#200. ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕМАТИКА?

В графических редакторах можно встретить кривые

Безье или размытие по Гауссу, и, кажется, это не фамилии

художников.

При сохранении изображения в формате JPEG применяется

преобразование Фурье, а возможность отправки файлов

реализована благодаря серьезной комбинаторике

и чуть ли с использованием многомерных пространств.

И здесь, и там мы видим величайшее математическое открытие

— числа.

Нужна ли математика, чтобы затеять ремонт или приготовить

любимый коктейль?

По большому счету нет.

Но, конечно, совершая покупку, обратите внимание на изменение

стоимости доставки: иногда она увеличивается более,

чем в два раза, и вы знаете, как поступить.

Если увидите вот такую диаграмму в естественном

контексте, поймите всю происходящую ненормальность

и то, по ком звонит колокол.

Еще в жизни иногда приходится разбираться в формальностях

юридических документов или, скажем, в важных формулах

— не подведите.

Избегать полетов ради безопасности и при этом регулярно пользоваться

автотранспортом — это нечто на уровне магии, которую

лучше заменить ее логикой.

Кроме логики, теория вероятностей и теория игр могут сделать

вас чуть более сильным соперником в разного рода

интеллектуальных битвах: в таком случае, чтобы не

портить веселье, можно поддаваться.

Во избежание ошибки выжившего, стоит признать, что случаев,

когда без математики легко обойтись — гораздо больше.

Часто эмпирическое решение задачи оказывается более

удачным.

В общем, на математику надейся, а сам не плошай.

Напоследок три загадки.

Как думаете, какую фигуру будет заметать вот эта

конструкция при вращении?

А вот три точки, где поставить четвертую, чтобы сумма

длин всех изображенных отрезков была минимальна?

Ну а третий сюжет новостной: заголовок перед вами — подумайте,

какой в этом может быть смысл.

Математика нужна хотя бы ради забавы, для эстетического

удовольствия, ради эмоций, для ежедневной эврики.

Нелепо звучит вопрос: зачем нужна музыка.

Зачем вы слушаете все эти песни, пьесы, композиции?

Какая от этого практическая польза?

Все прекрасно понимают музыку, мы испытываем удовольствие

от нее, и, как правило, для этого не требуется предварительных

усилий.

С математикой все то же самое, только усилия требуются.

Математические факты нужно с удовольствием открывать,

смаковать, задачи нужно воспринимать как вызов,

как игру, интеллектуальную дуэль, наконец.

Две одинаковые створки окна вашей комнаты открыты,

но на улице шумно, и вы закрываете одну из них — во сколько

раз станет тише?

Кажется, что в два, верно?

На самом деле уровень шума для нашего слуха останется

почти неизменным: его интенсивность прямо пропорциональна

логарифму интенсивности раздражителя.

Хм… получается, что логарифмы не такая уж и чуждая естеству

штука.

Со зрением и осязанием похожая функциональная

связь, хотя для некоторых перцепций больше подходит

степенная зависимость или иные, плюс — конечно,

на восприятие влияют разные психологические факторы.

Любопытно и то, что различные геометрические формы мы

воспринимаем по-разному.

Добрый персонаж рисованного фильма скорее будет иметь

округлые контуры, а злой — угловатые.

Заваленный горизонт нас чаще раздражает, а симметрия

всячески привлекает.

Математические теории касаются и музыки, ее восприятия.

Скажем, какие-то интервалы нам кажутся не очень благозвучными,

несколько напряженными.

А какие-то на слух приятны, и это, конечно, имеет свои

причины.

Например, прослеживается связь с совпадением гармоник,

что легко проанализировать и даже сделать выводы, которые

трудно было бы получить опытным путем.

Все науки по-своему хороши для нашего интеллектуального

и духовного роста.

Математика, например, развивает абстрактно-логическое

мышление и критическое мышление: разного рода

исследования подтверждают это лишь косвенно, но педагогический

опыт все-таки позволяет озвучить сейчас некоторые

соображения.

Свойство суммы логарифмов — контринтуитивно, или,

скажем, тригонометрия или комплексные числа — работа

с такими абстрактными объектами бывает поначалу сложна,

но зато позволяет выходить за рамки имеющегося опыта.

Пожалуй, поэтому математику нельзя отнести ни к естественным

наукам, ни к гуманитарным.

Логическая же составляющая в школьной программе, как

ни странно, наиболее ярко выражена в планиметрии:

использование признаков и свойств, доказательства

теорем — полезны не тем, какие результаты будут

получены в задаче, а самим мыслительным процессом:

формулы забудутся, способность рассуждать останется.

Критическое мышление — это полезный инструмент, который

помогает приблизиться к истине или во всяком случае

к объективности.

Как и рефлексия, критическое мышление позволит сделать

вашу идею, вашу работу, в том числе и творческую,

лучше.

Особенно критический взгляд важен при восприятии информации,

ее оценке, интерпретации.

Но ведь не получится его развить, просто лежа на

диване и комментируя новости.

Очень поучительными оказываются математические задачи:

процесс выявления ошибок и их последующий анализ,

оценка полученного результата, проверка логических переходов,

сравнение разных способов решения — все это развивает

критическое мышление.

Кроме того, существует прямая связь между занятиями

стереометрией и пространственным воображением, а решение

математических задач в целом приучает к поиску

закономерностей, обобщений, аналогий и нестандартных

идей.

Дедуктивный метод Шерлока Холмса на самом деле индуктивный.

Гиперболоид инженера Гарина — мистификация.

Зато Лев Толстой в третьем томе «Войны и мира» рассуждает

о сумме бесконечно малых величин, и делает это хорошо.

Какой же уровень математики необходим культурному

человеку?

Ответ, конечно, субъективный.

Пожалуй, суть гипотезы Пуанкаре понимать не обязательно,

а вот представлять, что такое топология — нужно.

Умение отличать круг от окружности, цифры от чисел

— это почет и хвала.

Когда журналисты говорят: «Цифра дня», всегда ожидаешь

услышать 7, ну или хотя бы 8.

В контексте архитектуры или живописи великого Леонардо

полезно иметь представление о золотом сечении.

Кстати, о живописи, вы, конечно, знаете вот эту фреску.

Меня всегда впечатляло то, где она находится, кто

на ней изображен и какие отношения у всех них были

к геометрии, числам, математике вообще.

Думаю, доказательство теоремы Пифагора и иррациональности

корня из двух, представление о «Началах» Евклида и Платоновых

телах — это тот минимум, который позволяет лучше

понять античное наследие.

Математических способностей культурного человека должно

хватить на то, чтобы прочитав «Критику чистого разума»

Канта, разобраться во всех этих предикатах, аналитических

суждениях, вещью самой по себе.

А еще вы большие молодцы, если можете назвать год

рождения Галилея, глядя вот на эти цифры.

В некоторых областях человеческой деятельности важно наличие

математического аппарата для решения конкретных

задач.

В программировании на авансцене оказывается булева алгебра,

комбинаторика, теория графов; а еще теория алгоритмов

и теория чисел.

И, казалось бы, где могут использоваться кватернионы?

А они сплошь и рядом в анимации.

Риск-менеджеру потребуется не столько управленческие

навыки, сколько теория вероятностей.

Социологу скорее пригодится статистика, а адвокату

вообще нужно железно соображать.

В сфере логистики встречается обилие математических

задач, связанных с упаковкой, хранением и транспортировкой.

В финансовой аналитике ценным оказывается математический

анализ.

Притом следует подчеркнуть, что продавец в магазине

или бухгалтер на самом деле далеки от математики.

Зато, если будете открывать свое дело, менять мир к

лучшему, математика обязательно выручит.

Говорят, что в числе π содержится вся информация, которую

только можно закодировать, золотое отношение пронизывает

мироздание, а цикады не вымерли только благодаря

простым числам.

Это, конечно, все художественное преувеличение: жизненные

циклы цикад и их поедателей все же пересекаются, золотые

спирали в природе — просто частный случай логарифмических,

а нормальность числа π и вовсе не доказана.

Благо, что других проявлений математики тоже очень много.

В Японии, например, с ее помощью борются с землетрясениями:

фундаменты важных для инфраструктуры объектов возводятся так,

что конструкция может быть подвержена колебаниям,

но частота их такова, что не возникает резонанса

с колебаниями земли.

В математике транспортных потоков было доказано утверждение

о том, что устранение одной из дорог может улучшить

пропускную способность системы: да, это противоречит

интуиции, но уже есть несколько прецедентов успешного

использования такой теоремы в городской среде.

А еще многие знают о практическом применении правила трех

сигм, но не все слышали про закон Бенфорда: он описывает

вероятность появления той или иной цифры в распределениях

величин из реальной жизни.

Хотя этот закон первой цифры не является универсальным,

с его помощью можно установить факт фальсификаций на выборах

или ложных сведениях в финансовых отчетах.

Напомню еще то, что фрактальную геометрию можно обнаружить

в природе, аналитическую — в архитектуре.

Завершает же рассказ вопрос: орбиты наших планет имеют

форму эллипса, а вы помните его определение?

Зачем нужна математика — зависит от человека.

Если главным в жизни считать саморазвитие, самоактуализацию

и совершенствование мира, то математика — это ваше

орудие.

А если во главу угла ставить гедонизм и порок, то, понятное

дело, все эти игры разума окажутся рудиментом.

Математика, будучи языком науки, пронизывает физику,

метафизику и философию вообще, служит инструментом

для информатики, экономики и астрономии, переплетается

с генетикой, химией, лингвистикой.

Математика — ключ к другим областям знания, интересным,

важным и значимым практически.

Без такого инструмента мы бы многое потеряли в

развитии и даже не смогли бы осознать ни всех потерь,

ни интеллектуальных ограничений.

У человека существует потребность в созерцании и красоте.

Мы можем долго любоваться как морскими волнами, так

и картинами мастеров.

Математика — это как раз нечто среднее между античными

храмами и кинолентами Тарковского.

Не только математические теории, но даже задачи или

теоремы, их решения или доказательства — все это

вызывает эмоции, но глубина духовных переживаний сильно

зависит от понимания языка математики, от остроты

ума и опыта: как не все могут отличить антиквариат от

безделушки, так не все умеют отличать красивое решение

от некрасивого, а иногда и просто верное рассуждение

от неверного.

Математика — это проявление внешнего мира и в то же

время — отражение внутреннего.

В 1545 г. вышла книга «Великое искусство».

Как думаете, кто ее написал?

Автор книги — Джероламо Кардано, а посвящена она

была решению уравнений третьей и четвертой степеней.

Вы, конечно, помните, как решать квадратные уравнения.

Похожий, только более сложный рецепт имеется и для кубических:

чтобы создать его в 16-ом веке, когда еще даже не

была развита алгебраическая символика, требовалось

по меньшей мере озарение.

В процессе этого открытия невзначай пришлось столкнуться

с операцией извлечения квадратного арифметического

корня из отрицательных чисел.

Да, это тот самый момент рождения комплексных чисел

— первая половина XVI века.

А сотни лет спустя, мнимая единица вкрадется в важнейшие,

революционные физические теории и будет использоваться

в авиастроении.

Но ради этого ли Кардано искал иксы в кубических

уравнениях?

Уравнения четвертых степеней тоже разрешимы в радикалах.

Пятые или более высокие степени исследовал Абель,

а окончательно их победил великий математик, революционер,

погибший в двадцатилетнем возрасте на дуэле — Эварист

Галуа.

Он нашел достаточное условие того, что корни уравнения

выражаются в радикалах, но это не главное: его рассуждения

заодно помогли разрешить десяток других великих

проблем, которые тянулись со времен античности — родилась

теория групп.

Стоит ли говорить, что она нашла применение в квантовой

механике, породила кристаллографию и вот уже в нашем веке открывают

теоретически предсказанные частицы, а нобелевскую

премию дают за эксперименты с графеном.

Но ради этого ли Галуа занимался уравнениями высших степеней?