Μαθηματικά | Αριθμητικές παραστάσεις | Ε'-ΣΤ' Δημοτικού Επ. 10

Καλή σου μέρα!

Ονομάζομαι Γιώργος Ανδρίκος και είμαι δάσκαλος της Στ' Δημοτικού.

Πριν από λίγες ημέρες καθώς είχε τελειώσει το διάλειμμα...

και μπαίναμε φορώντας τις μάσκες μας όλοι, μέσα στις τάξεις μας,

είδα δυο μαθητές μου στον πίνακα να κοιτούν αυτούς τους αριθμούς με αυτές τις πράξεις.

Είχαν μια διαφωνία μεταξύ τους γύρω από το ποια πράξη θα πρέπει να γίνει πρώτη.

Ο ένας από τους δύο έλεγε πως θα κάνει πρώτα τη διαίρεση και μετά την πρόσθεση.

Ο επόμενος του έλεγε ότι επειδή τον διευκολύνει η πρόσθεση θα προτιμούσε να κάνει...

πρώτα την πρόσθεση και μετά τη διαίρεση.

Θέλεις να δούμε τι θα συμβεί στη μία ή στην άλλη περίπτωση;

Αυτοί πίστευαν ότι και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο.

Θέλεις να το δούμε;

Ας πούμε λοιπόν ότι στην πρώτη περίπτωση 18:2 = 9,

9 + 4 = 13.

Στη δεύτερη περίπτωση όμως που θα κάνω πρώτα το άθροισμά μου,

θα έχω 18 : 6 και θα μου κάνει 3.

Όπως βλέπεις δεν είναι καθόλου ίδιο το αποτέλεσμα.

Και αυτός είναι ο λόγος που οι άνθρωποι εδώ και πάρα πάρα πάρα πολλά χρόνια,

οι μαθηματικοί ιδιαίτερα, επέλεξαν μία συγκεκριμένη σειρά.

Σήμερα θα σε βοηθήσω να θυμηθείς λίγο αυτή την προτεραιότητα των πράξεων,

η οποία είναι κοινά αποδεκτή σε όλο τον πλανήτη.

Παντού, σε όλα τα κράτη της Γης, όπου κι αν βρεθείς,

αν κάνεις τις πράξεις με αυτή τη σειρά που θα θυμηθούμε σήμερα,

θα βρεις ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα.

Ας δούμε λοιπόν την προτεραιότητα των πράξεων.

Κάθε τόσο που θα μας προκύπτει κάποιο μικρό θέμα,

θα το λύνουμε εκείνη τη στιγμή.

Πρώτες - πρώτες λοιπόν, οι πιο ισχυρές, οι πιο δυνατές; Οι δυνάμεις. Μια χαρά.

Καλά το σκέφτηκες.

Στο νούμερο ένα είναι οι δυνάμεις.

Να θυμηθούμε λίγο τι ακριβώς κάνει μία δύναμη;

Η δύναμη, για παράδειγμα, 3 στη δευτέρα ή 3 στο τετράγωνο,

μου δηλώνει ότι η βάση μου, ο αριθμός 3, θα πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό της,

τόσες φορές όσες της λέει ο εκθέτης, δύο δηλαδή.

3 Χ 3 = 9.

Γιατί την ονομάζω δύναμη λοιπόν;

Γιατί με λίγα γινόμενα έχω πολύ μεγάλο αποτέλεσμα.

Αμέσως μετά τις δυνάμεις ακολουθούν οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις.

Θα σου θυμίσω ότι τη διαίρεση θα τη γράφουμε με αυτόν τον τρόπο,

για να θυμόμαστε ότι κάθε κλάσμα συμβολίζει μία διαίρεση.

Τέλος, οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις.

Πρόσεξε! Πρόσεξέ με καλά! Μην το ξεχάσεις ποτέ σου αυτό.

Με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά!

Τι θα γίνει τώρα, αν έχω μία παρένθεση;

Θα γίνουν οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.

Αν έχω μία αγκύλη, θα τελειώσω την αγκύλη.

Αν έχω ένα άγκιστρο, θα τελειώσω το άγκιστρο.

Λοιπόν, καλά μας τα λες Γιώργη, αλλά θέλουμε να τα δούμε στην πράξη.

Έχω ετοιμάσει κάποιες μικρές εφαρμογές,

για να επιβεβαιώσουμε αυτά που είπαμε μέχρι τώρα.

Καταρχάς να τα ξαναθυμηθούμε μία φορά. Τι λες κι εσύ;

Το 'ξερα ότι θα συμφωνούσες.

Λοιπόν προτεραιότητα, πρώτα απ' όλα, οι δυνάμεις.

Ακολουθούν πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις. Πρόσεξε! Ή διαιρέσεις - πολλαπλασιασμοί,

με όποια σειρά τα συναντήσω.

Στη συνέχεια, προσθέσεις - αφαιρέσεις ή αφαιρέσεις - προσθέσεις.

Πάλι με όποια σειρά τα συναντήσω.

Και φυσικά οι πράξεις μες στις παρενθέσεις προηγούνται όλων των άλλων.

Πάμε λοιπόν τώρα να δούμε τι ακριβώς έχουμε ετοιμάσει.

Πάμε να βρούμε την τιμή, λοιπόν, μιας παράστασης,

μιας και τιμή της παράστασης ονομάζω το τελικό της αποτέλεσμα.

Τιμή, λοιπόν, της παράστασης.

Η πρώτη παράσταση που διάλεξα να δούμε μαζί,

θα χωρίσουμε λίγο για να μην μπερδευτούμε, είναι....

5 Χ 4 + 8 : 2 - 14 =

Έχω βρει ότι, και το λέω πάντα και στα παιδιά μου,

ότι αν πάω να "τικάρω", να τσεκάρω τις πράξεις προτεραιότητας,

αυτό θα με διευκολύνει στο να μην κάνω λάθος,

όταν ξέρω ποια πράξη πρέπει να κάνω, με ποια σειρά.

Έτσι λοιπόν θα δω ότι το πρώτο που θα κοιτάξω είναι αν έχω δυνάμεις.

Δεν έχω καμία δύναμη.

Έχω κάποια παρένθεση που μου προϋποθέτει την προτεραιότητά της; Όχι.

Πηγαίνω λοιπόν. Πολλαπλασιασμοί ή διαιρέσεις;

Τι έχω πρώτο; Πρώτο έχω ένα γινόμενο και ακολουθεί ένα πηλίκο.

Τη διαφορά μου δεν θα την πειράξω, θα την αφήσω ακριβώς εκεί που είναι.

Ίσον λοιπόν. Η αριθμητική παράσταση συνεχίζεται κάθετα.

5 Χ 4 = 20.

Συν το πηλίκο μου, 8 : 2 = 4.

Πλην 14 ίσον.

Πάλι με τη σειρά. Δεν αλλάζω τίποτα.

Τι προηγείται; Το άθροισμα.

Ακολουθεί η διαφορά.

Θα ακολουθούμε, παρακαλώ πολύ, πραγματικά πιστά αυτή τη σειρά.

Δεν θα παρακάμπτουμε τίποτα.

Τώρα θα μου πεις, αν είναι μόνο προσθέσεις;

Ε, αν είναι μόνο προσθέσεις, θα τις κάνω όλες τις προσθέσεις μαζί όταν έρθει η ώρα.

Θα τα πούμε όμως κι αυτά, θα δεις.

Ίσον λοιπόν. 20 + 4 = 24.

Πλην 14. Ίσον.

Έρχομαι λοιπόν, 24 - 14 = 10.

Νάτη η τιμή της παράστασης.

Ξαναθυμίζω: προηγείται το γινόμενο, το πηλίκο, τελειώνει το πρώτο γινόμενο,

το πηλίκο μου και έρχεται η ώρα της αφαίρεσης στο τέλος.

Να η τιμή της παράστασης.

Πάμε τώρα να δούμε και μία άλλη... Όπα! Μας έπεσε. Το σηκώσαμε όμως!

Πάμε τώρα να δούμε μία άλλη παράσταση,

έρχομαι από εδώ για τη βλέπεις πιο καθαρά,

που θα βάλω και δυνάμεις μέσα.

5 στη δευτέρα ή αλλιώς 5 στο τετράγωνο όπως λέμε.

Θα σου θυμίσω ότι το ονομάζουμε τετράγωνο, γιατί για να βρω το εμβαδόν του τετραγώνου,

πολλαπλασιάζω πλευρά επί πλευρά.

Και επειδή στο τετράγωνο όλες οι πλευρές του είναι ίσες,

αυτός είναι ο λόγος που κάθε φορά που υψώνω έναν αριθμό στη δύναμη του 2,

το ονομάζω 5 στη δευτέρα ή αλλιώς 5 στο τετράγωνο.

Αντίστοιχα το ίδιο ισχύει και για τον κύβο,

επειδή βρίσκω τον όγκο του κύβου με αυτόν τον τρόπο.

Λοιπόν κλείνουμε αυτή τη μικρή παρένθεση και επιστρέφουμε.

Πολύ ωραία! Ρε Γιώργο, εύκολη είναι σχετικά. Εννοείται, γιατί να ήταν δύσκολη;

Και όσο περνάει η ώρα θα γίνονται όλο και πιο εύκολα όλα. Τώρα θα δεις!

Εδώ λοιπόν μία ακόμα παράσταση.

Θα ξεκινήσω με μία παρένθεση.

Λοιπόν, κοιτάζοντάς τα, θυμάμαι ότι προηγούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.

Έρχομαι λοιπόν και από τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις,

θα βάλω το άγκιστρό μου στο γινόμενο.

Ίσον λοιπόν. 3 Χ 1 = 3 συν 6.

Μη βιαστώ να φύγω.

Έχω μία παρένθεση την οποία δεν έχω ολοκληρώσει και την κουβαλάω.

Παράλληλα, έχω ένα γινόμενο, ένα πηλίκο και το προσέχω πολύ.

Και τώρα πια μείον. 4 Χ 2 = 8. Συν.

12 : 6 = 2.

Συν 3, ίσον.

Ξανακοιτάω προσεκτικά ό,τι έχω γράψει και βλέπω ότι έχω μία παρένθεση.

Προηγούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.

Έρχομαι λοιπόν. Ίσον.

Πάντοτε βάζω το άγκιστρό μου για να είμαι βέβαιος ότι θα το θυμηθώ.

3 + 6 = 9.

Πλην. 8 + 2 + 3. Ίσον.

Με τη σειρά! Δεν αλλάζω τίποτα.

Προηγείται η διαφορά.

9 - 8 = 1.

1 + 2 + 3 =

1 + 3 = 3.

3 + 3 =

Ε, τώρα πια δεν έχω κάτι άλλο, είναι το τελευταίο μου άθροισμα.

3 + 3 = 6.

Νάτη λοιπόν η τιμή της παράστασης.

Ας ξαναδούμε πάλι με τη σειρά τι ακριβώς κάναμε.

Ελέγξαμε και είδαμε ότι έχω μία παρένθεση.

Μέσα στην παρένθεση προηγείται ένα γινόμενο.

Ακολουθεί ένα γινόμενο και ένα πηλίκο.

Δεν με επηρεάζουν, γι' αυτό και μπορώ να τα κάνω παράλληλα.

Έρχομαι λοιπόν, 1 Χ 3 = 3.

3 + 6, έχω βρει ήδη το πρώτο μου γινόμενο, έχω βρει το πηλίκο μου και συνεχίζω.

Δεν παραλείπω να γράψω κάποιον αριθμό τον οποίο ακόμα δεν έχω χρησιμοποιήσει,

γιατί θα τον χρειαστώ στη συνέχεια.

6 + 3 = 9, 9 - 8 είναι η πράξη προτεραιότητάς μου, είναι η πρώτη,

δεν ξεχνώ πηγαίνω με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Με τη σειρά!

1 + 3 = 3, 3 + 3 = 6.

Τιμή της παράστασής μου.

Ας δούμε τι θα συμβεί σε μία περίπτωση τώρα,

που θα έχω μία παράσταση με κλάσματα.

Να σβήσουμε λίγο, να έρθουμε εδώ γιατί θυμάσαι πώς ξεκινήσαμε από την αρχή,

να κρατήσουμε την προτεραιότητα - μάλλον τη θυμόμαστε την προτεραιότητα,

δεν μας είναι απαραίτητη πια.

Και θα έρθουμε να δούμε μία παράσταση με κλάσματα.

Για να δούμε πώς θα το εφαρμόσουμε αυτό, όταν έχω κλάσματα. Τι θα συμβεί;

Ξεκινάω λοιπόν. Παρένθεση.

Προηγείται η πράξη μες στην παρένθεση.

Μες στην παρένθεση έχω άθροισμα.

Δεν έχει σημασία ότι υπάρχει εδώ ένα γινόμενο.

Το γινόμενό μου θα περιμένει.

Θα ολοκληρωθεί η πράξη της παρένθεσης και θα ακολουθήσει ό,τι είναι έξω από αυτή.

Έρχομαι λοιπόν. Καταλαβαίνω άμεσα ότι θα πρέπει να βρω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Ξεκινάω λοιπόν. Παίρνω τον μεγαλύτερο από τους παρονομαστές,

και ελέγχω. Βρε, μπας, κι είναι αυτός το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο;

Να το δούμε λίγο;

Το 12 φυσικά και είναι πολλαπλάσιο του εαυτού του και το ξέρεις πάρα πολύ καλά.

Το 4; 3 Χ 4 = 12. Νάτο! Δεν χρειάστηκε να κάνω μεγάλη διαδρομή.

Ήταν δίπλα μου, μπροστά μου ήταν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Μία λοιπόν και τρεις φορές αντίστοιχα.

Να θυμίσω ότι όταν μετατρέπω τα κλάσματά μου σε ομώνυμα,

ουσιαστικά βρίσκω κλάσματα ισοδύναμα με τα αρχικά,

τα οποία έχουν κοινό παρονομαστή.

Μπορώ να δουλέψω μαζί τους, με λίγα λόγια.

Ίσον. Πάλι μέσα σε παρένθεση γιατί δεν έχω τελειώσει όπως καταλαβαίνεις.

1 Χ 3 = 3, 3 Χ 4 = 12.

Συν 1 Χ 2 = 2, 1 Χ 12 = 12.

Επί 4/5. Ίσον...

3/12 + 2/12 = 5/12.

Επί 4/5. Ίσον.

Ολοκλήρωσα την παρένθεσή μου.

Κατεβαίνω κάτω και βλέπω ότι μου έχει προκύψει ένα τελικό γινόμενο.

Έρχομαι λοιπόν και τι κάνω; Απλοποιώ.

Η μαγική λέξη στον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, παιδιά,

είναι η απλοποίηση.

Για ποιο λόγο;

Γιατί μου επιτρέπει να έχω μικρότερους όρους,

να μη κουβαλάω μεγάλους, τεράστιους αριθμούς,

τους οποίους θα πρέπει να απλοποιήσω στο τέλος,

γιατί αλλιώς θα μου προκύψει ένα πολύ μεγάλο κλάσμα.

Και δεν το θέλω τόσο μεγάλο κλάσμα.

Θέλω να κάνω απλή τη ζωή μου. Όχι να τη δυσκολεύω.

Έρχομαι λοιπόν. Το 5 στον εαυτό του 1 φορά, στο 5, 1.

Το 4 στον εαυτό του 1 φορά και στο 12, 3.

Ε, κάνω και αυτό που μου λέει η πράξη επιτέλους.

Γινόμενο.

1 Χ 1 = 1.

1 Χ 3 = 3.

Νάτη η τιμή της παράστασής μου, 1/3.

Φαντάζομαι ότι σιγά - σιγά τα θυμόμαστε όλο και πιο πολύ.

Ε, θα λέγαμε ότι τελειώσαμε αλλά έχω άλλη μία παραστασούλα με κλάσματα.

Ξέρεις, τα κλάσματα κι εμένα προσωπικά,

με δυσκόλευαν από όταν ήμουνα παιδί.

Γιατί είναι αρκετά σύνθετα, έχουν πολλά πράγματα μέσα,

πρέπει να θυμάσαι πότε κάνω ομώνυμα,

πότε κάνω απλοποιήσεις,

πότε αντιστρέφω τους όρους του δεύτερου κλάσματος...

και αντί για διαίρεση κάνω πολλαπλασιασμό.

Ένα σωρό πράγματα πρέπει να θυμάσαι.

Πάμε λοιπόν να εξασκηθούμε λίγο ακόμη.

Να το γράψουμε εδώ δίπλα.

Για να έχεις και αυτό αν χρειαστεί, αν χρειαστούμε να δούμε κάτι μαζί.

Για να δούμε λοιπόν, για να ετοιμάσουμε και την τελευταία μας παράσταση.

Για πάμε να δούμε.

Να θυμίσουμε εδώ ότι το κλάσμα 1/3 είναι ανάγωγο.

Δηλαδή από το στερητικό α- και το ρήμα άγω,

δεν μπορεί να οδηγηθεί σε μία απλούστερη μορφή από αυτή.

Έχει φτάσει στην πιο απλή του μορφή.

Και φυσικά είναι ισοδύναμο με την αρχική μας παράσταση.

Έχει την ίδια αξία, όπως λέμε.

Λοιπόν, γράφω την επόμενη παράστασή μου.

Με μια πρώτη ματιά κάποιος θα ενθουσιαζόταν και θα 'λεγε,

"Α, κοίτα να δεις! Είναι και ομώνυμα, είναι έτοιμα, είναι αφαίρεση..."

Μη βιαζόμαστε! Μη βιαζόμαστε.

Πρόσεξε λίγο καλύτερα.

Έχω ένα γινόμενο.

Κι έχω και πράξεις μες στην παρένθεση.

Έρχομαι λοιπόν να πω ότι θα κάνω την παρένθεσή μου,

έχω και το γινόμενό μου να το προετοιμάσω.

Ξαναθυμίζουμε: πολλαπλασιασμός ίσον απλοποίηση.

Αυτό το κρατάμε γιατί χωρίς αυτό θα κουβαλάμε μεγάλους αριθμούς.

Και δεν τους θέλουμε γιατί μετά δεν θα μπορούμε να βρούμε ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια,

θα προκύπτουν τεράστια νούμερα.

Έρχομαι λοιπόν. Ίσον...

11/3 δεν το πειράζω.

Το έχω ως είναι.

Το κουβαλάω μαζί μου.

Πλην. Πάμε λοιπόν να δούμε τις απλοποιήσεις μας.

Το 3 στον εαυτό του 1.

Στο 9, 3.

Το 8 στον εαυτό του 1.

Στο 16, 2.

Να λοιπόν που το μαζέψαμε πολύ.

1 Χ 3 = 3.

1 Χ 2 = 2.

Πλην. Έρχομαι εδώ. Δεν μπορώ να το αφήσω έτσι.

Πρέπει να τα κάνω ομώνυμα.

Πηγαίνω λοιπόν και τους βάζω καπελάκια.

Και ψάχνω να βρω το ελάχιστο κοινό τους πολλαπλάσιο.

5 του εαυτού του όπως λέγαμε και πριν φυσικά και είναι. Ναι, αλλά δεν είναι του 2.

Νάτο. 2 Χ 5 = 10, 5 Χ 2 = 10.

2 λοιπόν εδώ και 5. Ίσον...

Παρένθεση. Δεν την παραλείπω. Δεν έχω τελειώσει ακόμα την πράξη μου.

Τώρα θα ξεκινήσω να την κάνω.

2 Χ 4 = 8.

2 Χ 5 = 10.

Νάτο το ισοδύναμό μου κλάσμα.

Αριθμητής και παρονομαστής με τον ίδιο αριθμό.

Το κλάσμα που μου προκύπτει είναι ισοδύναμο με το αρχικό.

Πλην... 1 Χ 5 = 5.

2 Χ 5 = 10. Ίσον.

Ίσον. Κάθε φορά που τελειώνω μία γραμμή της παράστασης,

κάθομαι και ελέγχω. Κοιτάζω προσεκτικά.

Ξανακοιτάω λοιπόν και βλέπω ότι έχω πράξη μέσα στην παρένθεση.

Πάω λοιπόν να τελειώσω με αυτή.

Δεν τα πειράζω τα αρχικά, τα κουβαλάω.

11/3 - 3/2 πλην. Έρχομαι εδώ λοιπόν.

8/10 - 5/10 = 3/10. Ίσον...

Και να που έφτασα σε ένα λίγο περίεργο σημείο, παιδί μου.

Έχω δύο διαδοχικές αφαιρέσεις.

Τι ακριβώς θα κάνω;

Θα ξαναγυρίσουμε στην αρχή. Θυμάσαι τι είχαμε πει;

Τις πράξεις με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Άρα λοιπόν θα πρέπει πρώτα να κάνω την πρώτη μου αφαίρεση.

Εδώ βέβαια θα κάνω μία μικρή πονηριά, αν συμφωνείς κι εσύ.

Τι λες;

Να πάμε να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων;

Να μην ξανακάνουμε και δεύτερη φορά, βρε παιδί μου, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Μία να το βρούμε και να είμαστε έτοιμοι.

Θα συμφωνήσεις φαντάζομαι, ε;

Πάμε να θυμηθούμε και λίγο πώς βρίσκω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο,

με ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;

Αυτό το 'χεις μάθει, το ξέρεις καλά.

Αλλάς ας του ρίξουμε μια ματιά.

Να φτιάξουμε λίγο χώρο. Ε, τι λες;

Θα μας χρειαστεί τώρα.

Έρχομαι, ψάχνω, δεν το ξεχνάω, ψάχνω να βρω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο...

του 3, του 2 και του 10.

Αρχίζω. Ποιος είναι ο πιο μικρός πρώτος αριθμός...

που διαιρεί ακριβώς έστω και έναν από αυτούς;

Πρώτοι αριθμοί, να το ξαναπούμε,

είναι αυτοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και με τη μονάδα.

Μόνο. Έρχομαι λοιπόν και βλέπω ότι είναι ο 2.

Ο 2 να θυμίσουμε ότι είναι και ο μοναδικός άρτιος αριθμός...

και ο πιο μικρός, που είναι πρώτος.

Το 2 λοιπόν στον εαυτό του, 1 φορά.

Κρίμα που δεν διαιρεί το 3. Δεν πειράζει. Διαιρεί όμως το 10.

Το 2 στο 10, 5.

Σαν να μην υπάρχει η πάνω γραμμή,

ξανακάνω ακριβώς την ίδια ερώτηση.

Ποιος είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί ακριβώς έστω και έναν από αυτούς;

Βλέπω ότι το 2 πια δεν είναι στο παιχνίδι και επιλέγω το 3.

Το 3 είναι πρώτος αριθμός. Διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα.

Το 3 στον εαυτό του, 1 φορά.

Το 1 ούτως ή άλλως έχει κλείσει το 2, δεν με πειράζει.

Το 5 όμως το ξαναγράφω.

Ε, τι κάνει νιάου νιάου στα κεραμίδια;

Το 5 λοιπόν. Γιατί και το 5 είναι πρώτος αριθμός.

Το 5 λοιπόν στον εαυτό του 1.

Έρχομαι λοιπόν να δω ότι μου δώσανε το γινόμενο τριών πρώτων αριθμών.

2 Χ 3 Χ 5...

Να εφαρμόσω και την ιδιότητά μου:

2 Χ 5 = 10, 10 Χ 3 = 30.

Το ελάχιστο κοινό που πολλαπλάσιο λοιπόν είναι ο αριθμός 30.

Έρχομαι λοιπόν εδώ τώρα.

Ετοιμάζομαι.

Σου ξαναθυμίζω, θα γίνει η πρώτη αφαίρεση και θα ακολουθήσει η δεύτερη.

Παρόλα αυτά θα είμαι έτοιμος.

Να μη χρειαστεί μετά να ξανακάνω ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.

Έρχομαι λοιπόν. Διαιρώ το ελάχιστο κοινό μου πολλαπλάσιο με τον παρονομαστή μου.

Το πηλίκο το γράφω επάνω στο καπελάκι μου.

Τώρα, δεν πολυμοιάζει με καπελάκι αλλά δεν έχει σημασία.

Εσύ πες ότι είναι καπελάκι τώρα. Δεν χάθηκε ο κόσμος!

Έλα, μη με πληγώνεις τώρα! Ξέρω ότι δεν ζωγραφίζω καλά...

αλλά τα καταφέρνω. Η ζωγραφική δεν ήταν ποτέ το δυνατό μου σημείο.

30 : 3 = 10.

30 : 2 = 15.

30 : 10 = 3.

Πάμε τώρα να βρούμε τα ισοδύναμά τους.

11 Χ 10 = 110.

Να ξαναθυμηθούμε, κάθε γινόμενο με το 10...

είναι ουσιαστικά ο ίδιος αριθμός με ένα μηδενικό στο τέλος.

Αν είναι δεκαδικός του πάω μια θεσούλα την υποδιαστολή δεξιά.

3 Χ 10 = 30.

Θα δεις ότι όλοι οι παρονομαστές φυσικά,

πες το, ναι!

Α, μπράβο! 30 θα είναι βέβαια!

Εννοείται, αφού αυτό είναι το ελάχιστο κοινό μου πολλαπλάσιο!

Τέλεια! Εσύ τα ξέρεις μια χαρά! Είδες;

Εγώ τι κάνω; Εγώ στα ξαναθυμίζω μόνο.

Μια χαρά τα θυμάσαι από ό,τι βλέπω εγώ.

Μείον λοιπόν. 3 Χ 25 = ;

3 Χ 10 = 30.

3 Χ 5 = 15.

30 + 15 = 45.

45/30 λοιπόν. Μείον...

3 Χ 3 = 9. 9/30. Ίσον...

Θα πάρουμε λίγο χώρο. Ξέρεις είμαι και μεγάλος άνθρωπος τώρα,

μη σκύβω πάρα πολύ και κουράζομαι.

Θα πάμε λίγο εδώ πιο δίπλα να "κλέψουμε" λίγο χώρο.

Φαντάζομαι θα μας συγχωρέσει λίγο το ελάχιστο κοινό μας...

πολλαπλάσιο που θα του πάρουμε τον χώρο.

Θα έρθω λοιπόν από εδώ τώρα πια...

και θα βρω την πρώτη διαφορά.

110 - 45 =

Συνεχίζω εδώ, ξαναείπαμε, έτσι;

65/30 - 9/30 =

Δεν έχω και κάποια άλλη πράξη να κάνω.

Ουσιαστικά το μόνο το οποίο μου μένει είναι να κάνω τη διαφορά μου.

65/30 - 9/30 = 56/30.

"Ουφ, τελείωσα!", θα πεις μαθητάκι μου.

Ναι... αλλά μη βιάζεσαι!

Είναι καταχρηστικό το κλάσμα.

Δηλαδή, έχει μεγαλύτερο αριθμητή από παρονομαστή.

Δεν πάμε να του βγάλουμε και ακέραιες μονάδες,

να τελειώνουμε επιτέλους μ' αυτή την παράσταση;

Έλα, έλα, βγάλτες να τελειώνουμε! Δεν είναι και τίποτα.

Θυμάσαι το κολπάκι που είχαμε ξαναπεί;

Τι κάνω; Ίσον.

Βλέπω πόσες φορές χωράει...

Μην το ξεχνάμε, έι φιλαράκι, εδώ είμαστε!

Είναι κλάσμα, άρα είναι διαίρεση!

Το 30 στο 56 χωράει 1 φορά.

Του γράφω και το 30 στον παρονομαστή.

1 Χ 30 = 30.

Μέχρι το 56 τι μου μένει;

26!

Τέλεια!

Καλά, ρε Γιώργο, και δεν μου λες, δηλαδή άμα δεν το θυμηθώ;

Κανένα πρόβλημα, κάνεις τη διαίρεσή σου κανονικά,

παίρνεις το πηλίκο σου για ακέραιο μέρος.

Τα ξέρεις τώρα, αφού τα θυμάσαι μια χαρά!

Ουφ, τελείωσα! Δεν τελείωσες ακόμα, μεγάλε!

Άστο, μη βιάζεσαι, έχεις δουλίτσα.

Κοίτα είναι 26/30. Δεν θα απλοποιήσουμε;

Α, έχεις δίκιο! Έχεις δίκιο, έχεις δίκιο.

Πάμε να θυμηθούμε κριτήρια διαιρετότητας.

Τα 'χεις γνωρίσει. Τα ξέρεις καλά.

Δηλαδή; Δεν είναι και οι δύο άρτιοι, ζυγοί;

Οπ, για κάτσε! Έχεις δίκιο! Να, 26/30.

Για έλα λοιπόν να δούμε.

Με ποιον αριθμό λες;

Με το 2, ε; Χμ, πολύ καλή ιδέα είχες!

Ίσον λοιπόν. Για πάμε δίπλα.

Πάω πέρα - δώθε εδώ πέρα, βλέπεις αλλά είναι και ο πίνακας,

είμαι και πολυγραφότατος!

Ίσον.

1 και 26 : 2 = 13, 30 : 2 = 15. 1 13/15.

Μαθητάκι μου τελειώσαμε. Αυτό ήτανε. Πάει!

Τέλος. Δεν έχει άλλο.

Έφτασα σε ένα σημείο που βρήκα ένα κλάσμα ανάγωγο.

Δεν απλοποιείται άλλο.

Βρήκα την τιμή της παράστασης.

Πάμε τώρα να κάνουμε μία πολύ σύντομη επανάληψη,

για να το κλείσουμε και να μη σε κουράζω κι άλλο,

γιατί σε βλέπω ότι... όσο να' ναι, ε;

Όχι, ε; Όχι; Καλά μια χαρά σε βρίσκω.

Πάμε.

Προηγούνται οι πράξεις στις παρενθέσεις.

Εδώ. Καθώς και πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις,

προσθέσεις - αφαιρέσεις.

Ξαναθυμίζουμε: με τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά,

όπως τις συναντώ.

Αν, όπως εδώ, έχω ανάγκη να βρω σε όλα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, το βρίσκω.

Κατόπιν εκτελώ τις πράξεις και δεν ξεχνάω στις κλασματικές αριθμητικές παραστάσεις,

να απλοποιήσω στο τέλος.

Και ει δυνατόν να παρουσιάσω και το κλάσμα μου ανάγωγο,

έτσι ώστε να εμφανιστεί στην απλούστερή του μορφή.

Χαίρομαι που τα ξαναθυμηθήκαμε μαζί.

Το 'χα κι εγώ ανάγκη, ξέρεις.

Λέω κάθε τόσο χρειάζεται μία μικρή επανάληψη.

Φυσικά θα σε βοηθήσουν όλα αυτά.

Θα δεις ότι όσο πιο σύνθετα γίνονται, πάλι σε αυτά θα βασίζεσαι.

Να 'σαι καλά λοιπόν! Καλή συνέχεια,

να περνάς όμορφα και να προσέχεις πολύ τον εαυτό σου.

Γεια σου!