

Το 2 λοιπόν στον εαυτό του, 1 φορά.

Κρίμα που δεν διαιρεί το 3. Δεν πειράζει. Διαιρεί όμως το 10.

Το 2 στο 10, 5.

Σαν να μην υπάρχει η πάνω γραμμή,

ξανακάνω ακριβώς την ίδια ερώτηση.

Ποιος είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί ακριβώς έστω και έναν από αυτούς;

Βλέπω ότι το 2 πια δεν είναι στο παιχνίδι και επιλέγω το 3.

Το 3 είναι πρώτος αριθμός. Διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα.

Το 3 στον εαυτό του, 1 φορά.

Το 1 ούτως ή άλλως έχει κλείσει το 2, δεν με πειράζει.

Το 5 όμως το ξαναγράφω.

Ε, τι κάνει νιάου νιάου στα κεραμίδια;

Το 5 λοιπόν. Γιατί και το 5 είναι πρώτος αριθμός.

Το 5 λοιπόν στον εαυτό του 1.

Έρχομαι λοιπόν να δω ότι μου δώσανε το γινόμενο τριών πρώτων αριθμών.

2 Χ 3 Χ 5...

Να εφαρμόσω και την ιδιότητά μου:

2 Χ 5 = 10, 10 Χ 3 = 30.

Το ελάχιστο κοινό που πολλαπλάσιο λοιπόν είναι ο αριθμός 30.

Έρχομαι λοιπόν εδώ τώρα.

Ετοιμάζομαι.

Σου ξαναθυμίζω, θα γίνει η πρώτη αφαίρεση και θα ακολουθήσει η δεύτερη.

Παρόλα αυτά θα είμαι έτοιμος.

Να μη χρειαστεί μετά να ξανακάνω ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.

Έρχομαι λοιπόν. Διαιρώ το ελάχιστο κοινό μου πολλαπλάσιο με τον παρονομαστή μου.

Το πηλίκο το γράφω επάνω στο καπελάκι μου.

Τώρα, δεν πολυμοιάζει με καπελάκι αλλά δεν έχει σημασία.

Εσύ πες ότι είναι καπελάκι τώρα. Δεν χάθηκε ο κόσμος!

Έλα, μη με πληγώνεις τώρα! Ξέρω ότι δεν ζωγραφίζω καλά...

αλλά τα καταφέρνω. Η ζωγραφική δεν ήταν ποτέ το δυνατό μου σημείο.

30 : 3 = 10.

30 : 2 = 15.

30 : 10 = 3.

Πάμε τώρα να βρούμε τα ισοδύναμά τους.

11 Χ 10 = 110.

Να ξαναθυμηθούμε, κάθε γινόμενο με το 10...

είναι ουσιαστικά ο ίδιος αριθμός με ένα μηδενικό στο τέλος.

Αν είναι δεκαδικός του πάω μια θεσούλα την υποδιαστολή δεξιά.

3 Χ 10 = 30.

Θα δεις ότι όλοι οι παρονομαστές φυσικά,

πες το, ναι!

Α, μπράβο! 30 θα είναι βέβαια!

Εννοείται, αφού αυτό είναι το ελάχιστο κοινό μου πολλαπλάσιο!

Τέλεια! Εσύ τα ξέρεις μια χαρά! Είδες;

Εγώ τι κάνω; Εγώ στα ξαναθυμίζω μόνο.

Μια χαρά τα θυμάσαι από ό,τι βλέπω εγώ.

Μείον λοιπόν. 3 Χ 25 = ;

3 Χ 10 = 30.

3 Χ 5 = 15.

30 + 15 = 45.

45/30 λοιπόν. Μείον...

3 Χ 3 = 9. 9/30. Ίσον...

Θα πάρουμε λίγο χώρο. Ξέρεις είμαι και μεγάλος άνθρωπος τώρα,

μη σκύβω πάρα πολύ και κουράζομαι.

Θα πάμε λίγο εδώ πιο δίπλα να "κλέψουμε" λίγο χώρο.

Φαντάζομαι θα μας συγχωρέσει λίγο το ελάχιστο κοινό μας...

πολλαπλάσιο που θα του πάρουμε τον χώρο.

Θα έρθω λοιπόν από εδώ τώρα πια...

και θα βρω την πρώτη διαφορά.

110 - 45 =

Συνεχίζω εδώ, ξαναείπαμε, έτσι;

65/30 - 9/30 =

Δεν έχω και κάποια άλλη πράξη να κάνω.

Ουσιαστικά το μόνο το οποίο μου μένει είναι να κάνω τη διαφορά μου.

65/30 - 9/30 = 56/30.

"Ουφ, τελείωσα!", θα πεις μαθητάκι μου.

Ναι... αλλά μη βιάζεσαι!

Είναι καταχρηστικό το κλάσμα.

Δηλαδή, έχει μεγαλύτερο αριθμητή από παρονομαστή.

Δεν πάμε να του βγάλουμε και ακέραιες μονάδες,

να τελειώνουμε επιτέλους μ' αυτή την παράσταση;

Έλα, έλα, βγάλτες να τελειώνουμε! Δεν είναι και τίποτα.

Θυμάσαι το κολπάκι που είχαμε ξαναπεί;

Τι κάνω; Ίσον.

Βλέπω πόσες φορές χωράει...

Μην το ξεχνάμε, έι φιλαράκι, εδώ είμαστε!

Είναι κλάσμα, άρα είναι διαίρεση!

Το 30 στο 56 χωράει 1 φορά.

Του γράφω και το 30 στον παρονομαστή.

1 Χ 30 = 30.

Μέχρι το 56 τι μου μένει;

26!

Τέλεια!

Καλά, ρε Γιώργο, και δεν μου λες, δηλαδή άμα δεν το θυμηθώ;

Κανένα πρόβλημα, κάνεις τη διαίρεσή σου κανονικά,

παίρνεις το πηλίκο σου για ακέραιο μέρος.

Τα ξέρεις τώρα, αφού τα θυμάσαι μια χαρά!

Ουφ, τελείωσα! Δεν τελείωσες ακόμα, μεγάλε!

Άστο, μη βιάζεσαι, έχεις δουλίτσα.

Κοίτα είναι 26/30. Δεν θα απλοποιήσουμε;

Α, έχεις δίκιο! Έχεις δίκιο, έχεις δίκιο.

Πάμε να θυμηθούμε κριτήρια διαιρετότητας.

Τα 'χεις γνωρίσει. Τα ξέρεις καλά.

Δηλαδή; Δεν είναι και οι δύο άρτιοι, ζυγοί;

Οπ, για κάτσε! Έχεις δίκιο! Να, 26/30.

Για έλα λοιπόν να δούμε.

Με ποιον αριθμό λες;

Με το 2, ε; Χμ, πολύ καλή ιδέα είχες!

Ίσον λοιπόν. Για πάμε δίπλα.

Πάω πέρα - δώθε εδώ πέρα, βλέπεις αλλά είναι και ο πίνακας,

είμαι και πολυγραφότατος!

Ίσον.

1 και 26 : 2 = 13, 30 : 2 = 15. 1 13/15.

Μαθητάκι μου τελειώσαμε. Αυτό ήτανε. Πάει!

Τέλος. Δεν έχει άλλο.

Έφτασα σε ένα σημείο που βρήκα ένα κλάσμα ανάγωγο.

Δεν απλοποιείται άλλο.

Βρήκα την τιμή της παράστασης.

Πάμε τώρα να κάνουμε μία πολύ σύντομη επανάληψη,

για να το κλείσουμε και να μη σε κουράζω κι άλλο,

γιατί σε βλέπω ότι... όσο να' ναι, ε;

Όχι, ε; Όχι; Καλά μια χαρά σε βρίσκω.

Πάμε.

Προηγούνται οι πράξεις στις παρενθέσεις.

Εδώ. Καθώς και πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις,

προσθέσεις - αφαιρέσεις.

Ξαναθυμίζουμε: με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά,

όπως τις συναντώ.

Αν, όπως εδώ, έχω ανάγκη να βρω σε όλα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, το βρίσκω.

Κατόπιν εκτελώ τις πράξεις και δεν ξεχνάω στις κλασματικές αριθμητικές παραστάσεις,

να απλοποιήσω στο τέλος.

Και ει δυνατόν να παρουσιάσω και το κλάσμα μου ανάγωγο,

έτσι ώστε να εμφανιστεί στην απλούστερή του μορφή.

Χαίρομαι που τα ξαναθυμηθήκαμε μαζί.

Το 'χα κι εγώ ανάγκη, ξέρεις.

Λέω κάθε τόσο χρειάζεται μία μικρή επανάληψη.

Φυσικά θα σε βοηθήσουν όλα αυτά.

Θα δεις ότι όσο πιο σύνθετα γίνονται, πάλι σε αυτά θα βασίζεσαι.

Να 'σαι καλά λοιπόν! Καλή συνέχεια,

να περνάς όμορφα και να προσέχεις πολύ τον εαυτό σου.

Γεια σου!

To hear audio for this text, and to learn the vocabulary sign up for a free LingQ account.

Άνοιγμα αυτού του μαθήματος στο LingQ

Μαθηματικά | Αριθμητικές παραστάσεις | Ε'-ΣΤ' Δημοτικού Επ. 10 wiskunde|numerieke|uitdrukkingen|groep 5|groep 6|basisschool|aflevering Mathematics|Arithmetic|expressions|5th|6th|grade|Episode Математика | Числовые представления | E'-F' Начальная школа Эп. 10 Wiskunde | Numerieke uitdrukkingen | Groep 5-6 Basisonderwijs Aflevering 10 Mathematics | Numerical expressions | 5th-6th Grade Elementary School Episode 10

Καλή σου μέρα! goede|jouw|dag good|your|day Goedemorgen! Good day to you!

Ο ένας από τους δύο έλεγε πως θα κάνει πρώτα τη διαίρεση και μετά την πρόσθεση. de|een|van|de|twee|hij zei|dat|zal|hij zal doen|eerst|de|deling|en|daarna|de|optelling the|one|of|the|two|he was saying|that|will|he will do|first|the|division|and|then|the|addition Een van de twee zei dat hij eerst de deling zou doen en daarna de optelling. One of them said that he would do the division first and then the addition.

πρώτα την πρόσθεση και μετά τη διαίρεση. eerst|de|optelling|en|daarna|de|deling first|the|addition|and|then|the|division eerst de optelling en daarna de deling. the addition first and then the division.

Αυτοί πίστευαν ότι και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. zij|zij geloofden|dat|en|in de|twee|gevallen|het|resultaat|zal|het zal zijn|| they|they believed|that|and|in the|two|cases|the|result|will|it will be|the|same Zij geloofden dat in beide gevallen het resultaat hetzelfde zou zijn. They believed that in both cases the result would be the same.

Θέλεις να το δούμε; jij wilt|om|het|zien you want|to|it|we see Wil je het bekijken? Do you want to see it?

9 + 4 = 13. 9 + 4 = 13. 9 + 4 = 13.

η οποία είναι κοινά αποδεκτή σε όλο τον πλανήτη. die|welke|is|algemeen|aanvaard|in|de hele|de|planeet which|which|is|commonly|accepted|in|all|the|planet die wereldwijd algemeen aanvaard is. which is commonly accepted all over the planet.

Παντού, σε όλα τα κράτη της Γης, όπου κι αν βρεθείς, overal|in|alle|de|landen|van de|aarde|waar|ook|als|je bevindt everywhere|in|all|the|countries|of the|Earth|wherever|and|if|you find yourself Overal, in alle landen van de aarde, waar je ook bent, Everywhere, in all the countries of the Earth, wherever you may be,

θα το λύνουμε εκείνη τη στιγμή. het zal|het|oplossen|dat|het|moment we will|it|solve|that|the|moment zullen we het op dat moment oplossen. we will solve it at that moment.

Καλά το σκέφτηκες. goed|het|je hebt gedacht well|it|you thought Goed nagedacht. You thought about it well.

Στο νούμερο ένα είναι οι δυνάμεις. op|nummer|één|is|de|krachten at the|number|one|is|the|forces Nummer één zijn de krachten. At number one are the forces.

3 Χ 3 = 9. keer times 3 X 3 = 9. 3 X 3 = 9.

Αμέσως μετά τις δυνάμεις ακολουθούν οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις. onmiddellijk|na|de|krachten|volgen|de|vermenigvuldigingen|en|de|delingen immediately|after|the|forces|follow|the|multiplications|and|the|divisions Direct na de krachten volgen de vermenigvuldigingen en de delingen. Immediately after powers come multiplications and divisions.

Τέλος, οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις. tenslotte|de|optellingen|en|de|aftrekkingen finally|the|additions|and|the|subtractions Ten slotte, de optellingen en de aftrekkingen. Finally, the additions and subtractions.

Με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά! met|de|volgorde|van|de|links|naar|de|rechts with|the|order|from|the|left|to|the|right Van links naar rechts! In order from left to right!

Τι θα γίνει τώρα, αν έχω μία παρένθεση; wat|zal|gebeuren|nu|als|ik heb|een|haakje what|will|happen|now|if|I have|a|parenthesis Wat gebeurt er nu, als ik een haakje heb? What will happen now if I have a parenthesis?

Καταρχάς να τα ξαναθυμηθούμε μία φορά. Τι λες κι εσύ; ten eerste|om|de|we herinneren|een|keer|wat|je zegt|en|jij first of all|to|them|we remember again|one|time|what|you say|and|you Laten we het eerst nog eens doornemen. Wat zeg jij? First, let's remember it once again. What do you say?

5 Χ 4 + 8 : 2 - 14 = keer times 5 X 4 + 8 : 2 - 14 = 5 X 4 + 8 : 2 - 14 =

ότι αν πάω να "τικάρω", να τσεκάρω τις πράξεις προτεραιότητας, dat|als|ik ga|te|tikken|te|ik controleer|de|bewerkingen|volgorde van bewerkingen that|if|I go|to|tick|to|I check|the|operations|of priority dat als ik ga "tikken", om de volgorde van bewerkingen te controleren, that if I go to "tick", to check the order of operations,

αυτό θα με διευκολύνει στο να μην κάνω λάθος, dit|zal|mij|vergemakkelijken|om|te|niet|maken|fout this|will|to me|makes easier|in|to|not|I make|mistake dit zal het voor mij gemakkelijker maken om geen fouten te maken, this will help me not to make a mistake,

5 Χ 4 = 20. keer times 5 X 4 = 20. 5 x 4 = 20.

Πλην 14 ίσον. min|is minus|equals Min 14 is. Minus 14 equals.

Ακολουθεί η διαφορά. volgt|de|verschil follows|the|difference Daarna volgt het verschil. Next is the difference.

Ίσον λοιπόν. 20 + 4 = 24. dus|dus therefore|therefore Dus, 20 + 4 = 24. So, 20 + 4 = 24.

Πλην 14. Ίσον. maar|dus minus|equals Min 14. Dus. Minus 14. So.

Έρχομαι λοιπόν, 24 - 14 = 10. ik kom|dus I come|therefore Dus, 24 - 14 = 10. Therefore, 24 - 14 = 10.

Πάμε τώρα να δούμε μία άλλη παράσταση, laten we gaan|nu|om te|zien|een|andere|voorstelling let's go|now|to|see|a|another|performance Laten we nu een andere voorstelling bekijken, Now let's go see another performance,

Αντίστοιχα το ίδιο ισχύει και για τον κύβο, overeenkomstig|het|zelf|het geldt|ook|voor|de|kubus correspondingly|the|same|it holds|and|for|the|cube Evenzo geldt hetzelfde voor de kubus, Similarly, the same applies to the cube,

Εδώ λοιπόν μία ακόμα παράσταση. hier|dus|een|nog|uitdrukking here|then|one|more|expression Hier is dus nog een voorstelling. So here is another performance.

Έρχομαι λοιπόν και από τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, ik kom|dus|en|van|de|bewerkingen|binnen|in de|haakjes I come|therefore|and|from|the|operations|inside|the|parentheses Dus kom ik bij de bewerkingen binnen de haakjes, So I come to the operations inside the parentheses,

Έχω μία παρένθεση την οποία δεν έχω ολοκληρώσει και την κουβαλάω. ik heb|een|haakje|die|welke|niet|ik heb|ik heb afgemaakt|en|die|ik draag mee I have|a|parenthesis|it|which|not|I have|finished|and|it|I carry Ik heb een haakje dat ik niet heb afgemaakt en dat draag ik mee. I have a parenthesis that I haven't completed and I carry it with me.

Παράλληλα, έχω ένα γινόμενο, ένα πηλίκο και το προσέχω πολύ. tegelijkertijd|ik heb|een|product|een|quotiënt|en|het|ik let op|heel at the same time|I have|a|product|a|quotient|and|it|I pay attention|very Tegelijkertijd heb ik een product, een quotiënt en daar let ik goed op. At the same time, I have a product, a quotient, and I take great care of it.

12 : 6 = 2. 12 : 6 = 2. 12 : 6 = 2.

Συν 3, ίσον. plus|gelijk aan plus|equals Plus 3, is. Plus 3, equals.

Ξανακοιτάω προσεκτικά ό,τι έχω γράψει και βλέπω ότι έχω μία παρένθεση. ik kijk opnieuw|aandachtig||ik heb|geschreven|en|ik zie|dat|ik heb|een|haakje I look again|carefully||I have|written|and|I see|that|I have|a|parenthesis Ik kijk nog eens goed naar wat ik heb geschreven en zie dat ik een haakje heb. I look carefully again at what I have written and see that I have a parenthesis.

Έρχομαι λοιπόν. Ίσον. ik kom|dus|gelijk aan I come|therefore|equals Ik kom dus. Is gelijk. So I am coming. Equals.

Πάντοτε βάζω το άγκιστρό μου για να είμαι βέβαιος ότι θα το θυμηθώ. altijd|ik zet|het|haak|mijn|om|te|ik ben|zeker|dat|zal|het|ik zal herinneren always|I put|the|hook|my|in order to|to|I am|sure|that|will|it|I will remember Ik zet altijd mijn haakje om er zeker van te zijn dat ik het zal onthouden. I always put my hook to be sure that I will remember it.

3 + 6 = 9. 3 + 6 = 9. 3 + 6 = 9.

Πλην. 8 + 2 + 3. Ίσον. echter| however|equals Maar. 8 + 2 + 3. Is gelijk. However. 8 + 2 + 3. Equals.

Προηγείται η διαφορά. gaat vooraf aan|het|verschil precedes|the|difference Het verschil gaat voor. The difference comes first.

9 - 8 = 1. 9 - 8 = 1. 9 - 8 = 1.

1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 =

1 + 3 = 3. 1 + 3 = 3. 1 + 3 = 3.

3 + 3 = 3 + 3 = 3 + 3 =

3 + 3 = 6. 3 + 3 = 6. 3 + 3 = 6.

Ακολουθεί ένα γινόμενο και ένα πηλίκο. volgt|een|product|en|een|quotiënt follows|a|product|and|a|quotient Hier volgt een product en een quotiënt. Here is a product and a quotient.

Δεν με επηρεάζουν, γι' αυτό και μπορώ να τα κάνω παράλληλα. niet|mij|beïnvloeden|daarom|dit|en|ik kan|om|ze|ik doe|parallel not|me|affect|for|this|and|I can|to|them|I do|simultaneously Ze beïnvloeden me niet, daarom kan ik ze parallel doen. They do not affect me, that's why I can do them simultaneously.

Έρχομαι λοιπόν, 1 Χ 3 = 3. ik kom|dus|keer I come|therefore|times Dus kom ik, 1 X 3 = 3. So I come, 1 X 3 = 3.

6 + 3 = 9, 9 - 8 είναι η πράξη προτεραιότητάς μου, είναι η πρώτη, is|de|bewerking|prioriteit|mijn|is|de|eerste is|the|operation|priority|my|is|the|first 6 + 3 = 9, 9 - 8 is mijn prioriteitsactie, het is de eerste, 6 + 3 = 9, 9 - 8 is my priority operation, it is the first,

δεν ξεχνώ πηγαίνω με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά. niet|ik vergeet|ik ga|met|de|volgorde|van|de|links|naar|de|rechts not|I forget|I go|with|the|order|from|the|left|to|the|right ik vergeet niet dat ik van links naar rechts ga. I do not forget to go in order from left to right.

Με τη σειρά! met|de|beurt with|the|order Op volgorde! In order!

1 + 3 = 3, 3 + 3 = 6. 1 + 3 = 3, 3 + 3 = 6. 1 + 3 = 3, 3 + 3 = 6.

Ας δούμε τι θα συμβεί σε μία περίπτωση τώρα, laten we|zien|wat|zal|gebeuren|in|een|geval|nu let's|see|what|will|happen|in|one|case|now Laten we kijken wat er nu in één geval zal gebeuren, Let's see what will happen in one case now,

Ξεκινάω λοιπόν. Παρένθεση. ik begin|dus|haakje I start|therefore|parenthesis Ik begin dus. Haakjes. So I start. Parenthesis.

Θα ολοκληρωθεί η πράξη της παρένθεσης και θα ακολουθήσει ό,τι είναι έξω από αυτή. zal|voltooid worden|de|bewerking|van de|haakjes|en|zal|volgen||is|buiten|van|deze will|be completed|the|operation|of the|parentheses|and|will|follow||is|outside|from|this De bewerking in de haakjes zal worden voltooid en wat buiten deze is, zal volgen. The operation inside the parentheses will be completed, and what is outside of it will follow.

Το 12 φυσικά και είναι πολλαπλάσιο του εαυτού του και το ξέρεις πάρα πολύ καλά. het|natuurlijk|en|is|veelvoud|van|zichzelf|van|en|het|je weet|heel|erg|goed the|of course|and|is|multiple|of|itself|of|and|the|you know|very|well|well Natuurlijk is 12 een veelvoud van zichzelf en dat weet je heel goed. Of course, 12 is a multiple of itself, and you know that very well.

τα οποία έχουν κοινό παρονομαστή. ||ze hebben|gemeenschappelijke|noemer the|which|they have|common|denominator die een gemeenschappelijke noemer hebben. which have a common denominator.

1 Χ 3 = 3, 3 Χ 4 = 12. keer|keer times|times 1 X 3 = 3, 3 X 4 = 12. 1 X 3 = 3, 3 X 4 = 12.

Συν 1 Χ 2 = 2, 1 Χ 12 = 12. plus|keer|keer plus|times|times Plus 1 X 2 = 2, 1 X 12 = 12. Plus 1 X 2 = 2, 1 X 12 = 12.

Επί 4/5. Ίσον... keer|dus times|equals Vermenigvuldigd met 4/5. Gelijk... Times 4/5. Equals...

3/12 + 2/12 = 5/12. 3/12 + 2/12 = 5/12. 3/12 + 2/12 = 5/12.

Επί 4/5. Ίσον. keer|gelijk aan times|equals Vermenigvuldig met 4/5. Is gelijk aan. Times 4/5. Equals.

Έρχομαι λοιπόν και τι κάνω; Απλοποιώ. ik kom|dus|en|wat|ik doe|ik vereenvoudig I come|therefore|and|what|I do|I simplify Dus ik kom en wat doe ik? Ik vereenvoudig. So I come and what do I do? I simplify.

είναι η απλοποίηση. het is|de|vereenvoudiging is|the|simplification is vereenvoudigen. is simplification.

Για ποιο λόγο; voor|welke|reden for|which|reason Waarom? Why?

Και δεν το θέλω τόσο μεγάλο κλάσμα. en|niet|het|ik wil|zo|groot|breuk and|not|it|I want|so|big|fraction En ik wil het niet zo'n groot breuk. And I don't want such a large fraction.

Θέλω να κάνω απλή τη ζωή μου. Όχι να τη δυσκολεύω. ik wil|om|ik maak|eenvoudig|mijn|leven|mijn|niet|om|het|ik moeilijk maak I want|to|I make|simple|my|life|my|not|to|it|I complicate Ik wil mijn leven eenvoudig maken. Niet moeilijker maken. I want to make my life simple. Not to complicate it.

Ε, κάνω και αυτό που μου λέει η πράξη επιτέλους. ik|doe|en|dit|dat|mij|zegt|de|actie|eindelijk well|I do|and|this|that|to me|says|the|operation|finally Nou, ik doe eindelijk ook wat de actie zegt. Well, I also do what the operation tells me finally.

Γινόμενο. product product Product. Product.

1 Χ 1 = 1. keer times 1 X 1 = 1. 1 X 1 = 1.

1 Χ 3 = 3. keer times 1 X 3 = 3. 1 X 3 = 3.

Ξέρεις, τα κλάσματα κι εμένα προσωπικά, je weet|de|breuken|en|mij|persoonlijk you know|the|fractions|and|me|personally Weet je, breuken zijn ook persoonlijk voor mij, You know, fractions personally for me,

πότε κάνω απλοποιήσεις, wanneer|ik maak|vereenvoudigingen when|I do|simplifications wanneer ik vereenvoudigingen maak, when I do simplifications,

Για να έχεις και αυτό αν χρειαστεί, αν χρειαστούμε να δούμε κάτι μαζί. om|te|je hebt|ook|dit|als|het nodig is|als|we nodig hebben|te|we zien|iets|samen for|to|you have|and|this|if|it is needed|if|we need|to|we see|something|together Zodat je dit ook hebt als het nodig is, als we iets samen moeten bekijken. So you have this in case we need to look at something together.

Για να δούμε λοιπόν, για να ετοιμάσουμε και την τελευταία μας παράσταση. om|te|we zien|dus|om|te|we voorbereiden|ook|de|laatste|onze|voorstelling for|to|we see|then|for|to|we prepare|and|the|last|our|performance Laten we dus kijken, om onze laatste voorstelling voor te bereiden. So let's see, to prepare our last performance.

Δηλαδή από το στερητικό α- και το ρήμα άγω, dus|van|het|ontkennend||en|het|werkwoord|ik leid that is|from|the|negative||and|the|verb|I lead Dat wil zeggen, van het ontkennende a- en het werkwoord ago, That is, from the negation prefix a- and the verb ago,

Μη βιαζόμαστε! Μη βιαζόμαστε. niet|we haasten ons|| not|we are hurrying|| Laten we niet haasten! Laten we niet haasten. Let's not rush! Let's not rush.

Πρόσεξε λίγο καλύτερα. let op|een beetje|beter pay attention|a little|better Kijk iets beter. Pay a little more attention.

Έχω ένα γινόμενο. ik heb|een|product I have|a|product Ik heb een product. I have a product.

έχω και το γινόμενό μου να το προετοιμάσω. ik heb|en|het|product|mijn|om te|het|ik ga voorbereiden I have|and|the|product|my|to|it|I prepare ik heb ook mijn product om voor te bereiden. I also have my product to prepare.

Έρχομαι λοιπόν. Ίσον... ik kom|dus|dat betekent I am coming|therefore|equals Ik kom dus. Dat is... So I come. That is...

11/3 δεν το πειράζω. niet|het|ik raak aan not|it|I touch 11/3 ik verander het niet. 11/3 I don't touch it.

Στο 9, 3. aan to the In 9, 3. To 9, 3.

Στο 16, 2. aan to the In 16, 2. To 16, 2.

1 Χ 3 = 3. keer times 1 X 3 = 3. 1 X 3 = 3.

1 Χ 2 = 2. keer times 1 X 2 = 2. 1 X 2 = 2.

Νάτο. 2 Χ 5 = 10, 5 Χ 2 = 10. kijk|keer|keer here it is|times|times Hier is het. 2 X 5 = 10, 5 X 2 = 10. Here it is. 2 X 5 = 10, 5 X 2 = 10.

Τώρα θα ξεκινήσω να την κάνω. nu|zal|ik begin|om|de|ik doe now|will|I will start|to|it|I will do Nu ga ik beginnen met het maken. Now I will start to do it.

2 Χ 4 = 8. keer times 2 X 4 = 8. 2 X 4 = 8.

2 Χ 5 = 10. keer times 2 X 5 = 10. 2 X 5 = 10.

Πλην... 1 Χ 5 = 5. maar|keer minus|times Behalve... 1 X 5 = 5. Except... 1 X 5 = 5.

2 Χ 5 = 10. Ίσον. keer|gelijk times|equals 2 X 5 = 10. Gelijk. 2 X 5 = 10. Equals.

Δεν τα πειράζω τα αρχικά, τα κουβαλάω. niet|de|ik raak aan|de|oorspronkelijke|de|ik draag not|the|I touch|the|initials|the|I carry Ik raak de oorspronkelijke niet aan, ik neem ze mee. I don't touch the originals, I carry them.

8/10 - 5/10 = 3/10. Ίσον... gelijk aan equals 8/10 - 5/10 = 3/10. Is gelijk aan... 8/10 - 5/10 = 3/10. Equals...

Τις πράξεις με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά. de|bewerkingen|met|de|volgorde|van|de|linkerkant|naar|de|rechterkant the|operations|with|the|order|from|the|left|to|the|right De bewerkingen van links naar rechts. The operations in order from left to right.

Τι λες; wat|zeg je what|you say Wat zeg je? What do you say?

του 3, του 2 και του 10. van|van|en|van of the|of the|and|of the van 3, 2 en 10. of 3, 2, and 10.

Το 2 στο 10, 5. het|aan the|to the 2 in 10, 5. 2 into 10, 5.

Ποιος είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί ακριβώς έστω και έναν από αυτούς; wie|is|de|kleinste|eerste|getal|dat|deelt|precies|zelfs|en|één|van|deze which|is|the|smallest|prime|number|that|divides|exactly|even|and|one|of|these Wat is het kleinste priemgetal dat precies één van deze deelt? What is the smallest prime number that divides exactly at least one of these?

Βλέπω ότι το 2 πια δεν είναι στο παιχνίδι και επιλέγω το 3. ik zie|dat|het|nu|niet|is|in het|spel|en|ik kies|het I see|that|the|no longer|not|is|in the|game|and|I choose|the Ik zie dat 2 niet meer in het spel is en kies 3. I see that 2 is no longer in the game and I choose 3.

Το 3 είναι πρώτος αριθμός. Διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα. de|is|eerste|getal|Het is deelbaar|alleen|met|de|zelf|zijn|en|de|eenheid the|is|prime|number|It divides|only|by|the|self|its|and|the|unit Het getal 3 is een priemgetal. Het is alleen deelbaar door zichzelf en door 1. The 3 is a prime number. It is divisible only by itself and one.

Το 1 ούτως ή άλλως έχει κλείσει το 2, δεν με πειράζει. de|zo|of|anders|heeft|gesloten|de|niet|me|het stoort me the|anyway|or|else|has|closed|the|not|to me|bothers Het 1 heeft toch het 2 afgesloten, dat maakt me niet uit. The 1 anyway has closed the 2, it doesn't bother me.

Το 5 λοιπόν. Γιατί και το 5 είναι πρώτος αριθμός. het|dus|omdat|en|het|is|priem|getal the|therefore|because|and|the|is|prime|number Dus het 5. Want 5 is ook een priemgetal. So, the 5. Because 5 is also a prime number.

2 Χ 3 Χ 5... keer| times| 2 X 3 X 5... 2 X 3 X 5...

2 Χ 5 = 10, 10 Χ 3 = 30. keer|keer times|times 2 X 5 = 10, 10 X 3 = 30. 2 X 5 = 10, 10 X 3 = 30.

Ετοιμάζομαι. ik maak me klaar I am getting ready Ik maak me klaar. I am getting ready.

Εσύ πες ότι είναι καπελάκι τώρα. Δεν χάθηκε ο κόσμος! jij|zeg|dat|het is|petje|nu|niet|verloren|de|wereld you|say|that|it is|little hat|now|not|is lost|the|world Jij zegt dat het een petje is nu. De wereld is niet verloren! You say it's a little hat now. The world hasn't ended!

30 : 3 = 10. 30 : 3 = 10. 30 : 3 = 10.

30 : 2 = 15. 30 : 2 = 15. 30 : 2 = 15.

30 : 10 = 3. 30 : 10 = 3. 30 : 10 = 3.

Πάμε τώρα να βρούμε τα ισοδύναμά τους. let's go|now|to|find|the|equivalents|their Laten we nu hun equivalente waarden vinden. Now let's find their equivalents.

11 Χ 10 = 110. times 11 X 10 = 110. 11 X 10 = 110.

είναι ουσιαστικά ο ίδιος αριθμός με ένα μηδενικό στο τέλος. is|eigenlijk|de|zelfde|getal|met|een|nul|op|einde is|essentially|the|same|number|with|a|zero|at|end is in wezen hetzelfde getal met een nul aan het einde. is essentially the same number with a zero at the end.

Αν είναι δεκαδικός του πάω μια θεσούλα την υποδιαστολή δεξιά. als|is|decimaal|van|ik ga|een|plekje|de|komma|naar rechts if|is|decimal|to|I go|a|little place|the|decimal point|to the right Als het een decimaal getal is, verplaats ik de komma één plek naar rechts. If it's a decimal, I move the decimal point one place to the right.

3 Χ 10 = 30. keer times 3 X 10 = 30. 3 X 10 = 30.

πες το, ναι! zeg|het|ja say|it|yes zeg het, ja! say it, yes!

Τέλεια! Εσύ τα ξέρεις μια χαρά! Είδες; perfect|jij|ze|weet|een|plezier|je hebt gezien perfect|you|them|you know|a|joy|you saw Perfect! Jij weet het heel goed! Heb je het gezien? Perfect! You know them very well! Did you see?

Εγώ τι κάνω; Εγώ στα ξαναθυμίζω μόνο. ik|wat|doe|ik|ze|herinner opnieuw| I|what|I do|I|them|I remind again|only Wat doe ik? Ik herinner je het alleen maar. What about me? I just remind you.

Μια χαρά τα θυμάσαι από ό,τι βλέπω εγώ. een|plezier|ze|je herinnert|van||ik zie|ik a|joy|them|you remember|from||I see|I Je herinnert het heel goed, zoals ik zie. You remember them well from what I see.

Μείον λοιπόν. 3 Χ 25 = ; min|dus|keer minus|therefore|times Dus min. 3 X 25 = ; So, minus. 3 X 25 = ?

3 Χ 10 = 30. keer times 3 X 10 = 30. 3 X 10 = 30.

3 Χ 5 = 15. keer times 3 X 5 = 15. 3 X 5 = 15.

30 + 15 = 45. 30 + 15 = 45. 30 + 15 = 45.

45/30 λοιπόν. Μείον... dus|min therefore|minus 45/30 dus. Min... So, 45/30. Minus...

3 Χ 3 = 9. 9/30. Ίσον... keer|gelijk aan |equals 3 X 3 = 9. 9/30. Is gelijk aan... 3 X 3 = 9. 9/30. Equals...

110 - 45 = 110 - 45 = 110 - 45 =

Συνεχίζω εδώ, ξαναείπαμε, έτσι; I continue|here|we said again|like this Ik ga hier verder, we hebben het al gezegd, toch? I continue here, we said it again, right?

65/30 - 9/30 = 65/30 - 9/30 = 65/30 - 9/30 =

Ουσιαστικά το μόνο το οποίο μου μένει είναι να κάνω τη διαφορά μου. eigenlijk|het|enige|het|wat|mij|blijft|is|om|te maken|mijn|verschil|mijn basically|the|only|the|which|to me|remains|is|to|I make|the|difference|my Uiteindelijk is het enige wat me rest om mijn verschil te maken. Basically, the only thing left for me is to make my difference.

65/30 - 9/30 = 56/30. 65/30 - 9/30 = 56/30. 65/30 - 9/30 = 56/30.

Έλα, έλα, βγάλτες να τελειώνουμε! Δεν είναι και τίποτα. kom|kom|haal ze eruit|om te|we zijn klaar|niet|is|en|niets come|come|take them out|to|we finish|not|is|and|nothing Kom op, kom op, haal ze eruit zodat we klaar zijn! Het is niets bijzonders. Come on, come on, take them out so we can finish! It's nothing.

Τι κάνω; Ίσον. wat|ik doe|gelijk what|I do|equal Wat doe ik? Gelijk. What am I doing? Equal.

1 Χ 30 = 30. X X 1 X 30 = 30. 1 X 30 = 30.

Μέχρι το 56 τι μου μένει; tot|het|wat|mij|blijft until|the|what|to me|remains Wat blijft er over tot 56? What do I have left until 56?

26! 26! 26!

Τέλεια! perfect Perfect Perfect! Perfect!

Καλά, ρε Γιώργο, και δεν μου λες, δηλαδή άμα δεν το θυμηθώ; goed|hé|George|en|niet|aan mij|je zegt|dat wil zeggen|als|niet|het|ik herinner well|hey|George|and|not|to me|you say|that is|if|not|it|I remember Goed, George, en zeg me, wat als ik het niet herinner? Well, George, and you don't tell me, what if I don't remember it?

Για έλα λοιπόν να δούμε. voor|kom|dan|om|te zien for|come|then|to|see Kom dan, laten we kijken. So come on, let's see.

είμαι και πολυγραφότατος! ik ben|ook|zeer productief I am|and|very prolific ik ben ook zeer spraakzaam! I am also very talkative!

Ίσον. gelijk equals Gelijk. Equals.

1 και 26 : 2 = 13, 30 : 2 = 15. 1 13/15. en and 1 en 26 : 2 = 13, 30 : 2 = 15. 1 13/15. 1 and 26 : 2 = 13, 30 : 2 = 15. 1 13/15.

Έφτασα σε ένα σημείο που βρήκα ένα κλάσμα ανάγωγο. ik ben aangekomen|op|een|punt|dat|ik vond|een|breuk|irreduceerbaar I reached|to|a|point|that|I found|a|fraction|irreducible Ik ben op een punt gekomen waar ik een onvereenvoudigbaar breuk heb gevonden. I reached a point where I found an irreducible fraction.

Δεν απλοποιείται άλλο. niet|het kan verder vereenvoudigd worden|meer not|simplifies|anymore Het kan niet verder vereenvoudigd worden. It cannot be simplified further.

για να το κλείσουμε και να μη σε κουράζω κι άλλο, om|te|het|we sluiten|en|om te|niet|jou|ik vermoei|ook|meer in order to|to|it|we close|and|to|not|you|I tire|also|more om het af te ronden en je niet verder te vermoeien, to wrap it up and not tire you out any further,

γιατί σε βλέπω ότι... όσο να' ναι, ε; omdat|jou|ik zie|dat|zolang|het is|ja|toch because|I see you|I see|that|as|||right want ik zie dat je... hoe dan ook, hè? because I can see that you... well, you know?

Όχι, ε; Όχι; Καλά μια χαρά σε βρίσκω. niet|hè|niet|goed|een|plezier|jou|ik vind no|right|no|well|one|joy|you|I find Nee, hè? Nee? Goed, ik vind je prima. No, right? No? Well, I find you just fine.

Πάμε. laten we gaan let's go Laten we gaan. Let's go.

προσθέσεις - αφαιρέσεις. optellingen|aftrekkingen additions|subtractions optellingen - aftrekkingen. additions - subtractions.

Ξαναθυμίζουμε: με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά, we herinneren opnieuw|met|de|volgorde|van|de|linkerkant|naar|de|rechterkant we remind again|with|the|order|from|the|left|to|the|right We herinneren ons: van links naar rechts, Let us remind: in the order from left to right,

όπως τις συναντώ. zoals|de|ik tegenkom as|the|I encounter zoals ik ze tegenkom. as I encounter them.

Και ει δυνατόν να παρουσιάσω και το κλάσμα μου ανάγωγο, en|als|mogelijk|om te|ik presenteer|en|het|breuk|mijn|irreduceerbaar and|if|possible|to|I present|and|the|fraction|my|irreducible En indien mogelijk presenteer ik ook mijn breuk in de eenvoudigste vorm, And if possible, to present my fraction in its simplest form,

Γεια σου! hallo|je hello|to you Hallo! Goodbye!

ai_request(all=214 err=0.00%) translation(all=428 err=0.00%) cwt(all=2935 err=0.37%) nl:B7ebVoGS: en:B7ebVoGS:250604 openai.2025-02-07 PAR_TRANS:gpt-4o-mini=4.28 PAR_CWT:B7ebVoGS=14.51 PAR_TRANS:gpt-4o-mini=3.3 PAR_CWT:B7ebVoGS=5.67