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Archimedes Tube, 📏 Ecuaciones de la Recta - PARTE #1

📏 Ecuaciones de la Recta - PARTE #1

¡Hola amigos! Este vídeo es el primero de

una mini-serie dedicada a las ecuaciones

de la recta.

Para ello comencemos fijando unos ejes

de coordenadas cartesianas como ya

hicimos cuando estudiamos vectores en el

plano.

Para determinar completamente una recta

es necesario dar dos elementos de la

recta. Por ejemplo, si nos dicen un P por

el que pasa la recta y un vector

director v que nos indique la

dirección de dicha recta, podremos

deducir las ecuaciones vectorial,

las ecuaciones paramétricas y la ecuación

continua de la recta. En este vídeo

deduciremos estas tres ecuaciones de

forma razonada y aplicaremos el método

para obtener las ecuaciones en un ejemplo concreto.

Recordad que al final del vídeo

os dejo un enlace para descargar los apuntes.

¡Empezamos!

El punto P está determinado por sus

coordenadas cartesianas, esto es,

los valores que se obtienen al proyectar

perpendicularmente el punto en los ejes

de coordenadas. Las coordenadas de este

punto también son las coordenadas del

vector cuyo origen es el origen de

coordenadas y cuyo extremo es el punto P.

A este vector OP se le llama el vector

de posición del punto P. Por otra parte,

el vector v viene determinado por sus

coordenadas (a , b) que no son más que

las coordenadas del extremo de dicho

vector si lo desplazamos paralelamente

de forma que su origen coincida con el

origen de coordenadas.

Estos dos vectores, el vector de posición

del punto P, y el vector director de la

recta, son los datos de los que partimos.

Y queremos describir por medio de una

ecuación las coordenadas (x , y) de

cualquier X que pertenezca a nuestra

recta.

Vamos a hacer lo siguiente: las

coordenadas del punto X también son las

coordenadas de su vector de posición,

esto es, del vector con origen en el

punto (0,0) y extremo en el punto X.

De este modo, nos preguntamos cómo podemos

obtener las coordenadas del vector OX

a partir de los vectores conocidos OP y v,

utilizando las operaciones con vectores

que ya conocemos.

Fijaros que el vector v podemos

desplazarlo paralelamente sobre la recta

de forma que su origen esté en el punto

P y estirarlo o encogerlo hasta que su

extremo se sitúe sobre el punto X.

Para ello basta con multiplicar el vector v

por un determinado número real lambda.

Tenemos entonces al vector OP con su

extremo situado en el origen del vector

lambda por v. Como vimos en nuestro

anterior vídeo sobre vectores, la suma de

OP y lambda por v es un vector de origen

el origen de OP y extremo el extremo

de lambda por v, esto es, la suma de estos

dos vectores no es otra cosa que

¡ el vector de posición OX !

Esto es, el vector OX se escribe como

OP más lambda por el vector v y esta

ecuación vectorial determina todos los

puntos de la recta a medida que movemos

el número lambda entre todos los números

reales. En efecto, si por ejemplo tomamos

el 0 como el número real, 0 por v es el

vector nulo y tenemos que X coincide con

el punto P. También podemos multiplicar

el vector director v por un número

negativo obteniendo los puntos de la

recta situados al otro lado del punto P.

En definitiva, esta ecuación determina

todos los puntos de la recta y recibe el

nombre de ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.

El nombre de esta ecuación, "ecuación

vectorial" se debe lógicamente a que

relacionamos vectores: el vector de

posición del punto X como suma del

vector de posición del punto P y el

vector director v multiplicado por un

cierto escalar lambda, es decir, un número

real al que también nos referiremos como

parámetro. Fijaros que los vectores OP y v están

fijos. Eran los datos que determinaban la

recta y a medida que movemos el

parámetro lambda se mueve el punto X de

la recta. Hay tantos puntos en una recta

como números reales.

Si observamos esta ecuación entre

vectores en términos de coordenadas nos

damos cuenta de que podemos operar el

miembro derecho. En efecto, podemos

multiplicar lambda por el vector

multiplicando lambda por cada coordenada,

y podemos sumar los dos vectores

resultantes sumando sus coordenadas.

Obtenemos una igualdad entre dos

vectores y eso significa que sus dos

coordenadas son iguales, obteniendo dos

ecuaciones. Estas dos ecuaciones que

también dependen del parámetro lambda

se llaman ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA.

Este parámetro podemos, de hecho,

eliminarlo del siguiente modo: En la

primera ecuación despejamos el parámetro

obteniendo que lambda es igual a un

cierto cociente x - x sub cero / a.

Esto también podemos hacerlo con la

segunda ecuación obteniendo que lambda

también es igual al cociente y menos y

sub cero dividido entre b.

De este modo obtenemos que ambos

cocientes son iguales lo que da lugar a

una nueva ecuación. Los puntos de

coordenadas x , y minúscula que satisfacen

esta ecuación son precisamente todos los

puntos de la recta.

Esta ecuación recibe el nombre de

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA.

Esto que hemos hecho de forma totalmente general

para una recta que pasa por un punto P

de coordenadas x_0 , y_0 y tenga como

vector director al vector v de

coordenadas (a , b)

podemos verlo en particular en un

ejemplo.

Consideremos la recta que pasa por el

punto P de coordenadas (1, 2) y tiene la

dirección del vector v de coordenadas (3, 1)

El vector de posición de cualquier punto

X de la recta puede escribirse por tanto

como el vector (1, 2) + lambda por el vector

(3, 1). Si esta ecuación vectorial la

desarrollamos multiplicando el vector

(3 , 1) por el numero lambda y sumando los

vectores (1,2) y el vector lambda por 3

, lambda por 1, tenemos una igualdad de

vectores que da lugar a dos ecuaciones

igualando componente a componente.

Esto lo podemos arreglar un poco ya que

multiplicar por 1 es como no hacer nada

y en vez de lambda por 3 escribimos 3

por lambda y omitimos el punto de la

multiplicación. Llegamos así a las

ecuaciones paramétricas de la recta.

Finalmente, podemos eliminar el parámetro

lambda del siguiente modo: despejamos el

parámetro de la primera ecuación lo que

nos da la ecuación lambda igual a x menos

1 dividido entre 3. También podemos

despejar lambda de la segunda ecuación

obteniendo lambda igual a y menos 2.

De este modo, podemos eliminar el

parámetro y llegar a una ecuación que

deben verificar todos los puntos (x, y)

de la recta: y - 2 = (x -1 )/3

Esta es la ecuación continua de la recta.

En nuestro próximo vídeo veremos más

ecuaciones de la recta que se obtienen

comenzando con elementos diferentes que

caracterizan una recta como por ejemplo,

la pendiente de la recta o simplemente

dando dos puntos de una recta.

Si te gustó el vídeo puedes dejarnos un like y

por supuesto no olvides suscribirte.

¡Hasta luego!


📏 Ecuaciones de la Recta - PARTE #1

¡Hola amigos! Este vídeo es el primero de

una mini-serie dedicada a las ecuaciones

de la recta.

Para ello comencemos fijando unos ejes

de coordenadas cartesianas como ya

hicimos cuando estudiamos vectores en el

plano.

Para determinar completamente una recta

es necesario dar dos elementos de la

recta. Por ejemplo, si nos dicen un P por

el que pasa la recta y un vector

director v que nos indique la

dirección de dicha recta, podremos

deducir las ecuaciones vectorial,

las ecuaciones paramétricas y la ecuación

continua de la recta. En este vídeo

deduciremos estas tres ecuaciones de

forma razonada y aplicaremos el método

para obtener las ecuaciones en un ejemplo concreto.

Recordad que al final del vídeo

os dejo un enlace para descargar los apuntes.

¡Empezamos!

El punto P está determinado por sus

coordenadas cartesianas, esto es,

los valores que se obtienen al proyectar

perpendicularmente el punto en los ejes

de coordenadas. Las coordenadas de este

punto también son las coordenadas del

vector cuyo origen es el origen de

coordenadas y cuyo extremo es el punto P.

A este vector OP se le llama el vector

de posición del punto P. Por otra parte,

el vector v viene determinado por sus

coordenadas (a , b) que no son más que

las coordenadas del extremo de dicho

vector si lo desplazamos paralelamente

de forma que su origen coincida con el

origen de coordenadas.

Estos dos vectores, el vector de posición

del punto P, y el vector director de la

recta, son los datos de los que partimos.

Y queremos describir por medio de una

ecuación las coordenadas (x , y) de

cualquier X que pertenezca a nuestra

recta.

Vamos a hacer lo siguiente: las

coordenadas del punto X también son las

coordenadas de su vector de posición,

esto es, del vector con origen en el

punto (0,0) y extremo en el punto X.

De este modo, nos preguntamos cómo podemos

obtener las coordenadas del vector OX

a partir de los vectores conocidos OP y v,

utilizando las operaciones con vectores

que ya conocemos.

Fijaros que el vector v podemos

desplazarlo paralelamente sobre la recta

de forma que su origen esté en el punto

P y estirarlo o encogerlo hasta que su

extremo se sitúe sobre el punto X.

Para ello basta con multiplicar el vector v

por un determinado número real lambda.

Tenemos entonces al vector OP con su

extremo situado en el origen del vector

lambda por v. Como vimos en nuestro

anterior vídeo sobre vectores, la suma de

OP y lambda por v es un vector de origen

el origen de OP y extremo el extremo

de lambda por v, esto es, la suma de estos

dos vectores no es otra cosa que

¡ el vector de posición OX !

Esto es, el vector OX se escribe como

OP más lambda por el vector v y esta

ecuación vectorial determina todos los

puntos de la recta a medida que movemos

el número lambda entre todos los números

reales. En efecto, si por ejemplo tomamos

el 0 como el número real, 0 por v es el

vector nulo y tenemos que X coincide con

el punto P. También podemos multiplicar

el vector director v por un número

negativo obteniendo los puntos de la

recta situados al otro lado del punto P.

En definitiva, esta ecuación determina

todos los puntos de la recta y recibe el

nombre de ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.

El nombre de esta ecuación, "ecuación

vectorial" se debe lógicamente a que

relacionamos vectores: el vector de

posición del punto X como suma del

vector de posición del punto P y el

vector director v multiplicado por un

cierto escalar lambda, es decir, un número

real al que también nos referiremos como

parámetro. Fijaros que los vectores OP y v están

fijos. Eran los datos que determinaban la

recta y a medida que movemos el

parámetro lambda se mueve el punto X de

la recta. Hay tantos puntos en una recta

como números reales.

Si observamos esta ecuación entre

vectores en términos de coordenadas nos

damos cuenta de que podemos operar el

miembro derecho. En efecto, podemos

multiplicar lambda por el vector

multiplicando lambda por cada coordenada,

y podemos sumar los dos vectores

resultantes sumando sus coordenadas.

Obtenemos una igualdad entre dos

vectores y eso significa que sus dos

coordenadas son iguales, obteniendo dos

ecuaciones. Estas dos ecuaciones que

también dependen del parámetro lambda

se llaman ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA.

Este parámetro podemos, de hecho,

eliminarlo del siguiente modo: En la

primera ecuación despejamos el parámetro

obteniendo que lambda es igual a un

cierto cociente x - x sub cero / a.

Esto también podemos hacerlo con la

segunda ecuación obteniendo que lambda

también es igual al cociente y menos y

sub cero dividido entre b.

De este modo obtenemos que ambos

cocientes son iguales lo que da lugar a

una nueva ecuación. Los puntos de

coordenadas x , y minúscula que satisfacen

esta ecuación son precisamente todos los

puntos de la recta.

Esta ecuación recibe el nombre de

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA.

Esto que hemos hecho de forma totalmente general

para una recta que pasa por un punto P

de coordenadas x_0 , y_0 y tenga como

vector director al vector v de

coordenadas (a , b)

podemos verlo en particular en un

ejemplo.

Consideremos la recta que pasa por el

punto P de coordenadas (1, 2) y tiene la

dirección del vector v de coordenadas (3, 1)

El vector de posición de cualquier punto

X de la recta puede escribirse por tanto

como el vector (1, 2) + lambda por el vector

(3, 1). Si esta ecuación vectorial la

desarrollamos multiplicando el vector

(3 , 1) por el numero lambda y sumando los

vectores (1,2) y el vector lambda por 3

, lambda por 1, tenemos una igualdad de

vectores que da lugar a dos ecuaciones

igualando componente a componente.

Esto lo podemos arreglar un poco ya que

multiplicar por 1 es como no hacer nada

y en vez de lambda por 3 escribimos 3

por lambda y omitimos el punto de la

multiplicación. Llegamos así a las

ecuaciones paramétricas de la recta.

Finalmente, podemos eliminar el parámetro

lambda del siguiente modo: despejamos el

parámetro de la primera ecuación lo que

nos da la ecuación lambda igual a x menos

1 dividido entre 3. También podemos

despejar lambda de la segunda ecuación

obteniendo lambda igual a y menos 2.

De este modo, podemos eliminar el

parámetro y llegar a una ecuación que

deben verificar todos los puntos (x, y)

de la recta: y - 2 = (x -1 )/3

Esta es la ecuación continua de la recta.

En nuestro próximo vídeo veremos más

ecuaciones de la recta que se obtienen

comenzando con elementos diferentes que

caracterizan una recta como por ejemplo,

la pendiente de la recta o simplemente

dando dos puntos de una recta.

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