Gauss, CERES 🌕 y los Mínimos Cuadrados

El 1 de enero de 1801, recién estrenado el siglo XIX, el sacerdote y astrónomo italiano On January 1, 1801, just released the nineteenth century, the Italian priest and astronomer

Giuseppe Piazzi descubrió lo que parecía ser un NUEVO PLANETA Giuseppe Piazzi discovered what appeared to be a NEW PLANET

Este planeta al que bautizó con el nombre de CERES como la diosa griega de la agricultura y la fecundidad This planet, which he named CERES as the Greek goddess of agriculture and fertility,

era mucho más pequeño que los siete planetas conocidos hasta entonces. was much smaller than the seven planets known until then.

Este objeto celeste giraba en torno al Sol en una órbita situada entre Marte y Júpiter. This celestial object was turning around the Sun in an orbit between Mars and Jupiter.

. Durante 40 días, hasta el 11 de febrero Piazzi siguió a Ceres en su viaje por el espacio hasta que el brillo solar lo oculto. For 40 days, until February 11, Piazzi continued Ceres on his journey through space until the sun's brilliance hid him.

El entusiasmo inicial del descubrimiento pronto se tornó en decepción, ya que cuando debía regresar del otro lado del Sol no lo hizo, Ceres desapareció del cielo nocturno, The initial enthusiasm for the discovery soon turned into disappointment, since when he had to return from the other side of the Sun he did not, Ceres disappeared into the night sky,

perdido en la inmensidad del firmamento. lost in the vastness of the sky.

a pesar de disponer de leyes que describían las órbitas y trayectorias de los planetas despite having laws to describe the orbits and trajectories of the planets

los astrónomos del siglo XIX no disponían de herramientas matemáticas 19th century astronomers had no mathematical tools

para calcular su trayectoria a partir de los escasos datos recogidos por Piazzi. to calculate its trajectory from the scarce data collected by Piazzi.

Un joven matemático de 24 años A young 24 years old mathematician

señaló el lugar exacto los astrónomos para encontrar de nuevo a Ceres. that astronomers had to point their telescopes to find Ceres again. al que debían apuntar sus telescopios los astrónomos para encontrar de nuevo a Ceres. Y tras los intentos infructuosos del equipo de astrónomos And after unsuccessful attempts by the team of astronomers

capitaneados por el húngaro-alemán Franz Xaver Von Zach, el 9 de diciembre leaded by Hungarian-German astronomer Franz Xaver Von Zach, on December 9

decidieron observar la posición indicada por el joven. Y allí, como si fuera magia apareció un punto brillante. ¡CERES! They decided to observe the position indicated by the young man. And there, as if it were magic, he found a bright spot. CERES!

¿Sabéis de que Matemático estamos hablando? En efecto, del príncipe de las Matemáticas, Carl Friedrich Gauss. Do you know what mathematician we are talking about? Indeed, the prince of Mathematics, Carl Friedrich Gauss.

¿Pero cómo pudo saber Gauss el punto exacto en el que reaparecería el astro? But how could Gauss know the exact point at which the star would reappear?

Nuestro héroe no hizo públicos hasta 1809 los procedimientos que utilizó para su predicción de la órbita. It was not until 1809 that our hero published the procedures he used for his prediction of the orbit.

El matemático noruego Niels Henrik Abel dijo en una ocasión que Gauss, como el zorro Norwegian mathematician Niels Henrik Abel once said that Gauss, like the fox

borra con la cola la senda que sigue, para no dejar pista alguna de sus trabajos. erase with the tail the path that follows, in order to not to leave any track of his work.

Gauss siempre dijo “Yo escribo lento. Gauss always said "I write slowly.

Principalmente porque nunca estoy satisfecho hasta que os he dicho todo lo posible, en pocas palabras; Mainly because I am never satisfied until I have told you everything possible, in a few words;

escribir en forma breve toma mucho más tiempo que escribir largo y tendido.” Writing briefly takes much longer than writing long and hard. ”

El hecho de no publicar su método tuvo dos consecuencias. Por una parte su predicción asombrosa, sin precedentes en la astronomía, Not publishing his method had two consequences for him. On the one hand, his amazing prediction, unprecedented in astronomy,

tuvo un cariz sobrehumano que lanzó a Gauss al estrellato como paradigma del genio matemático. had a superhuman look that launched Gauss into stardom as the paradigm of the mathematical genius.

La segunda no fue tan positiva para Gauss, pues en 1805 el legendario Legendre, matemático francés, The second was not as positive for Gauss, since in 1805 the legendary French mathematician Legendre

publicó un artículo utilizando la misma técnica que Gauss y published an article using the same technique as Gauss

bautizándolo como el método de los mínimos cuadrados. and baptizing it as the method of least squares.

Gauss trató de demostrar que había utilizado la técnica de los mínimos cuadrados con anterioridad Gauss tried to demonstrate that he had used the least squares technique before

a 1805. En concreto en la medición del arco de meridiano que va de Dunquerque a Barcelona. to 1805. Specifically in the measurement of the meridian arc that goes from Dunquerque to Barcelona.

Este trabajo surgió a raíz de que la Academia de Ciencias Francesa decidiera en This work arose after the French Academy of Sciences decided on

1793 basar el sistema de medidas en una unidad, el metro, que se definiría como la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano. 1793 base the measurement system on a unit, the meter, which would be defined as the ten-millionth part of the meridian quadrant.

La mala fortuna quiso que los cálculos de Gauss se perdieran y en 1831 Unfortunately, Gauss's calculations were lost and in 1831

se le sugirió la necesidad de que repitiera dichos cálculos con el fin de probar he was suggested the need for him to repeat these calculations in order to prove

que utilizó para ellos el método de los mínimos cuadrados. that he had used the least squares method for them.

Gauss se negó categóricamente. Gauss categorically refused.

¿Pero en que consiste el Método de los mínimos cuadrados? But what is the exactly the "Least Squares Method"?

Vamos a explicarlo con mucho detalle We will explain it in great detail!

El concepto de función no es otra cosa que una regla, que denotaremos con la letra f, The concept of function is nothing more than a rule, which we will denote with the letter f,

que asocia a CADA elemento x de un cierto conjunto that associates to EACH element x of a certain set

un ÚNICO elemento de otro conjunto que denotaremos por f(x). a SINGLE element of another set that we will denote by f(x).

Podemos visualizar una función f como si de una “máquina” se tratáse. We can visualize a function f as if it were a "machine".

En ella introducimos un elemento x, que tras ciertas manipulaciones, se convierte en otro elemento f(x). In it we introduce an element x, which after certain manipulations becomes another element f (x).

Por ejemplo, x podría tratarse de naranjas, For instance, x could be an orange, f(x) a squeezing machine

y f(x) zumo de naranja. and f(x) orange juice.

Pero en nuestro caso But in our case

x va a ser un número real, f será algún tipo de manipulación algebraica y f(x) será otro número real. x is going to be a real number, f will be some kind of algebraic manipulation and f(x) will be another real number

Otra forma de visualizar una función es a través de su gráfica. Another way to visualize a function is through its graph.

En el caso de que los valores x sean números reales, los situaremos en el eje horizontal In the event that the x values are real numbers, we will place them on the horizontal axis

que representa la recta real. which represents the real line.

Los valores f(x) de la función se representan en el eje vertical. The f(x) values of the function are represented on the vertical axis.

De este modo para saber a un cierto número real x_1 que valor le corresponde Thus to know for a certain real number x_1 which value corresponds through the function f

nos desplazaremos verticalmente hasta encontrarnos con la gráfica para a continuación we will scroll vertically until we find the graph, and next

desplazarnos horizontalmente hasta encontrarnos con el eje vertical. move horizontally until we meet the vertical axis.

El punto de corte en la recta real vertical es justamente el valor f(x_1). The cut point on the real vertical line is just the value f (x_1).

Lo mismo podemos hacerlo para cualquier otro número real x_2 We can do the same for any other real number x_2

para obtener su imagen f(x_2), x_3, x_4 etc to get its image f(x_2), x_3, x_4, etc

Las coordenadas de los puntos de la gráfica The coordinates of the points on the graph

son pares ordenados que representan un valor y su imagen según la función f. are ordered pairs that represent a value and its image according to the function f.

Supongamos que tenemos una colección de puntos del plano P_1=(x_1, y_1), P_2= (x_2, y_2), P_3=(x_3, y_3), P_4= (x_4, y_4) , Suppose we have a collection of points on the plane P_1 = (x_1, y_1), P_2 = (x_2, y_2), P_3 = (x_3, y_3), P_4 = (x_4, y_4),

y una determinada familia de funciones. and a certain family of functions.

Nos gustaría saber si existe una función f de esa familia, We would like to know if there is a function f of that family,

que pase por todos los puntos, esto es, tal que f(x_1)=y_1, that goes through all the points, that is, such that f(x_1) = y_1,

f(x_2)=y_2,…, f(x_4)=y_4. f(x_2)=y_2,…, f(x_4)=y_4.

Por ejemplo, los puntos pueden ser las escasas anotaciones tomadas por Piazzi sobre la posición de Ceres For example, the points may be the few annotations taken by Piazzi on Ceres' position

y la función f and the function f

podría ser la órbita que queremos averiguar. could be the orbit we want to find.

Si no existe ninguna función f en la familia que cumpla la condición de pasar por todos los puntos, If there is no function f in the family that meets the condition of passing through all points,

nos gustaría encontrar una que esté lo más “cerca” posible de cumplirla. We would like to find one that is as "close" as possible to fulfilling it.

¿Cómo se consigue esto? How is this accomplished?

Si denotamos con un asterisco las imágenes de los valores de x If we denote with an asterisk the images of the values of x

por la función f, esto es f(x_1)=y_1^*; by the function f, this is f (x_1) = y_1 ^ *;

f(x_2)=y_2^*; f(x_3)=y_3^*; f(x_4)=y_4^*; f (x_2) = y_2 ^ *; f (x_3) = y_3 ^ *; f (x_4) = y_4 ^ *;

Podemos considerar el ERROR como la diferencia e_i = y_i^* - y_i We can consider ERROR as the difference e_i = y_i ^ * - y_i

para i moviéndose entre 1 y 4. for i moving between 1 and 4.

De este modo buscamos la función f, de la familia dada, que minimice los errores e_i. In this way we look for the function f, of the given family, that minimizes the errors e_i.

Para ello, nótese que no sería muy inteligente minimizar To do this, note that it would not be very smart to minimize

la suma de los errores ya que los errores pueden ser de diferente signo y darse el caso the sum of the errors since the errors can be of different sign and occur the case

de que el error sume 0 a pesar de que la función f no pase por ninguno de los puntos P_i that the error adds up to 0 even though the function f does not pass through any of the points P_i

¡¿Qué podemos hacer para solventar este problema?! What can we do to solve this problem ?!

En vez de considerar los errores que pueden tener distinto signo, Instead of considering the errors that may have different signs,

podemos considerar los cuadrados de los errores y dado que + por + es + y – por – es + we can consider the squares of the errors and since + by + is + and - by - is +

todos los errores al cuadrado tienen signo +. all squared errors have a + sign.

¡Buscaremos entonces una función f en la familia dada que minimice la suma de los errores al cuadrado! We will then look for a function f in the given family that minimizes the sum of the squared errors!

He aquí la razón de que a esta técnica se le llame el MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS. This is why this technique is called the MINIMUM SQUARE METHOD.

Si queréis ver un caso concreto con números concretos de cómo funciona este método If you want to see a specific case with specific numbers of how this method works

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veremos un ejemplo completo. we will see a complete example.

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